Dazu benötigst du noch nicht mal die SRT.seeker hat geschrieben: ↑23. Okt 2017, 09:24Ich verstehe nicht, warum das bei einem nichtexpandierenden Torus nicht automatisch immer gegeben sein sollte.
Ich verstehe auch nicht, warum und wie das bei einem nichtexpandierenden Torus nicht für verschiedene, sich relativ zueinander bewegende Beobachter gegeben sein sollte.
Stell' dir vor, der 3-Torus habe den Umfang L; der ruhende Beobachter B sitze bei x=0, die Ränder der 3-Fläche (2-Fläche für die bessere Veranschaulichung) sind bei x = +L/2 und x = -L/2 verklebt, d.h. die Koordinaten x, x+L, x+2L, ... werden identifiziert. Wenn der Beobachter zwei Lichtsignale mit +c bzw. -c aussendet, dann erreichen ihn beide Lichtsignale nach seiner Eigenzeit Zeit T = L/c.
Stell' dir nun vor, ein bewegter Beobachter B' befinde sich auf auf einer Reise um den Torus (in der SRT wird dieser Torus für ihn einen anderen Umfang L' gem. Lorentzkontraktion aufweisen, daber das ist zunächst mal irrelevant). Der Start der Reise von B' findet an an einem mit B gemeinsamen Startpunkt x = x' = 0 statt; beide synchronisieren ihre Uhren auf t = t' = 0 und senden die beiden Lichtsignale aus. B' bewegt sich auf ein Lichtsignal zu sowie von dem anderen weg. Beide Lichtsignale können nun gleichzeitig bei B' eintreffen; stattdessen empfängt B' die beiden Lichtsignale zu Eigenzeiten T'+ und T'-. Zur Berechnung der Zeiten benötigen wir die Mathematik der SRT; für die qualitative Diskussion kommen wir ohne aus.
B kann also mittels der Gleichzeitigkeit des Empfangs beider Signale experimentell feststellen, dass er sich relativ zum Torus in Ruhe befindet, während alle anderen, relativ zu ihm inertial bewegten Beobachter einen zeitlichen Versatz zwischen dem Empfang der beider Signale festestellen.
Lass' dich nicht von der scheinbaren Krümmung eines gezeichneten Torus irritieren. Auf dem 3-Torus existiert eine global flache Geometrie. Die scheinbare Krümmung des 2-Torus ist ein Artefakt der Zeichnung bzw. der Einbettung in den 3-Raum.-
Symmetrisch bzgl. was und gleichzeitig für wen? Ja für B, nein für B'.
Hier die Skizze zur Berechnung entsprechend des von mir verlinkten Beitrags im Physikerboard:
Man wählt als Referenzsystem das bzgl. des Torus ruhenden Koordinatensystem; dies ist identisch mit dem Ruhesystem von B.
Man setzt als Weltlinien der beiden Beobachter x₁(t) = 0, x₂(t) = vt.
Beachte, dass t, x₁, x₂ ungestrichen sind; zwar ist x₂ die Raumkoordinate des zweiten Beobachgters B' bzgl. des Koordinatensystems von B.
B' bewegt sich zunächst gemäß x₂(t) = vt; Kompaktifizierung bedeutet, dass bei TL/2 = L/2v gilt: x₂(t = TL/2) = v TL/2 = L/2
Für t > TL/2 setzt man nun x₂(t) = vt - L:
Bei t = TL = L/v gilt demnach x(TL) = v TL - L = 0.
D.h. man hat es mit zwei Zeiträumen zu tun, für die man die Koordinaten geeignet anpassen muss.
Genauso verfährt man für die Lichtsignalen sowie die Berechnung der Schnittpunkte der Lichtsignale mit B sowie B'.
Nun zur Berechnung der Eigenzeit: man berechnet die Eigenzeiten wiederum mittels dieses Koordinatensystems; letztlich benötigt man letzteres lediglich zur Bestimmung des Schnittpunktes der Weltlinien.
Der erste Schnittpunkt liegt bei (t, x) = (0, 0), der zweite bei (t, x) = (L/v, L = 0); x = L und x = 0 warden identifiziert.
Hat man das verstanden, berechnet man die Eigenzeit für B' für die Reise der Länge L (gemessen im Bezugsystem von B).
Fertig.
D.h. das Ergebnis unterscheidet sich in nichts von der gewöhnlichen Berechnung im nicht-kompaktifozierten Fall, außer dass man immer die Identifizierung x = L = 2L = ... beachtet.
(1) gilt hier lediglich lokal, nicht jedoch global.seeker hat geschrieben: ↑23. Okt 2017, 09:24Der eigentliche Widerspruch ergibt sich im skizzierten Universum aus diesen beiden Forderungen, die hier nicht zusammengehen:
1. Es ist für einen unbeschleunigten Beobachter nicht möglich eine Relativbewegung relativ zum umgebenden Raum zu messen.
2. Die Lichtgeschwindigkeit c ist konstant bzw. ihre Messung ergibt für beliebige Beobachter stets denselben Wert.
(2) gilt sowieso nur local.
Beide sind 'richtig'. Es gibt auch auf der Erdoberfläche immer zwei Abstände zwischen zwei Städten, nämlich den 'üblichen', z.B. D, sowie den 'antipodalen', nämlich U - D, wobei U für den Erdumfang steht. Da ist nichts widersprüchlich, und das ist keine Folge der SRT sondern der Topologie.seeker hat geschrieben: ↑23. Okt 2017, 09:24Das Problem bzw. die Besonderheit zeigt sich im Szenario auch, dass die zwei Beobachter während ihrer Reise zwei widersprüchliche Entfernungsinformationen erhalten, wenn sie unterwegs ihre relativen Abstände durch zueinander gesandte Lichtpulse und der Messung der entsprechenden Lichtlaufzeiten bestimmen:
Sie erhalten zwei verschiedene Abstände (statt einem, wie normalerweise), einer von vorne, einer von hinten. Welcher ist der 'richtige', der relevante?
Das funktioniert hier ganz genauso.seeker hat geschrieben: ↑23. Okt 2017, 09:24Man kann sie z.B. bestimmen, indem man die verlängerte Halbwertszeit von Teilchen der kosmischen Strahlung misst.
A oder B könnten den Wert ihrer lokalen Zeitdilatation auch dadurch bestimmen, indem sie Experimente mit Teilchen durchführen, die auf relativistische Geschwindigkeiten gebracht wurden. Ich sehe keinen Grund, warum A dabei zu anderen Werten kommen sollte als B, insbesondere nicht, dass dabei der Wert Null herauskommen kann, d.h. A als auch B können die Existenz der Zeitdilatation lokal nachweisen uns sie kommen zu denselben Werten.
Ja.
Die Weltlinie des ruhenden Beobachters hat "Windungszahl" Null; die beiden Weltlinien sind topologisch verschieden.
Bitte vergiss dieses Bild des Donuts! wie oben erwähnt ist das unzutreffend.
Ich würde das nicht Asymmetrie nennen. Die globale Struktur der Lorentzgruppe ist hier eine andere als auf einem nicht-kompaktifizierten Raum. Am einfachsten diskutiert man das mal für die reelle für die reelle Gerade sowie für die Kreislinie.seeker hat geschrieben: ↑23. Okt 2017, 09:24Es hieße auf jeden Fall, dass alle kompakte Universen zwingend eine solche Asymmetrie beinhalten müssen, sonst können sie nicht existieren.
Ist das die Schlussfolgerung, dass hier zwingend eine Expansion/Kontraktion geschehen muss, um das Paradoxon zu vermeiden, dass diese die Asymmetrie verursacht?
Was meinst du mit "sonst könnten sie nicht existieren"? Das Torusuniversum ist ein sehr schönes geometrisches Objekt, das mathematisch natürlich existiert und das eine Minkowski-Metrik und damit eine Realisierung des Lorentzsymmetrie zulässt. Vergiss Expansion und Kontraktion; mit ART hat das alles nichts zu tun.