Dgoe hat geschrieben: ↑14. Jan 2018, 10:53
ralfkannenberg hat geschrieben: ↑14. Jan 2018, 09:45
ein Axiomensystem zu bauen, bei dem die alternierende (0, 1)-Folge gegen 1.523 konvergiert und das widerspruchsfrei ist, wird nicht ganz einfach sein.
das halte ich für schlicht unmöglich. Wenn Du nicht die natürlichen Zahlen abschaffen willst, womit die Aussage, die Notation und die Konvergenz (wenn nicht sogar jegliche Mathematik) unmittelbar sinnfrei werden, dann muss man auch die Grenzen der Willkür zur Kenntnis nehmen.
Hallo Dgoe,
nicht dass ich grosse Lust verspüre, so etwas zu tun, aber Du kennst sicherlich die Spielereien mit der harmonischen Reihe, also 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ...
Obgleich die Summanden gegen 0 konvergieren wächst deren Summe über alle Schranken an:
1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2
1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 > 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 8/16 = 1/2
Das nächste Grüppchen geht dann von 1/17 bis und mit 1/32, dieses Grüppchen enthält 16 Summanden und deren Summe ist grösser als 16*(1/32), also wieder 1/2.
Man findet also unendlich viele solcher Grüppchen, deren Summe grösser als 1/2 ist und damit wächst die Gesamtsumme über alle Schranken an, geht also gegen unendlich.
Nächster Schritt: alternierende harmonische Reihe: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...
Jetzt stellen wir erst einmal zwei Kleinigkeiten fest:
Die Summe der negativen Summanden: - 1/2 - 1/4 - 1/6 ... = -1/2 * (1 + 1/2 + 1/3 + ...), d.h. die geht gegen -1/2*unendlich, also gegen -unendlich
Die Summe der positiven Summanden: 1 + 1/3 + 1/5 ... > 1/2 + 1/4 + 1/6 = 1/2 * (1 + 1/2 + 1/3 + ...), d.h. die geht gegen 1/2*unendlich, also gegen +unendlich
In der Wikipedia findest Du, dass die alternierende harmonische Reihe gegen ln2
konvergiert, aber sie ist
nicht absolut konvergent. Und tatsächlich kann man beweisen, dass wenn man die alternierende harmonische Reihe anders sortiert, dass dann auch
andere Grenzwerte herauskommen können, ja man kann das sogar so machen, dass man sich einen Grenzwert vorgibt - völlig beliebig nota bene - und diese Reihe dann so aufbaut, dass sie gegen diesen Wert konvergiert.
Von der Idee geht das ziemlich einfach: Du wählst Dir den Grenzwert aus und "steuerst" den mal an: ist er positiv, so nimmst und addierst Du soviele positive Glieder dieser Reihe, bis Du erstmals über dem Grenzwert liegst - das geht, weil die Summe der positiven ja gegen unendlich geht; nun bist Du aber über den Grenzwert hinausgeschossen, aber kein Problem, nun nimmst und addierst Du soviele negative Glieder dieser Reihe, bis Du erstmals unter dem Grenzwert liegst - das geht, weil die Summe der negativen ja gegen -unendlich geht, u.s.w.
Wenn der gewählte Grenzwert negativ war, analog. Und das ganze schaukelt sich auch nicht auf, weil die Absolutbeträge der Summanden ja gegen 0 konvergiert.
Na ja, warum macht man das nicht immer so: meine Einkaufsliste, ich deichsele da was mit der alternierenden harmonische Reihe und bekomme sogar noch Geld heraus.
Natürlich verlierst Du dabei etwas: die Addition ist dann nicht mehr kommutativ. Somit bilden die reellen Zahlen keinen Körper mehr, d.h. Du verlierst die Gültigkeit des Hauptsatzes der Algebra. Und so weiter, d.h. ich weiss nicht, ob Du wirklich Lust hättest, in einer solchen Struktur zu rechnen. Dass Deine quadratischen Gleichungen plötzlich unendlich viele Lösungen zulassen wird Dich zunächst vielleicht weniger stören, aber Dein Steueramt könnte ebenfalls etwas mit der alternierenden harmonischen Reihe deichseln und Deine Steuerrechnung massiv erhöhen. Käme den Regierungen zugegen, zumal deren Mitglieder mit diesem Trick bei den Steuern wieder etwas herausbekommen würden - kann eine Milliarde sein, kein Problem, denn die beiden Teilfolgen gehen ja gegen +unendlich und -unendlich, und da ist 1 Milliarde nach endlich vielen Schritten erreicht.
Freundliche Grüsse, Ralf
der war gut! 
