Das kann nicht sein. Verschiedene Zahlensysteme sind doch nur verschiedene Schreibweisen für dieselben Zahlen.Skeltek hat geschrieben:Es ist nicht dasselbe wie im Zehnersystem gezeigte.
Wandel doch mal dein Argument im Binärsystem ins Dezinalsystem um und schau was dabei herauskommt.
Das wäre natürlich , aber ich gehe jetzt nicht davon aus, dass wir beide schlauer sind als alle Mathematiker der letzten 100 Jahre...Skeltek hat geschrieben:Die Sache die mir gerade einfällt ist, ob man womöglich einen rekursiven Algorithmus erstellen kann, der jede Form von Cantors Widerspruchsbeweis systematisch zunichte macht ^^
Von daher kann es eigentlich nur darum gehen den Beweis genauer zu verstehen, was er eigentlich genau meint und aussagt.
Wie schon gesagt, der Knackpunkt (auch an deiner Argumentation) ist:
Ist z.B. 0,01111111... = 0,1 oder nicht?
Bei Cantor kann es nicht dasselbe sein. Das ist es, was du eigentlich gezeigt hast.
Was auch wichtig ist, ist dass du nur Zahlen annähern kannst, zu der du auch eine endliche Konstruktionsvorschrift erstellen kannst. Das sind allesamt abzählbare Zahlen.
0,1 kann man auch als Bruch schreiben. Das erscheint mir wichtig.
Wie willst du eine transzendente Zahl annähern, wenn du sie nicht konstruieren, also nicht kennen kannst?
Was ich aber immer noch glaube ist, dass das 2. Diagonalargument ein Zirkelschluss ist:
1. Jede Liste, auf der eine Diagonalzahl gebildet werden kann, ist abzählbar!
2. Auf jeder abzählbaren Liste kann eine Diagonalzahl gebildet werden!
Das ist ein Zirkel.
Man muss zunächst, unabhängig davon, ob die Diagonalzahl neue Zahlen liefert oder nicht, betrachten, ob sie überhaupt auf einer Liste gebildet werden kann.
Probier mal auf den reellen Zahlen eine Diagonalzahl zu bilden! Das geht nicht, WEIL diese Menge überabzählbar ist. Die Diagonalzahl selbst muss ja immer abzählbar bleiben!
Deshalb kann sie nur auf abzählbaren Listen überhaupt gebildet werden.
Also braucht schon der Anfang des Beweises "Ich bilde eine Diagonalzahl auf einer Liste" die Voraussetzung, dass diese Liste auch abzählbar ist und zeigt hernach durch das Bilden neuer Zahlen, dass das auch so ist, was vorausgesetzt wurde.
Ergo:
Cantors Argument ist eigentlich weniger ein Beweis, als vielmehr das offensichtlich machen dessen, was bei der axiomatischen Konstruktion der betrachteten Zahlenmenge schon implizit geschaffen wurde.
Grüße
seeker