positronium hat geschrieben:Du verwendest dabei aber eine Annahme, die Du nicht erwähnst. Wenn Du U in die SG einsetzst, dann gehst Du implizit davon aus, dass alle Terme der Wellenfunktion voneinander unabhängig ihrer eigenen Zeitentwicklung folgen.
Ich will nicht behaupten, dass diese Annahme falsch sein muss, aber ich will betonen, dass sie nicht aus der SG folgt. Ich sehe es so, dass es sich dabei genau genommen um ein weiteres Postulat der QM handelt.
Die Annahme steckt in dem Begriff "linearer Operator"; die QM verwendet ausschließlich lineare Operatoren wie x, p, L, ..., H, U, und für diese gelten genau diese Eigenschaften.
Und dieses Postulat besagt, wie ich es oben mit diesem Satz meinte:
positronium hat geschrieben:dass alle [Eigenfunktionen von H] sich immer unabhängig voneinander entwickeln.
Das gilt nicht nur für die Eigenfunktionen, sondern für beliebige Sumnen beliebiger Funktionen.
positronium hat geschrieben:Vor allem wird dadurch aber der QM die Möglichkeit genommen, z.B. vom freien Wellenpaket in einen gebundenen Zustand im Atom zu wechseln.
Nein, wird es nicht. Das ist Gegebstand der Streutheorie und wird dort sehr detailliert untersucht.
Wenn du die Zeitentwicklung eines Eigenzustands |E> des Hamiltonoperators H untersuchst, dann gilt immer
|E,t> = exp[-iHt] |E,0> = exp[-iEt] |E,0>
Wenn du dagegen einen anderen Zustand betrachtest, z.B. eine ebene Welle oder ein freies Wellenpaket, das nicht Eigenzustand zum Hamiltonoperators des zu betrachtenden Atoms (oder besser Ions) ist, dann gilt das zweite Gleichheitszeichen nicht mehr. Man kann den Übergang in einen anderen (z.B. einen gebundenen) Zustand |E'> näherungsweise durch Störungsentwicklung von exp[-iHt] im zusätzlichen Potential V berechnen; das Übergangsmatrixelement lautet
M
EE' = <E'|V|E>
und ist i.A. ungleich Null.
positronium hat geschrieben:Sehe ich es denn falsch, dass gerade deswegen das Kollapspostulat nötig war?
Nein.
Das Kollapspostulat wird ausschließlich für die Diskussion der Messung benötigt, während du hier explizit die Zeitentwicklung betrachtest, die gemäß der orthodoxen Interpretation gerade nichts mit der Messung zu tun hat.
positronium hat geschrieben:Ist das alles denn durch Experimente bewiesen?
Alles was ich sehe, ist eine Entkopplung der Terme der Wellenfunktion durch Einführung von U. Warum sollte eine gekoppelte Zeitentwicklung nicht ganz zwanglos zur Einnahme der gemessenen Eigenzustände führen?
Ja. Es ist kein einziges Experiment bekannt, das der QM widerspräche. Andererseits ist die QM und insbs. das Kollapspostulat genau so konstruiert, dass es zu den Experimenten passt.
Meine Argumentation bezieht sich jedoch rein auf die mathematische Struktur der QM.
positronium hat geschrieben:Ich will darauf hinaus, dass evtl. gar kein echter Kollaps (auf exakt einen Eigenzustand; könnte ja auch leicht gemischt sein) stattfinden muss, und ich sehe keinen Grund, warum eine erweiterte Schrödingergleichung statt einer eingeschränkten diese zeitliche Entwicklung nicht abbilden können sollte.
Tatsächlich werden nicht-lineare Erweiterungen der QM formuliert, die eine Art "stochastischen Kollaps" mit der Zeitentwicklung selbst produzieren sollen; das funktioniert aber nicht wirklich gut und ist sicher nicht Mainstream.
positronium hat geschrieben:Vielleicht ist das, was ich meinte nicht klar genug geworden. Ich habe hier ein Beispiel gebastelt:
Es geht mir um eine Welle mit variablem k bei V=0.
eine einfache Welle mit diesem k(x)
und deren Zeitentwicklung
Das entspricht nicht der Zeitentwicklung gemäß der SGL!
Die Zeitentwicklung folgt genau dann mittels exp[-iEt] wenn der Zustand ein Energieeigenzustand ist. Ist er aber nicht. Und du kannst nicht einfach ein E ~ k
2 einsetzen, wenn k(x) nicht konstant ist. Das liefert keine Lösung der SGL.