Eichungen im kanonischen Formalismus

[wilfried]

Tag Al

Deine Ideen sind gut, insbesondere die mit einer kurzen Info über den Inhalt. Wir müssen mal mit Werner und Tom über eine Verbesserung dieses Bereichs reden. Machen wir!

Gruß

Wilfried

[tomS]

Nochmals: Dein Skript hat eine Lücke -auch bei mir!- gefüllt. In diesem Skript ist der Übergang von der Eichung zur Fixierung sehr schön und transparent dargestellt.

Freut mich! Wichtig sn der Stelleist, zu erwähnen, dass es sich um eine quantenmechanische Eichfixierung handelt; es wird nicht zuerst klassisch die Eichung fixiert (A[down]0[/down]=0 schon, sonst nichts), sondern erst nach der Quantisierung die unphysikalischen Freiheitsgarde separiert und "in einen zum physikalsichen orthogonalen Sektor des Hilbertraumes verdreht".

Fragenproblematik 1:

...

Wenn weitergerechnet wird .. folgend Deinem Skript- ergeben sich mit





die gesamten retardierten (verzögerten) Potentiale.

Jein! Dies ergibt sich nicht als Operatoridentität in der QFT, sondern lediglich in ihrer Wirkung auf physikalische Zustände. In meinem Beispiel bleibt P = -i d/dx, auch wenn man im Schwerpunktsystem P=0 setzt; letzteres gilt aber nur für die Zustände |P=0>, nicht für den Operator P selbst. Das ist ein Unterschied und den sollte man beachten.

Dabei ist

Das Problem dahinter:

Diese Lösungen können doch gar nicht allgemein sein, denn:

a) Verschwinden die in der Unendlichkeit. Grund: deren Ranbdbeingungen, da Ladungen und Ströme auf ein endliches Volumen begrenzt sind

Wie ich oben sagte wird hier dieses Gleichungssystem nicht direkt gelöst. Ich habe explizit die quantenmechanische Eixhfixiewrung vorgestellt, um zu zeigen, dass die von dir genannten, klassisch gültigen Gleichungen keine Operatoridentitäten im Sinne der QM sind.

Bzgl. der Randbedingungen hast du recht! Die Konstruktion des eichfixierenden Operators erfordert die Einführung von Randbedingungen. Diese können Details der Eichfixierung ändern; insbs. zeigt sich, dass sogenannte zero modes, also konstante Eichfelder nicht wegtransformiert werden. Das liegt im wesentlichen an folgender Eigenschaft der Coulomb-Eichung:



Zerlege



Dann ist



die neue Eichbedingung, während



für konstantes a trivialerwiese immer gilt. Dieses zero-mode überlebt also die Eichfixierung! Die genaue Form der zero-modes hängt nun tatsächlich von den Randbedingungen ab. In dem von dir besorgetn Papier von Lenz et al. ist das aber sehr schön gezeigt. Quintessenz: für unsere Diskussion hier spielt das keine Rolle.

b) Formal gesehen können wir eine zweite Lösung erreichen, die der avancierten Potentiale.
Avancierte Potentiale stellen die Zeit t' nicht in der Vagngenheit, sondern in der Zukunft dar.

Formal gangbarer Weg, aber ist er verträglich mit der Kausalität?

Dies betrifft meine Bemerkung zur kovarianten Formulierung. Tatsächlich sieht es so aus, als ob ein Hamiltonoperator mit einem Coloulomb-Potential die Lorentz-Invarianz brechen würde (wichtig: in meinem Formalimus treten keine retardierten bzw. avancierten Potentiale auf, sondern immer instantante Potentiale! noch schlimmer, meinst du ...) Tatsächlich muss man die Eichfixierung nicht nur für den Hamiltonoperator H durchführen, sondern für alle Generatoren der Poincare-Algebra, also für alle Viererimpulse



sowie die Generatoren der Lorentz-Gruppe, d.h. Rotationen und Boosts



Manche dieser Operatoren enthalten ähnliche Potentialterme und alle sind höllenmäßig kompliziert. Ich würde sagen, in kompakter Notation immer so einige Zeilen mit Integral- und Differentialoperatoren, also richtig lästig. Anschließend muss man prüfen, dass diese Operatoren die korrekten Vertauschungsrelationen erfüllen. Diese Rechnungen erstrecken sich über einige dutzend (hundert?) Seiten - und sind noch Kinderkram im Vergleich zu dem, was in der QCD passiert. Wenn man sich aber diese Mühe gemacht hat - oder eine glaubhafte Quelle kennt, derzufolge ein sich langweilender Physiker das dankenswerter Weise erledigt hat, ohne sich zu verrechnen - dann erhält man das Ergebnis, dass die Poincare-Algebra erfüllt ist, d.h. die Poincare-Invarianz ist sichergestellt, auch wenn man das den Definitionen von H usw. nicht direkt ansieht.

Fragenproblematik 2:

SRT: Wir gehen aus von: reiner Dilatation und beschreiben simultane Masssatbsänderungen (Länge, Zeit).
Das ist bekanntermassen mit allen Postulaten verträglich.

...

Verstehe ich nicht; was genau ist dein Problem?

[wilfried]

Tag Tom

Code: Alles auswählen

es wird nicht zuerst klassisch die Eichung fixiert (A0=0 schon, sonst nichts), sondern erst nach der Quantisierung die unphysikalischen Freiheitsgarde separiert und "in einen zum physikalsichen orthogonalen Sektor des Hilbertraumes verdreht".

genau dies ist es, was meine Lücke füllte. So habe ich das bisher nicht betrachtet.

Dann auch Danke für Deine Antworten.

Zum Punkt mit dem "gelangweilten Physiker":

Gut, also sei es denn, dass die Fixierung für alle Generatoren durchzuführen sei. Jedoch: gerade weil dies auf solch extrem Lösungen hinausführt sage ich mal salopp:

Dererlei Extremlösungen mit zig -- eventuel hundert Seiten langen Formelsalat halte ich a) für nicht mehr diskutierbar und b) für mathematisch / physikalischen nonsens, weil diese nicht mehr vernünftig in einen Kontext zu bringen sind.

Aus meiner Disziplin kenne ich auch einge solcher Konstrukte. Ich kann diese hier hineinstellen udn jeder tät den Wahnsinn dahinter sofort erkennen. Auch zig Sieten mit Formelsalat.

Dann gehe ich hin und nehme die beteiligten Parameter, setzt für diese Extremwerte Unendlich oder Null ein und erhalte schliesslich die bekannten Gleichungen für einen Operationsverstärker, bei dem eben alles berücksichtig wurde, vereinfacht auf intrinsiche und extrinsiche Verstärkung. So, das Ding wurde a) lesbar und b) ergab es einen (bekannten) Sinn.

Aber: so etwas ist wissenschaftlich gesehen völliger Blödsinn, da es nicht möglich ist ALLE!! Terme zu diskutieren, zu verstehen und in einen Kontext zu bringen.

Ich zweifel deshalb diese Vorgehensweise an. (meine ich nicht persönlich, sondern rein sachlich! Ich habe schon verstanden, was Du hier aussagst und verstehe auch die sachliche Richtigkeit. Aber das ist schon alles.)


Zur Frage 2...wo ist mein Problem

Das ist hat zu tun mit den Bezugssystemen. Was denn soll eine invariante Eichung (um die geht es ja schliesslich) erreichen?
Sie soll in allen KS bzgl. der Physik invariant sein. Heisst in dem Fall: ich will in jedem KS dieselben Längen und Zeiten wieder sehen.

Aber bei wird das doch nicht gewährleistet oder sehe ich das falsch?

Wenn das nicht gewährleistet ist, so erhalten wir eine Ausnahme eben für diese bedingung.

Ergo sage ich: Auch hier zeigt sich, dass Eichungen problematisch sind. Man muss schon sehr pingelig damit sein und stets sicher stellen, dass eben besagte Invarianz auch tatsächlich sichergestellt wird.

Das ist, was ich mit meinem Problem 2 aussagen wollte. Meine Frage bezieht sich "lediglich" darauf, ob diese Ausnahme tatsächlich eine Ausnahme ist, oder on diese Eichung doch schlussendlich zu einer Invarianz führen kann. Denn dann wäre meine Kritik nicht angebracht.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

So einfach geht das nicht: es gibt heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik, insbs.im Bereich QFT, keine Arbeiten, hinter denne nicht zig hundert Seiten Rechnungen stecken. Was glaubst du denn, wieviel Seiten Papier ein Mensch (ein Team) vollgeschrieben haben, wenn sie ein Paper mit 100 Seiten veröffentlichen? Vielleicht 1000? Da steht dann für jeden der 10 Poincare-Generatoren drin, wie er aussieht (das passt auf einige Seiten) sowie dass die Poincare-Algebra ohne Anomalie gültig bleibt (dieser Satz passt auf eine Zeile, dahinter stecken aber einige 100 Seiten Rechnung); das ist bei der Berechnung von Feynmandiagramme in der QCD genaso!

Ich will damit sagen, dass du in jedem Papier immer nur die Spitze des Eisberges siehst; wenn aber viele Teams zu identischen Ergebnissen kommen, dann glauben wir, dass die nichtveröffentlichten Details der Rechnungen korrekt sind.

Sorry, aber mit der Ablehnung derartiger Konstrukte (nur weil sie mühsam zu berechnen sind) lehnst du praktisch die gesamte moderne Physik ab. Das geht nicht.

[wilfried]

Tom

ich vermute ein Missverständnis:

ich meinte nicht die gesamte Berechnung, ich sprach hier -leider habe ich versäumt das deutlich zu machen- von einem Einzelergebnis, welches sich über viele Seiten erstrckt.

Was Du sagst, ja das ist doch klar. Ich habe selber eine Menge paper geschrieben und auf Konferenzen gesprochen. Ich weiss, welche Arbeit hinter derartigen Aktivitäten liegt.

Das Missverständnis ist damit ausgeräumt.

Gruß

Wilfried

[tomS]

OK, verstanden.

Dann nochmal zu deinem Einwand bzgl. der Kovarianz.

Es gibt zwei Formalismen, nämlich zum einen den Pfadintegral- bzw. Lagrangeformalismus, zum anderen den Hamiltonschen bzw. den kanonischen Formalismus.

Erstere verwendet ausschließlich eine Größe, die selbst ein Lorentz-Skalar ist. Damit sollte dessen Invarianz auch nicht durch irgendwelche Eichfixierungen gebrochen werden und deswegen verwendet man hier vorzugsweise kovariante Eichfixierungen - mit den bekannten Problemen!

Zweiteres ist nicht explizit kovariant: Energie, Impuls etc. sind bezugssystemabhängig, damit ist auch der Hamiltonoperator selbst bezugssystemabhängig. Dies wird durch eine Eichung auch manifestiert. D.h. wenn man z.B. die Schrödingergleichung

(H-E[down]proton[/down])|proton> = 0

im Heisenbergbild der QCD löst (dann darf man nach Stockholm fliegen - aber das nur so nebenbei) dann ist der Eigenwert E sowie die Lösung |proton> nicht Lorentz-invariant. Aber es ist durch die Poincare-Generatoren möglich, eine Transformation durchzuführen, so dass

(H'-E'[down]proton[/down])|proton'> = 0
(P'-p'[down]proton[/down])|proton'> = 0
...

mit

E² - p² = E'² - p'² = m²

gilt.

Man zeichnet also ein Bezugssystem aus, löst in diesem System die QCD (fliegt nach Stockholm) und zeigt zuletzt, dass nach wie vor die Kovarianz = Lorentztransformation gültig bleibt. Dieser letzte Schritt ist im kovarianten Lagrange-Formalismus nicht notwendig.

[wilfried]

Tag Tom

das ist doch eine tolle Sache, die Du da sagst ... ich meine mit Stockholm.

nur:

Lass uns nicht dahinfliegen, ich habe einen Motorsegler und er ist Hochsee geeignet. Also segeln wir doch dahin...macht viel mehr Spass. Sind 3 mal ca. 150 Seemeilen: Fehmarn - Bornholm - Gotland - Stockholm also machbar.

Ich denke, wir können an dieser Stelle diese Serie auch beenden. Denn erstens habe ich durch Deine Beiträge einiges an neuen Infos erhalten und kann diese verarbeiten, zweitens ist natürlich die Diskussion auch an einen Punkt gekommen, an dem Sie sich nur endlos wiederholt.

Habe einfach Verständnis für mich: ich brauch auch einige Zeit um dies alles Schritt um Schritt zu verarbeiten, zu verstehen.

Sollte ich immer noch irgendwelche Probleme habenm die wert sind hier diskutiert zu werden, dann sei sicher: ich melkde mich mit dem Thema wieder.

hab Dank für Deine Mühen und auch Geduld

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Dann schließen wir das ab - verbunden mit der Bitte bzw. Einladung zu einer Weiterführung jedoch dann mit anderer Schwerpunktsetzung, neuen Fragen o.ä.

[tomS]

So, es gibt was Neues!

Ich habe meinen Artikel deutlich erweitert: userfiles/gauge.pdf

Die Änderungen in Kürze:
- der Inhalt des ersten Teils ist im Wesentlichen unverändet; allerdings habe ich einige Korrektuen von Wilfried (dem an dieser Stelle nochmal gedankt sei) berücksichtigt
- Das alte Kapitel 3 ist jetzt 2.7. "ZUsammenfassung"
- Es gibt einen neuen Exkurs zur QED und QCD, der aber auch übersprungen werdne kann
- Dann gibt es ein hoffentlich verständliches Kapitel, in dem die Eichfixierung im Pfadintegralformalismus anhand eines einfachen Integrals diskutiert wird
- Zuletzt gibt es noch einen Ausblick zu den Fadeev-Popov-Geistern (den man aber auch auslassen kann)

Insbs. den vorletzten Abschnitt kann jeder verstehen, der eindimensionale Integrale berechnen kann; noch nicht mal Quantenmechanik muss man verstanden haben! Man sieht bereits anhand einer einfachen Variablensubstitution, welche Probleme im Rahmen der Quantenfeldtheorie auftreten (nur dass man es da nicht mit ein- bzw. zweidimensionalen Integralen sondern mit unendlichdimensionalen Pfadintegralen zu tun hat - die ich aber hier nicht diskutiere).

So, ich hoffe, der eine oder andere wird den Artikel lesen und mir Feedback dazu geben.

@Wilfried: kannst du dich nochmal als "Lektor" betätigen?

[tomS]

So, in den nächsten Tagen wird die finale Version des Artikels eingestellt; ich werde dann diesen Beitrag hier entsprechend abändern und nochmals darauf hinweisen.

An der Stelle möchte ich mich sehr herzlich für Wilfrieds Arbeit bzgl. der Überarbeitung bedanken. Er hat sich viel Mühe gegeben, kleinere Fehler zu eliminieren, sowie für mehr Klarheit in meinen Formulierungen zu sorgen. Insofern das noch nicht gelungen ist, bleibt das weiterhin meine Schuld.

Viel Spaß beim Lesen (für alle die, die das schon getan haben: im Vergleich zur letzten Version ist inhaltlich nichts neues dazugekommen.

[tomS]

Noch eine Anmerkung.

Es gibt Fälle, in denen eine Eichinvarianz vorliegt und man explizit keine Eichfixierung durchführt. Die Eichfixierung im Pfadintegralformalismus ist formal notwendig, da das Integral sonst divergiert. Wie wir gesehen haben, enthält das Integral sozusagen das Volumen der Eichgruppe an jedem Punkt und ist damit divergent. Es gibt aber auch Fälle, wo Konvergenz vorliegt.

So hat man z.B. im Spinfoam-Formalismus der Quantengravitation / LQG eine endliche Anzahl an SU(2)-Variablen. Für jede einzelne SU(2)-Variable, d.h. für jeden Spin erhält man das "Volumen der SU(2)", bei endlich vielen SU(2) ist das Integral jedoch konvergent. Damit muss man letztlch nur noch durch das Volumen dividieren.

Bsp.: betrachten wir eine Funktion f(r), die wir jedoch in zwei Dimensionen integrieren, d.h.



In diesem Fall darf man die Winkelintegration durchführen ohne dass eine Divergenz auftritt - da das Integral über die Eichfreiheit = den Winkel endlich ist.

Man nutzt dies z.B. im Rahmen der LQG wodurch erklärbar wird, warum hier das Problem der Gribov-Kopien nicht auftritt; man integriert einfach über alle, führt also sozusagen eine Mittelwertbildung durch. Wegen der Eichsymmetrie liefert jedoch jede Kopie exakt den selben Beitrag.

Letztlich erscheint mir dies der sauberer Weg zu sein. Allerdings wird die Konvergenz des Integrals vorausgesetzt und dies funktioniert nur im Falle endlich vieler Freiheitsgrade, d.h. sicher nie im Kontinuum.