Einführung in die Quantenmechanik

[positronium]

Vielen Dank für die Erklärung. Das hat mein Gesamtbild wieder etwas verbessert.
Gerne können wir weiter machen.

[tomS]

So, im Kapitel 7 geht's um dreidimensionale Quantensysteme, speziell um Probleme mit Zentralpotential und sphärischer Symmetrie. Ich geb' mal einen kurzen Überblick, die Details können wir später diskutieren.

• Zunächst wird in 7.1 die dreidimensionale SGL eingeführt, der Laplaceoperator in sphärischen Koordinaten diskutiert sowie der Drehimpulsoperator in Koordinatendarstellung eingeführt.
• In 7.2 wird der Drehimpulsoperator rein algebraisch d.h. ohne Rückgriff auf Koordinatendarstellungen diskutiert sowie sein Spektrum abgeleitet. Zuletzt wird die Ortsdarstellung diskutiert, d.h. die sogenannten Kugeklflächenfunktionen als Eigenfunktionen.
• 7.3 ist ausschließlich den Eigenschaften der Legendrepolynome und der Kugelflächenfunktionen gewidmet; ziemlich viel Rechnerei, muss aber auch mal sein.
• In Kapitel 7.4 wird unter Ausnutzung der Rotationssymmetrie und der Ergebnisse aus den vorigen Kapiteln das Eigenwertproblem der stationären SGL in ein eindimensionales Problem überführt.
• In 7.5 wird speziell das Coulombproblem V(r) ~ 1/r für das Wasserstoffatom diskutiert und gelöst (leider nur durch Lösung der DGL, obwohl bereits Pauli zuvor eine rein algebraische / gruppentheoretische Lösung gefunden hat, aus der das Spektrum ohne die Lösung einer DGL folgt!) Es folgt noch eine Korrektur der o.g. Rechnungen für Kerne mit endlicher Masse, d.h. die Einführung der reduzierten Masse (auch hier gibt es eine sehr allgemeine Vorgehensweise mittels unitärer Transformationen die das Zweikörperproblem wesentlich eleganter analysiert). Zuletzt wird das diskrete Spektrum gebundener Zustände sowie kurz das kontinuierliche Spektrum diskutiert.
• In 7.6 wird der Spin eingeführt (leider wird weder beim Drehimpuls auf dessen Rolle als Generator von SO(3) Rotationen eingegangen, noch wird demzufolge die Erweiterung auf halbzahlige Spins und die SU(2) diskutiert). Es erfolgt eine kurze Darstellung der Spin-Bahn-Kopplung als Korrektur im Wasserstoffatom, deren Lösung auf ein späteres Kapitel vertagt wird.
• In 7.7. erfolgt eine kurze (zu kurze) Betrachtung von Mehrteilchensystemen, dem Symmetrisierungs- bzw. Antisymmetrisierungspostulat sowie dem Auftreten verschränkter Zustände.
• In 7.8 wird kurz (viel zu kurz) auf kompliziertere Systeme eingegangen.

Ich würde 7.1 - 7.6 abschnittsweise durchgehen; 7.7 und 7.8 würde ich auslassen und bei Gelegenhet hier anhand eines anderen Skripts nacharbeiten.

[positronium]

Nur eine kurze Zwischenfrage (bin noch nicht durch). Im Laplaceoperator steckt das Quadrat des Bahndrehimpulsoperators L. Es gilt also, dass für L², nicht für L (wegen i hquer) eine klassische Korrespondenz existiert, oder? Gleiches müsste doch auch für die Komponenten von L, also L_x² gelten (auch hier heisst es in der nicht-quadrierten Komponente i hquer ...)? Observablen müssten dann immer die quadrierten Operatoren sein, aber vor der Formel 7.22 steht, dass J² und eine Komponente von J zwei gleichzeitig scharf messbare Observablen seien. In der Formel 7.22. sieht das dann auch so aus. Das ist doch ein Widerspruch...

[tomS]

ich verstehe nicht ganz, was du meinst. Zunächst mal haben Operatoren keinen klassischen Grenzfall, sondern nur Zahklen, alos z.B. Matrixelemente. Dann darfst du dich nicht durch ein hquer in führender Ordnung irritieren lassen, denn es kommt auf die Potenz hquer, hquer², hquer³, ... an.

Warum sollen Observablen quadrierte Operatoren sein? Quadrierte Operatoren sind positiv semi-definit, aber Observablen müssen nur selbstadjungiert sein, d.h. reelle Eigenwerte haben. Gerade dazu ist aber das "i" in Kombination mirt der Ableitung gut ;-)

Und J² sowie eine Komponente von J vertauschen, haben also gemeinsame Eigenzustände.

[positronium]

Warum sollen Observablen quadrierte Operatoren sein?

Damit wollte ich mich nur auf das J beziehen.

Vor der Formel 7.22 steht: "J² und jeweils eine Komponente von J bilden also ein System von gleichzeitig scharf messbaren Observablen, also J² und zum Beispiel J_z."
In Bezug auf das J² ist mir das klar; es handelt sich durch das ^2 um etwas realwertiges, aber bei J_z kann es sich doch nicht um eine Observable handeln, weil J_z nicht realwertig ist. - Weiter oben wird ja gezeigt, dass

Warum ist hier nicht auch L_z² die Observable? Das L_z kann doch nicht gemessen werden, weil das i drin steht.

[tomS]

L_z = -id/dφ ist eine Observable, weil L_z reelle Eigenwerte m zu den Eigenfunktionen exp(imφ) hat:

L_z exp(imφ) = -id/dφ exp(imφ) = m exp(imφ)

[positronium]

Gut, Danke!

Kapitel 7.3 habe ich jetzt nur überflogen. Ist es sinnvoll, dass ich das im Detail nachvollziehe? - Also, ich glaube das ja schon alles, aber ein bisschen viel ist das schon.

[tomS]

7.3 kannst du teilweise auslassen; wichtig ab Gl. 7.77!

[tomS]

wie sieht's aus - soll ich irgendwelche konkreten Punkte zusammenfassen oder kommentieren?

[positronium]

Ich bin dran, aber das Kapitel ist schon ein Brocken.
In 7.5 ist zu lesen, dass Elektronen (in dieser Gleichung) sowohl kontinuierliche Energien grösser 0 als auch diskrete Energien < 0 haben können. Bedeutet das, dass die Bindung von Elektronen nicht zwingend ist? - Also, ich habe die Vorstellung, dass sich ein Elektron immer bei diskreten Energieniveaus befindet, nur dass sich die Niveaus vielfältig überlagern.
In 7.5.3 ist eine Formel zur Berechnung der Energien von beim Energieniveauwechsel von Elektronen im Wasserstoffatom emittierten Photonen zu finden. Durchläuft ein Teilchen jedes Niveau, wenn es in den Grundzustand übergeht? Oder springt das auch mal etliche Niveaus auf einmal?
In 7.6.3 wird über den Spin geschrieben, dass auch dieser zum magnetischen Moment beiträgt. Kann bzw. muss man den Spin deshalb doch irgendwie als Bewegung ansehen? Weil die Drehung ja nicht zu Bewegung in einem punktförmigen Teilchen führen kann.
Morgen will ich dann mit 7.7 anfangen.

[tomS]

Ich bin dran, aber das Kapitel ist schon ein Brocken.

;-)

In 7.5 ist zu lesen, dass Elektronen (in dieser Gleichung) sowohl kontinuierliche Energien grösser 0 als auch diskrete Energien < 0 haben können. Bedeutet das, dass die Bindung von Elektronen nicht zwingend ist?

Nun, das ist sowohl klassisch verständlich (es gibt wie beim Keplerproblem elliptische und hyperbolische Orbits, je nach dem ob E< 0 oder E>0 ist) als auch quantenmechanisch. Schau dir nochmal die eindimensionalen Quantensysteme und da den Potentialtopf mit endlicher Tiefe an. Der Topf selbst habe Potential 0, die Wände dagegen das Potential V (V>0). Im Potentialtopf hast du ja eine stehende Welle, wobei p durch E=p²/2m festgelegt ist; in den Wänden hast du statt dessen E-V=p²/2m. Wenn nun E-V negativ ist, dann verläuft die Energie sozusagen im Potentialwall und damit wird aus dem exp(ipx) ein exp(-px) mit exponentiellem Abfall. Wenn du aber eine höhere Energie wählst so dass E-V wieder positiv ist, dann hast du einfach ebene Wellen, wobei eben p innerhalb und außerhalb des Topfes unterschiedlich ist. Stell dir einen flachen Topf mit V<<E vor. Dann ist klar, dass du dazu ebene Wellen als Lösung findest, wobei der Topf selbst nur eine kleine Störung ist.

Also, ich habe die Vorstellung, dass sich ein Elektron immer bei diskreten Energieniveaus befindet, nur dass sich die Niveaus vielfältig überlagern.

Nein, für E>0 hast du freie Teilchen, die an einem Potential streuen. Streutheorie kommt später.

Durchläuft ein Teilchen jedes Niveau, wenn es in den Grundzustand übergeht? Oder springt das auch mal etliche Niveaus auf einmal?

Zunächst muss man dazu noch mehr über Spin-Bahn-Kopplung und Auswahlregeln verstehen. Auch das kommt später.

In Kürze: Wir stellen uns vor, dass ein Photon die Energie entsprechend 1/n² - 1/m² sowie eine Drehimpulsdifferenz Δl = 1 wegträgt. Das Photon stellen wir uns dann als eben Welle vor. Dabei spielt ein sogenanntes Übergangsmatrixelement eine Rolle, d.h. α <n'l'm'|E|nlm>. E steht für das elektromagnetische Photonfeld. Nur für bestimmte Übergänge ist dieses Matrixelement ungleich Null und nur diese sind erlaubt. Die Auswahlregeln beziehen sich direkt auf l und m. Wg. Δl = 1 ist der Übergang nlm=200 nach nlm=100 also 2s nach 1s veboten!

Übergänge mit mehr Photonen werden durch höhere Matrixelemente bzw. in der Störungstheorie durch deren Produkte beschrieben; dabei treten dann Potenzen α², α³, ... auf. Da jedoch die Feinstruzkjturkonstante α = 1/137 (fast exakt) ist, sind sie um zwei Zehnerpotenzen unterdrückt! D.h. es handelt sich in guter Näherung immer um ein-Photon-Übergänge direkt zwischen den beiden Niveaus ohne Zwischenübergänge.

[positronium]

Danke für die Erklärung!
Zur Bindung und freien Teilchen kann ich sie nachvollziehen. Das aber vollständig nur dann, wenn ich mir aus dem zweiten Teil Deiner Antwort etwas dazu reime. Denn allein so gäbe es ja keinen Grund, warum ein energiereiches Elektron, sich nicht immer einfach das nächstbeste Energieniveau suchen, und sich seiner überschüssigen Energie entledigen sollte. Also. sich beispielsweise bei n=78 einnisten sollte, um von dort aus allmählich Richtung Kern zu wandern.

[tomS]

Das kann auch passieren.

Stell dir vor du startest mit einem lokalisierten, Wellenpakt mit Schwerpunktsimpuls p für ein Elektron, nennen wir den Zustand |in>. Dann hast du Endzustände mit einem Elektron und möglicherweise einem Elektron und einem Photon; nennen wir sie |out>. Und zuletzt hast du den Zeitentwicklungsoperator U = exp(-iHt) wobei H für den Hamiltonoperator des Coulombproblems steht. Nun berechnest du (tu's nicht, dauert zu lang ;-) <out|U(t,0)|in> für jeden Zustand |out>. Das Quadrat vdes Matrixelements steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das einklaufende Elektron |in> letztlich in einem Zustand |out> landet.

Aber das ist wie gesagt Gegenstand der Streutheorie.

[tomS]

Und wo machen wir weiter? Hast du das ganze Kapitel 7 durch?

[positronium]

Ja, Kapitel 7 habe ich durch, was aber natürlich nicht heissen soll, dass ich das alles beherrsche; vom Grundsätzlichen her sollte mir der Inhalt aber klar sein.
Bei Kapitel "8 Störungstheorie" (habe jetzt nur bis zur Überschrift 8.1 gelesen) handelt es sich scheinbar eher um ein rein mathematisches Werkzeug für den Fall, dass man direkt keine Lösung finden kann. Oder ist die Störungstheorie mehr als das? - Ich kann leider nicht abschätzen, wie umfangreich das und vor allem natürlich alles darüber hinaus ist, und bin mir deshalb unsicher, in wie weit es für mich sinnvoll ist, zu lernen, wie man das alles per Hand löst.
Eigentlich weiss ich auch noch nicht, wo ich an dem Punkt jetzt stehe. Es ist (mit klassischen Feldern) möglich, das äussere eines Atoms zu beschreiben; das aber noch nicht vollständig und kaum etwas darüber hinaus. Das ist wohl eher wenig.
In dem Zusammenhang habe ich noch eine Frage: Es wurde auf das Atom bezogen gezeigt, wie das mit den Quantenzahlen/Orbitalen ist. Gelten diese Gesetzmässigkeiten für jedes Teilchen, sofern ein bindendes Feld vorhanden ist? Hat also beispielsweise das Elektron oder Quarks ebenso diese Orbitale um sich? Dann müssten oder könnten sich doch auch die Bestandteile des Atomkerns in Bezug auf die Elektronen entsprechend einordnen...
Ist Kapitel "9 Semiklassische Theorie der Strahlung" Grundlage für die quantenmechanische Betrachtung? - Erscheint mir eher wie ein vereinfachender Anwendungsfall.