Liebe Freunde
wir hatten bereits des öfteren die Eichtheorie in unserer Diskussion. Schaut bitte mit "suchen" Begriffe "Eichung Eichtheorie" wo im Forum wir diese Thematik bereits hatten.
Ich hatte das nochmals als eigenständigen Schwerpunkt aufbereitet und hier haben wir dieses Thema diskutiert:
viewtopic.php?t=240&start=0&postdays=0& ... ichtheorie
Im Thema: viewtopic.php?t=944 dieses Bereichs kam diese Diskrepanz wiederum auf und Tom bat mich dies Thema nochmals auf die "Tagesordnung" zu setzen.
Was heißt eichen?
Eichen ist eine Anpassungsformulierung eines Vorgangs. Sei es, daß eine Anpassung von einem System in ein anderes notwendig ist, oder daß ein System auch in einem anderen System geschlossen erklärt werden kann.
So ist eine Eichung beispielsweise darin zu finden, daß wir für eine Vektoroperation gerne eine Beschreibung mit einem Vektorpotential hätten. Führen wir das nur mit unserem Wissen der Vektoroperationen durch, so erfahren wir ein hinzukommendes skalares Potential.
Hintergrund dabei ist, daß sich ein Skalarpotential nur bis auf eine additive Konstante festgelegt. Für dies Vektorpotential gilt dann, daß es nur bis auf den Gradient einer skalaren Funktion bestimmt ist.
Und dieses ist durch die Eichtrafo
vec A -> vec A + grad (phi)
Damit wird nichts am Megnetfeld geändert. Was jetzt noch übrig bleibt zu finden ist die Eindeutigkeit. Dazu wird das Quellenfeld herangezogen, denn wir müssen verlangen, daß wir ein Quellen freis Feld beschreiben, also div (vec A) = 0 muß gefordert werden. Das ist notwendig, denn sonst hätten wir zeitliche Änderungen eines räumlichen Ladungsgebiets zu berücksichtigen.
Dies nennt man Eichung, in dem hier vorliegenden Fall ist das die bekannte Coulomb Eichung.
Die Vorgehensweise kann methodisch folgendermaßen dargestellt werden:
1. Wir haben mehr als ein System vorliegen
2. Wir fordern, daß eine physikalische oder mathematische Beschreibung in allen Systemen beschreibbar und nicht verändert wird. Letzteres heißt bei uns: invariant. Dies kann sich auf Zeitvorgänge oder Impulsvorgänge beziehen.
3. Wir suchen nach "vernünftigen" Transformationsregeln
4. Wir werden recht häufig Einschränkungen machen müssen, damit einige Szenarien, welche die angewandte Trafo stören, ausschließen. Das wird durch Voraussetzungen = constraints gemacht.
Mit dem 4. Punkt hadere ich immer wieder und deshalb sind mir die Trafos stets sehr suspekt und bedürfen einer sehr sehr peniblen Hinterfragung.
Denn:
Wenn Einschränkungen festgelegt werden,
- müssen diese stets den allgemeinen physikalischen Gesetzen genügen, was per se schon kritisch ist
- müssen diese stets mathematisch korrekt sein, was gerade bei komplizierten Eichungen nicht einfach zu überblicken und vor allem zu beweisen ist
- müssen auch bei der Rücktrafo wieder zum Originären System beschreibar werden. Auch das ist nicht selbstverständlich. Einfachstes Beispiel: Es wird integriert. Es findet sich dabei ein völlig neuer Term ein, der im Originalbereich nicht vorhanden war. Dieser Integrationsterm muss durch Randbedingungen oder Grenzbedingungen festschreibbar sein.
Bei der Rückführung kann dieser aber Probleme bereiten, insbesondere wenn wir nicht lineare Beziehungen haben.
Die starke WW wird durch eine Quanten-Feldtheorie, der SU(3) - Eichung beschrieben. Quarks werden damit eingeschränkt in lediglich drei verschiedene Arten, die sich durch ihre "Farbe" = Freiheitsgrad unterscheiden. Da die Masse invariabel ist, wird die Farbsymmetrie im Hamiltonoperator sichtbar werden.
Auch sind die beobachtbaren Hadronen invariant unter SU(3) Rotationen. Alle Zustände der beobachtbaren Hadronen sind Farb singlet: mesonen q qb udn baionen qqq. (qb: q bar = q mit Querstrich oben)
Die Berechnung ist recht schwierig, es werden dabei 8 Gluonfelder identifiziert. Darauf wird eine Eichinvarianz der zugehörigen Diracgleichung verlangt. Diese Eichfelder transformieren sich dabei nach der der regulären Darstellung der Gruppe, wobei die Transformationskonstanten der Strukturkonstanten der Gruppe entsprechen.
Daraufhin kann jür jedes dieser 8 Felder ein kinetischer Term in seiner Lagangedichte addiert werden. Auch dieser muß!!! wiederum eichinvariant sein.
Final erhält man dadurch sogenannte Eichbosonen. Der hier darstellbare Feldstärketensor enthält die Selbstwechselwirkung zwischen diesen Eichbosonen. Grund: die Gluonen selber tragen die erwähnte Farbladung.
Gehen wir noch einen Schritt weiter, gehen wir zu der elektroschwachen Vereinheitlichung. Hier haben wir es zu tun mit Drehungen im schwachen Isospinraum SU(2) als auch im Hyperladungsraum, der U(1) Gruppe. Wenden wir hier eine Eichtrafo an, so wird die Ladung q als die der Hyperladung Y angeschreiben.
Ich gehe jetzt aber nicht auf die Mathematik ein (das ist auch mal wieder Hard-Core Mathe für Masochisten und solche die es werden wollen). Was ist der entscheidende Punkt der Eichtrafo hier?
Eichinvarianz ist nur möglichm wenn Fermionen keine Masse haben!
Auch hier greife ich mit meienr Kritik an: die Eichungen sind ohne jede Frage richtig gerechnet. Aber ist das überhaupt "vernünftig"? Schränken wir uns nicht ein, da wir eine Eigenschaft bzgl. der Fermionen hineingeeicht haben???
Ich komme zum Higgs Mechanismus
Die mittels dieser Eichugnen erzeugten Felder dürfen keine Masse besitzen! Auch das ist ein sehr großer Nachteil, eine markante Einschränkung!
Konsequenz 1: Die Theorie ist nicht renormierbar (das ist, was ich eingangs bereits anführte), soll heißen: die Störungsrechnung divergiert!!!!
Konsequenz 2: Damit ist diese Eichung nicht anwendbar auf schwere Bosonen der schwachen WW.
Nun hat ein pfiffiger Kollege namens Higgs etwas festgestellt:
Die absolute Phase des Vakuumzustandes ist mit dieser Eichung noch nicht festgelegt!
Und das ist der Punkt, der einzige Ansatzpunkt den schweren Bosonen eine Masse zu verpassen! Ein ganz spannender Augenblick ist das hier, dann damit läßt sich die schwache WW sowie die elektromagnetische WW zusammenfassen!
Peter Higgs tat das und postuierte damit ein völlig neuartiges Quentenfeld, das Higgsfeld. Es durchdringt den ganzen Raum und hat einen endlichen Vakuumerwartungswert. Jedes Teilchen, welches sich im Raum bewegt tritt mit diesem Feld in WW, wobei es Masse gewinnt. Das mit diesem Feld, dem Higgs Feld, verbundene Teilchen hat Masse ist jedoch neutral.
Die spontane Symmetriebrechung
Was wird darunter verstanden? Die Grundgleichungen eines Systems sind symmetrisch, jedoch zeigt der Grundzustand diese Symmetrie nicht an. Das gerade erwähnte Higgs Boson zeigt das oder auch die Magentisierung eiens Festkörpers.
Der Erwartungswert der Magentisierung (beispielsweise) besitzt einen endlichen Erwartungswert im Grundzustand. Dabei ist jedoch nur sein absoluter Wert festgelegt, nicht sein Vorzeichen!
Dieser Grundzustand zeichnet eine Richtung aus, welche dann als spontane Symmetriebrechung bezeichnet wird. Beachtung: die Symmetrie selber bleibt unangetastet!!!
Beim Higgs gilt das auch so. Es wird eine Lagrangedichte eines Skalarfelds erklärt, welches ein eindliches Minimum besitzt. Die Symmetrie wird aufgebrochen, indem das Vorzeichen des Grundzustandswerts gewählt und damit festgelegt wird. Um diesen Grundzustand wird jetzt die Störungsrechnung angesetzt. Damit wird die Lagrangedichte geändert. Das dadurch entwickelte "neue Feld" besitzt einen Masseterm. der wiederum benutzt wird um die Selbstwechselwirkung dieses Felds zu beschreiben.
Was wird dadurch erreicht?
Wir erhalten einen Masseterm und einen Teil, der masselos bleibt. Letzteres wird "Goldstone Boson" genannt. Diese erwähnte Masse wird erhalten auf Grund der Potentialkrümmung in radialer Richtung. Die Begründung des massefreien Teilchen-Teils kann plausibilisiert werden durch:
in der Umgebung des beschreibenen Potentialminimums existiert keine Krümmung, ergo kann kein zweites Teilchen mit einer endlichen Masse da sein, oder das zweite Teilchen muß masselos sein.
Punkt ist: es fehlt der Beweis dieses masselosen Teilchens!!
Zurück zur Eichung:
Wir wenden hier die lokale Eichinvarianz U(1) auf die beschriebene Symmetriebrechung (Vorzeichen) an.
Ableitung wird ersetzt durch kovariante Ableitung; Neuberechnung der Lagrangedicht; Neuberechnung des Masseterms...und dann:
Wir erhalten
- ein Skalarteilchen mit endlicher Masse
- ein Vektorboson mit endlicher Mase
- ein Skalarteilchen mit Nullmasse
- einen Restterm, der nicht als Teilchen interpretiert werden kann!!!!
Wieder einer meiner Kritikpunkte: Ist hier nicht ein wesentliches gestzt der Physik verletzt: Jede physikalische Gleichung verlangt stets Terme gleicher Einheiten!!!!
Also: Wir machen eine Eichtrafo! Diese wiederum re-beinflußt selbige Lagrangegleichung.
Und jetzt sehen wir:
- ein Eichboson endlicher Masse
- ein Skalarteilchen endlicher Masse genannt h (Higgs) m_h = sqrt(2) µ
Wozu das Goldstone Boson gut war fragt ihr? Naja, wir haben es gebraucht für die longitudinale Polarisatiion des Eichbosons endlicher Masse. Und dieses ist der Higgs Mechanismus.
Schaut man den Higgs Mechnaismus nochenmal an, so kann erkannt werden, daß er auch die Entstehung eines Photons mit endlicher Masse zuläßt.
Durch die Kopplung an das Eichfeld wird die Entstehung des Goldstone Bosons verhindert. Die Freiheitsgrade des Goldstone Bosons kombinieren mit den Eichfeldern und durch diesen Prozess wird die Entstehung von Vektorbosonen endlicher Masse erklärt.
Das ist ein weiterführender Beitrag mit einigen Punkten, die ich aufführte um zu zeigen und begründen, warum ich so extrem sensibel bei den Eichtrafos bin.
Wichtig aber ist, daß ihr mich richtig versteht: ich will die Eichtheorie nicht fortdiskutieren, sondern "lediglich" die Eichtheorie als ein sehr empfindliches Instrument hinzustellen, welches eine enmorme Mächtigkeit besitzt und inhärent die Gefahr beinhaltet "dem Teufel ein Ohr wegzueichen", soll heißen:
Eichen ohne Nadenken ist wie Fußballspielen in der Schwerelosigkeit.
Netten Gruß
Wilfried
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Eichtheorie -weitere Aspekte
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wilfried
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Eichtheorie -weitere Aspekte
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo Wilfried,
danke für die ausführliche Erläuterung.
Ein paar Bemerkungen habe ich natürlich:
Erstere bedeutet einfach, dass ich ein bestimmtes „Bezugssystem“ global frei wählen kann. Ich habe das in Anführungszeichen gesetzt, weil es sich nicht um ein Bezugssystem in der Raumzeit, sondern in einem abstrakten Raum handelt. In der Elektrodynamik geht es um die Wahl eines Phasenfaktors (was mathematisch mit der Gruppe U(1), d.h. einem Kreis beschrieben werden kann), in der QCD um drei Phasenfaktoren (was mathematisch der Gruppe SU(3) entspricht, für die es kein einfaches Bild gibt; es sind jedenfalls nicht einfach drei Kreise.
Dann gibt es die lokale Eichsymmetrie, die besagt, dass ich das „Bezugssystem“ in jedem Punkt der Raumzeit unterschiedlich wählen kann, d.h. dass z.B. die o.g. Phase in jedem Punkt der Raumzeit einen unterschiedlichen Nullpunkt hat. Nun wollen wir jedoch Felder in der Raumzeit in benachbarten Punkten vergleichen, d.h. man benötigt einen Mechanismus, der dieses Vergleichen erlaubt, obwohl doch die Nullpunkte in benachbarten Punkten unterschiedlich sein können. Dieser Mechanismus heißt mathematisch „Zusammenhang“, physikalisch entsprechen ihm die Eichfelder. Das heißt dass die Einführung einer lokalen Eichsymmetrie die gleichzeitige Einführung der Eichfelder erzwingt.
Die Invarianz bedeutet einfach die Forderung einer bestimmten Symmetrie. Diese kann häufig physikalisch motiviert werden, weil die Natur selbst diese Symmetrien aufweist und man sie in Messungen nachweisen kann. Der spektakulärste Erfolg war der Nachweis der Isospin- bzw. Flavour-Symmetrie, der letztlich dem Quarkmodell zugrunde liegt.
Die Constraints sind nun etwas völlig anderes. Klassifiziert man ein System von Gleichungen (z.B. die Maxwellgleichungen) danach, welche Gleichungen die Zeitentwicklung beschreiben (also Zeitableitungen beinhalten) und welche Gleichung für eine feste Zeit eine Bedingung an die Felder stellt, so ist ersteres eine dynamische Gleichung, letzteres ein Constraint. Es handelt sich dabei um einen Konsistenzbedingung an die Felder, die für jeden Zeitpunkt erfüllt sein muss. Im Falle der Elektrodynamik ist der Constraint einfach das Gaussche Gesetz.
Die Constraints spielen bei der Quantisierung eine sehr subtile Rolle, auf die ich zunächst mal nicht eingehen möchte.
Zusammenfassend: das ist alles physikalisch gut zu begründen.
http://www.kosmologs.de/kosmo/blog/eins ... hysik-2008
Das macht nichts! Der Witz beim Higgs-Mechanismus ist, dass die Abwesendheit dieses Bosons erklärt wird. (Hätten wir die spontane Brechung einer globalen Symmetrie, so wäre das Goldstone-Boson da; nur weil eben eine lokale Eichsymmetrie gebrochen wird, fehlt es)
Wie funktioniert das? Man muss Freiheitsgrade zählen: in der symmetrischen Phase gibt es ein masseloses Eichboson mit zwei Freiheitsgraden entsprechend der zwei möglichen Polarisationsrichtungen und ein masseloses Boson mit einem Freiheitsgrad, macht drei Freiheitsgrade. In der Phase mit gebrochener Symmetrie verschwindet das masselose Boson, dafür hat man ein massives Eichboson, das nun eine Polarisationsrichtung mehr aufweist, macht in Summe wieder drei Freiheitsgrade. Das schreibst du ja weiter unten ebenfalls.
Zusammenfassend: sehr guter Beitrag, aber ich habe den Eindruck, dass dich eher der Higgs-Mechanismus als die Eichtheorie selbst stört - stimmt’s?
danke für die ausführliche Erläuterung.
Ein paar Bemerkungen habe ich natürlich:
Zunächst sollte man zwischen einer globalen und einer lokalen Eichsymmetrie unterscheiden.Was heißt eichen?
Erstere bedeutet einfach, dass ich ein bestimmtes „Bezugssystem“ global frei wählen kann. Ich habe das in Anführungszeichen gesetzt, weil es sich nicht um ein Bezugssystem in der Raumzeit, sondern in einem abstrakten Raum handelt. In der Elektrodynamik geht es um die Wahl eines Phasenfaktors (was mathematisch mit der Gruppe U(1), d.h. einem Kreis beschrieben werden kann), in der QCD um drei Phasenfaktoren (was mathematisch der Gruppe SU(3) entspricht, für die es kein einfaches Bild gibt; es sind jedenfalls nicht einfach drei Kreise.
Dann gibt es die lokale Eichsymmetrie, die besagt, dass ich das „Bezugssystem“ in jedem Punkt der Raumzeit unterschiedlich wählen kann, d.h. dass z.B. die o.g. Phase in jedem Punkt der Raumzeit einen unterschiedlichen Nullpunkt hat. Nun wollen wir jedoch Felder in der Raumzeit in benachbarten Punkten vergleichen, d.h. man benötigt einen Mechanismus, der dieses Vergleichen erlaubt, obwohl doch die Nullpunkte in benachbarten Punkten unterschiedlich sein können. Dieser Mechanismus heißt mathematisch „Zusammenhang“, physikalisch entsprechen ihm die Eichfelder. Das heißt dass die Einführung einer lokalen Eichsymmetrie die gleichzeitige Einführung der Eichfelder erzwingt.
Hier verwechselst du m.E. die Forderung, dass das System unter allen Transformationen invariant bleibt mit dem Begriff der Constraints; die letzteren sind etwas anderes.Wir werden recht häufig Einschränkungen machen müssen, damit einige Szenarien, welche die angewandte Trafo stören, ausschließen. Das wird durch Voraussetzungen = constraints gemacht.
Die Invarianz bedeutet einfach die Forderung einer bestimmten Symmetrie. Diese kann häufig physikalisch motiviert werden, weil die Natur selbst diese Symmetrien aufweist und man sie in Messungen nachweisen kann. Der spektakulärste Erfolg war der Nachweis der Isospin- bzw. Flavour-Symmetrie, der letztlich dem Quarkmodell zugrunde liegt.
Die Constraints sind nun etwas völlig anderes. Klassifiziert man ein System von Gleichungen (z.B. die Maxwellgleichungen) danach, welche Gleichungen die Zeitentwicklung beschreiben (also Zeitableitungen beinhalten) und welche Gleichung für eine feste Zeit eine Bedingung an die Felder stellt, so ist ersteres eine dynamische Gleichung, letzteres ein Constraint. Es handelt sich dabei um einen Konsistenzbedingung an die Felder, die für jeden Zeitpunkt erfüllt sein muss. Im Falle der Elektrodynamik ist der Constraint einfach das Gaussche Gesetz.
Die Constraints spielen bei der Quantisierung eine sehr subtile Rolle, auf die ich zunächst mal nicht eingehen möchte.
Zusammenfassend: das ist alles physikalisch gut zu begründen.
Stimmt leider nicht. Verboten ist die Masse der Eichbosonen, nicht die der Fermionen. Die Diracgleichung für Elektronen mit Masse ist perfekt eichinvariant.Eichinvarianz ist nur möglichm wenn Fermionen keine Masse haben!
Dazu und zum Higgs-Mechanismus hat Ray was geschrieben:Die spontane Symmetriebrechung
http://www.kosmologs.de/kosmo/blog/eins ... hysik-2008
Wir erhalten einen Masseterm und einen Teil, der masselos bleibt. Letzteres wird "Goldstone Boson" genannt. … Punkt ist: es fehlt der Beweis dieses masselosen Teilchens!!
Das macht nichts! Der Witz beim Higgs-Mechanismus ist, dass die Abwesendheit dieses Bosons erklärt wird. (Hätten wir die spontane Brechung einer globalen Symmetrie, so wäre das Goldstone-Boson da; nur weil eben eine lokale Eichsymmetrie gebrochen wird, fehlt es)
Wie funktioniert das? Man muss Freiheitsgrade zählen: in der symmetrischen Phase gibt es ein masseloses Eichboson mit zwei Freiheitsgraden entsprechend der zwei möglichen Polarisationsrichtungen und ein masseloses Boson mit einem Freiheitsgrad, macht drei Freiheitsgrade. In der Phase mit gebrochener Symmetrie verschwindet das masselose Boson, dafür hat man ein massives Eichboson, das nun eine Polarisationsrichtung mehr aufweist, macht in Summe wieder drei Freiheitsgrade. Das schreibst du ja weiter unten ebenfalls.
Das verstehe ich nicht! Wie soll dieser Restterm aussehen, also wie lautet die Gleichung?- einen Restterm, der nicht als Teilchen interpretiert werden kann!!!!
Zusammenfassend: sehr guter Beitrag, aber ich habe den Eindruck, dass dich eher der Higgs-Mechanismus als die Eichtheorie selbst stört - stimmt’s?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
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wilfried
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Tag Tom
Danke für Deine Antwort, aber ich bitte Dich um Verständnis, daß ich erst frühestens Mitte nächster Woche antworten werde, da ich gerade eben eine Menge Arbeit habe. Ich werde aber Deine Punke aufgreifen und Dir sagen wie ich zu meinen Aussagen kommen.
Wird sich dann klären.
netten Gruß
Wilfried
Danke für Deine Antwort, aber ich bitte Dich um Verständnis, daß ich erst frühestens Mitte nächster Woche antworten werde, da ich gerade eben eine Menge Arbeit habe. Ich werde aber Deine Punke aufgreifen und Dir sagen wie ich zu meinen Aussagen kommen.
Wird sich dann klären.
netten Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo Wilfried,
ist ja kein Problem, wenn du wenig Zeit hast (haben wir alle).
Vorschlag: ich würde das Thema nicht unter Relativität behandeln.
Noch ein Tip zu den Eichtheorien. Am besten arbeitet man dazu die Ableitung der Feldgleichungen für Dirac-Teilchen in einem äußeren el.-mag. Feld durch.
Resultate:
- Man sieht dabei die Eichinvarianz der Wirkung unter globalen Transformationen
- die Forderung nach lokaler Invarianz erzwingt die Einführung des Eichfeldes
- man findet die Dirac- und die Maxwellgleichungen
- man unterscheidet eichinvariante und nicht-invariante Größen
- die Implementierung einer bestimmten Eichung (A° = 0) führt auf das Gaussche Gesetz (Constraint)
- man erkennt, dass man eine zweite Eichfreiheit hat (z.B. Coulombeichung)
- man identifiziert die physikalischen Freiheitsrade (zwei Polarisationen der Photonen)
- man sieht, dass massive Fermionen die Eichsymmetrie nicht zerstören
- man erkennt jedoch, dass ein Masseterm für die Bosonen die Symmetrie zerstört
- man kann einen sehr einfachen Higgsmechanismus diskutieren
- man kann die Hamiltonfunktion (Energiedichte) ableiten und die Rolle des Gausschen Gesetzes diskutieren
Man erkennt in Summe die Eleganz der Theorie - mit Ausnahme des Higgs-Mechanismus. Diese überträgt sich sofort auf die QCD mit SU(3)!
Ich halte es für besser, zuerst dieses einfache Modell zu diskutieren, bevort man bei de el.-schw. WW über die ganzen Probleme stolpert und meint, sie wären symptomatisch für die Eichtheorien selbst - sind sie nicht.
ist ja kein Problem, wenn du wenig Zeit hast (haben wir alle).
Vorschlag: ich würde das Thema nicht unter Relativität behandeln.
Noch ein Tip zu den Eichtheorien. Am besten arbeitet man dazu die Ableitung der Feldgleichungen für Dirac-Teilchen in einem äußeren el.-mag. Feld durch.
Resultate:
- Man sieht dabei die Eichinvarianz der Wirkung unter globalen Transformationen
- die Forderung nach lokaler Invarianz erzwingt die Einführung des Eichfeldes
- man findet die Dirac- und die Maxwellgleichungen
- man unterscheidet eichinvariante und nicht-invariante Größen
- die Implementierung einer bestimmten Eichung (A° = 0) führt auf das Gaussche Gesetz (Constraint)
- man erkennt, dass man eine zweite Eichfreiheit hat (z.B. Coulombeichung)
- man identifiziert die physikalischen Freiheitsrade (zwei Polarisationen der Photonen)
- man sieht, dass massive Fermionen die Eichsymmetrie nicht zerstören
- man erkennt jedoch, dass ein Masseterm für die Bosonen die Symmetrie zerstört
- man kann einen sehr einfachen Higgsmechanismus diskutieren
- man kann die Hamiltonfunktion (Energiedichte) ableiten und die Rolle des Gausschen Gesetzes diskutieren
Man erkennt in Summe die Eleganz der Theorie - mit Ausnahme des Higgs-Mechanismus. Diese überträgt sich sofort auf die QCD mit SU(3)!
Ich halte es für besser, zuerst dieses einfache Modell zu diskutieren, bevort man bei de el.-schw. WW über die ganzen Probleme stolpert und meint, sie wären symptomatisch für die Eichtheorien selbst - sind sie nicht.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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wilfried
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- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
- Wohnort: Mitten druff auf d'r Alb
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Tag zusammen
als "Qucky" zwischendurch habe ich einige intressante links zum Thema:
http://rc23.overture.com/d/sr/?xargs=15 ... ivie.ac.at
http://rc23.overture.com/d/sr/?xargs=15 ... uenchen.de
Dieser link ist eine sehr schöne Vorlesung zum Thema Higgs:
http://www1.fastbot.de/red.php?red=0281 ... lesung.ppt
Gruß
Wilfried
als "Qucky" zwischendurch habe ich einige intressante links zum Thema:
http://rc23.overture.com/d/sr/?xargs=15 ... ivie.ac.at
http://rc23.overture.com/d/sr/?xargs=15 ... uenchen.de
Dieser link ist eine sehr schöne Vorlesung zum Thema Higgs:
http://www1.fastbot.de/red.php?red=0281 ... lesung.ppt
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Danke für die Infos.
Kannst du erklären, warum in der el.-schw. Theorie ein Fermion-Massenterm die Eichsymmetrie brechen soll?
In QED und QCD ist das nicht so; da ist eine Dirac-Gleichung mit Masseterm wunderbar eichinvariant.
Kannst du erklären, warum in der el.-schw. Theorie ein Fermion-Massenterm die Eichsymmetrie brechen soll?
In QED und QCD ist das nicht so; da ist eine Dirac-Gleichung mit Masseterm wunderbar eichinvariant.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
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wilfried
- Ehrenmitglied
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- Registriert: 20. Aug 2006, 10:18
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Lieber Tom
jetzt mach ich das doch anders: ich lege einfach meine handgeschriebenen Seiten hier ab. Du erkennst meine Fragezeichen. Wäre toll, wenn sich das klären ließe. Mal sehen. Ist doch eine vertrackte Sache, wenn man komplexe Felder betrachtet!!!!
Lieber Werner, biite lege hier mein gesendetes pdf file "Zur Higgs Problematik" ab. Danke dafür.
Kein Problem, hier ist Deine Datei zu bekommen:
http://abenteuer-universum.de/userfiles ... ematik.pdf
Ich habe einiges an Literatur Links in unseren Literaturordner viewtopic.php?t=955 gestellt.
Gruß
Wilfried
jetzt mach ich das doch anders: ich lege einfach meine handgeschriebenen Seiten hier ab. Du erkennst meine Fragezeichen. Wäre toll, wenn sich das klären ließe. Mal sehen. Ist doch eine vertrackte Sache, wenn man komplexe Felder betrachtet!!!!
Lieber Werner, biite lege hier mein gesendetes pdf file "Zur Higgs Problematik" ab. Danke dafür.
Kein Problem, hier ist Deine Datei zu bekommen:
http://abenteuer-universum.de/userfiles ... ematik.pdf
Ich habe einiges an Literatur Links in unseren Literaturordner viewtopic.php?t=955 gestellt.
Gruß
Wilfried
Zuletzt geändert von wilfried am 2. Nov 2008, 12:34, insgesamt 3-mal geändert.
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
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wilfried
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Tag Tom
mich stört halt der Term
(Danke für die Tex Hilfe!!) ; Mit dem komme ich einfach nicht klar! Wie interpretiere ich den?
Gruß
Wilfried
mich stört halt der Term
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
den Term verstehe ich so nicht; es müssten eigentlich drei oder vier Terme sein, die dann eine Kopplung von Feldern untereinander, d.h. die Umwandlung beschreiben; ich muss das mal nachlesen
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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wilfried
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Tag Tom
das erstaunt mich schon, denn wenn ich Terme habe, die als Masse interpretierbar sind und sich dann ein Term ergibt, der diese Interpretation nicht zuläßt und Du dann so "einfach" sagst, er fällt in der physikalischen Eichung weg, der gie GB's zum Verschwinden bringt, ja dann ist das doch wieder ein solcher Punkt, das Wasser auf meine Mühle treibt:
die Seltsamkeit der Eichungen
Es wird offensichtlich auch hier dann so hingeeicht, daß es halt paßt???
Ja, ich weiß es klingt fast abgedroschen, da ich diesen Satz immer wieder sage, aber hier nochmals meine Bitte um Verständnis:
was eigentlich sollen diese Eichungen?
Sind wir denn wirklich auf dem richtigen Weg, wenn wir laufend Eichungen finden, die Terme, welche wir nicht wollen, zum verschwinden bringen???
Gruß
Wilfried
das erstaunt mich schon, denn wenn ich Terme habe, die als Masse interpretierbar sind und sich dann ein Term ergibt, der diese Interpretation nicht zuläßt und Du dann so "einfach" sagst, er fällt in der physikalischen Eichung weg, der gie GB's zum Verschwinden bringt, ja dann ist das doch wieder ein solcher Punkt, das Wasser auf meine Mühle treibt:
die Seltsamkeit der Eichungen
Es wird offensichtlich auch hier dann so hingeeicht, daß es halt paßt???
Ja, ich weiß es klingt fast abgedroschen, da ich diesen Satz immer wieder sage, aber hier nochmals meine Bitte um Verständnis:
was eigentlich sollen diese Eichungen?
Sind wir denn wirklich auf dem richtigen Weg, wenn wir laufend Eichungen finden, die Terme, welche wir nicht wollen, zum verschwinden bringen???
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo zusammen,
wenn ich Zeit habe, nehme ich ein paar Zeilen Mimetex hier mit rein; bis dahin erst mal nur Prosa: Bei der spontanen Symmetriebrechung passieren zwei Dinge parallel; zum einen entwickelt ein Feld einen Vakuumerwartungswert (physikalisch!) zum anderen wählt man dem Phänomen optimal angepasste Variablen (mathematisch!) Was dich (Wilfried) stört ist eigentlich nur der zweite Schritt. Er hat nichts mit der Eichsymmetrie an sich zu tun, sondern ist für viele (hinreichend komplizierten) physikalischen Phänomene nötig.
Zu Wilfried's Beiträgen
In unserem Fall wählt man zunächst neue (komplexe, kartesidche) Variablen, die den Shift aufgrund des Vakuumerwartungswertes berücksichtigen. Diese neuen Variablen berücksichtigen jedoch nicht die verbleibende Symmetrie, nämlich die Rotation entlang des Minimums. Dazu wählt man anschließend in den verschobenen Variablen die polare Darstellung, die diese Restsymmetrie optimal berücksichtigt. Der bilineare Term besagt, dass sich die beiden beteiligten Felder spontan ineinander umwandeln können.
Sowas ähnliches kennt man von den Neutrinooszillationen oder der CKM-Matrix (Nobelpreis dieses Jahr). Die Aussage dahinter ist, dass die Variablen nicht echten physikalischen Freiheitsgrade repräsentieren. Also muss man die Basis entsprechend transformieren bzw. eine Matrix / einen Operator diagonalisieren. Im Falle der Neutrinooszillationen ist nun die gleichzeitige Diagonalisierung zweier Matrizen notwendig - und da das nicht immer funktioniert, bleiben Nebendiagonalelemente übrig, die eine echte physikalischje Mischung beschreiben.
Im Falle der Vektorbosonen der el.-schw. Symmetrie funktioniert die Diagonalisierung jedoch, man erhält neue Freiheitsgrade ohne Mischung, die sich physikalisch als Teilchen interpretieren lassen. Außerdem stellt man fest, dass man bereits zu Beginn einen Freiheitsgrad zuviel eingeführt hatte. Aus Sicht des would-be-Goldstone-Bosons alleine ist das Rollen entlang des Minimums eine physikalische Entwicklung des Skalarfeldes, aus Sicht der Eichsymmetrie jedoch nur eine Umeichung. D.h. dass dieses Goldstone-Mode keinem echten Teilchen entspricht und durch eine Eichung kompensiert werden muss.
Ähnliches passiert bereits mit dem Photon in der QED: Man führt zur kovarianten Beschreibung das Vektorpotential mit vier Komponenten ein. Sowohl physikalisch (nur zwei Polarisationen = zwei Freiheitsgrade) als auch mathematisch (A° kein physikalisches Feld, Gauß-Gesetz) weiß man jedoch, dass man dabei zwei Freiheitsgrade zuviel eingeführt hat, die man nun wieder loswerden muss. Im einfachsten Fall erledigt man dies über die temporale Eichung A°=0. A° ist kein physikalisches Feld, da für A° keine Zeitableitung und somit auch keine Dynamik existiert. Man kann also z.B. eine Eichung wählen, in der A° gleich Null gesetzt wird (Macht man in der kanonischen Quantisierung mittels Hamiltonoperator; hat den Nachteil, dass man die Lorentzt-Kovarianz formal bricht und später explizit ihre Gültigkeit prüfen muss; anderer Weg: kovariante Eichung mit unphysikalischen Freiheitsgraden und BRST-Symmetrie bzw. Geistern, gefällt dir sicher noch weniger). Anschließend bleibt die zu A° gehörige Bewegungsgleichung übrig (da für A° keine Zeitableitung ist auch die Bewegungsgleichung keine echte, sondern ein sogenannter Constraint). Über den Constraint kann man anschließend per kanonischer Transformation (klassisch) bzw. unitärer Transformation (quantenmechanisch) eine zweite sogenannte Residual Gauge Symmetry ausnutzen und eine zweite Eichbedingung fixieren, z.B. die Coulomb- oder die axiale Eichung A³=0. Zuletzt hat man dann also eine Theorie mit auasschließlich physikalischen Freiheitsgraden.
Zur Residual Gauge Symmetry
Man legt die Eichung
 = 0)
fest.
Um von einer beliebigen Eichfeldkonfiguration darauf zu kommen, muss man eine Eichtrafo
 \rightarrow A^\prime_\mu(x) = A_\mu(x) - \partial_\mu \chi(x))
anwenden, für die gilt:
 - \partial_0 \chi(x) = 0)
Dies löst man mittels
 = \int^{x^0} dt A(t, {\bf x}))
Die Residual Gauge SYmmetry besagt nun, dass man noch weitere Umeichungen durchführen kann, sofern diese die jetzt gewählte Eichung nicht zerstören. In der Praxis sind dies alle Eichtransformationen mit
 = 0)
also
 = A^\prime_\0(x) = 0)
und
 \rightarrow A^\prime_i(x) = A_i(x) - \partial_i \chi({\bf x}))
Zur Mathematik der Eichsymmetrien
Das alles hat eine fundierte mathematische Basis, nämlich die der sogenannten Faserbündel.
Stellt euch vor, ihr haltet ein Bündel Spaghetti in der Hand; in unseren Falle wären es bereits gekochte Spaghetti, d.h. das Bündel kann gekrümmt sein. Stellt euch weiterhin vor, das Bündel würde nicht nur eure Hand sondern den gesamten Raum ausfüllen, wobei zwar alle möglichen Verbiegungen / Verwindungenusw. zulässig wären, die Spaghettis jedoch weiterhin parallel zu ihren Nachbarn verlaufen müssten, also Verwindungen nur im Großen. Jede Nudel entspricht der Wirkung einer Eichtransformation, d.h. eine Eichtransformation führt entlang einer Nudel. Man nennt dies den Gauge-Orbit.
In diesem Falle wäre die Eichgruppe ein eindimensionaler Raum für ein Eichfeld mit einer Komponente (dem Wert entlang der Nudel). Außerdem hätten wir eine zweidimensionale Raumzeit. Zusammen füllt dies den dreidimensioanlen Raum mit unseren Spaghettis aus (also nicht sehr realistisch, aber einigermaßen anschaulich).
Jetzt führen wir eine Eichfixierung durch: Wir schneiden dazu mit einem unendlich langen und beliebig flexiblen Messer durch die Spaghettis; das Messer darf sich während des Schneidens praktisch beliebig verbiegen, wobei wir folgendes jedoch berücksichtigen müssen:
- es wird immer senkrecht durch die Spaghettis geschnitten
- durch jede Nudel wird genau einmal durchgeschnitten
Wir erhalten einen globalen Schnitt durch die Spaghettis. Dieser repräsentiert unsere Eichung. Je nach Komplexität der Eichgruppe wird dieser Schnitt entsprechend kompliziert sein.
Verallgemeinerung des obigen Bildes für bekannte Eichgruppen:
- zunächst benötigen wir eine vierdimensionale Raumzeit
- in der QED benötigen wir an jedem Punkt vier Spaghettis (Viererpotential)
- in der QCD benötigen wir an jedem Punkt vier achtdimensionale Spaghettis (Viererpotential, acht Gluonen)
Letzteres führt zu mathematischen Problemen bei der Eichfixierung:
1) man bevorzugt kovariante Eichungen (A°=0 ist keine!); für kovariante Eichungen ist jedoch kein globaler Schnitt bekannt, d.h. jede Eichbedingung fixiert die Eichung nur teilweise
2) man erhält Eichungen, in denen der Schnitt jede Nudel unendlich oft in endlichem Abstand schneidet. Innerhalb eines bestimmten Gebietes ist die Eichung eindeutig fixiert (jede Nudel genau einmal geschnitten), global jedoch nicht. Man bezeichnet das eindeutige Gebiet als Gribov-Horizon, die mehrfachen Schnitte als Gribov-Copies oder Gribov-Ambiguities. Ergebnis: es bleibt eine globale, diskrete Eichsymmetrie zurück.
3) im Falle gebräuchlicher kovarianter Eichungen wird zunächst ein Freiheitsgrad durch die Eichung selbst eliminiert. Statt des "einfachen" Gauss-Gesetzes erhält man einen komplizierteren Constraint. Um diesen Im Pfadintegral einzubauen und den zweiten unphysikalischen Freiheitsgrad loszuwerden, muss man sogenannte Geist-Felder einführen. Diese kombinieren zusammen mit dem einen uphysikalischen Freiheitsgrad zu 0, d.h. beide treten zwar im Pfadintegral auf, heben sich jedoch in physikalischen Größen wie z.B. Wirkungsquerschnitten weg. Die Geist-Felder verletzen übrigens das Spin-Statistik Theorem.
Alternative 1: nicht-kovariante Eichungen, z.B. A°=0 im Hamiltonschen Formalismus. Hier tritt das Problem auf, dass die resultierendne Operatoren H und P äußerst unhandliche Gebilde sind. Zunächst muss man zeigen, dass sie die Poincare-Algebra erfüllen, die Theorie also Lorentz- bzw. Poincare-kovariant ist. Dies ist aufwendig, da wegen A°=0 und A³ die Lorentz- bzw. die Rotationsinvarianz formal gebrochen ist. Dann muss man die Operatoren regularisieren, da sie zunächst unendliche Resultate liefern, wobei darauf zu achten ist, dass diese Regularisierung wiederum keine Symmetrie brechen darf.
Alternative 2: Gittereichtheorien - aber das ist ein neues Thema ...
wenn ich Zeit habe, nehme ich ein paar Zeilen Mimetex hier mit rein; bis dahin erst mal nur Prosa: Bei der spontanen Symmetriebrechung passieren zwei Dinge parallel; zum einen entwickelt ein Feld einen Vakuumerwartungswert (physikalisch!) zum anderen wählt man dem Phänomen optimal angepasste Variablen (mathematisch!) Was dich (Wilfried) stört ist eigentlich nur der zweite Schritt. Er hat nichts mit der Eichsymmetrie an sich zu tun, sondern ist für viele (hinreichend komplizierten) physikalischen Phänomene nötig.
Zu Wilfried's Beiträgen
Ja!Sind wir denn wirklich auf dem richtigen Weg, wenn wir laufend Eichungen finden, die Terme, welche wir nicht wollen, zum verschwinden bringen???
In unserem Fall wählt man zunächst neue (komplexe, kartesidche) Variablen, die den Shift aufgrund des Vakuumerwartungswertes berücksichtigen. Diese neuen Variablen berücksichtigen jedoch nicht die verbleibende Symmetrie, nämlich die Rotation entlang des Minimums. Dazu wählt man anschließend in den verschobenen Variablen die polare Darstellung, die diese Restsymmetrie optimal berücksichtigt. Der bilineare Term besagt, dass sich die beiden beteiligten Felder spontan ineinander umwandeln können.
Sowas ähnliches kennt man von den Neutrinooszillationen oder der CKM-Matrix (Nobelpreis dieses Jahr). Die Aussage dahinter ist, dass die Variablen nicht echten physikalischen Freiheitsgrade repräsentieren. Also muss man die Basis entsprechend transformieren bzw. eine Matrix / einen Operator diagonalisieren. Im Falle der Neutrinooszillationen ist nun die gleichzeitige Diagonalisierung zweier Matrizen notwendig - und da das nicht immer funktioniert, bleiben Nebendiagonalelemente übrig, die eine echte physikalischje Mischung beschreiben.
Im Falle der Vektorbosonen der el.-schw. Symmetrie funktioniert die Diagonalisierung jedoch, man erhält neue Freiheitsgrade ohne Mischung, die sich physikalisch als Teilchen interpretieren lassen. Außerdem stellt man fest, dass man bereits zu Beginn einen Freiheitsgrad zuviel eingeführt hatte. Aus Sicht des would-be-Goldstone-Bosons alleine ist das Rollen entlang des Minimums eine physikalische Entwicklung des Skalarfeldes, aus Sicht der Eichsymmetrie jedoch nur eine Umeichung. D.h. dass dieses Goldstone-Mode keinem echten Teilchen entspricht und durch eine Eichung kompensiert werden muss.
Ähnliches passiert bereits mit dem Photon in der QED: Man führt zur kovarianten Beschreibung das Vektorpotential mit vier Komponenten ein. Sowohl physikalisch (nur zwei Polarisationen = zwei Freiheitsgrade) als auch mathematisch (A° kein physikalisches Feld, Gauß-Gesetz) weiß man jedoch, dass man dabei zwei Freiheitsgrade zuviel eingeführt hat, die man nun wieder loswerden muss. Im einfachsten Fall erledigt man dies über die temporale Eichung A°=0. A° ist kein physikalisches Feld, da für A° keine Zeitableitung und somit auch keine Dynamik existiert. Man kann also z.B. eine Eichung wählen, in der A° gleich Null gesetzt wird (Macht man in der kanonischen Quantisierung mittels Hamiltonoperator; hat den Nachteil, dass man die Lorentzt-Kovarianz formal bricht und später explizit ihre Gültigkeit prüfen muss; anderer Weg: kovariante Eichung mit unphysikalischen Freiheitsgraden und BRST-Symmetrie bzw. Geistern, gefällt dir sicher noch weniger). Anschließend bleibt die zu A° gehörige Bewegungsgleichung übrig (da für A° keine Zeitableitung ist auch die Bewegungsgleichung keine echte, sondern ein sogenannter Constraint). Über den Constraint kann man anschließend per kanonischer Transformation (klassisch) bzw. unitärer Transformation (quantenmechanisch) eine zweite sogenannte Residual Gauge Symmetry ausnutzen und eine zweite Eichbedingung fixieren, z.B. die Coulomb- oder die axiale Eichung A³=0. Zuletzt hat man dann also eine Theorie mit auasschließlich physikalischen Freiheitsgraden.
Zur Residual Gauge Symmetry
Man legt die Eichung
fest.
Um von einer beliebigen Eichfeldkonfiguration darauf zu kommen, muss man eine Eichtrafo
anwenden, für die gilt:
Dies löst man mittels
Die Residual Gauge SYmmetry besagt nun, dass man noch weitere Umeichungen durchführen kann, sofern diese die jetzt gewählte Eichung nicht zerstören. In der Praxis sind dies alle Eichtransformationen mit
also
und
Zur Mathematik der Eichsymmetrien
Das alles hat eine fundierte mathematische Basis, nämlich die der sogenannten Faserbündel.
Stellt euch vor, ihr haltet ein Bündel Spaghetti in der Hand; in unseren Falle wären es bereits gekochte Spaghetti, d.h. das Bündel kann gekrümmt sein. Stellt euch weiterhin vor, das Bündel würde nicht nur eure Hand sondern den gesamten Raum ausfüllen, wobei zwar alle möglichen Verbiegungen / Verwindungenusw. zulässig wären, die Spaghettis jedoch weiterhin parallel zu ihren Nachbarn verlaufen müssten, also Verwindungen nur im Großen. Jede Nudel entspricht der Wirkung einer Eichtransformation, d.h. eine Eichtransformation führt entlang einer Nudel. Man nennt dies den Gauge-Orbit.
In diesem Falle wäre die Eichgruppe ein eindimensionaler Raum für ein Eichfeld mit einer Komponente (dem Wert entlang der Nudel). Außerdem hätten wir eine zweidimensionale Raumzeit. Zusammen füllt dies den dreidimensioanlen Raum mit unseren Spaghettis aus (also nicht sehr realistisch, aber einigermaßen anschaulich).
Jetzt führen wir eine Eichfixierung durch: Wir schneiden dazu mit einem unendlich langen und beliebig flexiblen Messer durch die Spaghettis; das Messer darf sich während des Schneidens praktisch beliebig verbiegen, wobei wir folgendes jedoch berücksichtigen müssen:
- es wird immer senkrecht durch die Spaghettis geschnitten
- durch jede Nudel wird genau einmal durchgeschnitten
Wir erhalten einen globalen Schnitt durch die Spaghettis. Dieser repräsentiert unsere Eichung. Je nach Komplexität der Eichgruppe wird dieser Schnitt entsprechend kompliziert sein.
Verallgemeinerung des obigen Bildes für bekannte Eichgruppen:
- zunächst benötigen wir eine vierdimensionale Raumzeit
- in der QED benötigen wir an jedem Punkt vier Spaghettis (Viererpotential)
- in der QCD benötigen wir an jedem Punkt vier achtdimensionale Spaghettis (Viererpotential, acht Gluonen)
Letzteres führt zu mathematischen Problemen bei der Eichfixierung:
1) man bevorzugt kovariante Eichungen (A°=0 ist keine!); für kovariante Eichungen ist jedoch kein globaler Schnitt bekannt, d.h. jede Eichbedingung fixiert die Eichung nur teilweise
2) man erhält Eichungen, in denen der Schnitt jede Nudel unendlich oft in endlichem Abstand schneidet. Innerhalb eines bestimmten Gebietes ist die Eichung eindeutig fixiert (jede Nudel genau einmal geschnitten), global jedoch nicht. Man bezeichnet das eindeutige Gebiet als Gribov-Horizon, die mehrfachen Schnitte als Gribov-Copies oder Gribov-Ambiguities. Ergebnis: es bleibt eine globale, diskrete Eichsymmetrie zurück.
3) im Falle gebräuchlicher kovarianter Eichungen wird zunächst ein Freiheitsgrad durch die Eichung selbst eliminiert. Statt des "einfachen" Gauss-Gesetzes erhält man einen komplizierteren Constraint. Um diesen Im Pfadintegral einzubauen und den zweiten unphysikalischen Freiheitsgrad loszuwerden, muss man sogenannte Geist-Felder einführen. Diese kombinieren zusammen mit dem einen uphysikalischen Freiheitsgrad zu 0, d.h. beide treten zwar im Pfadintegral auf, heben sich jedoch in physikalischen Größen wie z.B. Wirkungsquerschnitten weg. Die Geist-Felder verletzen übrigens das Spin-Statistik Theorem.
Alternative 1: nicht-kovariante Eichungen, z.B. A°=0 im Hamiltonschen Formalismus. Hier tritt das Problem auf, dass die resultierendne Operatoren H und P äußerst unhandliche Gebilde sind. Zunächst muss man zeigen, dass sie die Poincare-Algebra erfüllen, die Theorie also Lorentz- bzw. Poincare-kovariant ist. Dies ist aufwendig, da wegen A°=0 und A³ die Lorentz- bzw. die Rotationsinvarianz formal gebrochen ist. Dann muss man die Operatoren regularisieren, da sie zunächst unendliche Resultate liefern, wobei darauf zu achten ist, dass diese Regularisierung wiederum keine Symmetrie brechen darf.
Alternative 2: Gittereichtheorien - aber das ist ein neues Thema ...
Zuletzt geändert von tomS am 27. Feb 2009, 12:43, insgesamt 1-mal geändert.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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wilfried
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Lieber Tom
was soll ich jetzt sagen??? Diese Qualität der Antwort ist phantasitishc. Recht herzlichen Dank dafür.
Da ich als Ingenieur ausgebildet bin und das auch so liebe stets irgendetwas aus dem zu realisieren, was die Wissenschaft uns zubereitet hat, habe ich aber auch zwangsläufig mit solchen Zwickmühlen meine liebe Not.
Ich verstehe, daß die theoretische Physik manchmal zu besonderen Mitteln greift, die haben wir auch in unseren weiterführenden Vorlesungen: Maxwell, Hochfrequenz, Elektrodynamik sind unsere Stichworte. jedoch ist das alles "alter Zinnober" für Euch theoretische Physiker.
Nun komme ich so flapsig daher und hinterfrage das Gebilde. Unverholen gebe ich zu, daß ich damit meine Probleme habe. Diese Probleme liegen mehr im Verständnis, oder laß mich sagen in der Interpretation als im mathematischen. Seitens der Mathematik kann ich einiges soweit verstehen, als daß mir die Methodik zum Teil bekannt ist oder sich diese durch ein wenig nachlesen aneignen läßt. Ich will aber nicht sagen, daß ich alles nachrechnen oder berechnen kann. neiin, das nicht.
Aber die Interpretation, da ist so eine innere Barriere und über die komme ich doch hier und da nur sehr schwer hinweg.
Das ist ja uch mein Problem mit diesem seltsamen Higgs Term. Normalerweise tät ich zu Kollegen sagen:
ok, sei's drum, ich verstehe es nicht ganz, aber wenn es manifestiert ist, dann ist es es halt so.
Aber hier im Forum bin ich doch hartäckiger und versuche solche Spezialisten wie Dich Tom auszuquetschen. Ich weiß ja, daß es hier geduldige Diskussionspartrner gibt. Al kann auch sein Lied von meinen Diskussionen singen. Den armen Mann nerve ich ja auch mit meinen Beiträgen.
Komem wir aber wieder zurück auf den Beitrag:
Du sagst etwas weiter unten ja auch:
Das ist es, warum ich sage: "wir eichen dem Teufel ein Ohr weg" und das ist es,. warum ich frage:
"machen wir das überhaupt richtig?"
Ich kann trotz Deiner sehr guten Erläuterungen nicht umhin zu sagen:
Ist denn dieser Eiertanz wirklich richtig?
Gruß
Wilfried
Gruß
Wilfried
was soll ich jetzt sagen??? Diese Qualität der Antwort ist phantasitishc. Recht herzlichen Dank dafür.
Das ist nun mal mein Problem. Ich will es noch anders ausdrücken:Die Aussage dahinter ist, dass die Variablen nicht echten physikalischen Freiheitsgrade repräsentieren. Also muss man die Basis entsprechend transformieren bzw. eine Matrix / einen Operator diagonalisieren.
Da ich als Ingenieur ausgebildet bin und das auch so liebe stets irgendetwas aus dem zu realisieren, was die Wissenschaft uns zubereitet hat, habe ich aber auch zwangsläufig mit solchen Zwickmühlen meine liebe Not.
Ich verstehe, daß die theoretische Physik manchmal zu besonderen Mitteln greift, die haben wir auch in unseren weiterführenden Vorlesungen: Maxwell, Hochfrequenz, Elektrodynamik sind unsere Stichworte. jedoch ist das alles "alter Zinnober" für Euch theoretische Physiker.
Nun komme ich so flapsig daher und hinterfrage das Gebilde. Unverholen gebe ich zu, daß ich damit meine Probleme habe. Diese Probleme liegen mehr im Verständnis, oder laß mich sagen in der Interpretation als im mathematischen. Seitens der Mathematik kann ich einiges soweit verstehen, als daß mir die Methodik zum Teil bekannt ist oder sich diese durch ein wenig nachlesen aneignen läßt. Ich will aber nicht sagen, daß ich alles nachrechnen oder berechnen kann. neiin, das nicht.
Aber die Interpretation, da ist so eine innere Barriere und über die komme ich doch hier und da nur sehr schwer hinweg.
Das ist ja uch mein Problem mit diesem seltsamen Higgs Term. Normalerweise tät ich zu Kollegen sagen:
ok, sei's drum, ich verstehe es nicht ganz, aber wenn es manifestiert ist, dann ist es es halt so.
Aber hier im Forum bin ich doch hartäckiger und versuche solche Spezialisten wie Dich Tom auszuquetschen. Ich weiß ja, daß es hier geduldige Diskussionspartrner gibt. Al kann auch sein Lied von meinen Diskussionen singen. Den armen Mann nerve ich ja auch mit meinen Beiträgen.
Komem wir aber wieder zurück auf den Beitrag:
Du sagst etwas weiter unten ja auch:
Siehst Du, das ist exakt das was ich meine: hier werden Eichungen durchgeführt und ihr selber seht ein, daß diese zu Verletzungen führen. Dann geht ihr hin und re-eciht diese ganze Geschichte, wie Du sagst z.B. über nicht-kovariante Eichungen -Frage: sind bei Dir nicht-kovariante Eichungen kontravariante Eichungen??- bzw. über Gittereichtheorien.Diese kombinieren zusammen mit dem einen uphysikalischen Freiheitsgrad zu 0, d.h. beide treten zwar im Pfadintegral auf, heben sich jedoch in physikalischen Größen wie z.B. Wirkungsquerschnitten weg. Die Geist-Felder verletzen übrigens das Spin-Statistik Theorem.
Das ist es, warum ich sage: "wir eichen dem Teufel ein Ohr weg" und das ist es,. warum ich frage:
"machen wir das überhaupt richtig?"
Ich kann trotz Deiner sehr guten Erläuterungen nicht umhin zu sagen:
Ist denn dieser Eiertanz wirklich richtig?
Gruß
Wilfried
Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hallo Wilfried,
ich versuche, nochmal auf deine wesentlichen Einwände einzugehen:
In den Eichtheorien treten ungewöhnliche Objekte und Eigenschaften zu tage, die man aus der uns vertrauten Umgebung nicht kennt; deswegen widersprechen sie unserer Erfahrungswelt. Das gilt jedoch auch für viele weitere Konstrukte, z.B. komplexe Integraltrafos, Feynmanintegrale, Hilberträume usw. Die Tatsache, dass diese Objekte die Wirklichkeit (= die physikalische Realität mit ihren Prozessen und Wechselwirkungen) beschreiben, sollte uns zu der Frage veranlassen, warum dies so ist. Ich sehe gegenwärtig jedenfalls keinen Grund, in Frage zu stellen, dass das so ist.
Eine grundsätzliche Aussage zu den Eichsymmetrien: Man hat hier ein mathematisch extrem mächtiges Werkzeug in der Hand, indem man nämlich diese Symmetrien auf vielfältige Weise nutzen kann:
- Konstruktion von mathematisch widerspruchfreien Theorien
- Ableitung der Existenz der Farbladung und der starken WW = QCD
- Eigenschaften der QCD: asymptotische Freiheit, Scaling, Confinement
- Beweis der störungstheoretischen Renormierbarkeit in allen Ordnungen
- Beweis der Anomalienfreiheit der Eichsymmetrie = Mathematische Konsistenz
- Eliminierung des unphysikalischen Goldstone-Bosons und Ableitung des Higgs-Mechanismus
- u.v.a.m.
Ich will damit sagen, dass der Formalismus der Eichtheorien zu einem tiefgreifenden Verständnis der Phänomene des Standardmodells geführt hat - deswegen bin ich überzeugt, dass wir damit auf dem richtigen Weg sind.
Zu dem Einwand
Die Verletzung, die du meinst, ist die des Spin-Statistik-Theorems. Es besagt, dass Bosonen bzw. Fermionen mit kanonischen Vertauschungs- bzw. Antivertauschungsrelationen beschrieben werden müssen; andernfalls werden die resultierenden Theorien inkonsistent. In den Beweis gehen verschiedenen Annahmen ein, von denen einige durch die Geist-Felder verletzt werden. Da diese jedoch prinzipiell unbeobachtbar sind (also keine physikalischen Anfangs- bzw. Endzustände darstellen, sondern immer nur als virtuelle Teilchen auftreten), stört das niemanden.
Mathematisch sind die Geister lediglich ein Trick, um eine Determinante als Exponentialfunktion zu schreiben. Als Ergebnis erhält man Bosonen mit Spin 0, die der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen. Tatsache ist, dass man geeignete Eichungen finden kann, in denen diese Geistfelder nicht auftreten.
Zum Begriff der kovarianten Eichung: Ziel ist es, wie gesagt, eine Bedingung zu formulieren, um unphysikalische Freiheitsgrade loszuwerden. Eine solche Bedingung kann nun Lorentz-kovariant formuliert (dann ist die Kovarianz der Theorie manifest und muss nicht explizit bewiesen werden) oder nicht Lorentz-kovariant formuliert sein.
Bsp.:
und
Ersteres ist die (kovariante) Strahlungseichung. Sie erhält die Kovarianz, d.h. sobald sie in einem Inertialsystem gitl, gilt sie automatisch in allen Inertialsystemen.
Sie ist für Streuexperiente sehr hilfreich, da dort oft zwischen verschiedenen Bezugssystemen transformiert werden muss und man sicherstellen kann, dass die Propagatoren und andere Ausdrücke in den Feynmanintegralen immer dieselbe Form haben.
Die beiden anderen Eichungen sind die temporale Eichung bzw. die Coulomb-Eichung, die in der Elektrodynamik (Elektrostatik) häufig benutzt werden. In der QFT sind sie sehr kompliziert zu handhaben, da sie nicht kovariant sind, d.h. die Eichbedingung ändert ihre Form beim Wechsel des Koordinatensystems.
Dies macht ihre Verwendung in der Streutheorie praktisch unmöglich. Sie haben jedoch auch Vorteile: die Kombination der temporalen mit der axialen Eichung führt in der QCD zu einer Formulierung für den Hamiltonoperator, in dem ausschließlich physikalische und eichinvariante Größen auftreten, d.h. man hat die Eichfreiheit vollständig eliminiert! Geistfelder ud Gribov-Copies treten ebenfalls nicht auf.
Abschließend:
Eichtheorien erlauben (erzwingen) die Untersuchung eines physikalischen Systems in verschiedenen Eichungen. Dabei treten interessante Dinge zu tage: So werden z.B. die mathematischen Formalismen oft extrem unterschiedlich sein, jedoch die selben physikalischen Vorhersagen reproduzieren. Oder es ergeben sich Sackgassen in einer Formulierung, die in einer anderen Formulierung elegant umschifft werden können. In Summe bietet die Theorie quasi eine Art Konsistenzcheck an.
Gruß
Tom
ich versuche, nochmal auf deine wesentlichen Einwände einzugehen:
In den Eichtheorien treten ungewöhnliche Objekte und Eigenschaften zu tage, die man aus der uns vertrauten Umgebung nicht kennt; deswegen widersprechen sie unserer Erfahrungswelt. Das gilt jedoch auch für viele weitere Konstrukte, z.B. komplexe Integraltrafos, Feynmanintegrale, Hilberträume usw. Die Tatsache, dass diese Objekte die Wirklichkeit (= die physikalische Realität mit ihren Prozessen und Wechselwirkungen) beschreiben, sollte uns zu der Frage veranlassen, warum dies so ist. Ich sehe gegenwärtig jedenfalls keinen Grund, in Frage zu stellen, dass das so ist.
Eine grundsätzliche Aussage zu den Eichsymmetrien: Man hat hier ein mathematisch extrem mächtiges Werkzeug in der Hand, indem man nämlich diese Symmetrien auf vielfältige Weise nutzen kann:
- Konstruktion von mathematisch widerspruchfreien Theorien
- Ableitung der Existenz der Farbladung und der starken WW = QCD
- Eigenschaften der QCD: asymptotische Freiheit, Scaling, Confinement
- Beweis der störungstheoretischen Renormierbarkeit in allen Ordnungen
- Beweis der Anomalienfreiheit der Eichsymmetrie = Mathematische Konsistenz
- Eliminierung des unphysikalischen Goldstone-Bosons und Ableitung des Higgs-Mechanismus
- u.v.a.m.
Ich will damit sagen, dass der Formalismus der Eichtheorien zu einem tiefgreifenden Verständnis der Phänomene des Standardmodells geführt hat - deswegen bin ich überzeugt, dass wir damit auf dem richtigen Weg sind.
Zu dem Einwand
Die kovarianten Eichungen haben in der Störungstheorie ihre Berechtigung; Man muss jedoch auch ihre Einschränkungen kennen und wissen, wann man sich in unzulässige Bereiche begibt. Tatsache ist, dass alle Streuexperimente im wesentlichen darüber beschreibbar sind.hier werden Eichungen durchgeführt und ihr selber seht ein, daß diese zu Verletzungen führen
Die Verletzung, die du meinst, ist die des Spin-Statistik-Theorems. Es besagt, dass Bosonen bzw. Fermionen mit kanonischen Vertauschungs- bzw. Antivertauschungsrelationen beschrieben werden müssen; andernfalls werden die resultierenden Theorien inkonsistent. In den Beweis gehen verschiedenen Annahmen ein, von denen einige durch die Geist-Felder verletzt werden. Da diese jedoch prinzipiell unbeobachtbar sind (also keine physikalischen Anfangs- bzw. Endzustände darstellen, sondern immer nur als virtuelle Teilchen auftreten), stört das niemanden.
Mathematisch sind die Geister lediglich ein Trick, um eine Determinante als Exponentialfunktion zu schreiben. Als Ergebnis erhält man Bosonen mit Spin 0, die der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen. Tatsache ist, dass man geeignete Eichungen finden kann, in denen diese Geistfelder nicht auftreten.
Zum Begriff der kovarianten Eichung: Ziel ist es, wie gesagt, eine Bedingung zu formulieren, um unphysikalische Freiheitsgrade loszuwerden. Eine solche Bedingung kann nun Lorentz-kovariant formuliert (dann ist die Kovarianz der Theorie manifest und muss nicht explizit bewiesen werden) oder nicht Lorentz-kovariant formuliert sein.
Bsp.:
und
Ersteres ist die (kovariante) Strahlungseichung. Sie erhält die Kovarianz, d.h. sobald sie in einem Inertialsystem gitl, gilt sie automatisch in allen Inertialsystemen.
Sie ist für Streuexperiente sehr hilfreich, da dort oft zwischen verschiedenen Bezugssystemen transformiert werden muss und man sicherstellen kann, dass die Propagatoren und andere Ausdrücke in den Feynmanintegralen immer dieselbe Form haben.
Die beiden anderen Eichungen sind die temporale Eichung bzw. die Coulomb-Eichung, die in der Elektrodynamik (Elektrostatik) häufig benutzt werden. In der QFT sind sie sehr kompliziert zu handhaben, da sie nicht kovariant sind, d.h. die Eichbedingung ändert ihre Form beim Wechsel des Koordinatensystems.
Dies macht ihre Verwendung in der Streutheorie praktisch unmöglich. Sie haben jedoch auch Vorteile: die Kombination der temporalen mit der axialen Eichung führt in der QCD zu einer Formulierung für den Hamiltonoperator, in dem ausschließlich physikalische und eichinvariante Größen auftreten, d.h. man hat die Eichfreiheit vollständig eliminiert! Geistfelder ud Gribov-Copies treten ebenfalls nicht auf.
Abschließend:
Eichtheorien erlauben (erzwingen) die Untersuchung eines physikalischen Systems in verschiedenen Eichungen. Dabei treten interessante Dinge zu tage: So werden z.B. die mathematischen Formalismen oft extrem unterschiedlich sein, jedoch die selben physikalischen Vorhersagen reproduzieren. Oder es ergeben sich Sackgassen in einer Formulierung, die in einer anderen Formulierung elegant umschifft werden können. In Summe bietet die Theorie quasi eine Art Konsistenzcheck an.
Gruß
Tom
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Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
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wilfried
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Lieber Tom
diese Antwort entspricht auch meiner Anschauung.
Was Du in Deinen Sätzen -quasi zwischen den zeilen sagst- ist das, was ich ja auch meine:
Die Eichungen sind alle völlig korrekt und auch physikalisch gesehen richtig
aber nur unter der Voraussetzung, daß sie stets bei Anwendung sehr sehr sorgfältig zu hinterfragen sind!!!
Meine Skepsis ggü. den Eichungen ist genau die, daß diese Verfahren eine sehr große gefahr in sich bergen, daß hier Dinge eingeeicht werden, die irgendwann -je komplizierter, meist je später- herauskommt, daß es doch Blödsinn war, was man anstellte.
Gerade die jungen Wissenschaftler -und auch Ingenieure- sollen sich dessen wirklich bewußt werden!
Ich will das auch nicht überstrapazieren, denn in unserer Diskussion ist, so denke ich, alles gesagt, was notwendig ist, den Sinn und den Zweck, aber auch die gefahren der Eichtheorie sehr deutlich zu machen.
Diese Diskussion war eines der Highlights in diesem Forum, recht herzlichen Dank dafür. Mir hat das sehr sehr viel gebracht.
Netten Gruß
Wilfried
diese Antwort entspricht auch meiner Anschauung.
Was Du in Deinen Sätzen -quasi zwischen den zeilen sagst- ist das, was ich ja auch meine:
Die Eichungen sind alle völlig korrekt und auch physikalisch gesehen richtig
aber nur unter der Voraussetzung, daß sie stets bei Anwendung sehr sehr sorgfältig zu hinterfragen sind!!!
Meine Skepsis ggü. den Eichungen ist genau die, daß diese Verfahren eine sehr große gefahr in sich bergen, daß hier Dinge eingeeicht werden, die irgendwann -je komplizierter, meist je später- herauskommt, daß es doch Blödsinn war, was man anstellte.
Gerade die jungen Wissenschaftler -und auch Ingenieure- sollen sich dessen wirklich bewußt werden!
Ich will das auch nicht überstrapazieren, denn in unserer Diskussion ist, so denke ich, alles gesagt, was notwendig ist, den Sinn und den Zweck, aber auch die gefahren der Eichtheorie sehr deutlich zu machen.
Diese Diskussion war eines der Highlights in diesem Forum, recht herzlichen Dank dafür. Mir hat das sehr sehr viel gebracht.
Netten Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Hi Wilfried,
natürlich hast du recht, wenn du auf die mathematische Sorgfaltspflicht und Strenge hinweist. Das ergibt sich aber praktisch von selbst, da die Eichtheorien, insbs. nichtablesche Eichtheorien in der QFT, sicher nicht vor dem Hauptstudium, schon eher Richtung Diplom (sorry mit Magister, Bachelor usw. kenn' ich mich nicht aus) gelehrt werden.
Auf eines sollte man noch hinweisen: Praktisch alles, was wir besprochen haben, war klassische Feldtheorie. Wir haben nichts quantisiert, keine Pfadintegrale oder Hilberträume diskutiert, nur mal so eben gestreift.
Was also noch fehlt, sind die quantenfeldtheoretischen Formulierung der Eichsymmetrien, insbs. im Rahmen
- der Pfadintegralquantisierung
- der kanonischen Quantisierung (Hamiltonsche Formulierung)
- der Gittereichtheorie
Lass uns das bei Gelegenheit mal vertiefen ...
natürlich hast du recht, wenn du auf die mathematische Sorgfaltspflicht und Strenge hinweist. Das ergibt sich aber praktisch von selbst, da die Eichtheorien, insbs. nichtablesche Eichtheorien in der QFT, sicher nicht vor dem Hauptstudium, schon eher Richtung Diplom (sorry mit Magister, Bachelor usw. kenn' ich mich nicht aus) gelehrt werden.
Auf eines sollte man noch hinweisen: Praktisch alles, was wir besprochen haben, war klassische Feldtheorie. Wir haben nichts quantisiert, keine Pfadintegrale oder Hilberträume diskutiert, nur mal so eben gestreift.
Was also noch fehlt, sind die quantenfeldtheoretischen Formulierung der Eichsymmetrien, insbs. im Rahmen
- der Pfadintegralquantisierung
- der kanonischen Quantisierung (Hamiltonsche Formulierung)
- der Gittereichtheorie
Lass uns das bei Gelegenheit mal vertiefen ...
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
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wilfried
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Tag Tom
Netten Gruß
Wilfried
Das finde ich eine sehr gute Sache und wir werden das bald mal angehen. Dafür machen wir dann ein neues thema auf.Was also noch fehlt, sind die quantenfeldtheoretischen Formulierung der Eichsymmetrien, insbs. im Rahmen
- der Pfadintegralquantisierung
- der kanonischen Quantisierung (Hamiltonsche Formulierung)
- der Gittereichtheorie
Lass uns das bei Gelegenheit mal vertiefen ...
Netten Gruß
Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e
Das ist nicht nur spannend, sondern auch echt Arbeit. Dagegen war alles bisherige ein Kinderspiel, da in jedem Standardlehrbuch und bei Wikipedia nachlesbar. Ich weiß noch nicht, wie man das so aufzieht, dass auch viele was davon haben und nicht nur Bahnhof verstehen...
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Ich hatte hier mal mal die Behauptung aufgestellt, dass man das Higgs-Feld zwar zur Massenerzeugung für die Eichbosonen braucht, nicht jedoch für die Fermionen. Das war falsch! Man muss tatsächlich auch die Fermionenmassen über ein Higgs erzeugen. Ein normaler Massenterm ist inkonsistent.
Die Ursache ist leider ziemlich verwickelt.
Man betrachte dazu (75.2 ff) in http://www.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf sowie die jeweiligen Erklärungen. Hier wird argumentiert, dass der Massenterm für chirale Fermionen, die in einer komplexen Darstellung der Eichgruppe liegen, nicht eichinvariant ist. Das liegt im wesentlichen daran, dass man ein gewöhnliches Fermion a la Dirac als Paar zweier Weyl-Fermionen auffassen kann und dass diese beide in der selben Darstellung der Eichgruppe liegen. Normalerweise würde man erwarten, dass sie in zwei zueinander konjugierten Darstellungen liegen.
Mit anderen Worten, die Biliniearkombination aus Fermionfeldern, die einen Lorentz-Skalar bildet, bildet nicht gleichzeitig einen Skalar unter Eichtransformatione (wie man dies für gewöhnlcueh Fermionen kennt) u.u.
Vereinfacht gesprochen erwartet man soetwas wie einen komplexen Betrag |z|², wird jedoch aufgrund der Spinorstruktur gezwungen, soetwas wie z² zu betrachten.
Analog wird ab (88.3) nochmals speziell für die Darstellungen der Fermionen in der SU(2)*U(1) argumentiert.
Die Ergebnisse sind interessant:
1) sie erzwingen die Masseerzeugung der Fermionen über das Higgs
2) sie erzwingen, dass für Quarks (mit Ladung 2/3 und -1/3) sowie für die Leptonen (mit Ladung +1 und 0) die Fermionen vollständige Generationen mit je zwei Quarks und zwei Leptonen bilden (erste Generation: Up, Down, Elektron, Elektron-Neutrino)
Was bedeutet das?
1) Der gewöhnliche Masseterm für Fermionen fällt aus Gründen der Eichsymmetrie weg; offensichtlich ist der Higgs-Mechanismus der einzige (bekannte) Weg, den Fermionen dennoch zu einer Masse zu verhelfen.
2) Falls in einer der Generationen eine Fermion fehlen würde (also falls es z.B. das schwere top-Quark nicht gäbe) hätte die Theorie aufgrund der chiralen Struktur der schwachen WW in der zugehörigen Eichsymmetrie eine Anomalie und die Theorie wäre inkonsistent. Dies war ein zwingender Hinweis auf die Existenz des top-Quarks. Anders ausgedrückt: Wenn man ein weiteres Fermion einer vierten Generation finden würde (z.B. ein superschwerer Partner zu Elektron, Myon und Tau), dann müssten auch die drei anderen Partner zwingend existieren!
Was ist die eigentliche Ursache?
Die Tatsache, dass die schwache Wechselwirkung zum einen einer Eichsymmetrie unterliegt (dass diese gebrochen ist spielt für diese Argumentation keine Rolle), und zum anderen, dass sie paritätsverletzend ist, dass also Neutrinos in nur einer Chiralität existieren.
Interessanterweise erzwingt also die Eichsymmetrie weitere Eigenschaften der chiralen schwachen WW, nämlich dass die Fermionen in vollständigen Generationen auftreten. Sie sagt jedoch nichts über die Gesamtzahl dieser Familien aus. Sie erklärt auch nicht, warum die Quarks gerade die el. Ladung 2/3 bzw. -1/3 haben, aber sie sagt etwas über die Struktur der Generationen, sobald man diese Tatsache als gegeben annimmt (hätten die Quarks eine andere Ladung, z.B. ebenfalls +1 und -1, so sähen die Generationen anders aus!)
All dies weißt darauf hin, dass die SU(3) der starken WW in irgendeiner Weise tiefer mit der U(1)*SU(2) der schwachen WW sowie der Existenz der chiralen Fermionen verknüpft ist. Wie, das weiß man heute nicht.
Die Ursache ist leider ziemlich verwickelt.
Man betrachte dazu (75.2 ff) in http://www.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf sowie die jeweiligen Erklärungen. Hier wird argumentiert, dass der Massenterm für chirale Fermionen, die in einer komplexen Darstellung der Eichgruppe liegen, nicht eichinvariant ist. Das liegt im wesentlichen daran, dass man ein gewöhnliches Fermion a la Dirac als Paar zweier Weyl-Fermionen auffassen kann und dass diese beide in der selben Darstellung der Eichgruppe liegen. Normalerweise würde man erwarten, dass sie in zwei zueinander konjugierten Darstellungen liegen.
Mit anderen Worten, die Biliniearkombination aus Fermionfeldern, die einen Lorentz-Skalar bildet, bildet nicht gleichzeitig einen Skalar unter Eichtransformatione (wie man dies für gewöhnlcueh Fermionen kennt) u.u.
Vereinfacht gesprochen erwartet man soetwas wie einen komplexen Betrag |z|², wird jedoch aufgrund der Spinorstruktur gezwungen, soetwas wie z² zu betrachten.
Analog wird ab (88.3) nochmals speziell für die Darstellungen der Fermionen in der SU(2)*U(1) argumentiert.
Die Ergebnisse sind interessant:
1) sie erzwingen die Masseerzeugung der Fermionen über das Higgs
2) sie erzwingen, dass für Quarks (mit Ladung 2/3 und -1/3) sowie für die Leptonen (mit Ladung +1 und 0) die Fermionen vollständige Generationen mit je zwei Quarks und zwei Leptonen bilden (erste Generation: Up, Down, Elektron, Elektron-Neutrino)
Was bedeutet das?
1) Der gewöhnliche Masseterm für Fermionen fällt aus Gründen der Eichsymmetrie weg; offensichtlich ist der Higgs-Mechanismus der einzige (bekannte) Weg, den Fermionen dennoch zu einer Masse zu verhelfen.
2) Falls in einer der Generationen eine Fermion fehlen würde (also falls es z.B. das schwere top-Quark nicht gäbe) hätte die Theorie aufgrund der chiralen Struktur der schwachen WW in der zugehörigen Eichsymmetrie eine Anomalie und die Theorie wäre inkonsistent. Dies war ein zwingender Hinweis auf die Existenz des top-Quarks. Anders ausgedrückt: Wenn man ein weiteres Fermion einer vierten Generation finden würde (z.B. ein superschwerer Partner zu Elektron, Myon und Tau), dann müssten auch die drei anderen Partner zwingend existieren!
Was ist die eigentliche Ursache?
Die Tatsache, dass die schwache Wechselwirkung zum einen einer Eichsymmetrie unterliegt (dass diese gebrochen ist spielt für diese Argumentation keine Rolle), und zum anderen, dass sie paritätsverletzend ist, dass also Neutrinos in nur einer Chiralität existieren.
Interessanterweise erzwingt also die Eichsymmetrie weitere Eigenschaften der chiralen schwachen WW, nämlich dass die Fermionen in vollständigen Generationen auftreten. Sie sagt jedoch nichts über die Gesamtzahl dieser Familien aus. Sie erklärt auch nicht, warum die Quarks gerade die el. Ladung 2/3 bzw. -1/3 haben, aber sie sagt etwas über die Struktur der Generationen, sobald man diese Tatsache als gegeben annimmt (hätten die Quarks eine andere Ladung, z.B. ebenfalls +1 und -1, so sähen die Generationen anders aus!)
All dies weißt darauf hin, dass die SU(3) der starken WW in irgendeiner Weise tiefer mit der U(1)*SU(2) der schwachen WW sowie der Existenz der chiralen Fermionen verknüpft ist. Wie, das weiß man heute nicht.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
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Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper