Ein kleiner Beweis zur Unmächtigkeit reeller Zahlen

[Pippen]

Ich werde hier versuchen zu beweisen, dass die Menge der natürlichen Zahlen nicht kleiner ist als die Menge der reellen Zahlen. "Kleiner" sei eine Menge A zu B, wenn gilt: A hat n Elemente, B hat mind. n+1 Elemente. Interessant wäre (natürlich laiengerecht servriert^^) am Rande zu erfahren, wie der Mathematiker größer/kleiner eigentlich genau definiert.

Los geht's: Nehmen wir an, IR hätte n+1 Elemente, A nur n Elemente, es würde also gelten: IR > IN. Dem widerspräche direkt, dass IN wegen des Peanoaxioms No. 2 auch n+1 Elemente hätte. Diese Annahme muss also falsch sein. Nehmen wir weiter an, IR hätte n+x Elemente, wobei x größer als 1 sei. Dann hätte IN nichtsdestotrotz die n+x Elemente und zwar via x-mal Anwendung des Peanoaxioms No. 2 auf n. Da diese Anwendung in der Mathematik logisch erfolgt und somit keine physikalischen Grenzen kennt, folgt daraus, dass IN instantan über n+x Elemente verfügt. Auch diese Annahme wäre falsch, so dass wiederum folgt: IN ist nicht kleiner als IR. Eine Konsequenz dieses Beweises ist, dass die sog. Mächtigkeit von Mengen keine quantitative, sondern eine qualitative, Aussage macht: nämlich, dass die mächtigere Menge strukturell von der weniger mächtigeren "nur" derart verschieden ist, dass sich keine Bijektion zwischen den Elementen vorstellen läßt.

1. Wie findet ihr den Beweis, mache ich da irgendwo Fehler?
2. siehe erster Absatz
3. Gibt es eine mächtigste Menge oder gilt auch da: man kann immer noch eins weiter?

[breaker]

1. Der Beweis sieht im Prinzip richtig aus, aber die Aussage ist relativ trivial. Nach Deiner Definition kann überhaupt nur A<B sein, wenn A eine endliche Menge ist. Da N keine endliche Menge ist, kann (mit deiner Definition) natürlich nie N<B gelten, egal was B ist.

3. Man kann immer noch eins weiter. Wir haben ja vor kurzem gelernt, dass P(X) immer mächtiger ist, als X. Also kann man P(P(X)) bilden und immer so weiter und kommt immer zu höheren Mächtigkeiten.

[Skeltek]

Der Beweis ist nicht ganz sinnig, da du hier nur den abzählbaren "Anteil" von R mit N vergleichst.

Eine Konsequenz dieses Beweises ist, dass die sog. Mächtigkeit von Mengen keine quantitative, sondern eine qualitative, Aussage macht: nämlich, dass die mächtigere Menge strukturell von der weniger mächtigeren "nur" derart verschieden ist, dass sich keine Bijektion zwischen den Elementen vorstellen läßt.

Diese Feststellung ist jedoch richtig.

[Pippen]

Der Beweis ist nicht ganz sinnig, da du hier nur den abzählbaren "Anteil" von R mit N vergleichst.

Hmm. Ich vergleiche hier die beiden Mengen R und N und stelle fest: Die Menge R hat nicht etwa mehr Objekte (Zahlen) als N, was man ja wegen der Überabzählbarkeit durchaus vermuten könnte und was sich oft in missverständlichen Begriffen wie "es gibt mehr reelle als natürliche Zahlen" manifestiert. Sie hat genauso viele wie N, nämlich unendlich viele. Der Unterschied ist ein anderer, nämlich dass R und N nicht so zusammenpassen, dass wir sie 1:1 auflisten können, maW: wir können keine (bijektive) Funktion N -> R bilden. Der Grund dafür wiederum liegt nicht darin, dass es mehr reelle Zahlen gibt, sondern dass die reellen Zahlen anders konstruiert werden als die natürlichen und dadurch beim Aufzählen/Auflisten Ungereimtheiten auftreten.

[Job]

1. Wie findet ihr den Beweis, mache ich da irgendwo Fehler?
2. siehe erster Absatz
3. Gibt es eine mächtigste Menge oder gilt auch da: man kann immer noch eins weiter?

Zu 1. und 2.
Da Dich das Thema Unendlichkeit sehr fasziniert, empfehle ich Dir das Buch "Einmal Unendlichkeit und zurück" von John D. Barrow. Es beschreibt die vielen Facetten der Unendlichkeit sehr schön und besser, als ich dies hier jemals tun könnte. Danach wir Dir klar sein, warum bereits Dein Ansatz nicht ganz richtig ist (1.) und wie "kleiner" mathematisch in diesem Zusammenhang definiert ist (2.)

Auch die Frage 3. wird dort behandelt. Dazu hier ein paar Anmerkungen. Cantor selbst hat fest daran geglaubt, dass es so etwas wie eine mächtigste Menge gibt und hat es das Absolut Unendliche genannt. Ganz grob kann man sich das als den "Grenzwert" des Unendlichkeitsturmes, der über die Potenzmengen definiert ist, vorstellen. Er hat das dann mit Gott in Verbindung gebracht. Um die anderen Unendlichkeiten von dieser strikt zu trennen, hat er die anderen jeweils als Transfinitum bezeichnet. Ausserdem hat er zwischen mathematischen, physikalischen und der absoluten Unendlichkeit unterschieden. Die Meinungen, was davon in welcher Form wirklich "existiert", gehen aber ziemlich auseinander und sind fast selbst schon wieder eine Glaubensfrage. Kurz: Auch die Mathematik kann das Thema Unendlichkeit nicht erschöpfend erklären.

[tomS]

Der Beweis ist nicht ganz sinnig, da du hier nur den abzählbaren "Anteil" von R mit N vergleichst.

Hmm. Ich vergleiche hier die beiden Mengen R und N und stelle fest: Die Menge R hat nicht etwa mehr Objekte (Zahlen) als N, was man ja wegen der Überabzählbarkeit durchaus vermuten könnte und was sich oft in missverständlichen Begriffen wie "es gibt mehr reelle als natürliche Zahlen" manifestiert. Sie hat genauso viele wie N, nämlich unendlich viele. Der Unterschied ist ein anderer, nämlich dass R und N nicht so zusammenpassen, dass wir sie 1:1 auflisten können, maW: wir können keine (bijektive) Funktion N -> R bilden.

R hat nicht "mehr" Elemente als N, weil man deren Anzahl (als gewöhnliche Zahl) zunächst mal gar nicht definiert hat. Und deswegen haben beide auch nicht einfach "unendlich viele" Elemente, weil auch dieses nicht sauber definiert ist. Die Ausweitung des Begriffs "Anzahl" auf unendliche Mengen funktioniert eben gerade über den allgemeineren und wohldefinierten Begriff der Mächtigkeit und der Bijektion. Die Aussagen, die du kritisierst, sind also nicht falsch, sie sind einfach nicht vernünftig definiert.