Was bedeutet "Quantisierung?"

[tomS]

Quantisierung bedeutet, mathematische Objekte aus dem Phasenraum in dem Hilbertraum zu übertragen.

Und ich könnte in einem geeigneten Hilbertraum keine Objekte klassisch beschreiben?
Wieso? Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum; er kann sogar ein euklidscher Raum sein. Damit müsste er sich doch auch für klassische Beschreibungen eignen?
Es geht doch wohl eher darum, was ich in diesem Hilbertraum tue

Ein Hilbertraum ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum. Ein Vektor in diesem Raum hat NICHT die Bedeutung eines Ortes oder eines Impulses. Diese erhält er erst dann, wenn man einen Operator (sowas wie eine unendlich-dimensionale Matrix) darauf anwendet. Der Operator ist dann der Orts- oder Impulsoperator. Diese Operatoren haben nun aber ebenfalls nicht die Eigenschaft, selbst Ort oder Impuls zu beschreiben, sondern sie bewirken dies erst zusammen mit den Vektoren, auf die sie wirken.

Dieses Konstrukt hat NICHTS mit einem Vektorraum zu tun, in dem sich Objekte bewegen. Versuche bitte, dir nichts unter diesem Hilbertraum vorzustellen, es verwirrt dich nur. Nimm einfach hin, dass man das braucht, und versuche dann zu verstehen, wie man daraus wieder Physik hervorzaubert.

Ein Beispiel: betrachten wir ein Quantenobjekt mit konstanten Impuls p; dieser sei außerdem diskret (Teilchen im Kastenpotential, vgl. eine eingespannte Saite mit diskreten Schwingungen). Klassisch beschreibt man das Teilchen durch

x(t) = vt + a = pt/m + a (solange es sich frei bewegt, d.h. bis es von der Wand des Kastens reflektiert wird)

Quantenmechanisch beschreibt man das Teilchen durch einen Einheitsvektor |p>, wobei p diesen konstanten Impuls repräsentiert. Um den diskreten Charakter des Impulses darzustellen, führe ich ganze Zahlen k sowie eine Konstante L (~ Kastenlänge) ein und schreibe

p = k/L

Außerdem schreibe ich dann |k> statt |p>. |k> nummeriert sozusagen die möglichen Schwingungszustände. Da k eine ganze Zahl ist, die von minus Unendlich bis plus Unendlich läuft, habe ich unendlich viele mögliche Schwingungszustände |k> bzw. unendlich viele mögliche Impulszustände |p>.

Diese Zustände |p> bilden nun die Basis eines unendlich-dimensionalen Raumes, des sogenannten Hilbertraumes
(Beachte: den Ortsraum haben wir dabei noch gar nicht eingeführt).

Im Falle eines dreidimensionalen Raumes mit dreidimensionalem Impulsvektor benötigen wir ein Tripel derartiger Zahlen, d.h. |klm> als Zustände bzw. Basis.

[Hawkwind]

Quantisierung bedeutet, mathematische Objekte aus dem Phasenraum in dem Hilbertraum zu übertragen.

Und ich könnte in einem geeigneten Hilbertraum keine Objekte klassisch beschreiben?
Wieso? Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum; er kann sogar ein euklidscher Raum sein. Damit müsste er sich doch auch für klassische Beschreibungen eignen?
Es geht doch wohl eher darum, was ich in diesem Hilbertraum tue

Ein Hilbertraum ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum. Ein Vektor in diesem Raum hat NICHT die Bedeutung eines Ortes oder eines Impulses. Diese erhält er erst dann, wenn man einen Operator (sowas wie eine unendlich-dimensionale Matrix) darauf anwendet. Der Operator ist dann der Orts- oder Impulsoperator. Diese Operatoren haben nun aber ebenfalls nicht die Eigenschaft, selbst Ort oder Impuls zu beschreiben, sondern sie bewirken dies erst zusammen mit den Vektoren, auf die sie wirken.

Dieses Konstrukt hat NICHTS mit einem Vektorraum zu tun, in dem sich Objekte bewegen. Versuche bitte, dir nichts unter diesem Hilbertraum vorzustellen, es verwirrt dich nur. Nimm einfach hin, dass man das braucht, und versuche dann zu verstehen, wie man daraus wieder Physik hervorzaubert.

Ein Beispiel: betrachten wir ein Quantenobjekt mit konstanten Impuls p; dieser sei außerdem diskret (Teilchen im Kastenpotential, vgl. eine eingespannte Saite mit diskreten Schwingungen). Klassisch beschreibt man das Teilchen durch
...

Noch verwirrender wird es, wenn ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten vorliegt. Dann sind die Basisvektoren des Hilbertraums nicht einmal mehr abzählbar und die physikalischen Zustände ergeben sich nicht mehr über Linearkombinationen (Summen) der Basisvektoren sondern über Integrale, z.B. Fourier-Integrale für ebene Wellen als Basis.

[breaker]

Natürlich kommen in der klassischen Mechanik auch an der ein oder anderen Stelle Hilberträume und Operatoren vor, aber diese Größen werden anders interpretiert.

wo denn?

Zum Beispiel mit Operatoren aus der Galileigruppe und dem kanonischen Skalarprodukt.
Ein Hilbertraum kann sehrwohl endlichdimensional sein.

[tomS]

Noch verwirrender wird es, wenn ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten vorliegt. Dann sind die Basisvektoren des Hilbertraums nicht einmal mehr abzählbar und die physikalischen Zustände ergeben sich nicht mehr über Linearkombinationen (Summen) der Basisvektoren sondern über Integrale, z.B. Fourier-Integrale für ebene Wellen als Basis.

Und es wird noch verwirrender, denn in diesem Fall muss man statt eines Hilbertraumes ein sogenanntes Gelfand-Triple verwenden.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

Allerdings sind die dabe auftretenden Hilbertraume wiederum separabel, und damit steht grundsätzlich wieder eine abzählbare Basis zur Verfügung, auch wenn diese keine direkte physikalische Bedeutung haben muss.

[seeker]

Ein Hilbertraum ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum.

Na ja, in Wiki stand, dass ein Hilbertraum mit endlicher Dimension ein euklidischer Raum ist. Es gibt wohl also auch solche Hilberträume.
Aber gut, ich merke mir einfach, dass wir in der QM die Sorte mit der unendlichen Dimensionszahl brauchen, in der klassischen Sicht könnte man dann evtl. analog Vektorräume mit endlicher Dimensionszahl benutzen, wenn man möchte.

Nimm einfach hin, dass man das braucht, und versuche dann zu verstehen, wie man daraus wieder Physik hervorzaubert.

Im Moment ist das für mich tatsächlich noch ein wenig wie das Kaninchen aus dem Hut, aber vielleicht wird's noch besser...

Versuche bitte, dir nichts unter diesem Hilbertraum vorzustellen, es verwirrt dich nur.

So funktioniert mein Gehirn leider nicht. Bei manchen Leuten mag das anders sein, aber mein Gehirn arbeitet stark optisch.
D.h. um etwas zu 'verstehen' muss ich mir irgendwie geartete Bilder zaubern, egal wie abstrakt das Thema ist (und ich bekomme das auch meistens irgendwie hin, auch wenn's nicht-optische Leute nicht glauben mögen). Das kann ein Patchwork aus vielen Bildern sein, eine Eselsbrücke, an der ich mich entlanghangle und wo ich mir bei jeder Sprosse dazumerke, wo das Bild falsch ist und wo richtig. Verzichte ich darauf, so beraube ich mich um gefühlte 80% meines Denkvermögens.

Man kann wie mancher Student auch nur lernen, wie man Dinge rechnet und so Klausuren besteht, ohne richtig zu verstehen, was man da eigentlich tut.
Das möchte ich nicht. Was ich da gerade versuche ist das Umgekehrte: Den Sinn verstehen ohne wirklich rechnen zu können.
Es kann gut sein, dass ich demnächst frage, was an Mathe-Rüstzeug ich wiederholen bzw. dazulernen bzw. üben muss um da wirklich besser durchsteigen zu können.

Ich will den Sinn verstehen, auf meine Art. Ich sehe schon Parallelen zwischen klassischer Beschreibung und QM-Beschreibung. Die Poisson-Klammer sieht z.B. ein wenig wie ein Kommutator aus.
Ich würde gerne verstehen warum man unendlich viele Dimensionen benötigt und warum man überhaupt die Dimensionszahl so stark erhöht und was dabei mit den Objekten in diesem Raum passiert.
Bei den Kommutatoren habe ich zwar verstanden wie das geht, was sie sind, nicht aber warum man das tut, sie verwendet.
Zu den Operatoren: Sie sind Zuordnungsvorschriften, die einen Vektor in einen anderen Vektor überführen.
D.h. doch, dass ich "Operatoren" (in diesem Sinne) auch in klassischen Rechnungen/Vektorräumen benutzen kann - oder?
Oder ist das delta x und delta p quasi der "Operator" der klassischen Rechnungen?

Zu den Dimensionen im Hilbertraum:
Wenn man etwas unendlich macht und seien es Dimensionen, dann geht i.d.R. etwas verloren, wird uneindeutig, nebelig, unbestimmt.
Ein Objekt in einem unendlich-dimensionalen Raum sollte quasi unendlich viele Eigenschaften haben - zum Preis der Eindeutigkeit.
Vielleicht geht es in diese Richtung, vielleicht auch nicht - mal abwarten.

Ein Vektor im Hilbertraum legt den Zustand des Systems fest. Die moeglichen Messerte der Observablen sind die Eigenwerte der Operatoren .
[/i]

(Eigenwerte sind Zahlen , fuer die gilt.)

Verstehe ich das richtig: Zahlen? Plural? D.h. ein Operator hat viele Eigenwerte?

Grüße
seeker

[tomS]

Zur Vorstellung: stell dir meinetwegen vor, dass ein Zeiger irgendeine komplizierte Schleife auf eine (hochdimensionale) Einheitskugel malt. Der Zeiger ist der Quantenzustand, die Schleife entspricht der Zeitentwicklung, die Einheitskugel entspricht der Einheitskugel im Hilbertraum. Stell dir aber bitte nicht vor, dass es ein Teilchen ist, das sich da bewegt!

Zu den Dimensionen im Hilbertraum ...

Hatte ich oben ziemlich exakt beschrieben: http://abenteuer-universum.de/bb/viewto ... =75#p33396

Für ein bestimmtes System sind Schwingungen (einer 1-dim. Saite, einer 2-dim. Membran, ...) erlaubt. Diese Schwingungen müssen wie in einer Fourierreihe üblagert werden. Die einzelnen elementaren Schwingungsmuster (Sinus und Cosinus o. komplexe e-Funktion, i.A. komplizierte Funktionen) spielen die Rolle der Einheitsvektoren, die Fourierkoeffizienten spielen die Rolle der Koordinaten bezogen auf diese Einheitsvektoren

Bsp. 3-dim. Raum: r = x e[down]x[/down] + y e[down]y[/down] + z e[down]z[/down]

Bsp. Fourierreihe: f(x) = f[down]0[/down] + f[down]1[/down] exp(ix) + f[down]2[/down] exp(2ix) + ... + f[down]k[/down] exp(ikx) + ...

Die e-Funktionen definieren die Basis, die Koeffizienten die Koordinaten bezogen auf diese Basis. Zeitentwicklung des Systems entspräche einer Zeitabhängigkeit der Koeffizienten f[down]k[/down](t). Im Beispiel des Teilchens im Kasten entsprechen die Indizes k den möglichen Impulsen (Oberschwingungen), ein definierter Impuls k liegt vor, wenn alle außer einem Koeffizienten f[down]k[/down] Null sind.

[Fuzzlix]

Zur Vorstellung: stell dir meinetwegen vor, dass ein Zeiger irgendeine komplizierte Schleife auf eine (hochdimensionale) Einheitskugel malt. Der Zeiger ist der Quantenzustand, die Schleife entspricht der Zeitentwicklung, die Einheitskugel entspricht der Einheitskugel im Hilbertraum. Stell dir aber bitte nicht vor, dass es ein Teilchen ist, das sich da bewegt!

Verstehe ich dass richtig, dass in Deinem Beispiel die Zeitskala ein (krummer) Kreis ist?
Dann würde dieses Modell also eine Oszilation beschreiben?
Wie modellierst Du den (kontinuierlichen) Zeitverlauf vom Anfang/Urknall bis viel-viel-später?

Fuzzlix.

[breaker]

Aber gut, ich merke mir einfach, dass wir in der QM die Sorte mit der unendlichen Dimensionszahl brauchen...

Nochmal: Es ist nicht richtig, dass man in der QM zwangsläufig nur unendlichdimensionale Hilberträume braucht!
Ein Zwei-Niveau-System kann man mit dem Raum beschreiben; dessen Dimension ist 2. Es ist nur so, dass in allgemeineren Situationen oft unendlichdimensionale Räume vorkommen, aber es ist kein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik, dass der Hilbertraum unendlichdimensional sein muss. Es hängt vom betrachteten physikalischen System ab.

Verstehe ich das richtig: Zahlen? Plural? D.h. ein Operator hat viele Eigenwerte?

Ja, ein Operator kann viele Eigenwerte haben. Beispiel: Nimm die Matrix

Die Eigenwerte dieser Matrix sind 1 und 2, denn es gibt Vektoren sodass und . Man kann zum Beispiel
und
nehmen, denn es gilt

und

[tomS]

Zur Vorstellung: stell dir meinetwegen vor, dass ein Zeiger irgendeine komplizierte Schleife auf eine (hochdimensionale) Einheitskugel malt. Der Zeiger ist der Quantenzustand, die Schleife entspricht der Zeitentwicklung, die Einheitskugel entspricht der Einheitskugel im Hilbertraum. Stell dir aber bitte nicht vor, dass es ein Teilchen ist, das sich da bewegt!

Verstehe ich dass richtig, dass in Deinem Beispiel die Zeitskala ein (krummer) Kreis ist?
Dann würde dieses Modell also eine Oszilation beschreiben?
Wie modellierst Du den (kontinuierlichen) Zeitverlauf vom Anfang/Urknall bis viel-viel-später?

Stell dir zunächst eine Zeiger vor, der auf die Oberfläche ein 3-dim. Einheitskugel eine beliebige Kurve zeichnet. Nun machst du das ganze auf der Oberfläche einer n-dim. Kugel. Zuletzt lässt du n gegen unendlich gehen. Damit hast du eine Zeitentwicklung eines Zeigers (Einheitsvektors) auf der Oberfläche einer unendlich-dimensionalen Einheitskugel. Der Zeiger kann die Kurve mal schneller oder langsamer durchlaufen, d.h. Punkte mit gleichem zeitlichen Abstand sind nicht unbedingt äquidistant auf der Kugeloberfläche. Zu jedem Zeitpunkt wird die Position des Zeigers durch n Koordinaten beschrieben.

Ein Quantenzustand (zu einem bestimmten Zeitpunkt) ist nun gerade so ein Zeiger. Die Zeitentwicklung des Quantenzustandes entspricht der Kurve.

Eine Bedeutung erhält der Quantenzustand, indem du die Koordinaten des Zeigers bzgl. verschiedener Koordinatensysteme betrachtest (davon gibt es unendlich viele verschiedene, die einfach durch Drehungen um den Ursprung auseinander hervorgehen). In einem Koordinatensystem bedeuten die Koordinaten z.B. die Fourierkomponenten der o.g. Fourierreihe und damit z.B. die Impulse. Wenn dein Zeiger konstant genau in die Richtung k=7 zeigt, d.h. alle anderen Komponenten exakt Null sind, dann liegt ein Eigenzustand zum Impuls p ~ k = 7 vor.

Das kannst du jedoch auch für andere Basissysteme durchführen; diese sind alle gleichberechtigt, d.h. die Koordinaten und die Basissysteme sind sekundär; fundamental ist nur die Kurve, die der Zeiger durchläuft. Auch die Wellenfunktion als Funktion der Ortskoordinate erhält man auis einer speziellen Basis. Die Wellenfunktion fasst dann die "Koordinaten" bzgl. dieser Basis zusammen (verkompliziert wird das ganze dadurch, dass man nun sogar noch mit einer kontinuierlichen Basis arbeiten muss).

Der Zeitverlauf entspricht dabei wie gesagt einer praktisch beliebigen Kurve. Stell dir einen Zeiger mit Zeigerposition für t=0 vor. Nun rotierst du diesen Zeiger mit Rotationsmatrizen. Da du einen unendlich-dimensionalen Zeiger hast, ist auch die Rotationsmatrix unendlich-dimensional. In der QM bezeichnet man diese formal mit U(t). Man kann sie darstellen mittels des Hamiltonoperators H (den du dir ebenfalls wieder als unendlich-dimensionale Matrix vorstellst). U berechnet sich dann gemäß

U(t) = e[up]-iHt[/up]

Wenn du diese Rotation an einem beliebigen, für t=0 fest vorgegebenen Zeiger durchführst, dann löst die Bewegung des Zeigers (die Linie) automatisch die Schrödingergleichung, die mittels H definiert ist. Die Zeitentwicklung eines Quantenzustandes wird also durch die Wahl des Zustandes für t=0 sowie durch die von H generierte Zeitentwicklung U(t) bestimmt.

Stell dir ein Teilchen in einem Kastenpotential vor. Du kannst eine bestimmte Oberschwingung anregen wie für eine fest eingespannte Saite, z.B. k=7. Die Wellenfunktion wäre dann eine entsprechende Sinusfunktion u(x) = sin(kx); Genauer u(x) = exp(ikx), denn nur u(x) mit |u(x)|² = 1 sind zulässig. Der Zustand wäre ein Eigenzustand zum Impuls p ~ k = 7. Du kannst abedr auch ein komplizierteres Muster, also mehrere sich überlagernde Eigenschwingungen mit verschiedenen Amplituden anregen. Das ist nun dein Zustand für t=0.

Wie sich die Wellenfunktion dann als Funktion der Zeit entwickelt bestimmt dein Hamiltonoperator. Z.B. könnte das Kastenpotential noch deformiert sein, oder es könnte noch ein Magnetfeld herrschern o.ä.

[seeker]

Ich lese mir das alles was geschrieben wurde noch ein paarmal durch und melde mich dann noch dazu.
Derweil können wir aber auch gerne weitermachen und 'in den Kasten springen'.

Manches ist noch etwas verwirrend.
Ihr müsst verstehen, welche Strategie ich hier habe, wenigstens den Kern einigermaßen zu verstehen (wir können hier in aller Kürze ja nicht den normalen Zugang herstellen, den ein Physikstudent im Rahmen eines aufwendigen Studiums haben kann):

Ich versuche die Gleichungen und die mathematischen Schritte, die man macht, soweit mir möglich ist zu verstehen.
Dann suche ich Bilder/Schaubilder, die zu den Gleichungen/Schritten zumindest halbwegs passen - vorwiegend als Eselsbrücke.
Dann suche ich Analogien (+ entsprechende Bilder), zu Dingen, die ich schon kenne, die die auftauchenden Begriffe greifbarer machen sollen.

Deshalb auch meine Nebenfragen, zu den Dimensionen des Hilbertraums und wozu er außerhalb der QM gut ist, zu dem rotierenden Vektor auf der Einheitskugel und ob dieser in gewisser Weise analog zum Einheitskreis und einer Welle gesehen werden kann (Projektionen!, die Antwort auf diese Frage weiß ich noch nicht. Ist das so?), etc.
Ich versuche zu erfragen, was die hier auftauchenden Begriffe in anderen Bereichen bedeuten (können), um sie für mich 'griffiger' zu machen.

Zur Vorstellung: stell dir meinetwegen vor, dass ein Zeiger irgendeine komplizierte Schleife auf eine (hochdimensionale) Einheitskugel malt. Der Zeiger ist der Quantenzustand, die Schleife entspricht der Zeitentwicklung, die Einheitskugel entspricht der Einheitskugel im Hilbertraum. Stell dir aber bitte nicht vor, dass es ein Teilchen ist, das sich da bewegt!

So mache ich es. Das geht.
Der Zeiger stellt einen Zustand dar. Aus der Bewegung des Zeigers (der dabei eine Schleife malt) ergibt sich die zeitl. Entwicklung.


Noch zum Sinn und der Konstruktion des Konzepts 'Hilbertraum':
Wieso diese Dimensionsinflation? Woher kommt der Charme dieser Darstellung?

Ich habe dazu noch folgende Vorstellung im Hinterkopf (zunächst mal völlig unabhängig von der QM):

Ich nehme ein 1-dimensionales System mit 2 punktförmigen Objekten drin. Diese sollen einen Ort und einen Impuls haben.
Ich betrachte nur den Ort:
P1 sei an der Stelle x[down]1[/down] = 3, P2 sei an der Stelle x[down]2[/down] = 5

Nun kann ich diese zwei Punkte in einem Schaubild darstellen. Ich male eine x-Achse (also ein 1-dim. KS) und trage die beiden Punkte 3 und 5 darauf ein.

Wenn ich aber nur einen Punkt malen möchte (also die Punkte zusammenfassen und so das Gesamtsystem auf einmal betrachten), dann kann ich auch zwei Achsen verwenden, eine x1-Achse und eine x2-Achse.
In dieses 2-dimensionale Koordinatensystem trage ich den Punkt P an der Stelle (3;5) ein, der dann stellvertretend für die beiden Punkte P1 und P2 dasselbe aussagt.

Ist das soweit richtig?

Grüße
seeker

[tomS]

Alles soweit richtig.

Zu den Dimensionen der Darstellung.

1. klassisch im Phasenraum
Wir haben n Teilchen in einem eindimensionalen Modell.
Diese haben n Orte x1,x2,...,xn sowie n Impulse p1,p2,...,pn.
Zusammen ergibt das einen 2n-dim. Phasenraum mit Koordinaten (x1,p1,x2,p2,...,xn,pn).
Die Dynamik des Systems der n Teilchen wird durch eine Kurve in diesem Phasenraum dargestellt.
Im einfachen Fall eines Teilchens haben wir den 2-dim. Phasenraum mit Koordinaten (x,p).
Für ein sehr einfaches System mit einem Potential V(x) reduzieren sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (siehe das PDF!) auf.

dx/dt = p/m
dp/dt = -V'(x) = F(x)

Hoffe, das ist soweit klar.

2. quantenmechanisch im Hilbertraum
Hier starte ich gleich mit dem einfachen System eines einzigen Teilchens.
Zunächst wissen wir, dass wir nicht x und p gleichzeitig scharf definieren können (Unschärfenrelation).
Daraus folgt, dass die maximal mögliche Information eines Zustandes mittels p alleine d.h. ohne x kodiert werden kann (warum sehen wir später).
Am Beispiel eines Teilchens in einem eindimensionalen Kasten - was einer eingespannten Saite entspricht - sehen wir, dass als erlaubte Impulseigenzustände nur diskrete Werte p = k/L möglich sind (k ist eine ganze Zahl).
Dies folgt einfach aus den Randbedingungen bei x=0 und x=L wo die Saite ei gespannt ist.
Die ganzen Zahlen k entsprechen den Oberschwingungen.
Für eine Wellenfunktion führen wir eine Fourierzerlegung durch und finden als allgemeinste erlaubte Funktion eine Summe aus den durch k nummerierten Oberschwingungen, also exp(ikx).

f(x) = f[down]0[/down] + f[down]1[/down] exp(ix) + f[down]2[/down] exp(2ix) + ... + f[down]k[/down] exp(ikx) + ...

An dieser Stelle musst du dir selber darüber klar sein, dass du die Methode der Fourierzerlegung einer beliebigen Schwingungsform f(x) in elementare Schwingungen exp(ikx) verstehst!!

Ich betrachte die Komponenten (f[down]0[/down], f[down]1[/down], f[down]2[/down], ..., f[down]k[/down], ...) und bezeichne diese als "Koordinatenvektor", d.h. jede Komponente f[down]k[/down] der allgemeinen Schwingung f(x) bezogen auf eine elementare Schwingung exp(ikx) repräsentiert eine "Koordinate". Ich kann jede Koordinate in meiner Fourierzerlegung eindeutig berechnen, ich kann die Funktionen sozusagen komponentenweise addieren, ich kann auch ein Norm und ein Skalarprodukt definieren, also alles, was ich in eine gewöhnlichen Vektorraum auch habe.

Die Basis des Vektorraumes wird in diesem speziellen Fall durch die Funktionen {1, exp(ix), exp(2ix), ..., exp(ikx), ...} gebildet.

Da ich aber Wellenfunktionen habe (bzw. allgemein Zustände) und diese nach Fourierkomponenten zerlege (bzw. allgemein nach einer Vektorraumbasis), benötige ich zur Beschreibung eben unendlich viele Koordinaten. Und daher resultiert der Hilbertraum mit seinen unendlich vielen Dimensionen.

[deltaxp]

sehr schöne beschreibung. vielleicht hilft das auch noch zur "dimensons-inflatuion" (falls diese interpretation falsch ist, bitte korrigieren).

ein quantenmechanisches teilchen ist kein klassisches teilchen, welches wir in unser welt mit den 6 kooridinaten des phasenraumes (3x ort, 3x impuls) beschreiben können. es ist i.a. ein wellenpaket. ein wellenpakeet hat sicher einen mittleren impuls (Gruppengeschwindigkeit) und einen mittleren ort (den man klassisch als phasenraumkoordinaten verwendet) aber du kannst nicht sagen, dass ein wellenpaket DEN ort und DEN impuls hat, es ist über viele orte verschmiert und besteht aus vielen grundwellen, die alle ihre eigenen impulse (phasengeschwindigkeiten) haben. kurz, es ist ein sammelsurium aus unendlich vielen orten oder impulsen (eine welle mit einem impuls ist eine ebene welle, die unendlich über den gesamten raum ausgedehn ist). also brauchst du schlichtweg unendlich viele koordinaten und das wellensammelsurium darzustellen. und es stellt sich heraus, dass man diese kordinaten frei wählen kann (ort (psi(x,t) oder impuls (psi(k,t)) oder vielleicht was ganz anderes. es beschreibt dasselbe object, nämlich den Zustand dessen, was wir landläufig als teilchen bezeichnen (weil wir richtig schön klassisch erzogen wurden^^), aber du brauchst i.a. eben unendlich viele davon.

was man noch weiss durch erfahrung, wenn über den kram über den gesamten raum (oder impulsraum) aufsummiert bleibt es halt ein teilchen (und nicht 0.8 teilchen oder 1.2 ) egal in welchem feld unter welchem potential es sich befindet (kurz gesagt, die gesamtwkt dass es da ist bleibt 1) solange wir nicht relativistisch sind. also brauchst du ein raum mit unendlich vielen koordinaten und einer norm darin, so dass man aussagen kann, gesamtwkt ist 1, also die norm erhalten bleibt. und genau das ist der hilbertraum: ein vollständig normierter raum mit unendlichen vielen dimensionen. und das quantemechanische teilchen können wir also durch i.a. unendlich viele koordinaten in diesem raum darstellen, ein vektor. oder besser: zustandsvektor. das ist der zeiger. zeiger sagt man deshalb gerne, weil wenn sich ein zeiger bewegt, bleibt die länge des zeigers konstant (also auf den alten analogen uhren oder voltmetern und so, eben was man anfang des 20sten jahrhunderts so hatte) und da die wkt konstant bleibt) und genau dass macht ein quantenmechanisches teilchen auch, egal was man damit einstellt, es bleibt ein teilchen, bleibt bei zeitlicher veränderung die länge des zeigers immer konstant.

was sind das für transformationen die die eine vektorlänge konstant lassen, sozusagen nur seine richtung verändern: drehungen. nur halt hier im unendlich dimensionalen raum. also bechreibt die zeitliche entwicklung des zeigers auf der oberfläche einer unendlich dimensionalen kugel. und die zeitliche entwicklung kann man durch einen operator beschreiben dass ist (und der muss eben unitär sein, damit die norm erhalten bleibt: U*U=1)

wichtig ist vielleicht noch zu erwähnen: um sicher zu sein, dass die länge des zeigers endlich ist muessen in einem unendlichdimensionalen raum natürlich die die beträge der koordinaten in den hohen diemensionen immer kleiner werten so dass die die summer über sie endlich (und auf 1 noriert ist).

(wenn du relativistisch wirst, brauch man was dickeres, was teilchen erzeugung und vernichtung zulässt, schliesslich werden ja paare erzeugt und vernichtet und photonen abgestrahlt und so, jedes von diesen diesen dingern schleppt seinen eigenen hilbertraum mit sich rum. du brauchst also einen raum, der 1 teilchen-system, 2 teilchen-system, 3 teilchen-system .... unendlich viele teilchen-systeme beschreiben kann, dass ist dann der Fock-raum: F=H+H*H+H*H*H+...)

[breaker]

Ich hab noch ein kuezes, einfaches Argument, warum man unendlich viele Dimensionen braucht, wenn man ein Teilchen im Raum beschreiben will:
Observablen sind Eigenwerte von Operatoren. Insbesondere der Ort eines Teilchens ist also immer irgendein Eigenwert des Ortsoperators. Weil es aber unendlich viele moegliche Orte fuer das Teilchen gibt, die bei einer Messung herauskommen koennen, muss der Operator unendlich viele Eigenwerte haben. Das geht aber nur in einem unendlichdimensionalen Raum.
(Die Anzahl der Eigenwerte eines Operators ist immer kleiner oder gleich der Dimension des Raumes.)

[seeker]

Danke! Ich denke das hilft weiter.

Phasenraum ist im Prinzip klar.
Das Prinzip der Fourierzerlegung auch: Man kann ein beliebiges, periodisches Signal (z.B. ein Rechtecksignal) in eine Reihe von Sinus/Cosinusschwingungen zerlegen.

Was mich etwas verwirrt ist, dass wir mal im Kasten sind und mal nicht. Breaker war eigentlich noch nicht so weit.

Am Beispiel eines Teilchens in einem eindimensionalen Kasten - was einer eingespannten Saite entspricht - sehen wir, dass als erlaubte Impulseigenzustände nur diskrete Werte p = k/L möglich sind (k ist eine ganze Zahl).
Dies folgt einfach aus den Randbedingungen bei x=0 und x=L wo die Saite ei gespannt ist.

Das ist aber soweit klar: Im Kasten können nur Schwingungen existieren, die ihre Knoten an den Kastenwänden haben. Daraus ergeben sich die erlaubten Wellenlängen im Kasten.

Die Basis des Vektorraumes wird in diesem speziellen Fall durch die Funktionen {1, exp(ix), exp(2ix), ..., exp(ikx), ...} gebildet.

... woraus sich dann auch die Dimensionen/Koordinatenachsen ergeben, für die Grundschwingung eine und für jede mögliche Oberschwingung eine, unendlich viele.

Nebenfragen:
Ich könnte im Prinzip ja auch statt einen Vektor in einen unendlich-dimensionalen Vektorraum einzuzeichnen auch unendlich viele Vektoren in einen endlich-dimensionalen Vektorraum einzeichnen. Das sollte äquivalent sein. Die Hilbertraumdarstellung ist also quasi eine Zusammenfassung von unendlich vielen Zeigern zu einem einzigen? Ja?

Und:
Wenn nur die 1. Schwingung existieren würde, dann würden sich die notwendigen Dimensionen zur Darstellung auf 1 (für x) reduzieren?
Wie ist das dann, wenn ich nicht im Kasten wäre und ich einen Sinus vorliegen hätte?
Siehe auch unten zu deltaxp: Ich vermute ein einzelner Sinus ist nicht möglich. Ist das so?

Frage:
Ist die Wellenfunktion dann eine Projektion der Bewegung des Vektors im Hilbertraum, so ähnlich, wie ein Sinus eine Projektion eines rotierenden Vektors im Einheitskreis ist?

ein quantenmechanisches teilchen ist kein klassisches teilchen, welches wir in unser welt mit den 6 kooridinaten des phasenraumes (3x ort, 3x impuls) beschreiben können. es ist i.a. ein wellenpaket. ein wellenpakeet hat sicher einen mittleren impuls (Gruppengeschwindigkeit) und einen mittleren ort (den man klassisch als phasenraumkoordinaten verwendet) aber du kannst nicht sagen, dass ein wellenpaket DEN ort und DEN impuls hat, es ist über viele orte verschmiert und besteht aus vielen grundwellen, die alle ihre eigenen impulse (phasengeschwindigkeiten) haben.

...und deshalb ist ein Teilchen immer ein Wellenpaket, also eine Überlagerung aus unendlich vielen verschiedenen Wellenlängen; denn entspräche es nur einer Welle, mit genau einer Wellenlänge, dann wäre sein Impuls völlig scharf, was wegen der Unschärferelation ausgeschlossen ist?

...weil wenn sich ein zeiger bewegt, bleibt die länge des zeigers konstant

Hatte ich schon so gedacht, ist aber wichtig es nochmals zu sagen. Daher die Normierung.

wichtig ist vielleicht noch zu erwähnen: um sicher zu sein, dass die länge des zeigers endlich ist muessen in einem unendlichdimensionalen raum natürlich die die beträge der koordinaten in den hohen diemensionen immer kleiner werten so dass die die summer über sie endlich (und auf 1 noriert ist).

D.h. wenn ich den Zeiger im Hilbertraum in einer anderen Darstellung in viele Zeiger zerlegen würde, dann würden die hochdimensionalen Zeiger immer kürzer werden.
Die Summe aller Zeiger müsste exakt 1 ergeben.
Außerdem muss in der Hilbertraumdarstellung sichergestellt sein, dass das auch so (zu 1) konvergiert?

was sind das für transformationen die die eine vektorlänge konstant lassen, sozusagen nur seine richtung verändern: drehungen

Warum nicht auch Translationen?

und die zeitliche entwicklung kann man durch einen operator beschreiben dass ist (und der muss eben unitär sein, damit die norm erhalten bleibt: U*U=1)

Heißt das, dass die Länge des Zeigers sozusagen die Anzahl der betrachteten Objekte darstellt - und die muss bei einem betrachteten Objekt, das auch genau eine Objekt bleibt eben immer 1 sein? Vielleicht sollte man auch sagen, dass die Länge des Zeigers die Wahrscheinlichkeit darstellt ein Objekt zu finden - und die muss 100% = 1 sein?

Der Operator sagt uns, wie sich der Zeiger bewegt. Das Problem dabei ist, dass das Kommutativgesetz nicht erfüllt ist, wenn ich zwei Operatoren hintereinander ausführe.
Daher brauche ich die Kommutatoren, die mir die Abweichung vom kommutieren angeben.

@breaker:
Ab da versteh ich's noch nicht ganz:

Nun sind wir endlich in der Lage zu sagen, was "Quantisierung" bedeutet.
Ein physikalisches System zu quantisieren bedeutet, einen (geeigneten) Hilbertraum zu finden und allen klassischen Observablen Operatoren auf diesem Hilbertraum zuzuordnen, sodass fuer je zwei Observablen gilt:

.

D.h. grob gesagt macht man aus Poissonklammern Kommutatoren. Beispielsweise muss man also fuer und Operatoren finden, sodass



(da {x,p}=1 war).

Wo ist der Kommutator? ?

Was passiert da? Muss ich die Operatoren mit den Kommutatoren verrechnen, damit das Kommutativgesetz quasi erfüllt wird? Darf ich das?
Was, wenn ich das Kommutativgesetz ignoriere? Wenn ich meinen Zeiger mit nur einem Operator bewege, ist das dann nicht egal?

Observablen sind Eigenwerte von Operatoren. Insbesondere der Ort eines Teilchens ist also immer irgendein Eigenwert des Ortsoperators.

Komprimierte Information.
Ich versuche das auf Deutsch zu verstehen:

Messgrößen sind Streckungsfaktoren eines Vektors (dessen Richtung durch eine Abbildung unverändert bleibt) bei einer Abbildung im Hilbertraum, der für jede mögliche Wellenlänge Dimensionen (z.B. zwei? Eine für Ort und eine für Impuls?) bereitstellt...?

Insbesondere der Ort eines Teilchens ist also immer eine Streckung bei einer Abbildung eines Vektors?
Nun muss aber der Einheitsvektor im Hilbertraum immer gleich lang bleiben.

Bin verwirrt. Ist ein Operator nun eine Abbildungsvorschrift oder ein Vektor? Wie kann eine Abbildungsvorschrift gestreckt werden?


Grüße
seeker

[deltaxp]

Wenn nur die 1. Schwingung existieren würde, dann würden sich die notwendigen Dimensionen zur Darstellung auf 1 (für x) reduzieren?
Wie ist das dann, wenn ich nicht im Kasten wäre und ich einen Sinus vorliegen hätte?
Siehe auch unten zu deltaxp: Ich vermute ein einzelner Sinus ist nicht möglich. Ist das so?

in der praxis nicht wirklich, aber in der qm rechnet man auch mit ebenen wellen als anfangszustand. dass widerspricht aber nicht oben genannten.
wenn du das teilchen in der ortsbasis dardsstellen willst brauchst du unendlich viele koordinaten. durch eine geschickte basiswahl, in diesem fall der impulsraum (die fouriertrafo ist nichts weiter als eine drehung im hilbertraum) bleibt halt nur eine koordinate üblich. in ner diskreten basis wäre das also
sowas wie zb in eine kontinuierlichen sozusagen .

dh. auch wenn du ne ebene welle betrachtest ist das nicht ein ein 1d-objekt. das ist ähnlich wie mit einem vektor im 3d raum. wenn du eine basis wählst, dessen x-achse in dem moment genau in richtung des vekors zeigt, dann hat der bezüglich dieser basis die koordinaten (100) aber in einer anderen basis dann (x,y,z), aber es gilt. ausserdem geht das nicht nur darum, eine spezielle basis zu wählen, sondern du willst de dynamik beschreiben. also wass ist wenn deine ebeben eingangselektronenwelle annem doppelspalt streut, oder annem nem elektrischen potential. dann wars das mit der ebenen welle, aber die gesamtwkt, dass elektron hinterher zu finden bleibt 1. die koordinaten ändern sich also, aber so dass die gesamtwkt 1 bleibt.
und du wirst du ganz schnell feststellen, dass dir die eine anfängliche koordinate NICHT ausreicht. es geht nicht nur um die betrachtung einer speziellen lösung, bzw zustandes zum zeitpunkt t=t0, sondern um die erfassung aller möglichen lösungen zu anderen zeitpunkten. in der ortsdarstellung eben alle lösungen der schrödingergleichung. dein raum muss gross genug dafür sein, und das liefert dir der hilbertraum.

Ist die Wellenfunktion dann eine Projektion der Bewegung des Vektors im Hilbertraum, so ähnlich, wie ein Sinus eine Projektion eines rotierenden Vektors im Einheitskreis ist?

projektion nicht (eine projektion erhält nicht i.a. die norm) sondern die wahl einer basis im hilbertraum.

[breaker]

Nebenfragen:
Ich könnte im Prinzip ja auch statt einen Vektor in einen unendlich-dimensionalen Vektorraum einzuzeichnen auch unendlich viele Vektoren in einen endlich-dimensionalen Vektorraum einzeichnen. Das sollte äquivalent sein. Die Hilbertraumdarstellung ist also quasi eine Zusammenfassung von unendlich vielen Zeigern zu einem einzigen? Ja?

Nein, das ist nicht aequivalent. Wenn man n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Raum nimmt, dann sind sie automatisch linear abhaengig. Man braucht aber (ggf.) unendlich viele linear unabhaengige Vektoren, um einen bestimmten Vektor in einem unendlichdimensionalen Raum darzustellen. Ein endlichdimensionaler Raum hat, wenn man so will, weniger Information zu bieten.

...und deshalb ist ein Teilchen immer ein Wellenpaket, also eine Überlagerung aus unendlich vielen verschiedenen Wellenlängen; denn entspräche es nur einer Welle, mit genau einer Wellenlänge, dann wäre sein Impuls völlig scharf, was wegen der Unschärferelation ausgeschlossen ist?

Das ist richtig.

Wo ist der Kommutator? ?

Ich bin nicht sicher, ob ich die Frage verstehe. Der Kommutator war definiert als [A,B]=AB-BA. Die Gleichung [x,p]=ih bedeutet also, dass

sein muss.
(man sollte dazu sagen, dass die rechte Seite dieser Gleichung eigentlich heissen sollte, d.h. rechts steht sozusagen die "Einheitsmatrix". Die 1 wird aber oft aus Faulheit weggelassen.)

Messgrößen sind Streckungsfaktoren eines Vektors (dessen Richtung durch eine Abbildung unverändert bleibt) bei einer Abbildung im Hilbertraum, der für jede mögliche Wellenlänge Dimensionen (z.B. zwei? Eine für Ort und eine für Impuls?) bereitstellt...?...

Ich denke, hier liegt auch ein Irrtum vor. Nicht jeder Operator laesst die Laenge eines Vektors unveraendert, sondern nur der Zeitentwicklungsoperator (also ). Die Operatoren duerfen die Laenge eines Vektors sehrwohl aendern.

Bin verwirrt. Ist ein Operator nun eine Abbildungsvorschrift oder ein Vektor? Wie kann eine Abbildungsvorschrift gestreckt werden?

Ein Operator ist kein Vektor sondern eine Abbildungsvorschrift. Der Operator wird nicht gestreckt.

Warum nicht auch Translationen?

Weil Translationen nicht linear sind. Warum man nur lineare Abbildungen zulässt, ist schwer zu erklären. Sie bilden einfach eine schönere mathematische Struktur.

[seeker]

Danke.
Bevor ich noch mehr dumme Fragen stelle, werde ich erstmal die nächsten Tage (soweit ich Zeit finde) nochmal alles durchgehen und lesen.

Grüße
seeker

[wilfried]

Guten tag zusammen

ich möchte zur Poisson Kammer eine kleine Anmerkung machen:

Im Grunde ist die Poisson Klammer (PK) eine abgeschlossene Algebra. Die PK besitzt eine endliche Anzahl an Elementen. Grund: sie stellt eine Linearkombination von bekannten Erhaltungsgrössen oder nur "einfachen" Zahlen dar.

Siehe: http://www.techniklexikon.net/d/poisson ... ammern.htm

Gruß

Wilfried

[seeker]

Wo ist der Kommutator? ?

Ich bin nicht sicher, ob ich die Frage verstehe. Der Kommutator war definiert als [A,B]=AB-BA. Die Gleichung [x,p]=ih bedeutet also, dass
sein muss.

(man sollte dazu sagen, dass die rechte Seite dieser Gleichung eigentlich heissen sollte, d.h. rechts steht sozusagen die "Einheitsmatrix". Die 1 wird aber oft aus Faulheit weggelassen.)

Ach, jetzt!
Ich hatte die Notation nicht richtig verstanden, war zu sehr auf die Operatoren fixiert.
A und B sind Operatoren, [A,B] ist der Kommutator. Operatoren lassen sich als Matrizen darstellen.
Ich darf nicht irgendwelche Operatoren nehmen, sondern nur solche, die die Kommutatorbedingung erfüllen.
Wobei das "= ih" für mich im Moment eine ad hoc-Einführung ist, die noch begründet werden sollte. Gilt nicht genau dann AB = BA, wenn AB - BA = 0 ?

Was ich mich noch frage: So eine Operator-Matrix in einem Hilbertraum... wie groß ist die?

Was mir auch noch nicht ganz klar ist, ist das "="-Zeichen in der Gleichung . Was bedeutet das? Ich erhalte viele (wie viele?) Werte für f und g in der Poisson-Klammer?
..wegen:

Verstehe ich das richtig: Zahlen? Plural? D.h. ein Operator hat viele Eigenwerte?

Ja, ein Operator kann viele Eigenwerte haben.

... Einen solchen Hilbertraum und geeignete Operatoren zu finden ist im Allgemeinen nicht ganz leicht und muss im Einzelfall untersucht werden. Wir werden einen solchen Raum fuer unser Anfangsbeispiel mit dem Teilchen in einer Box konkret angeben. Aber das kommt im naechsten Beitrag.

Können wir damit weitermachen? Vielleicht beantwortet sich dann auch manches von selbst.

Grüße
seeker

[breaker]

Ich darf nicht irgendwelche Operatoren nehmen, sondern nur solche, die die Kommutatorbedingung erfüllen.

Ja genau.

Wobei das "= ih" für mich im Moment eine ad hoc-Einführung ist, die noch begründet werden sollte.

Ja, sollte es.

Gilt nicht genau dann AB = BA, wenn AB - BA = 0 ?

Ja, das gilt genau dann.

Was ich mich noch frage: So eine Operator-Matrix in einem Hilbertraum... wie groß ist die?

Wenn der Raum endlichdimensional ist, ist die Anzahl der Zeilen und der Spalten gleich der Dimension des Vektorraumes (also auf hat man 2x2-Matrizen usw...). Bei unendlichdimensionalen Raeumen lassen sich die Operatoren nicht mehr durch Matrizen darstellen.

Was mir auch noch nicht ganz klar ist, ist das "="-Zeichen in der Gleichung . Was bedeutet das?

Mir faellt gerade auf, dass es ziemlich doof war, das als Gleichung hinzuschreiben. Die Gleichung kann natuerlich niemals gelten, weil auf der rechten Seite Operatoren stehen und auf der linken Seite nicht.
Richtiger waere folgendes:

Ein System zu quantisieren bedeutet, folgende Ersetzungen vorzunehmen:

fuer alle Observablen , sowie
,
sodass fuer Observablen folgendes gilt:

Wenn , dann gilt .


Man könnte das auch als schreiben. Diese Gleichung (mit dem Hut links) wäre richtig.

Können wir damit weitermachen? Vielleicht beantwortet sich dann auch manches von selbst.

Ich hab erst noch ein (einfacheres) Beispiel zur Quantisierung ins PDF geschrieben. Findet sich unten.

[tomS]

Bei unendlichdimensionalen Raeumen lassen sich die Operatoren nicht mehr durch Matrizen darstellen.

Doch, durch unendlich-dimensionale Matrizen auf dem l[down]2[/down]-Hilbertraum. Is' ein bisschen viel Schreibarbeit, geht aber prinzipiell.

[breaker]

Bei unendlichdimensionalen Raeumen lassen sich die Operatoren nicht mehr durch Matrizen darstellen.

Doch, durch unendlich-dimensionale Matrizen auf dem l[down]2[/down]-Hilbertraum. Is' ein bisschen viel Schreibarbeit, geht aber prinzipiell.

Ja, ist die Frage, was man "Matrix" nennt...

Anmerkung von gravi:
Unter folgendem Link ist breakers neues paper zu finden:

http://abenteuer-universum.de/bb/userfi ... aker_2.pdf

[gravi]

Hier findet ihr die "finale" Version von breakers Papier:

http://abenteuer-universum.de/bb/userfi ... aker_3.pdf

Viel Spaß beim Studium!

Gruß
gravi

[seeker]

Vielen Dank!
Sorry, falls der Eindruck entstanden ist, dass ich das Interesse verloren hätte aber ich war/bin echt beschäftigt und das hier fordert viel Muße, Zeit und Konzentration von mir.
Die Chance, die du breaker hier bietest etwas dazuzulernen möchte ich wahrnehmen und hier bald weitermachen, sobald ich dazu komme.

Nette Grüße
seeker

[breaker]

Du darfst dir natürlich soviel Zeit nehmen, wie du willst.
Ich hatte einfach in den letzten Tagen selbst die von Dir angesprochene Muße und hab da das PDF fertig geschrieben. Es enthält jetzt
1. weniger Typos,
2. einen Unterabschnitt, in dem Eigenwerte (sehr) kurz erklärt werden,
3. einen Abschnitt über die Quantisierung des Teilchens in der Box und deren Implikationen und
4. einen abschließenden Abschnitt, in dem noch etwas zur Motivation steht.