Abenteuer-Universum

tomS hat geschrieben: ↑

4. Jun 2020, 22:54

Ich sage, dass r = const. nicht unbedingt das besagt, was du vermutest.

Was sollte es denn sonst bedeuten?

Stell dir ein Bündel tangentialer Geodäten vor. Eine und nur eine ist diejenige von der sich benachbarte zeitartige Geodäten beschleunigt nach "unten", bzw. nach "oben" weg bewegen. Diese Geodäte beschreibt einen geschlossenen Kreis (ev. ein instabiler Orbit) um das SL. Die diesem zuzuordnende r-Koordinate entspricht nach meiner Auffassung dem r der Lösungen der de Sitter - Schwarzschild Metrik, s.oben. Dieses r muß konstant sein wegen Lambda=M=const.

Kannst du deine Bedenken etwas genauer äußern?

Nochmal:

Für Schwarzschild entspricht r = const. i.A. einer beschleunigten = nicht kräftefreien Bewegung.

Wieso möchtest du jetzt r = const. anders oder besonders interpretieren?

Du musst die Interpretation anhand eines invarianten = physikalischen raumartigen Abstand entwickeln, nicht anhand einer beliebigen Koordinate.

Ich sage noch nicht mal, dass r = const. prinzipiell sinnlos ist, ich sehe jedoch nicht, warum es sinnvoll sein sollte. In anderen Raumzeiten wäre es das nicht.

tomS hat geschrieben: ↑

5. Jun 2020, 11:56

Für Schwarzschild entspricht r = const. i.A. einer beschleunigten = nicht kräftefreien Bewegung.

Wieso möchtest du jetzt r = const. anders oder besonders interpretieren?

Natürlich ist das bei Schwarzschild so, wir sprechen aber von de Sitter - Schwarzschild und da gibt es das kräftefreie r = const. Schon der einfache Vergleich mit der Perlenschnur zeigt das.

Deine Bedenken verstehe ich nicht.

Betrachten wir mal die Schwarzschild-deSitter-Metrik mit

ds² = f · dt² − (1/f) · dr² + Winkelanteile

mit

f(r) = 1 − 2m/r − ⅓ Λ r²

Für 0 < 9Λ < M² hat f(r) zwei Nullstellen, also Horizonte r₁, r₂; damit folgt

f(r) = − (⅓ Λ/r) ) · (r − r₁) (r − r₂) (r + r₁+ r₂)

mit

− 3/Λ = (r₁+ r₂)² − r₁r₂

6M/Λ = (r₁+ r₂)² · r₁r₂

Uns interessiert

r₁ < r < r₂


Für Lichtstrahlen gilt die lichtartige, radiale Geodätengleichung

0 = f · dt² − (1/f) · dr²

mit den Lösungen r₁, r₂ für f(r) = 0.


Für massebehaftete Objekte gilt die zeitartige, radiale Geodätengleichung

(dr/ds)² = E² − f(r)

Für dr = 0 folgt

f(r) − E² = 0


1) für 0 < 9Λ < M² hat f(r) ein Maximum

F = f(R) > 0

im Bereich r₁ < R < r₂

2) andernfalls ist F < 0; das folgende trifft dann nicht zu


Damit gilt für die Lösungen R₁, R₂ von

f(r) − E² = 0

die Ungleichung

r₁ < R₁ < R₂ < r₂

falls

F − E² > 0

Andernfalls hat die Gleichung keine Lösung.


D.h. abhängig von der Erhaltungsgröße E² existieren Lösungen R₁,₂(E²) = const. oder auch nicht.

Und ebenfalls abhängig von der Erhaltungsgröße E² haben die Lösungen R₁,₂(E²) einen anderen Wert.


Ich weiß nicht, ob es das ist, was du wolltest. Es gibt zumindest keinen festen Radius R, außerhalb dessen sich ein Objekt „mitbewegt“ verhält. Dieser Radius hängt von der Energie des Teilchens ab.


EDIT: Ok, es gibt für F − E² = 0 einen labilen Gleichgewichtspunkt R₁(E²) = R₂(E²) = const.

tomS hat geschrieben: ↑

6. Jun 2020, 15:53

EDIT: Ok, es gibt für F − E² = 0 einen labilen Gleichgewichtspunkt R₁(E²) = R₂(E²) = const.

Na, dann kommen wir ja doch noch zusammen.

Dein "labiler Gleichgewichtspunkt" (genauer eine labile Kugelschale) hängt nur von Lambda und M ab. Man erhält ihn auf einfache Weise aus den Lösungen der de Sitter - Schwarzschild Metrik s. oben und er ist gegeben durch r_kritisch = (2M/Lambda)^(1/3).

Jetzt mußt du nur noch zustimmen, daß kritisch ein akzeptables Synonym für labil ist.

Hi Tom,

Timm hat geschrieben: ↑

4. Jun 2020, 18:19

tomS hat geschrieben: ↑

4. Jun 2020, 13:19

Und zweitens musst du die Frage klären, was „Abstand zu M konstant“ bedeuten soll. Bedenke, du befindest dich in einem expandierenden Universum, d.h. einfach r = const. ist physikalisch erst mal willkürlich. Du benötigst eine sinnvolle Abstandsdefinition.

Vielleicht so ?

Die Lösungen der de Sitter - Schwarzschild Metrik sind

f(r) = 1-2M/r
f(r) = 1-Lambda*r²

und daraus r_kritisch = (2M/Lambda)^(1/3) ???

Das ist aus der Hüfte, vielleicht liege ich auch verkehrt. Heuristisch kommt es hin, wächst M, dann damit auch die r-Koordinate. Und die wird kleiner, wenn Lambda wächst.

Nicht ganz. Dieses Ergebnis kommt zwar nahe an das richtige heran, aber richtig ist der Ansatz die Eigenbeschleunigung einer zeitartigen Geodäte mit r=const. Null zu setzen, wie hier

https://www.physicsforums.com/threads/t ... st-6347791

... there is some finite radial coordinate (using Schwarzschild coordinates centered on the gravitating massive body) at which there are geodesic timelike worldlines that maintain constant . That is because the proper acceleration of a worldline of constant r (and constant angular coordinates, so zero "orbital velocity") in Schwarzschild-de Sitter spacetime is:

ausgeführt. Mit A=Lambda/3 folgt r_kritisch=(3M/Lambda)^(1/3)