Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von **positronium** » 12. Jan 2012, 17:38

Vielen Dank Euch beiden!
Dann könnten wir von meiner Seite aus gerne weiter machen, aber ich merke, dass ich von Seite zu Seite mangels Übung unsicherer werde. Gibt es denn an dem Punkt schon sinnvolles, das ich mal durchzurechnen versuchen könnte?

Beitrag von **tomS** » 12. Jan 2012, 20:56

Da müsstest du mal nach QM Übungen & Lösungen googeln.

Oder eine interessante Aufgabe: versuche doch mal, Eigenzustände der Vernichtungsoperatoren beim harmonischen Oszillator zu konstruieren

Beitrag von **positronium** » 12. Jan 2012, 23:50

tomS hat geschrieben:Oder eine interessante Aufgabe: versuche doch mal, Eigenzustände der Vernichtungsoperatoren beim harmonischen Oszillator zu konstruieren

Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich das verstehe. Dazu müsste ich doch wegen der Ortsabhängigkeit des Potentials von der allgemeinen Darstellung in die Ortsdarstellung wechseln. Aber dann liefe das doch fast auf das hinaus, was in Kapitel 3.3.1 berechnet wurde.
Also, der Vernichtungsoperator ist
$\hat{V}\equiv \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar }{i}\frac{d}{d x}-i m \omega x\right)$
Dann würde die allgemeine Darstellung
$\hat{V}\left|\Psi _n> = v_n\right|\Psi _n>$
zu
$\hat{V}\left|\Psi _n(x)> = v_n\right|\Psi _n(x)>$
Wie oben gesagt, wäre das doch praktisch gleich dem Kapitel 3.3.1. Man bekäme für jeden Eigenwert von $\hat{V}$ , $v_{n}$ eine Funktion $Psi_{n}$ , wobei $v_{n}$ die quantisierte Energie $(n+\frac{1}{2})\hbar \omega$ wäre.
Oder bin ich jetzt völlig daneben?

Beitrag von **tomS** » 13. Jan 2012, 07:07

Eigenwerte zu a sin etwas anderes als Eigenwerte zu H. Insbs. ist ja zunächst a|n>

$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$

und somit ist das zunächst kein Eigenvektor.

Hinweis: a ist nicht hermitwch, daher muss der Eigenwert nicht reell sein; suche also Lösungen der Gleichung

$(a-z)|z\rangle = 0$

mit komplexem (!) z.

Noch ein Hinweis: du benötigst die Ortsdarstellung nicht

Beitrag von **positronium** » 13. Jan 2012, 14:21

Jetzt verstehe ich kein Wort mehr, und bin total kaputt. Ich kann mich an nichts in dem Skript erinnern, was hier weiter helfen könnte.
Wie entsteht die Formel $(a-z)|z\rangle = 0$ ? (In Wikipedia hat die Formel zur Eigenwertberechnung eine andere Form.) Darin ist doch a der Vernichtungsoperator, wie ich ihn oben als V bezeichnet habe; dadurch hat man aber doch schon wieder die Ortsabhängigkeit. Und wie kann z als komplexe Zahl in dem Ket stehen? Insgesamt würde also irgend eine gefährliche DGL entstehen - aber wahrscheinlich ist das eh falsch, was ich mir hier von der Seele schreibe.

Beitrag von **tomS** » 13. Jan 2012, 16:54

Zunächst mal ist das eine gan z normale Eigenwertgleichung "Operator minus Eigenwert angewandt auf Eigenzustand ist Null".

z sei eine beliebige komplexe Zahl; gesicht sind alle z's die als Eigenwerte auftreten können sowie die zugehörigen Eigenzustände |z>. Der Ansatz lautet

$|z\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n\,|n\rangle$

Jetzt musst du die Koeffizienten c[down]n[/down] bestimmen.

Beitrag von **positronium** » 14. Jan 2012, 16:31

Gut, also die Gleichung $(a-z)|z\rangle = 0$ ist mir jetzt glaube ich klar. Das $|z\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n\,|n\rangle$ dürfte die Entwicklung der Eigenzustände nach den Basisvektoren des Hilbert-Raums sein.
Aber mehr verstehe ich nicht.
Jetzt könnte ich zwar die zweite Gleichung in die erste einsetzen
$(a-z) \sum_{n=0}^\infty c_n\,|n\rangle= 0$
wodurch die abstrakte Darstellung von |z> auf die Basisvektoren abgebildet würde, aber dann müsste ich doch den Vernichtungsoperator auch noch einsetzen, und es käme
$(\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar }{i}\frac{d}{d x}-i m \omega x\right)-z) \sum_{n=0}^\infty c_n\,|n\rangle= 0$
heraus.
Falls das überhaupt etwas sinnvolles ist, kann ich das unmöglich lösen.
Ich habe schon versucht, eine Musterrechnung dazu zu finden, lande aber immer nur bei der Aufgabe zum harmonischen Oszillator.

Beitrag von **tomS** » 14. Jan 2012, 16:56

Du musst keineswegs die Darstellung des Vernichtungsoperators mittels x und p einsetzen; alles was du brauchst ist

$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$

Daraus kannst du eine Rekursionsbedingung für die c's ableiten.

Beitrag von **positronium** » 14. Jan 2012, 19:14

Das von oben
$(a-z)\sum _{n=0}^{\infty } c_n|n\rangle =0$
könnte ich ausmultiplizieren zu
$\sum _{n=0}^{\infty } \left(a c_n|n\rangle -z c_n|n\rangle \right)=0$
und
$a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle$
einsetzen, sodass
$\sum _{n=0}^{\infty } \left(c_n\sqrt{n}|n-1\rangle -z c_n|n\rangle \right)=0$
entsteht, und daraus kann man eine Rekursionsformel machen:
$\sum _{n=0}^{\infty } z c_n|n\rangle =\sum _{n=0}^{\infty } c_n\sqrt{n}|n-1\rangle$
Meintest Du das?

Ich sehe, dass mir noch ein grundlegendes Verständnis fehlt.

Beitrag von **tomS** » 15. Jan 2012, 13:25

ja, so in etwa; jetzt multipliziere mal von links mit einem bra <m|

Beitrag von **positronium** » 15. Jan 2012, 15:59

Dann entsteht
$\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty } z c_n\langle m|n\rangle =\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty } c_n\sqrt{n}\langle m|n-1\rangle$
worin die Skalarprodukte nur 1 ergeben, wenn links m=n bzw. rechts m=n-1 ist, so dass die Bras und Kets wegfallen, und man schreiben kann:
$\sum _{m=0}^{\infty } z c_m=\sum _{m=0}^{\infty } c_{m+1}\sqrt{m+1}$
Aber wenn das richtig ist, hat man hier eine unendliche divergierende Reihe, mit der ich nichts anzufangen weiss, obwohl irgendwie ein Startwert und die Veränderung je 1 m ermittelt werden können sollte.

Beitrag von **tomS** » 15. Jan 2012, 16:14

Wir starten mit deiner obigen Gleichung

$\sum _{n=0}^{\infty } \left(c_n\sqrt{n}|n-1\rangle -z c_n|n\rangle \right)=0$

Jetzt nur multiplizieren mit <m|, d.h. projizieren auf den m-ten Zustand

$\sum _{n=0}^{\infty } \left(c_n\sqrt{n}\langle m|n-1\rangle -z c_n\langle m|n\rangle \right)=0$

$\sum _{n=0}^{\infty } \left(c_n\sqrt{n}\delta_{m,n-1} -z c_n\delta_{m,n} \right)=0$

Und jetzt fällt die Summe weg ...

Beitrag von **positronium** » 15. Jan 2012, 21:57

Aber deswegen entfällt doch nicht der Zwang zum Summieren, oder? - Würde man m und n als Variablen auffassen, wäre dann die Gleichung nicht unbrauchbar? Also, wenn ich mir m und n als Indizes einer Matrix vorstelle, wäre der zweite Term in der Diagonalen ungleich 0 und der erste eine Zeile darüber. Bei m=n müsste z oder $c_{n}$ gleich 0 sein, und bei m=n-1 müsste $c_{n}$ immer gleich 0 sein.

Beitrag von **tomS** » 15. Jan 2012, 23:53

Natürlich entfällt nicht der Zwang zum ssummieren,aber es bleibt nur noch jeweils ein Term übrig; es gilt

$\sum_{n=N_a}^{N_b} X_n\,\delta_{mn} = X_m$

wenn m im Summationsbereich liegt (ansonsten Null)

Beitrag von **tomS** » 17. Jan 2012, 07:43

Ich komme nochmal auf die letzte Gleichung zurück:

$\sum _{n=0}^{\infty } \left(c_n\sqrt{n}\delta_{m,n-1} -z c_n\delta_{m,n} \right)=0$

Zunächst m=0:

Im ersten Term gilt mit m=0 auch n-1 = 0, also n=1
Im zweiten Term gilt mit m=0 dann n=0

Also

$c_1 -z c_0=0$

Daraus bekommst ermittelst du c[down]1[/down] als c[down]1[/down](c[down]0[/down]); für alle weiteren m = 1, 2, ... ergibt sich dann rekursiv die Folge der c[down]2[/down], c[down]3[/down], ...; diese ist bestimmt bis auf eine multiplikative Konstante, also letztlich den Startwert c[down]0[/down], der durch Normierung <z|z> = 1 festgelet wird.

Beitrag von **positronium** » 17. Jan 2012, 11:10

Gestern war ich recht beschäftigt; deshalb konnte ich mich leider nicht darauf konzentrieren.
Nach Deinem letzten Posting ist mir das mit der Summe klarer. Man wählt also ein bestimmtes m, zweckmässigerweise m=0, wodurch man wegen $\delta_{m,n}$ weiss, welche Werte für n sinnvoll sind.
Die Aufgabe hätte ich alleine nie lösen können.
Vielen Dank für Deine Mühe!

Beitrag von **tomS** » 17. Jan 2012, 12:00

Die Aufgabe ist noch nicht beendet.

- du sollst explizit die Koeffizienten c[down]n[/down] bestimmen, c[down]0[/down] mittels Normierung <z|z> = 1
- dann eine gesxchlossene Form als |z> = A(z)|0>
- sowie die Vollständigkeit der Zustände |z>
- ...

;-)

Beitrag von **positronium** » 17. Jan 2012, 21:30

tomS hat geschrieben:Die Aufgabe ist noch nicht beendet.

Oh...
Ich dachte, die Definition der Reihe für c[down]n[/down] wäre gesucht.

tomS hat geschrieben:- du sollst explizit die Koeffizienten c[down]n[/down] bestimmen, c[down]0[/down] mittels Normierung <z|z> = 1

Ich weiss nicht, was ich mit <z|z>=1 machen kann, um einen Zahlenwert zu bekommen. Nur das Skalarprodukt könnte man in der Form schreiben
$\sum _{n=0}^{\infty } \langle z|n \rangle \langle n|z \rangle=1$
dann muss wohl die Summe eliminiert werden. Aber: keine Ahnung!

Bist Du Dir sicher, dass ich das mit dem Inhalt aus den Kapiteln 5.1 bis 5.3 lösen können müsste?

Beitrag von **tomS** » 17. Jan 2012, 22:02

a) Zunächst benötigst du die Rekursionsformel für die c[down]n[/down] sowie die explizite Darstellung für c[down]n[/down].

b) Anschließend berechnest du

$\langle z|z\rangle = \sum_{mn}c_m^\ast\,c_n\,\langle m|n\rangle = \sum_{mn}c_m^\ast\,c_n\,\delta_{mn} = \sum_n|c_n|^2$

und setzt dies gleich Eins; daraus folgt der Koeffizient c[down]0[/down]

Beitrag von **positronium** » 18. Jan 2012, 15:19

tomS hat geschrieben:a) Zunächst benötigst du die Rekursionsformel für die c[down]n[/down] sowie die explizite Darstellung für c[down]n[/down].

Die Rekursionsformel lautet
$c_n\sqrt{n}-z c_{n-1}=0$
und deshalb ist
$c(n)=\frac{z c_{n-1}}{\sqrt{n}}$

Wenn ich das in das von Dir berechnete
$\sum_n|c_n|^2$
einsetze, folgt
$\sum_n|\frac{z c_{n-1}}{\sqrt{n}}|^2$

Weil c[down]0[/down] gesucht ist, setze ich n=1, wodurch die Summe wegfallen kann, und setze gleich 1
$|\frac{z c_{0}}{\sqrt{1}}|^2=1$
Daraus folgt
$c_{0}=\frac{1}{z}$

Das hiesse dann, dass
$c_{1}=\frac{z c_{0}}{\sqrt{1}}=\frac{z\frac{1}{z}}{\sqrt{1}}=1$
und
$c_{2}=\frac{z c_{1}}{\sqrt{2}}=\frac{z 1}{\sqrt{2}}=\frac{z}{\sqrt{2}}$
$c_{3}=\frac{z \frac{z}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{z \frac{z}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{z^2}{\sqrt{6}}$

...sieht irgendwie seltsam aus.

Beitrag von **tomS** » 18. Jan 2012, 17:04

nein, gar nicht seltsam, unter der Wurzel steht einfach ein n! (n Fakultät)

Beitrag von **positronium** » 18. Jan 2012, 17:49

Dann schreibt man also einfach?
$c(n)=\frac{z^{n-1}}{\sqrt{n!}}$

Beitrag von **tomS** » 18. Jan 2012, 19:11

Aus dem Gedächtnis:

$c_n=\frac{z^{n}}{\sqrt{n!}}\,c_0$

und damit jetzt <z|z>

Beitrag von **positronium** » 19. Jan 2012, 12:52

tomS hat geschrieben:und damit jetzt <z|z>

Also, in
$\sum_n|c_n|^2$
einsetzen, und vereinfachen zu
$\langle z|z \rangle=\sum_n|\frac{z^{n}}{\sqrt{n!}}c_0|^2=\sum_n|\frac{z^{2n}}{n!}{c_0}^2|$
Für c[down]0[/down] könnte man doch, damit es schöner aussieht, 1/z einsetzen, so dass
$\sum_n|\frac{z^{2n}}{z^2 n!}|$
entsteht, oder braucht man c[down]0[/down] an anderer Stelle für einen anderen Startwert als Variable?

Muss ich jetzt von <z|z> auf |z> kommen?

Beitrag von **tomS** » 19. Jan 2012, 15:31

Leichte Korrektur bzgl. der Beträge:

$\langle z|z \rangle=\sum_n \frac{|z|^{2n}}{n!}|c_0|^2 = e^{|z|^2}|c_0|^2$

Daraus folgt für c[down]0[/down]

$|c_0| = e^{-|z|^2/2}$

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