Skeltek hat geschrieben: ↑1. Mai 2019, 22:37
Aus
der markierten Textstelle schließe ich mal, dass das nicht im Allgemeinen gilt.
Doch, das gilt in voller Allgemeinheit für jede beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Skeltek hat geschrieben: ↑1. Mai 2019, 22:37
Aus den von dir genannten Isometrieforderung könnte man schließen ...
Es ist recht einfach.
Man hat eine Metrik g, d.h. einen Abstandsbegriff auf M; dadurch erst wird die Mannigfaltigkeit M zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g). Dann haben wir einen Euklidschen Raum E, in den wir die Mannigfaltigkeit M als Untermenge X(M) ⊂ E einbetten. In E existiert der herkömmliche Abstandsbegriff, der eine Metrik G auf X induziert, d.h. man erhält eine Mannigfaltigkeit (X,G) ⊂ E. Die beiden Abstandsbegriffe sind isometrisch, d.h. für Abstände d(p,q) für Punkte p,q ∈ M gilt, dass die Abstände D(x,y) für die entsprechenden Punkte x,y ∈ X ⊂ E identisch sind: d(p,q) = d(x,y) für p,q → x(p),y(q).
Kurz: Abstände d(p,q) zweier Punkte p,q in M entsprechen den Abständen D(x,y) der entsprechenden Punkte x(p),y(q) in X ⊂ E. Dies gilt für jeden beliebigen Zeitpunkt t.
Aber! M ist das Original, X(M) ist nur das Abbild. Die Einbettung erhält zwar Abstände, nicht jedoch beliebige andere Eigenschaften; die Einbettung erzeugt auch Artefakte, die die ursprüngliche Mannigfaltigkeit nicht enthält.