Beginnen wir mit dem physikalischen Beobachter. Er ist praktisch realisiert durch ein massebehaftetes Objekt plus mitbewegter Uhr, das sich mit v < c durch die Raumzeit bewegt. Seine Uhr sei z.B. eine hochpräzise Atomuhr.
In der Theorie denken wir uns diesen Beobachter so, dass seine Masse die Raumzeit nicht beeinflusst. Der Beobachter wird zu einem Punkt, dessen Bewegung durch die Raumzeit eine sogenannte Weltlinie definiert; das kann eine beliebige Linie sein, an der in jedem Punkt weiterhin v < c gilt. In der ART wird zumeist ein kräftefreier Beobachter verwendet; das muss aber nicht zwingend so sein.
Die Geschwindigkeit v < c kann ausschließlich lokal = in einem Raumzeitpunkt definiert werden; es gibt i.A. keine Geschwindigkeit von „diesem Beobachter dort bzgl. jenem Beobachter hier“. Lokal gilt die SRT, und in diesem Sinne ist v < c zu verstehen.
Jeder beliebige kräftefreie Beobachter mit v < c definiert in einem Raumzeitpunkt ein lokales Bezugsystem, das so wie ein Minkowskidiagramm der SRT aussieht; es gilt aber eben nur in infinitesimaler Umgebung des Beobachters. Da sich der Beobachter durch die Raumzeit bewegt, nimmt er sein Bezugssystem quasi mit; bzgl. dieses eigenen Bezugssystems befindet sich der Beobachter Ruhe. D.h. aus, dass seine Eigenzeit der Koordinatenzeit in diesem Bezugssystem entspricht.
Die Gesamtheit aller theoretisch möglichen Beobachter in diesem einen Punkt definieren die Gesamtheit aller möglichen lokalen Bezugsysteme in diesem Raumzeitpunkt; diese Beobachter und damit die Bezugsysteme sind mittels Lorentztransformationen verbunden, wobei diese sozusagen nur infinitesimal gelten, d.h. bzgl. infinitesimaler Größen dt und dx.
Global gilt die Lorentztransformation in der ART nicht!
Faustregel: wenn einem irgendjemand etwas über globale Größen in der ART erzählt, sollten die Alarmglocken schrillen; globale Größen, wie wir sie üblicherweise verwenden, sind oft nicht definierbar: es gibt i.A. keine Geschwindigkeit von „diesem Beobachter dort bzgl. jenem Beobachter hier“; es gibt i.A. keinen direkten Vergleich „der Zeit bei diesem Beobachter dort mit der Zeit bei jenem Beobachter hier“.
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... ll_in.html
Wir haben noch nicht diskutiert, wie man diese Größen miteinander in Verbindung bringen kann, denn sie gelten zunächst nur entlang der Weltlinie oder ggf. im Schnittpunkt zweier Weltlinien. Wir können also die Eigenzeiten zweier Beobachter direkt vergleichen, wenn sie sich zweimal begegnen, sonst erstmal nicht; das funktioniert beim Zwillingsparadoxon beim Start und bei der Rückkehr.At large distances t does approach the proper time of someone who is at rest with respect to the black hole. But there isn't any non-arbitrary sense in which you can call t at smaller r values "the proper time of a distant observer," since in general relativity there is no coordinate-independent way to say that two distant events are happening "at the same time." The proper time of any observer is only defined locally.
Das o.g. lokale Bezugsystem heißt in der Mathematik Tangentialraum; ein derartiger Tangentialraum existiert in jedem Punkt einer (hinreichend) glatten Mannigfaltigkeit (so wie eine Tangentialebene an jedem Punkt einer Kugeloberfläche definiert ist). Man kann nun Vektoren „in der Raumzeit“ einführen sowie „Vektoren im Tangentialraum“. Z.B. kann ich in einem Punkt der Weltlinie eines Beobachters seine Vierergeschwindigkeit als Tangente an die Weltlinie durch die Raumzeit definieren. Der Tangentialvektor der Vierergeschwindigkeit „lebt“ im gedachten Tangentialraum an diesem Punkt. Wenn sich der Beobachter durch die Raumzeit bewegt, dann nimmt er seinen Tangentialraum quasi mit, in einem infinitesimal benachbarten Raumzeitpunkt existiert ein neuer Tangentialraum, quasi der ursprüngliche, verschobene Tangentialraum.
Man kann sich in diesem Tangentialraum ein Koordinatensystem vorstellen (so wie in der Tangentialfläche an die Kugeloberfläche). Dazu benötigen wir vier Einheitsvektoren, die die Mathematiker Vierbeine nennen. Der Geschwindigkeitsvektor wird nun bzgl. dieses Koordinatensystems dargestellt. Wenn ich eine Koordinatentransformation in einem Punkt durchführe, also das Koordinatensystem um den Ursprung (in dem Raumzeitpunkt an dem der Tangentialraum betrachtet wird) rotiere, dann entspricht dies gerade eine Lorentztransformation; und dass ich das tun darf, ohne die Physik zu beeinflussen, nennt man Lorentzinvarianz, die in der ART lediglich lokal, also in einem Raumzeitpunkt gilt.
Die Koordinaten eines Vektors in diesem Tangentialraum haben eine direkte physikalische Bedeutung, z.B. die Geschwindigkeitskomponenten bzgl. der gewählten Basis = bzgl. der Vierbeine.
(Dummerweise sind dies gerade nicht die Viererkoordinaten, die man in praktisch allen Darstellungen der ART findet).
Nun versuchen wir aus dieser lokalen Geometrie in jedem einzelnen Raumzeitpunkt die globale Geometrie zu konstruieren. Betrachten wir den einfachsten Fall einer flachen Raumzeit (statt der Kugeloberfläche eine Ebene) und konstruieren die Tangentialräume in allen Punkten. Da der Raum flach ist, stimmen alle Tangentialräume überein (so wie alle Tangentialebenen einer Ebene untereinander übereinstimmen). Dies ist der Fall in der SRT. Betrachten wir nun jedoch die Tangentialebenen für eine gekrümmte Raumzeit, so stimmen diese nicht mehr überein (zwei verschiedene Tangentialflächen an zwei verschiedenen Punkten einer Kugel sind augenscheinlich nicht identisch). Und weil dies so ist, können wir Vektoren an benachbarten Punkten nicht mehr vergleichen, weil diese in verschiedenen Tangentialräumen leben (wir betrachten je einen Vektor in je einer Tangentialebene in zwei Punkten der Kugeloberfläche; wir können diese erst dann vergleichen, wenn wir eine Vorschrift haben, wie wir die beiden Tangentialebenen übereinanderlegen)
(Konkret: ein Geschwindigkeitsvektor am Äquator zeige nach rechts; ein Geschwindigkeitsvektor am Nordpol zeige nach links; und? wie vergleichen wir das? Wir müssen die beiden Pfeile erst an ein und denselben Ort bringen, um ihre Richtungen zu vergleichen und um z.B. die Vektoren mittels Vektoraddition addieren oder subtrahieren zu dürfen; wie das funktioniert haben wir aber noch nicht diskutiert.)
Und weil wir das noch nicht diskutiert haben, können wir nicht von einer Relativgeschwindigkeit zweier Beobachter an unterschiedlichen Orten der Raumzeit sprechen.
Der Transport eines in einem Tangentialraum definierten Vektors an einen anderen Ort und in den dort definierten Transport wird mathematisch durch den sogenannten Zusammenhang beschrieben. Der Transport erfolgt dadurch, dass man beide Punkte durch eine Kurve verbindet und den Vektor bzw. den gesamten Tangentialraum entlang dieser Kurve verschiebt. Dadurch bringt man sozusagen beide Tangentialräume miteinander in Überdeckung, beide Vektoren leben jetzt im selben Tangentialraum und dürfen verglichen werden.
(Ein Spezialfall tritt bei der Berechnung der Rotverschiebung auf. Hier wird der Vektor, der die Frequenz und die Wellenzahl des Photons beschreibt, entlang der vom Photon selbst definierten Weltlinie vom Sender zum Empfänger verschoben)
Interessanterweise hängt dieser Transport i.A. von der gewählten Kurve ab (wovon man sich selbst wieder für die Kugeloberfläche überzeugen kann). In der flachen Raumzeit ist dies nicht der Fall (z.B. für die Ebene). Man kann nun einen Vektor von einem Punkt entlang einer infinitesimalen geschlossenen Schleife wieder zum selben Punkt verschieben, und berechnen, wie stark sich der Vektor ggü. der ursprünglichen Richtung verdreht hat; dieser Winkel ist ein Maß für die Krümmung; in der vierdimensionalen Raumzeit kann man diese Schleifen auf unterschiedliche Weise legen und erhält so unterschiedliche Krümmungsmaße, die zusammen den sogenannten Krümmungstensor bilden.
(Wenn man den o.g. Geschwindigkeitsvektor, der am Äquator „nach rechts zeigt“, diskutiert, dann muss man definieren „nach rechts bzgl. was“; „rechts“ kann z.B. bedeuten „raus aus diesem Haus und dann rechts“. Das ist eine rein lokale Definition, und das spiegelt die Freiheit bei der Wahl des lokalen Koordinatensystems am Äquator bzw. die Wahl der Vierbeine wieder. Das selbe können wir jetzt für ein Iglu am Nordpol durchführen, also „raus und dann links“. Offensichtlich haben die beiden Richtungen „rechts“ und „links“ nichts miteinander gemein. Auf einer flachen Ebene wäre das kein Problem, aber auf der Erdoberfläche wählen wir nun Kurven, entlang derer wir den Geschwindigkeitsvektor vom Äquator zum Pol verschieben um zu sehen, welchen Winkel die Richtung des Kajaks mit der Richtung des Einbaums einschließt; dummerweise hängt dies nun davon ab, entlang welcher Kurve der Bote das Blatt Papier mit dem aufgezeichneten Richtungspfeil vom Äquator zum Nordpol bringt. Wir haben also eine gigantische Mehrdeutigkeit in der Aussage „der Eskimo steuert etwas mehr nach rechts; die Aussage ist schlichtweg Quatsch)
Zum Abschluss folgende Feststellung: wir haben bisher Beobachter, deren Weltlinien, deren Eigenzeiten entlang der Weltlinien, mitbewegte und lediglich lokal definierte Koordinatensysteme mit Koordinatenzeiten gleich Eigenzeiten, den Transport der Tangentialräume und die Krümmung angesprochen. Wir sind fertig; wir haben die komplette Riemannsche Geometrie definiert, wir haben alles, was wir benötigen, um mittels ART Physik zu betrieben.
Was wir noch nicht getan haben ist, ein global gültiges Koordinatensystem zu definieren, das an anderen Raumzeitpunkten existiert als der Beobachter selbst; wir brauchen es auch prinzipiell nicht, weil die Physik (Beobachter, Eigenzeiten, Beobachtungen, …) unabhängig davon sind, welche Koordinatenlinien wir in die Raumzeit einzeichnen; das beeinflusst die Eigenzeiten, Beobachtungen usw. in keinster Weise. Jeder Beobachter definiert sein eigenes Ruhesystem und bzgl. dessen interpretiert er alle Beobachtungen.
Natürlich werden wir noch globale Koordinatensysteme besprechen, aber es muss klar sein, dass wir dadurch lediglich mathematische Objekte einführen, die ohne physikalischen Gehalt sind.