Kann es eine nat. Zahl mit unendlich vielen Ziffern geben?

[Pippen]

Wenn man sich vorstellt, dass man einen 1m-langen-Stock immer um einen Meter verlängert, dann bleibt der Stock endlich, nach dem ersten Versuch ist er 2m, dann 3m usw. Da wir ihn aber unendlich oft verlängern würden, würde er doch - wenn wir uns einen Zeitpunkt in der Unendlichkeit der Verlängerungsschritte denken - ebenso unendlich lang sein. Analog müßte es nat. Zahlen geben, die unendlich viele Dezimalziffern haben, denn wir können unendlich viele konstruieren und damit bräuchten wir auch unendlich viele Ziffern für eine nat. Zahl "ganz weit hinten in der Unendlichkeit". Kann man beweisen, dass das nicht so ist?

[Skeltek]

Du kannst einen Stab natürlích unendlich oft um einen Meter verlängern. Nachdem du fertig bist mit Verlängern, ist er unendlich lang.
Unendlich oft verlängern ist gleichbedeutend mit niemals mit dem Verlängern aufhören.
Jede existente Zahl hat eine endliche Länge oder ein endlichen Verhältniss zu einer anderen existenten Strecke/Größe.

Es ist so ähnlich wie beim Universum: Das Universum ist nicht unendlich groß, sondern es wird sozusagen ununterbrochen unendlich groß(vermutlich schon seit unendlich langer Zeit vor dem Urknall); aber ich denke das wird zu phylosophisch.

Vergiss nicht, daß Zahlen eingeführt wurden, um das Verhältniss von zweierlei Größen zu vergleichen. Eine Zahl wie du sie beschreibst kann es nicht geben, und die Anfangsziffer ist vermutlich auch nicht wirklich sinnig im Dezimalsystem anzugeben.

Ein Objekt oder Strecke ohne jede Vergleichsmöglichkeit mit etwas anderem hat immer die Länge 1, es sei denn du vergleichst sie mit einer anderen Strecke, die ein Vielfaches davon ist.

Alle Dinge die existieren haben ein endliches Größenverhältniss zueinander. So ist es auch wirklich unsinnig von der "Existenz" des Universums selbst zu sprechen, da eigentlich nur sein Inhalt existiert. Jedes Volumen kann beliebig groß sein, ist aber letztlich doch endlich.

[seeker]

Jop. Kurz gesagt:
"Unendlich" ist kein Ding sondern ein Prozess, während "Zahlen" Dinge sind.
Deshalb ist es (edit: in diesem Kontext) sinnlos zu fragen, wie viele Ziffern das "Ding Unendlichkeit" hat, denn das "Ding" gibt es hier gar nicht.

Edit:
Ob etwas Ding oder Prozess ist hängt vom Kontext ab.
D.h.: Im Kontext der normalen Zahlen ist "Unendlich" ein Prozess, im Kontext der Kardinalszahlen ein Ding.

Grüße
seeker

[Pippen]

Eine Menge ist auch ein Ding und kann unendlich viele Elemente enthalten, warum soll eine nat. Zahl dann nicht unendlich viele Ziffern enthalten? So richtig leuchtet mir das nicht ein, insbesondere müßte man das doch beweisen können, oder?

Was wäre mit folgendem Widerlegungsversuch:

1. Wir nehmen an, es gäbe nat. Zahlen mit unendlich vielen Ziffern.
2. Wir wissen, dass es nat. Zahlen mit endlich vielen Ziffern gibt.
3. Dann müsste es also eine nat. Zahl x geben für die gilt: x hat unendlich viele Ziffern und x-1 hat endlich viele Ziffern.
4. Das kann aber nicht sein, denn durch Addition von 1 kann eine endliche Ziffernfolge nicht unendlich werden; sie wird dann nur "endlich+1", was immer noch endlich ist.
5. Daher kann es keine nat. Zahlen mit unendlich vielen Ziffern geben.

Oder wie beweist/widerlegt der Mathematiker meine o.g. These/Frage?

[Fuzzlix]

Die Frage sollte sein: Was ist praxisrelevant?
In der Praxis habe ich eine x-beliebige Zahl und diese Zahl ist immer endlich denn sie ist aus 1 (einer endlichen Zahl) und einer bestimmbaren Anzahl von Additionen von 1 (wie gesagt endlich) entstanden/darstellbar.

Edit: Es gibt natürlich Zahlen, die unendlich viele Ziffern haben. Das sind dann aber keine natürlichen Zahlen, sondern transzendente Zahlen und deren Ziffern stehen nach dem Komma und nicht vor dem Komma.

[Skeltek]

kleine Aufgabe an den Threadopener:
Versuche ein paar zufällige Zahlen zwischen Null und unendlich auszuwählen, und sie auf einer Strecke von 0 bis 1 aufzutragen(Dabei soll die 0 die 0 symbolisieren und die 1 auf der Strecke die Zahl unendlich).

[Pippen]

Wenn x unendlich ist, dann ist x-1 auch unendlich.

gruß
positive

Der Punkt ist: Wenn wir davon ausgehen, dass es nat. Zahlen mit unendlich vielen Ziffern gibt, dann muss es eine "erste" nat. Zahl x mit unendlich vielen Ziffern geben, deren Vorgänger x-1 endlich sein müsste. Es läßt sich beweisen, dass das nicht geht bzw. widersprüchlich wäre. Ansonsten wüßte ich nicht, wie man sauber beweisen kann, dass keine nat. Zahl unendlich viele Ziffern haben kann.

[Pippen]

Du kannst ja sagen, dass unendlich keine Zahl ist und deshalb keine Zahl unendlich lang sein kann. Oder so.

gruß
positive

Sowas steht nicht in den Axiomen. Man muss aber zeigen, dass sich das aus den Axiomen ergibt.

[tomS]

Siehe hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

[Skeltek]

Wenn x unendlich ist, dann ist x-1 auch unendlich.

gruß
positive

Der Punkt ist: Wenn wir davon ausgehen, dass es nat. Zahlen mit unendlich vielen Ziffern gibt, dann muss es eine "erste" nat. Zahl x mit unendlich vielen Ziffern geben, deren Vorgänger x-1 endlich sein müsste. Es läßt sich beweisen, dass das nicht geht bzw. widersprüchlich wäre. Ansonsten wüßte ich nicht, wie man sauber beweisen kann, dass keine nat. Zahl unendlich viele Ziffern haben kann.

Versuche es jetzt mal von hinten Anzupacken mit einer Gegenfrage:

...eine "erste" nat. Zahl x mit unendlich...

erstmal gibt es mehrere Zahlen mit so vielen Ziffern. Um dir sagen zu können welche Ziffer es ist, musst du uns aber erstmal sagen, in welchem Zahlsystem du es überhaupt haben willst. Binärsystem? Quinärsystem? Oktalsystem? Septasystem? Hexasystem? Dezimalsystem? Hexadezimalsystem?
Ich bin mir sicher, daß du dich gut eine weile mit der frage beschäfftigen kannst.

[seeker]

Eine Menge ist auch ein Ding und kann unendlich viele Elemente enthalten, warum soll eine nat. Zahl dann nicht unendlich viele Ziffern enthalten?

Das sehe ich nicht so. Zunächst (im Kontext der Mengen mit endlich vielen Elementen) ist eine Menge mit unendlich vielen Elementen (hier die natürlichen Zahlen) kein Ding, denn es ist nicht klar, ob diese Menge überhaupt existiert.

Um das sicherzustellen brauchst du ein zusätzliches Axiom (das du für die Sicherstellung der Existenz endlicher Mengen nicht brauchst): das Unendlichkeitsaxiom.
Dieses Axiom besagt hier nichts anderes, als dass es die Menge der natürlichen Zahlen überhaupt gibt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
http://de.wikipedia.org/wiki/Induktive_Menge
(Ob dieses Vorgehen mit der Induktion auf Unendlichkeiten angewandt logisch überhaupt so ganz sauber ist, bin ich mir immer noch nicht ganz sicher. Es erfordert einen logischen Sprung...
Aber gut, es scheint ja zu funktionieren, in dem Sinne, dass die Mathematik dadurch nützlicher wird.)

Das ist aber eine Definition und kein Beweis! Außerdem verändert bzw. erweitert es den Kontext: Neuer Kontext -> neue Mengen.

Ansonsten würde ich das mit deinem Beweis ähnlich versuchen:

Man kann zeigen, dass für jede Zahl x (Element N) gilt: x < x+1 (denn so sind sie definiert)

Für eine angenommene Zahl u mit unendlich vielen Ziffern gilt aber: u = u+1
Also muss gelten: u ist ungleich x; u ist nicht Element von N.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Eine Menge ist auch ein Ding und kann unendlich viele Elemente enthalten, warum soll eine nat. Zahl dann nicht unendlich viele Ziffern enthalten?

Das sehe ich nicht so. Zunächst (im Kontext der Mengen mit endlich vielen Elementen) ist eine Menge mit unendlich vielen Elementen (hier die natürlichen Zahlen) kein Ding, denn es ist nicht klar, ob diese Menge überhaupt existiert.

Sehe ich genauso.
Das hatten wir ja bereits bei Überabzählbarkeit zu Genüge durchgekaut.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist in dem Sinn kein abgeschlossenes Intervall oder wie man es auch betrachten wollte.
Da ging es um die Frage ob man eine Potenzmenge einer nicht existierenden Menge überhaupt bilden kann.

[Fuzzlix]

Genau! Und bevor jemand mit einer unendlich langen Zahl RECHNEN will, soll er sie bitte erst einmal AUFSCHREIBEN.
Damit hat sich das Thema RECHNEN wohl schon erledigt.

[Pippen]

Zu einigen Bemerkungen:

1. Die Peano-Axiome verbieten keine unendlich lange Zahl(endarstellung).
2. Ich meine hier natürlich: Kann es nat. Zahlen geben, die in Dezimalschreibweise unendlich viele Ziffern haben.
3. Wir könnten durchaus mit solchen Zahlen rechnen. Wenn zB X eine nat. Zahl mit unendlich vielen Ziffern wäre, dann wäre X-X=0 usw.

Das Beweisthema lautet also: Beweise (oder widerlege), dass eine nat. Zahl konstruierbar ist, die in Dezimalschreibweise unendlich viele Ziffern hat. Dieser Beweis oder seine Widerlegung interessiert mich.

[Fuzzlix]

Der Begriff Unendlich ist in der Mathematik doch überhaupt nicht genau definiert. An dieser Widersprüchlichkeit scheitern auch alle Axiome und Definitionen.

Wenn Du fragst ob man eine Zahl mit unendlich vielen Ziffern konstruieren/aufschreiben KANN, dann stellst Du mit diesem KANN einen Praxisbezug her. Du bräuchtest zum aufschreiben dieser unendlich langen zahl (egal wie schnell Du schreibst) unendlich viel Zeit.

Du kannst es gerne versuchen.

[seeker]

Das Beweisthema lautet also: Beweise (oder widerlege), dass eine nat. Zahl konstruierbar ist, die in Dezimalschreibweise unendlich viele Ziffern hat. Dieser Beweis oder seine Widerlegung interessiert mich.

Ich habe ja schon einen Beweisvorschlag gemacht, der deinem sehr ähnlich ist.
Man muss dort nur noch ausführlicher zeigen, dass gilt: u = u+1, was eigentlich nicht schwer ist.

Weiterer Beweisansatz:

Die Zahlen, nach denen du fragst, haben sehr viel Ähnlichkeit mit den reellen Zahlen - bis auf das Komma.
Das Komma ist aber nur eine Frage der Skalierung: Jede dieser Zahlen mit unendlich vielen Ziffern entspräche einer Zahl aus R!

D.h.: Wenn Zahlen mit unendlich vielen Ziffern in N existieren würden, dann könnte man jeder Zahl aus R eine Zahl aus N bijektiv zuordnen.
Das hieße dann aber, dass gilt: N ist gleichmächtig R!
Da aber R beweisbar mächtiger als N ist, kann das nicht sein. (Diesen Beweis von Cantor kannst du bei Bedarf selber nachschlagen.)
Also kann es keine Zahlen mit unendlich vielen Ziffern in N geben.
q.e.d.

Grüße
seeker

[gravi]

Wir haben in diesem Forum ja schon öfter über den Ausdruck UNENDLICH diskutiert (einfach mal die Suche bemühen, da wird man staunen!).
Spricht man von dieser (nicht existierenden) Zahl, so muss man im gleichen Atemzug auch die NULL nennen. Kleiner als Null geht nicht, größer als geht auch nicht, sonst könnte man ja rechnen. Das wäre dann aber keine unendliche Zahl.

Ich denke, diese Unendlichkeit ist ein Widerspruch in sich selbst. In der Natur ist etwas Unendliches sowieso nicht verwirklicht und der Begriff ringt uns evtl. nur die Ehrfurcht vor etwas ab, das wir nicht mehr erfassen können.
Vielfach wir ja auch von einem unendlichen Universum gesprochen. Das halte ich für Quatsch, denn unser Universum hat ein definiertes Alter und kann innerhalb einer nicht unendlichen Zeit keine unendliche Größe angenommen haben. Und das wird es auch künftig nicht tun.
Wenn man aber darunter vielleicht das Quantenvakuum versteht, aus dem unser All u.U. hervorgegangen sein könnte, so mag man dieses als unendlich ansehen. Doch es ist einfach ein NICHTS, hat weder Zeit- noch Raumdimensionen. Man kann somit nichts nachmessen, also in Zahlen erfassen, daher halte ich auch hier den unendlichen Begriff für sinnlos.

Gruß
gravi

[Fuzzlix]

Ich kann mich dem, was Gravi gesagt hat, nur anschliessen. Wir denken in Kategorien:
richtig - falsch
Wahr - unwahr
innen - aussen
usw. ... und nicht zu vergessen:
möglich - unmöglich

Wenn mir der Ausrutscher in philosophische Begriffswelten erlaubt sei, so steht für mich die Null für einen Anfang, aus welchem heraus alles mögliche erschaffen wurde und werden wird. Die Unendlichkeit steht für mich für die Unmöglichkeit ein angestrebtes Ziel zu erreichen.

[Skeltek]

Vielfach wir ja auch von einem unendlichen Universum gesprochen. Das halte ich für Quatsch, denn unser Universum hat ein definiertes Alter und kann innerhalb einer nicht unendlichen Zeit keine unendliche Größe angenommen haben. Und das wird es auch künftig nicht tun.

Das ist Quatsch =)
Das Alter ist nicht definiert sondern ist das Resultat einer idealisierten Rechnung nach einem Model, das durch einen Spezialfall(Gegenwart) erstellt wurde.
Und selbst wenn die Ableitung der Dichteabnahme(is ne zweite oder dritte Ableitung) singulär wird für einen bestimmten zeitpunkt, bedeutet das nicht, daß das unendlich Dichte Gebilde, das dem Urknall(plötzliche Dichteabnahme) voraus ging, nicht bereits unendlich groß war.
Nach der Definition von Unendlich, war es bereits innerhalb dieses Gebildes für Schwingungen möglich sich ohne eine erkennbare Grenze in eine Richtung zu bewegen.

Das Universum war schon immer unendlich groß, der Urknall steht stellvertretend nur für den Zeitpunkt der massiven plötzlichen Deflation und Dichteabnahme.

[Skeltek]

Aber das ist doch ein Rückschluss einer ursprünglich "falschen" Interpretation des falsch konstruierten Wortes Urknall. Bei Knall dachte der Normalbürger an eine Explosion(von einem Punkt ausgehend), was aber ursprünglich damit gar nicht gemeint war. Fest steht nur, daß der Raum damals unendlich dicht war.

[seeker]

Fest steht nur, daß der Raum damals unendlich dicht war.

Wenn er das war, dann ist er es heute auch noch. Du kommst von einer Unendlichkeit nicht auf endliche Werte.

Ausweg: "Emergieren"
Eine Eigenschaft ist im Ausgangszustand nicht unendlich, sondern gar nicht vorhanden.
Sie taucht dann erst durch die Entwicklung des Systems auf (zuerst unscharf, dann an Schärfe gewinnend), wobei die Grundeigenschaften des Systems (aus denen die emergente Eigenschaft hervorgeht) stets endlich bleiben.

Beispiel:
Ein einzelnes Gasteilchen in einem Kasten (mit z.B. 1 Liter Volumen) kann sich zwar bewegen, hat also die Eigenschaft Impuls und Ort, hat aber nicht die Eigenschaft "Temperatur" oder "Druck".
"Druck" ist eine Eigenschaft, die erst auftaucht, wenn viele Gasteilchen vorhanden sind.
Wie viele Teilchen brauchst du nun, um die Eigenschaft "Gasdruck" zu erhalten?
Zwei Teilchen? Nein! 100 Teilchen? Nicht wirklich. 100.000 Teilchen? Vielleicht. 1 Milliarde Teilchen? Schon eher. 10^23 Teilchen? Definitiv!

So geht es. Es ist aber falsch zu behaupten, dass das einzelne Teilchen einen unendlich geringen Gasdruck hätte. Es hat keinen Gasdruck.
Genauso hat der Urknall keine Dichte.

Grüße
seeker

[gravi]

Seekers Worten kann ich mich anschließen, wenn ich auch das einzelne Gasteilchen etwas pingeliger oder exakter betrachte: Sperre ich es in einen Kasten, so bewegt es sich ja darin und kollidiert auch hin und wieder mit den Wänden. Je enger der Kasten, umso öfter. Das Gasteilchen übt damit einen Druck auf die Wände aus, wenn auch einen lächerlich geringen, über den man nicht diskutieren muss. Die Bewegung symbolisiert dann auch eine minimalistisch geringe Temperatur. Seeker hat aber Recht, dass es erst ab der Loschmidtschen Anzahl sinnvoll wird über Gasdruck und -temperatur zu sprechen.

@Skeltek: Wenn du der Überzeugung bist, dass unser Kosmos von Beginn an unendlich groß war, musst du erst mal definieren, was du unter Kosmos verstehst. Vermutlich haben wir hier gegenteilige Vorstellungen. Ich denke auch nicht, dass das Weltalter nur eine idealisierte Rechnung ist, sondern eher eine Folgerung aus vielen, vielen Beobachtungsdaten. Ohne diese wäre eine Berechnung gar nicht möglich.

Gruß
gravi

[Skeltek]

Fest steht nur, daß der Raum damals unendlich dicht war.

Wenn er das war, dann ist er es heute auch noch. Du kommst von einer Unendlichkeit nicht auf endliche Werte.

Du sagst doch ständig selbst, daß Unendlichkeit kein Wert sondern ein Prozess ist. Wenn mal völlig simplifiziert die Dichte D sich(unserer dort nicht anwendbaren Zeitmessung nach) umgekehrt proportional zur Zeit verhält, also D(t)=1/t, dann ist lim(D;t->+0)=unendlich. Der Zeitpunkt 0 existiert nicht, die Dichteabnahme wird nur für t->+0 unendlich groß.
Das Problem ist nicht, daß es kein "davor" gegeben haben soll, sondern daß unsere Uhren und Zeitmessung von der phänomenologisch einbettenden Realität abhängig sind.
Zu jedem Zeitpunkt der existiert, gab es ein "davor". Das Intervall "Zeit" ist nach vorne und hinten hin offen. ]Urknall,Gegenwart] statt [Urknall,Gegenwart]; wobei hier Urknall auch falsch verwendet wird, da er den Zeitpunkt des Ausflockens von Materie/Durchsichtigwerden des Universums angibt und nicht den Anfang des Universums selbst.

Die "Prozessleistung" des Universums war vor dem Urknall sogar bedeutend höher, nur daß "Zeit" damals für Materie theoretisch langsamer vergehen würde. Umso dichter das Universum war, umso höher war die Frequenz und Dichte der dort herschenden Welleninterferrenzen!

[Skeltek]

Ich verstehe unter Dichte hier eher die Impulsstromdichte; bevor Materie ausflockte ist der normale Druckbegriff wohl fehl am Platze.

[gravi]

Sorry, aber irgendwie kann hier nicht mehr folgen.
Für uns ist doch nur fassbar, was wir beobachten können - und das geht (mit Hilfe ausgeklügelter Experimente) bis fast hin zur Planckzeit des Universums.
Alles was davor war können wir nur in irgendwelchen Hirngespinsten phantasieren, ob es Zeit-, Dichte- oder Raumbegriffe sind.
Das können wir mathematisch, philosophisch oder wasweißichwie handhaben - eine reelle Lösung/Beschreibung wird uns nie möglich sein.

Gruß
gravi