In einem anderen Thread wurde von Timm die Frage aufgeworfen, ob – und wenn ja, wie – das Standardmodell erklären kann, weshalb Proton und Elektron dieselbe elektrische Ladung (bis auf das Vorzeichen) tragen, obwohl doch beide Teilchen wenig miteinander zu tun haben. Das Standardmodell kann das erklären – allerdings ist das nicht ganz trivial.
Zur Erinnerung: Das Proton besteht aus drei Quarks |proton> = |uud>, wobei die u-Quarks die Ladung 2/3, das d-Quark die Ladung -1/3 tragen, insgs. das Proton also die Masse +1. Die Frage ist nun, warum die Ladungen der Quarks sich nun exakt so wie oben beschrieben addieren müssen, obwohl sie doch unabhängig vom Elektron zu sein scheinen.
Ich versuche ein paar „Formeln“ zu verwenden, es geht dabei aber im Wesentlichen um die symbolische Notation, man muss keinesfalls rechnen können. Im SM wird die Kopplung eines Fermions an ein Eichboson durch die Dirac-Gleichung bzw. den entsprechenden WW-Term beschrieben. Für das Elektron lautet dieser Term symbolisch
ēDe = ē(∂ - igA)e = ē∂e – igAēe
Daraus lässt sich im Prinzip direkt die WW ablesen. Zunächst: der Term mit dem Differentialoperator ∂ tritt in der kinetischen Energie des freien Feldes (ohne WW) auf und ist hier irrelevant. Wichtig ist die WW gAēe; g steht für die Kopplungskonstante, die die Ladung enthält, A für das Photon-Feld, sowie e und ē für Elektron und Positron (das entsprechende Antiteilchen). Dies entspricht einem elementaren Feynman-Diagramm (genauer: einem Vertex), an dem sich zwei Fermion- (hier: Elektron und Positron) und eine Eichbosonlinie (hier: Photon) treffen. Im Standardmodell gibt es keinen anderen Vertex für Fermionen! Andere Fermionen (Quarks, …) koppeln an andere Eichbosonen (Quarks, …), aber die Struktur ist immer dieselbe.
Nun kann man daraus eine sogenannte Stromdichte ablesen, in der das Elektron und das Positron gemeinsam auftreten, beide tragen zum elektrischen Strom bei.
Nun gibt es rechts- und linkshändige Fermionen (je nach Spinorientierung bezogen auf die Bewegungsrichtung), und zunächst wechselwirken diese nicht miteinander, d.h. die Theorie zerfällt in einen rechts- und einen linkshändigen Sektor. In beiden Sektoren gilt unabhängig voneinander eine Eichsymmetrie (hier: die der elektromagnetischen WW).
Nun kann man aus den beiden rechts- und linkshändigen Strömen zwei neue Kombinationen bilden:
j[down]r[/down], j[down]l[/down] → j = j[down]r[/down] + j[down]l[/down], j[down]a[/down] = j[down]r[/down] –j[down]l[/down]
j ist der bekannte el.-mag. Strom, während in dem sogenannten axialen Strom j[down]a[/down] die Differenz der rechts- und der linkshändigen Ströme enthalten sind.
Neben der lokalen Eichsymmetrie der el.-mag. WW, der der Strom j entspricht, gibt es noch eine globale (die sogenannte axiale) Symmetrie, der der Strom j[down]a[/down] entspricht. Beide Ströme sind aufgrund der Symmetrie (des Noether-Theorems) erhalten, d.h. es gilt
∂j = 0
∂j[down]a[/down] = 0
Soweit ist das klassisch alle richtig. Nun kommt jedoch die Quantisierung ins Spiel. In der Quantenfeldtheorie baut man aus den o.g. elementaren Feynmandiagrammen kompliziertere auf, wobei man auf ein spezielles Diagramm, das sogenannte Dreiecks-Diagramm stößt, in dem drei externe Vektorbosonen an ein als Dreieck umlaufendes Fermion koppeln. Dieses Diagramm gibt es gewissermaßen in zwei Ausprägungen, wovon eines in der Stromerhaltung des Stromes j, eines in der des axialen Stromes j[down]a[/down] auftritt.
- 162px-Triangle_diagram.svg.png (2.66 KiB) 4136 mal betrachtet
Zunächst hat man bei der Renormierung die Wahlfreiheit, welche Symmetrie man behalten möchte, doch letztlich zeigt sich, dass man zwingend die lokale Eichsymmetrie der el.-mag. WW behalten muss, das also die Gleichung
∂j = 0
gültig bleibt, während die globale Symmetrie verletzt und somit der axiale Strom nicht mehr erhalten ist
∂j[down]a[/down] ~ g² F*F
Man muss die lokale Eichinvarianz retten, um die Konsistenz und Renormierbarkeit der Theorie zu garantieren, während man die globale axiale Symmetrie opfern darf (diese zeigt sogar echte physikalische Effekte, z.B. trägt sie zum Zerfall des neutralen Pions π° bei, sowie zur Masse des η’ Mesons im Flavor-Singulett der QCD höhere Masse als die – warum, interessiert uns hier nicht).
Nun kann man diese Analyse für alle Fermion-Sorten (e, u, d usw.) im Standardmodell durchführen. Man erhält für jede Sorte einen Kopplungsterm der obigen Form, also für Elektron, u-Quarks, …
ē(∂ - ig[down]e[/down]A)e
ū(∂ - ig[down]u[/down]A)u
…
Der Index an der Kopplungskonstante g steht dabei wieder für die Fermion-Sorte, in g ist die Ladung der jeweiligen Fermion-Sorte enthalten. Die Gesamt-WW erhält man dabei als Summe über alle einzelnen Terme je Sorte. Genauso erhält man die Ströme und Anomalien als Summe über die einzelnen Terme, d.h.
J = ∑[down]i[/down] j[down]i[/down]
J[down]a[/down] = ∑[down]i[/down] j[down]ai[/down]
und letztlich
∂J[down]a[/down] ~ ∑[down]i[/down] g[down]i[/down]² F*F
Der Term in F enthält nur die Photon-Felder und ist für alle Sorten gleich, d.h. die Gesamt-Anomalie lautet
∂J[down]a[/down] ~ Q F*F mit
Q = ∑[down]i[/down] g[down]i[/down]²
Nun betrachten wir als nächstes die elektro-schwache Wechselwirkung, die eine komplizierte SU(2)*U(1) Eichsymmetrie aufweist, und in der die links- sowie die rechtshändigen Fermionen unterschiedlich an die Eichbosonen koppeln (die schwache WW verletzt die Paritätsinvarianz, d.h. die Symmetrie zwischen rechts- und linkshändigem Sektor). Vor der el.-schw. Symmetriebrechung bezeichnet man die Ladung entsprechend der U(1) Symmetrie als schwache Hyperladung. Die bekannte elektrische Ladung erhält man nach der Symmetriebrechung sowie einer „Rotation“ innerhalb der SU(2)*U(1), d.h. die U[down]em[/down](1) der el.-mag. WW und die zunächst betrachtete U(1) mit der schwachen Hyperladung Y sind verwandt, aber nicht identisch.
Aus bestimmten Gründen gibt es im SU(2) Sektor keine Anomalie, lediglich im U(1) Sektor ist diese enthalten. Da nun die links- und die rechtshändigen Fermionen unterschiedlich koppeln (der Wert der Hyperladung Y ist unterschiedlich!) heben sich die Anomalien der einzelne Terme nicht mehr trivialerweise gegenseitig weg, sondern man erhält eine nicht-triviale Konsistenzbedingung
Q = ∑[down]i rechts[/down] Y[down]i rechts[/down] + ∑[down]i links[/down] Y[down]i links[/down] = 0
Insgs. folgt daraus, dass bei Abwesendheit eines rechtshändigen Neutrinos (das experimentell nicht nachgewiesen ist) aus Konsistenzgründen dieser Term Q genau dann verschwindet, wenn (je Fermion-Generation) die Hyperladungen Y und daraus abgeleitet die elektrischen Ladungen exakt die in der Natur vorkommenden Werte haben! Interessant dabei ist, dass dadurch eine Beziehung zwischen den Hyperladungen von Quarks und Leptonen resultiert – Teilchen, die zunächst nicht miteinander verwandt zu sein scheinen. Ebenfalls wird verständlich, warum ein Faktor 1/3 für die Ladungen der Quarks auftreten muss. Diese werden nämlich dreifach gezählt, da sie in je drei verschiedenen Farben auftreten können.
Daraus lässt sich schließlich ableiten, dass die algebraische Relation
2/3 +2/3 + 1/3 = 1
für das Proton |proton> = |uud> zwingend gelten muss; dies wird gemäß den obigen Konsistenzgründen aus der dem Standardmodell zugrundeliegenden Symmetriestruktur SU(3)*SU(2)*U(1) abgeleitet. Daraus folgte außerdem die Forderung nach der Vollständigkeit der jeweiligen Fermion-Generation. Das Fehlen eines Fermions wäre gleichbedeutend mit dem Verschwinden seiner Hyperladung, was wiederum inkonsistent wäre. So wurde (noch vor Untersuchung der Anomalienfreiheit) nach der Entdeckung der ersten Generation (e, ν[down]e[/down], u, d) sowie des „überzähligen“ s-Quarks die zweite Generation (μ, ν[down]μ[/down], c, s) postuliert und zuletzt in den 1990iger Jahren das lange letzte fehlende t-Quark in (τ, ν[down]τ[/down], t, b) gesucht (und auch gefunden).
Da diese gesamte Argumentation bzgl. der Konsistenz auf einem Quanteneffekt beruht, der rein klassisch nicht sichtbar ist, deutet dies letztlich darauf hin, dass die Symmetriestruktur sowie die damit verbundenen Ladungen der einzelnen Fermionen eine tiefere Ursache haben müssen – denn auf der uns hier zugänglichen Ebene erscheint dies alles eher künstlich oder gar zufällig. Die Konsistenz aufgrund der Anomalienfreiheit ist willkommen – harrt jedoch einer tieferen Begründung.
