Wahrscheinlichkeit einer Zahl zwischen zwei weiteren Zahlen

[Pippen]

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Zahl K zwischen zwei ebenfalls zufällig gezogenen Zahlen A und B liegt? (K, A, B € IR)

Hintergrund ist dieses Video (https://www.youtube.com/watch?v=ud_frfkt1t0) und ich glaube dem Kerl da nicht, weil ich glaube, dass die Wahrscheinlichkeit, sein K läge zwischen A und B so klein ist, dass es nicht ins Gewicht fällt. Sein Vorgehen funktioniert nur, weil eben der Pool an Zahlen für die meisten Menschen arg begrenzt ist. Niemand wird schon aus Zeitgründen zig-tausendstellige Zahlen aufsagen/aufschreiben.

[tomS]

Nun. Entscheidend ist doch, dass es für endliche Zahlen A, B, K funktioniert, und dass es unabhängig von der gewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

[breaker]

Natürlich könnte man in einem praktischen Durchgang seine Zahlen so wählen, dass er Probleme mit seiner Zufallszahl K bekommt. Man könnte beispielsweise A definieren als die kleinste Zahl, die so groß ist, dass sie von keinem Computer der Erde gespeichert werden kann. Wählt man dann B größer als A, dann kann kein Computer eine Zufallszahl liefern, die zwischen A und B liegt. Das ist aber ein langweiliges Szenario.
Das interessante an dem Experiment ist, dass man eben theoretisch mit sehr wenig Information über A und B ein überraschend gutes Ergebnis produzieren kann (wenn man annimmt, dass man eine Maschine hat, die einem eine echte Zufallszahl generiert).

[seeker]

Interessante Sache.
Da frage ich mich dann schon, ob hier vielleicht "aus dem Nichts" Information gewonnen wird?
Und wo Information ist, ist auch Struktur und Kausalität...

Aber einmal angewendet für Zahlen aus R:
Ich glaube nicht, dass das dort funktioniert. Wenn ich zwei Zahlen A und B zufällig (oder willkürlich) aus R ziehe, dann bilden die beiden ein Intervall endlicher Länge.
Nun ist es aber m. E. so, dass eine dritte, danach zufällig gezogene Zahl K mit einer Wahrscheinlichkeit von exakt Null in diesem Intervall zum liegen kommt.
...und damit nützt dann alles nichts mehr: Man kann dann nur mit exakt 50% Wahrscheinlichkeit erraten, ob A oder B größer ist.

Grüße
seeker

[tomS]

ich werde das mal anhand eines Wahrscheinlichkeitsbaumes veranschaulichen; und ein kleines C# Programm schreib' ich auch ;-)

[tomS]

@seeker: stimmt, aber nur, wenn du K gleichverteilt ziehst, was streng mathematisch nicht definierbar ist; alledfings habe ich das so verstanden, dass es auch mit nicht-gleichverteiltem K funktioniert, und das unproblematsich

[seeker]

Ich glaube, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall AB zu liegen auch bei einer Ungleichverteilung exakt Null ist, einfach weil die Bereiche außerhalb von AB unendlich groß sind, bzw. lassen sich unendlich viele Intervalle außerhalb von AB definieren, die gleich groß wie AB sind: irgendetwas (ungleich Null) x unendlich = Unendlich. Es sei denn es liegt eine extreme Ungleichverteilung vor, mit Unstetigkeiten o.ä. Davon würde ich aber nicht ausgehen. Im schlimmsten Fall kann man m. E. dann nur sagen, dass man nichts sagen kann (ob das bei Zahlen A, B, K aus R funktioniert oder nicht).

Grüße
seeker

[breaker]

Hier eine gute und ausführliche Lösung des Problems:
http://mathoverflow.net/questions/9037/ ... arger-with
(die Posts von Bill Thies und Darsh Ranjan)

Die Erklärung in dem Video war mal wieder eher nebulös und effekthascherisch...

[breaker]

Ich glaube, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall AB zu liegen auch bei einer Ungleichverteilung exakt Null ist, einfach weil die Bereiche außerhalb von AB unendlich groß sind, bzw. lassen sich unendlich viele Intervalle außerhalb von AB definieren, die gleich groß wie AB sind: irgendetwas (ungleich Null) x unendlich = Unendlich. Es sei denn es liegt eine extreme Ungleichverteilung vor, mit Unstetigkeiten o.ä. Davon würde ich aber nicht ausgehen. Im schlimmsten Fall kann man m. E. dann nur sagen, dass man nichts sagen kann (ob das bei Zahlen A, B, K aus R funktioniert oder nicht).

Das ist leider komplett falsch; kann man leider nicht anders sagen.

Siehe z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

[seeker]

Doch, ich glaube man könnte, wenn man wollte...
Es gibt ja nicht nur Normalverteilung und Gleichverteilung.

Mein Argument, dann anders:
Gut, man kann sagen, dass eine Gleichverteilung auf R oder N nicht definiert ist, ok.
Es gibt auch sicher Ungleichverteilungen, wo die Wahrscheinlichkeit von K im Intervall AB zu liegen dennoch Null ist. Es scheinen mir in der Tat unendlich viele verschiedene Verteilungen denkbar.

Frage:
Welche Verteilung ist bei diesem Problem hier bei der Ziehung von K aus R zu wählen, mit welcher Begründung?

Falls kein vernünftiger, eindeutiger und zwingender Grund für die Wahl einer speziellen Verteilung gefunden werden kann, dann gilt m. E. das hier:

Im schlimmsten Fall kann man m. E. dann nur sagen, dass man nichts sagen kann (ob das bei Zahlen A, B, K aus R funktioniert oder nicht).

...oder man könnte an der Stelle evtl. auch das Indifferenzprinzip anwenden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Indifferenzprinzip

Grüße
seeker

[tomS]

Damit die Lösung funktioniert, muss eine Verteilung genommen werden, für die p([A,B]) > 0 gilt. Das funktioniert z.B. mit jeder beliebigen Normalverteilung.

Du hast recht "Es gibt auch sicher Ungleichverteilungen, wo die Wahrscheinlichkeit von K im Intervall AB zu liegen dennoch Null ist." Aber es kann keine Verteilung geben, bei der für jedes beliebige [A,B] immer p([A,B]) = 0 gilt. Wenn man R in disjunkte Intervalle Intervalle I[down]n[/down] = [A[down]n[/down],B[down]n[/down]] aufteilt, muss gelten, dass die Summe über alle p(I[down]n[/down]) Eins ergibt. D.h. eine speziell gewählte pathologischje verteilung gilt nur für bestimmte Intervalle.

Du hast recht, "Es scheinen mir in der Tat unendlich viele verschiedene Verteilungen denkbar." Ich habe mir noch nicht überlegt, ob die Verteilung tatsächlich beliebig ist.

[seeker]

Man könnte auch argumentieren, dass es sich hier ja um ein real durchführbares Spiel handeln soll.
In dem Fall steht als Zahlenmenge in keinem Fall ganz R zur Verfügung, d.h. wir hätten es dann mit dem endlichen Fall zu tun - und der ist ja glaube ich klar:
Hier funktioniert das Spiel (was ja auch schon sehr erstaunlich ist), wenn auch der Strategievorteil (Gewinnwahrscheinlichkeit) je nach dem beliebig klein werden kann.

Für den unendlichen Fall existiert glaube ich keine eindeutige Lösung, weil man keine zwingend zu wählende Verteilung angeben kann (ich lasse mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen):

Das funktioniert z.B. mit jeder beliebigen Normalverteilung.

Ja, aber warum soll hier eine Normalverteilung angenommen werden? Nur "weil man es kann" ist kein hinreichender Grund.

Aber es kann keine Verteilung geben, bei der für jedes beliebige [A,B] immer p([A,B]) = 0 gilt. Wenn man R in disjunkte Intervalle Intervalle In = [An,Bn] aufteilt, muss gelten, dass die Summe über alle p(In) Eins ergibt. D.h. eine speziell gewählte pathologischje verteilung gilt nur für bestimmte Intervalle.

Ja, aber aber wir wissen in diesem Fall eben nicht im Voraus, ob die gewählte Verteilung für die danach kommenden Ereignisse (Ziehungen) pathologisch sein wird oder nicht, d.h. wir können so ohne weiteres keinen allgemeinen Fall angeben, keine beliebige Verteilung, die für jedes [A,B] p([A,B]) > 0 liefert. Wir können nur bestimmte Klassen von Verteilungen angeben, wo das so ist. Aber warum gerade dann diese Klassen und keine anderen?

Grüße
seeker

[tomS]

Aber wir dürfen doch als Spieler dir Verteilung für K selbst bestimmen.

[Pippen]

Verstehe ich das richtig: Die Wahrscheinlichkeit P(A<K<B) ist rein stochastisch gleich 0, wenn man bedenkt, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, wo K außerhalb des AB-Intervalls liegt. Wenn man jedoch die Normalverteilungsfunktion hinzunimmt, führt das dazu, dass es de facto nicht mehr unendlich viele Möglichkeiten für K außerhalb von AB gibt, weil diese Möglichkeiten dann eben auch gleichzeitig exorbitant unwahrscheinlich werden. Wie sieht denn eine Normalverteilung für IR aus? Das müsste ja sowas wie eine Gaussche Glocke werden und wo wäre dann da die "Spitze"? Woher weiß man denn, dass sich Zufallszahlen der Normalverteilung unterwerfen, es gibt ja da unendlich viele von, anders als in den naturwissenschaften, wo es oft um finite Vorgänge geht?

[breaker]

Wie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf R funktioniert, haben wir hier nun wirklich schon mehrfach erklärt...
Du kommst immer wieder auf die gleichen Themen zurück und stellst die gleichen Fragen, die früher schonmal beantwortet wurden.

Siehe z.B. hier: viewtopic.php?f=15&t=2695&start=75#p38166

[tomS]

Offensichtlich ist das immer noch nicht klar.

Es handelt sich darum, dass für zufällig (*) vorgegebene Zahlen A,B, wovon wiederum zufällig (**) eine bekannt ist, eine Gewinnstrategie S (***) ermittelt werden soll, so dass das Raten, ob A > B oder B > A mit einer Wahrscheinlichkeit von > 0.5 erfolgreich ist.

(*) Hier wird nicht spezifiziert, wie die beiden Zahlen ermittelt werden. D.h. falls keine spezifische Ermittlung bekannt ist, aus der S gefolgert werden könnte (!!) werden sie als zufällig angenommen.
(**) Das ist einfach die Gleichverteilung auf der Ereignismenge {A,B}.
(***) Die Gewinnstrategie S benutzt eine Zahl K, die zufällig ermittelt wird. Da die Gewinnstrategie gesucht ist, dürfen wir uns die hier zu verwendende Verteilung aussuchen; die Kriterien sind i) die existiert und ii) sie erzeugt eine Gewinnstrategie. Die Normalverteilung erfüllt beide Anforderungen, andere Verteilungen auch.

Wichtig ist, dass (*) genügend unpräzise ist, um eine derartige Vorgehensweise zu rechtfertigen. Wäre z.B. bekannt, dass A,B gleichverteilt aus einem bekannten (!) Intervall [-L,+L] gezogen werden, so wäre ein anderes, nicht-stochastisches S besser geeignet: ist A > 0, so ist die Wsk., dass B in [-L,A-1] liegt größer, als die, dass B in [A+1,+L] liegt; daher rate ich in diesem Fall A > B.

@seeker: Ja, rein praktisch muss ein endliches Intervall vorliegen, aber dann würde ich, wie gerade diskutiert, ein anderes S wählen. Die Normalverteilung oder irgendeine andere Verteilung muss i) existieren und ii) eine Gewinnstrategie erzielen. Wenn mich nicht weiter interessiert, wie A und B ermittelt werden, dann genügt es offensichtlich, dass - außer in pathologischen Fällen - die Wsk. für K in A < K < B nicht Null ist.

[seeker]

Aber wir dürfen doch als Spieler dir Verteilung für K selbst bestimmen.

Das macht der Spielleiter!
Nee, ernsthaft: Das wäre eine Zusatzannahme - und darum ging es mir, dass es einer Zusatzannahme bedarf, damit das Spiel in Gesamt-R funktioniert.
Ohne sie ist keine Aussage über den Erfolg der Gewinnstrategie möglich (wsk > 0,5).

Ja, rein praktisch muss ein endliches Intervall vorliegen, aber dann würde ich, wie gerade diskutiert, ein anderes S wählen. Die Normalverteilung oder irgendeine andere Verteilung muss i) existieren und ii) eine Gewinnstrategie erzielen. Wenn mich nicht weiter interessiert, wie A und B ermittelt werden, dann genügt es offensichtlich, dass - außer in pathologischen Fällen - die Wsk. für K in A < K < B nicht Null ist.

Ja, es es geht auch darum, was der Spieler, der K zieht, weiß und was nicht.
Hmm... real könnte man das Spiel auch so erfolgreich spielen:

Wir haben zwei Spieler X und Y. X legt zu Beginn 2 Zahlen A und B aus R willkürlich fest, d.h. er wählt die Zahlen nach gutdünken (also nach irgendeiner Verteilung) aus einem zuvor nicht festgelegten Intervall aus R.
Wichtig hierbei: Y ist nicht bekannt, wie genau X die Zahlen festlegt - und das muss er auch nicht wissen!
Y wird von den zwei Zahlen A, B zufällig eine gezeigt, die andere sieht er nicht.

Nun wählt Y willkürlich (vielleicht auch inspiriert von der Zahl, die er gezeigt bekam) ein anderes Intervall aus R aus, aus dem er zufällig eine Zahl K zieht (nach einer Gleichverteilung aus diesem Intervall) und geht alsdann wie bekannt vor: Er nimmt an, dass K zwischen A und B liegt.
Hat er sein Intervall (aus dem er K zufällig gezogen hat) falsch gewählt, so hat er Pech gehabt und seine Strategie geht nicht auf (wsk für Gewinn = 0,5), hat er sein Intervall aber richtig/groß genug gewählt, so geht seine Strategie auf (wsk für Gewinn > 0,5). Spielt er das Spiel oftmals ergibt das unterm Strich/im Mittel eine wsk > 0,5 (da er hin und wieder sein Intervall richtig wählen wird) und seine Strategie ist also erfolgreich.

Grüße
seeker

[tomS]

Aber wir dürfen doch als Spieler dir Verteilung für K selbst bestimmen.

Das macht der Spielleiter!

Nein!

Gesucht ist eine Gewinnstrategie. Die legt der Spieler fest, nicht der Spielleiter.

Nun wählt Y willkürlich ... ein anderes Intervall aus R aus, aus dem er zufällig eine Zahl K zieht (nach einer Gleichverteilung aus diesem Intervall) und geht alsdann wie bekannt vor.

Wo steht das? Wie definierst du "willkürlich"?

Y wählt zufällig eine Zahl K aus R. Dass er zunächst ein Intervall festlegt und dann K mittels einer Gleichverteilung auswählt, ist eine Einschränkung, von der nirgends die Rede ist!

[seeker]

Gesucht ist eine Gewinnstrategie. Die legt der Spieler fest, nicht der Spielleiter.

Ok, jetzt verstanden. Das darf der Spieler hier selbst festlegen, da es eben nicht vorgegeben ist.
Die Frage ist dann immer noch: Nach welcher Verteilung soll der Spieler eine Zahl K ziehen? Welche ist optimal?
Weiterhin:
Kann er zufällig eine wählen (die möglich ist) und dabei im Mittel immer noch bei p>0,5 landen? Ich glaube ja, nach deiner Auführung vom 29. Jun 2015, 22:50.
Aber kann er überhaupt eine Verteilung echt-zufällig wählen? Es muss überabzählbar viele davon geben...

Wo steht das? Wie definierst du "willkürlich"?

Y wählt zufällig eine Zahl K aus R. Dass er zunächst ein Intervall festlegt und dann K mittels einer Gleichverteilung auswählt, ist eine Einschränkung, von der nirgends die Rede ist!

Ich bin zunächst vom Video ausgegangen. Dieses Vorgehen ist dort nicht verboten, also erlaubt.
Ich habe mir nun nochmals den verlinkten Text des Problems angeschaut.
Aber auch dort ist dieses Vorgehen nicht verboten. Bei der Wahl eines Vorab-Intervalls muss natürlich wiederum ein Algorithmus bzw. irgendeine Verteilungsfunktion gewählt werden. Spielt man oftmals, so darf diese auch gewechselt werden.

Es ist doch so: Das von mir vorgeschlagene Vorgehen ist genauso eine legitime Strategie zur Wahl einer Zahl K, die wie du selbst oben sagst, frei vom Spieler gewählt werden darf.
Es scheint dabei zunächst egal, ob man die Auswahlfunktion einstufig wählt (z.B. eine Normalverteilung) oder zweistufig (wie bei meinem Vorschlag) oder noch viel komplizierter, z.B. durch einen komplexen Algorithmus.

Im realen Fall haben wir es dann auch eh mit dem Problem zu tun, dass wir nicht in der Lage sind alle Zahlen aus R zu finden bzw. zu wählen (z.B. die meisten transzendenten Zahlen).
Und wie die zwei Zahlen A und B gewählt wurden ist für den Spieler sowieso egal, solange er nicht weiß, wie das ging, also von irgendeinem, ihm unbekannten Auswahlverfahren ausgehen muss.
Das ist im Text auch so vorgegeben. Im Text ist weiterhin vorgegeben, dass A und B ganze Zahlen wären. Das wird im Video nicht gefordert und ist m. E. auch nicht nötig - oder?

Es bleibt jedenfalls auch hier die Frage:
Welche Auswahlfunktion für K ist optimal? Oder gibt es ganze Klassen von Auswahlverfahren, die gleich gut sind? Es gibt jedenfalls sicher Auswahlverfahren für K, die schlechter sind als andere...

Grüße
seeker

[tomS]

Gesucht ist eine Gewinnstrategie. Die legt der Spieler fest, nicht der Spielleiter.

Ok, jetzt verstanden. Das darf der Spieler hier selbst festlegen, da es eben nicht vorgegeben ist.

OK

Die Frage ist dann immer noch: Nach welcher Verteilung soll der Spieler eine Zahl K ziehen? Welche ist optimal?

So weit gehen wir doch gar nicht. Zunächst geht es gar nicht um die optimale Strategie, sondern um den Beweis der Existenz einer Strategie.

Aber kann er überhaupt eine Verteilung echt-zufällig wählen? Es muss überabzählbar viele davon geben...

Es geht nicht um die zufällige Wahl einer Verteilung, sondern um die zielgerichtete Selektion einer Verteilung oder einer möglichst großen Klasse geeigneter Verteilungen.

Dieses Vorgehen ist dort nicht verboten, also erlaubt.

Ja, es ist erlaubt. Aber es ist eben nicht zwingend so vorgeschrieben.

Im realen Fall haben wir es dann auch eh mit dem Problem zu tun, dass wir nicht in der Lage sind alle Zahlen aus R zu finden bzw. zu wählen (z.B. die meisten transzendenten Zahlen).

Das ist richtig.

Jetzt muss man nochmal unterscheiden zwischen einem reinen Existenzbeweis einer Gewinnstrategie S und einem konstruktiven Beweis. Aber so kompliziert sollten wir das hier gar nicht machen.

Welche Auswahlfunktion für K ist optimal? Oder gibt es ganze Klassen von Auswahlverfahren, die gleich gut sind? Es gibt jedenfalls sicher Auswahlverfahren für K, die schlechter sind als andere...

Das kann man so allgemein nicht beantworten, dazu muss man etwas über A,B wissen. Man kann insbs. nicht ansetzen, dass man nichts über die Auswahl von A,B aus R weiß, denn dies würde wieder eine Gleichverteilung von A,B bedeuten, und die existiert bekanntermaßen nicht.

[breaker]

Zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie empfehle ich als Lektüre die ersten Seiten dieses Skriptes hier:
https://itp.tugraz.at/LV/wvl/Statistik/A_WS_pdf.pdf

Außerdem finde ich, jeder sollte das hier einmal gesehen haben:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand- ... theorie%29
https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_ ... ability%29

[seeker]

So weit gehen wir doch gar nicht. Zunächst geht es gar nicht um die optimale Strategie, sondern um den Beweis der Existenz einer Strategie.

Nun ja, ich glaube das ist inzwischen geklärt, auch für den (idealisierten) Fall Ganz-R. Dann kommt eben gleich die nächste Frage, so ist das halt bei mir...

Argumentation für den Existenzbeweis nochmals in Kurzform:

Es werden zwei Zahlen aus R gezogen, nach irgendeiner zufälligen Verteilung.
Dem Spieler ist nicht bekannt, wie das gemacht wird, daher ist das für ihn auch egal: Er kann hier nichts ausschließen, was nicht unmöglich ist.
Der Spieler zieht eine Zahl K zufällig aus R nach einer von ihm gewählten Verteilung. Er muss dabei so wählen, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall AB zu liegen nicht Null ist. Dazu kann er z.B. auch eine Normalverteilung wählen, d.h. es existieren von ihm wählbare Verteilungen, wo das so ist.
Somit ist der Existenzbeweis erbracht: Es ist für ihn möglich das Spiel per Strategie mit einer Wahrscheinlichleit > 0,5 zu gewinnen.

Grüße
seeker

[tomS]

Es werden zwei Zahlen aus R gezogen, nach irgendeiner zufälligen Verteilung.
Dem Spieler ist nicht bekannt, wie das gemacht wird, daher ist das für ihn auch egal: Er kann hier nichts ausschließen, was nicht unmöglich ist.
Der Spieler zieht eine Zahl K zufällig aus R nach einer von ihm gewählten Verteilung. Er muss dabei so wählen, dass die Wahrscheinlichkeit für K im Intervall AB zu liegen nicht Null ist. Dazu kann er z.B. auch eine Normalverteilung wählen, d.h. es existieren von ihm wählbare Verteilungen, wo das so ist.
Somit ist der Existenzbeweis erbracht: Es ist für ihn möglich das Spiel per Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit > 0,5 zu gewinnen.

Es werden zwei Zahlen aus R gezogen, nach irgendeiner nicht näher bestimmten Methode.
Dem Spieler ist nicht bekannt, wie das gemacht wird, daher ist das für ihn auch egal: Er kann hier nichts ausschließen, was nicht unmöglich ist.
Der Spieler zieht eine Zahl K zufällig aus R nach einer von ihm gewählten Verteilung, die sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeit für K in einem beliebigen Intervall [X,Y] zu liegen nie Null ist, z.B. kann er eine Normalverteilung wählen.
Somit ist der Existenzbeweis erbracht: Es ist für ihn möglich das Spiel per Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit > 0,5 zu gewinnen.

[seeker]

Einverstanden.

[Pippen]

Auch wenn ich nerve, ich habe da schlicht Verständnisschwierigkeiten:

Es wird aus IR zufällig eine Zahl K gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass K zwischen den beiden reellen Zahlen A und B liegt? Wenn ich es richtig verstehe, dann gibt es dafür kein Wahrscheinlichkeitmaß (weil es unendlich viele AB und unendlich viele außerhalb-AB gibt) und wenn's eines gäbe, dann wäre es null. Dann kann es doch aber keinen Unterschied machen, wie oft ich das zufällig wiederhole (und darum geht's doch bei der Normalverteilung, oder?).

@breaker: Danke für den Link. Das Skript scheint wirklich gut.