Ich will erst das Rätsel mit dem König knacken, bevor ich mich mit neuen Problemen mit Zeugen mit 80% Zuverlässigkeit, etc. beschäftige, denn ich liebe Rätsel.
Skeltek hat geschrieben:Die Fragestellung schränkt es auf die drei Fälle (Fm mm), (Fm mw) und (Fm wm) ein. Es ist also P(Fm mm)= 2/4.
Genau! Zunächst... Aber dann doch nicht...
(Warte ab, was weiter unten noch kommt!
)
Zunächst einmal ist mir folgendes klar geworden:
seeker hat geschrieben:Erhalte ich die Information "Ereignis: m" nach den beiden Ereignissen, dann weiß ich nicht, welchem Ereignis m zuzuordnen ist.
Deshalb ist in diesem Fall P(w) für das andere Ereignis = 2/3.
Warum? Weil ich hier mit der Information nur die Kombination w/w ausschließen kann. Bleiben also w/m, m/w und m/m übrig.
Das ist falsch! Auch hier beträgt P(w) = 0,5!
Es ist nämlich so, wenn man sich den Ereignisbaum anschaut:
...................
m
......
m - 2. <
...................
w
1.<
...................m
......
w - 2. <
...................w
Mögliche Kombinationen: m/m, w/m, m/w, m/m
Wenn ich nun die Information "m ist eingetreten" erhalte, dann kann ich w/w zu 100% ausschließen.
Ich kann mit dieser Information (und das ist der Knackpunkt) aber auch w/m und m/w zu 50% ausschließen, während ich m/m damit nur zu 0% ausschließen kann!
Denn die Information "m" spricht nicht gegen das Ergebnis "m/m", wohl aber weiß ich, dass zu je 50% Wahrscheinlichkeit entweder 1. Ereignis = m -> w/m = zu 0% richtig oder 2. Ereignis = m ->m/w zu 0% richtig.
Während bezüglich m/m unabhängig davon, welches Ereignis "m" produziert hat eine solche Aussage nicht getroffen werden kann.
Anders: m/m ist eigentlich m(1)/m(2) plus m(2)/m(1)
D.h., nach der Information "m" ergibt sich:
P(m/w) = 0,25
P(w/m) = 0,25
P(m/m) = 0,5
Daraus folgt, dass auf dieses Problem hier...
Ich würfle mit zwei Würfelbechern mit jeweils einem Würfel darin. Beide 6-seitige Würfel haben je 3 Seiten mit "m" und je drei Seiten mit "w". Bei einem einzelnen Wurf ist also P(w) = P(m) = 0,5.
Nach den beiden Würfen decke ich willkürlich einen der Würfel auf, indem ich den entsprechenden Würfelbecher anhebe.
Es erscheint "m". Wie hoch ist für dich die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel unter dem anderen Würfelbecher "w" anzeigt?
... die einzig richtige Antwort lautet:
P(w) = 0,5 !
Und das ist auch unabhängig davon, ob du weißt oder nicht weißt, welchen Würfelbecher ich aufgedeckt habe (der 1. oder der 2.)!
Überraschenderweise bringt die Zusatz-Information "m aus welchem Wurf" keine Veränderung der Wahrscheinlichkeiten.
(Bei näherem Betrachten ist das nicht überraschend, sondern muss so sein, denn die beiden Würfe sind ja stochastisch unabhängig.)
Nochmal anders:
Wenn "m" der erste Wurf war, dann sind die blau markierten Ereignisse der zweiten Eben relevant/gefragt und es ergibt sich P(w) = 0,5
Wenn "m" der zweite Wurf war, dann sind die rot markierten Ereignisse der ersten Ebene relevant uns es ergibt sich ebenfalls P(w) = 0,5
Im Fall hier müssen die Möglichkeiten bekanntes Ereignis m = 1. Wurf und m = 2. Wurf als gleich-wahrscheinlich angesehen werden, schon deshalb, weil die Festlegung, was 1. und was 2. Wurf ist, willkürlich ist.
Daraus folgt insgesamt: P(w) = 0,5
So, jetzt nochmals zum eigentlichen Rätsel:
Pippen hat geschrieben:Ein König hat ein Geschwister. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Schwester ist, wenn wir davon ausgehen, dass grundsätzlich P(männlich) = P(weiblich) = 0,5.
Hier existiert etwas Zusätzliches, das bisher übersehen wurde.
Es ist nämlich so, dass immer der erstgeborene Sohn König wird! D.h.: Wenn
nicht 1. Geburt = Bruder vom König, dann König = König!
(Wenn eine Schwester Erstgeborene ist, dann ist das egal, er wird dann trotzdem König.)
Wenn wir mit dieser Information plus der Information "Ereignis: m" den Ereignisbaum nochmal anschauen, sehen wir, dass unser König nur an den rot markierten Stellen zu finden sein kann, während sich die möglichen Geschwister an den blau markierten Stellen befinden:
...................
m
......
m - 2. <
...................
w
1.<
...................
m
......
w - 2. <
...................w
Blau sind: 2x w und 1x m.
Daraus folgt: P(w) = 2/3!
Auch deshalb, weil jetzt die Wahrscheinlichkeit von m/m nicht mehr doppelt so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeiten m/w und w/m,
weil wir m/m nun in m(k)/m(b) und m(b)/m(k) aufdröseln müssen, wobei m(b)/m(k) ausgeschlossen ist.
D.h.: P(m(k)/m(b)) = P(m(k)/w) = P(w/m(k)) = 1/3
Also:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschwister des Königs eine Schwester ist, beträgt 2/3!
P.S.:
Ich sehe inzwischen, dass P(w) = 2/3 für diesen letzten Fall falsch sein muss, denn:
Entweder ist das bekannte Ereignis "m" auf der ersten oder der zweiten Ebene zu finden.
Wenn m auf der 2. Ebene aufgetaucht ist, dann ist P(w) = 1 (sonst wär der König nicht König, sondern sein Bruder)
Wenn m auf der 1. Ebene aufgetaucht ist, dann ist P(w) = 0,5
Jetzt ist die große Frage, ob hier die Wahrscheinlichkeit für das Auftauchen von m auf der ersten und auf der zweiten Ebene gleich-wahrscheinlich ist. Falls ja (und das muss eigentlich so sein, weil die Angabe der Aufgabenstellung "König existiert" keine Schlussfolgerungen dahingehend zulässt), ergibt sich dann nämlich:
P(w) = 0,75
P.P.S.:
Skeltek hat geschrieben:Eben leider nicht einig. Wieso sollten neue Kinder gezeugt werden, wenn bereits ein Thronfolger vorhanden ist?
Es werden viel eher neue Kinder gezeugt, wenn bisher nur Töchter zur Welt gebracht wurden ^^
Annahme:
Die Königin wirft so lange neuen Nachwuchs, bis ein männlicher Nachkomme für die Thronnachfolge produziert wurde.
Im Falle von "Erstgeborener ist männlich" wird kein weiterer Nachwuchs hergestellt.
Das ist auch immer wieder ein Streitpunkt...
Nein, ich denke, diese Überlegungen darfst du eher nicht einfließen lassen, weil du das ganz einfach aus der Aufgabenstellung heraus nicht sicher genug wissen kannst. Geschichtlich gesehen wurden ja von den Monarchen i.d.R. munter immer weitere Kinder gezeugt, auch wenn schon ein Tronfolger da war. Die durchschnittliche Erhöhung der Anstrengungen beim Kinderzeugen nachdem das erste Kind eine Tochter geworden ist, werden daher wohl nur marginal gewesen sein.
Umgekehrt ist aber geschichtlich abgesichert, dass fast immer der Erstgeborene Sohn König wurde (schätzungsweise zu über 99%, das war ganz einfach Gesetz, das Recht des Erstgeborenen).
Daher denke ich, dass man diese Überlegung wiederum mit gutem Gewissen einfließen lassen darf, eigentlich sogar muss.
Grüße
seeker