Einführung in die Quantenmechanik

[positronium]

Mit Simulation meine ich das Durchrechnen (und graphische Darstellen) von so Problemen wie z.B. das Ionisieren eines Atoms, und ich sage mal den Einfang des heraus geschlagenen Elektrons durch ein anderes Atom, oder etwa die Bildung eines Moleküls. Gut, so weit sind wir hier nicht, aber man könnte auch ein Atom in eine elektrische Falle schiessen - das müsste an diesem Punkt schon möglich sein.
Dafür muss man ja erst einmal Startparameter festlegen. Bei einem Atom gehen die Probleme doch schon los. Dem Kern könnte man in dem Fall wohl noch einen klassischen Ort zuweisen, aber das/die Elektron(en) muss man ja irgendwie in ihre Orbitale bringen. Das alles bekommt einen Impuls, so dass das Atom in Richtung Falle fliegt.
Wie legt man solche Startparameter fest? Und ab einem gewissen Punkt wird eine einzelne Psi-Funktion nicht mehr ausreichen; beispielsweise ändert sich doch bei Teilchenumwandlungen die Zahl der Parameter für Psi. Das kann doch nicht mehr einfach als ein System beschrieben werden, oder doch irgendwie?

[tomS]

Sowas würde man nicht ausrechnen ;-[

Ganz abstrakt hat man
- einen initialen Zustand |i>, z.B. einen gebundenen Zustand in einem Atom
- einen finalen Zustand |f>, z.B. ein freies Elektron definiertem Drehimpuls (keine ebene Welle, aber etwas vergleichbares - kommt später)
- einen Wechselwirkungsterm T[A] mit einer el.-mag. Welle A(x) (klassisch - der Einfachheit halber), oder einem komplizierteren Gebilde in der QFT

Dann berechnet man das Matrixelement M_fi = <f|T|i> und daraus Streuquerschnitte, Quantenkorrekturen usw.

Man kann auch einfachere Lösungen graphisch darstellen (Lösen der drei-dim. Schrödingergleichung + plotten), aber bei Streuprozessen funktioniert das nicht mehr. Entsprechende Darstellungen können wir gerne beim Wasserstoffatom diskutieren http://media.web.britannica.com/eb-medi ... A01A0E.jpg

[positronium]

Wirklich verstehen kann ich jetzt nicht, was dabei genau gemacht wird, aber ich stelle mir das mal als Abbildungen/Transformationen vor.
Insgesamt bleibt aber schon die Schrödinger-Gleichung Grundlage, nur dass sie nicht mehr so in den Vordergrund tritt?

[tomS]

Die SGL Ist hier eher unwichtig; die Zustände |i> und |f> sind Lösungen der ungestörten SGL, T vermittelt eine zusätzliche WW und dadurch werden die Zustände instabil, es gibt Übergänge bzw. Zerfälle; für T spielt die SGL eher eine untergeordnete Rolle

[positronium]

|i> ist ja ein Spaltenvektor. Was sind darin die Vektorelemente? Ist jedes Element die Psi-Funktionen eines einzigen Teilchens? Also, . Oder stellt man für alle Teilchen ein Psi auf, wie es in Kapitel 2.9 dargestellt wird, also ? Aber was kommt dann in die weiteren Zeilen?

[tomS]

|i> oder |n> o.ä. ist ein abstrakter Zustand, der durch eine Konvention mittels i, n o.ä. festgelegt wird; da gibt es weder mehrere Zeilen, noch eine x-Abhängigkeit. Die x-Abhängigkeit in der Wellenfunktion ist lediglich eine (von vielen möglichen) Darstellungen und ensteht durch eine Projektion auf einen x-Eigenzustand, also <x|i>.

Das kommt in Kapitel 5 - und ich denke, wir machen auch da weiter und überspringen 4, weil mir die Darstellung im Skript nicht gefällt (ehrlich gesagt gefällt mir das Skript immer weniger)

[positronium]

Gut. In Kapitel 5 habe ich erst ein bisschen rein gelesen; daher hatte ich eine andere Vorstellung von |>. Das wird sich dann bestimmt noch ändern.

[tomS]

So, die Winterpause ist vorbei!

Im Kapitel 5 geht es um den allgemeinen Formalismus der QM. Dabei sind Wellenfunktionen nur ein Spezialfall (unter vielen möglichen), nämlich die Ortsraumdarstellung einer zugrundeliegenden (abstrakten) Theorie. Die abstrakte Darstellung geht dabei insbs. auf Dirac zurück.

Anmerkung: Dieser Formalismus spielt in der QM eine zentrale Rolle - im positiven wie im negativen. Zum einen werden dadurch viele Rechnungen erheblich vereinfacht oder doch zumindest kürzer und transparenter; zum anderen mogelt man sich gerne um elementare Definitonen herum (man muss auch bei einem abstrakten Hilbertraum hinzufügen, welche Definiton bzgl. Norm usw. gelten soll) und tappt dabei in die eine oder andere Falle. Deswegen empfehle ich parallel einen Blick in folgenden (leider nicht gerade einfachen) Artikel

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069
Mathematical surprises and Dirac's formalism in quantum mechanics
Authors: F. Gieres
(Submitted on 22 Jul 1999 (v1), last revised 21 Dec 2001 (this version, v2))
Abstract: By a series of simple examples, we illustrate how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics. The basic mathematical notions allowing for a precise formulation of the theory are then summarized and it is shown how they lead to an elucidation and deeper understanding of the aforementioned problems. After stressing the equivalence between wave mechanics and the other formulations of quantum mechanics, i.e. matrix mechanics and Dirac's abstract Hilbert space formulation, we devote the second part of our paper to the latter approach: we discuss the problems and shortcomings of this formalism as well as those of the bra and ket notation introduced by Dirac in this context. In conclusion, we indicate how all of these problems can be solved or at least avoided.

Und nicht zuletzt muss ich leider sagen, dass auch das vorliegende Skript nicht frei von Schlampereien ist, auf die ich hinweisen muss.
1) am Ende von Seite 136 wird eine Entsorechung von Ket und Wellenfunktion angeführt, die m.E. besser in Anführungszeichen gehört
2) in (5.2) wird eine völlig korrekte Formel eingeführt; auch der Satz "In einer bestimmten Basis ... kann man also einen Ket-Vektor als Spaltenvektor ... " liest sich zunächst gut, aber auch hier kann man nur von Entsprechung und keinesfalls von Gleichheit reden, denn im Spaltenvektor stehen eben nur die Komponenten bzgl. einer bestimmten Basis
3) generell sind Physiker oft nicht in der Lage, zwischen dem Begriff "Vektor" und "Komponenten eines Vektors" zu unterscheiden
Im vorliegenden Fall führt dies eider immer wieder zur Verwirrung
4) in 5.1.3 steht der Satz "Observablen werden definiert durch Messprozesse". Ja - solange man damit nun nicht verbindet, dass eine Observable (also ein selbstadjungierter Operator) eine Messung "durchführt". Das ist nicht der Fall. Besser wäre es umgekehrt, einem selbstadjungierter Operator eine Observable zuzuordnen, ohne dabei den Begriff Messung zu verwenden (nachdem der Messprozess immer wieder zu philosopophischen Spekulationen Anlass gibt, ist es ungeschickt, ihn zur exakten Definiton eines abstrakten Formalismus heranzuziehen)
5) die Gleichsetzung von selbst-adjungiert und hermitesch in 5.1.3 nach (5.21)giltnur im endlich-dimensionalen Fall bzw. für beschränkte Operatoren

Ansonsten solltet ihr die Abschnitte 5.1 - 5.3 durcharbeiten und detailliert Fragen zu einzelnen Gleichungen stellen; das halte ich für besser, als dass ich lange Erklärungen abgebe. Letztlich kommt hier der große Vorteil der abstrakten Darstellung zum Tragen: Kenntnisse in der linearen Algebra, insbs. bzgl. Vektoren und Matrizen reichen aus, um die Gleichungen und deren Herleitung verstehen. Ich hoffe, ihr erkennt diese Vorteile ggü. dem umständlichen Hantieren mit Integralen.

Viel Spaß dabei ...

[positronium]

In Kapitel 5.1.4 verstehe ich die Formeln 5.28 und 5.34 nicht. Wofür steht |m>? sollte das Skalarprodukt sein, was aber eigentlich nicht sein kann, weil |n> eine Matrix sein müsste - |n> müsste ja mehrere bis viele Vektoren enthalten, die den Raum bzw. die Basis darin aufspannen. Und in 5.34 wird wie eine Funktion verwendet.
Würdest Du das bitte erklären? Danke!

[rick]

Die Erklärung von Tom ist sicherlich besser

[tomS]

In Kapitel 5.1.4 verstehe ich die Formeln 5.28 und 5.34 nicht ...

Das ist sehr einfach.

|n> ist einfach eine Bezeichnung (Numerierung) für eine abzählbare Menge an Basisvektoren. Man könnte auch |Zustand>_n schreiben.

δ_mn ist letztlich eine Bezeichnung für die Elemente der (unendlich-dimensionalen) Einheitsmatrix 1, also (1)_mn = δ_mn.

<m|n> steht dann für alle Zahlenpaare (m,n) bzw. für das entsprechende Skalarprodukt <m|n>; im endlich-dimensionalen Fall hättest du z.B. sowas wie m,n = 1,2 (attention - abuse of notation)

|1> = (1,0)
|2> = (0,1)

<1|1> = (1,0) * (1,0) = 1
<1|2> = (1,0) * (0,1) = 0
<2|1> = (0,1) * (1,0) = 0
<2|2> = (0,1) * (0,1) = 1

D.h. mit δ_mn ist das Kronecker-Delta gemeint, d.h.

δ_mn = 1 falls m=n
δ_mn = 0ß falls m≠n

[tomS]

Für alle, die hier noch mitlesen; der Thread liegt einstweilen auf Eis, weil ggw. ein paar Übunsgaufgaben anstehen ;-)

würde mich freuen, wenn sich hier noch mehr aktiv beteiigen würden

[rick]

Also ich lese zumindest mit . Aber ich hab zur Zeit auch nicht sehr viel Zeit, deswegen stell ich meine Fragen lieber bisschen hinten an, ich will den Betrieb nicht aufhalten.

[tomS]

stell die Fragen!

[tomS]

Um den Faden wieder aufzugreifen würde ich gerne auf ein paar zentrale Gleichungen aus dem Skript hinweisen:

In (5.29) wird ein allgemeiner Zustand |a> in der Basis |n> dargestellt; <n|a> sind dabei die Entwicklungskoeffizienten d.h. die Projektion des Vektors |a> auf den Basisvektor |n>.

In (5.41) und (5.42) erfolgt die Darastelung eines Operators F mittels seiner Matrixelemente bzgl. einer bestimmten Basis.

m.E. fehlt eine zentrale Gleichung im Umfeld (5.43), nämlich die sogenannte Spektraldarstellung eines hermiteschen Operators A d.h. seine Darstellung mittels seiner Eigenwerte und -zustände. Nehmen wir an, A habe die Eigenzustände |a>, d.h. A|a> = a|a> mit reellen Zahlen a. Dann stellen die |a> eine Basis, d.h. ein vollständiges orthonormiertes System dar, d.h.

∑_a|a><a| = 1

Damit gilt

A = A ∑_a|a><a| = ∑_aA|a><a| = ∑_aa|a><a|

also

A = ∑_aa|a><a|

In (5.54) wird das Eigenwertproblem für einen hermiteschen Operator in Form einer (unendlichdimensionalen) Matrixgleichung formuliert

In (5.64) und im folgenden werden die Eigenschaften unitärer Transformationen, also der verallgemeinerten Drehungen von Basisvektoren in Hilbertraum diskutiert.

Der Abschnitt (5.6) liefert eine Definition zumMessprozess, wie er in der orthodoxen = Kopenhagen-Interpretation verstanden wird.

Wenn wir dies abgeschlossen haben, würde ich gerne mit der Dynamik, d.h. der Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme in Kapitel 6 weiter fortfahren.