Der Krümmungsparameter k ist nur sinnvoll definiert im Kontext der FRW-Metrik:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Friedma ... ker-Metrik
Die FRW-Metrik definiert je möglichem Wert für k (0, +1, -1) die räumliche Topologie einer 3-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeit M eindeutig! Da außerdem eine global-hyperbolische Raumzeit vorliegt, ist die Topologie der Raumzeit immer R * M, wobei R immer eine nicht-kompakte Menge darstellt (im Falle von Ur- bzw. Endknall werden diese immer ausgenommen, d.h. die Topologie entspricht immer der offenen Menge R).
Anders gesagt, die FRW-Metrik lässt verschiedene Geometrien zu (gegeben durch verschiedene Skalenfaktoren a), jedoch nicht verschiedene Topologien.
Zu der Idee, z.B. verschiedene flache Topologien mit Löchern einzuführen: ja, das funktioniert, jedoch entspricht dann die Geometrie global sicher nicht der FRW-Metrik, das hatte ich auch oben schon angedeutet:
Analytiker hat geschrieben:Mit der Wahl einer Metrik ist die Topologie nicht eindeutig festgelegt.
Doch. Allerdings nur dann, wenn man "Metrik" global versteht, d.h. wenn man im Sinne der Differentialgeometrie einen vollständigen Atlas der Mannigfaltigkeit [inkl. einer Metrik auf jeder Karte] angibt. Z.B. muss man im Falle von Ebene bzw. Torus schon dazusagen, ob man zwei Bereiche identifiziert oder nicht. Andernfalls hat man aber die Metrik doch nicht vollständig definiert.
Betrachten wir eine global flache 2-dim. diff.-bare Mannigfaltigkeit mit der Karte ]0,L[ * ]0,L[ sowie dem darauf definierten euklidischen Abstandsbegriff. Diese Karte können wir auf den R^2 anwenden; sie definiert da einen (diff.-baren) Atlas Genauso können wir diese Karte auf den T^2 anwenden, nur definiert sie auf diesem keinen Atlas! In den Randstreifen zur Kompaktifizierung benötigen wir zusätzliche Karten sowie zusätzlich Kartenwechselabbildungen; der euklidische Abstandsbegriff gilt damit zwar je Karte, ist jedoch sicher nicht global gültig bzw. fortsetzbar, da Abstände auf dem T^2 nach oben beschränkt sind.
Auf dem T^2 gilt also global nicht "die" FRW-Metrik.
Wenn wir also von einer 3-dim. Mannigfaltigkeit mit k = 0 sprechen, dann müssen wir schon sehr präzise sagen, was wir meinen:
1) eine 3-Mannigfaltigkeit, auf der global "die" FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit zwingend der R^3 (im Sinne einer Isometrie)
2) eine Mannigfaltigkeit, auf der lokal (= für jeweils eine Karte U) eine FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit nicht zwingend der R^3 (nicht einmal im abgeschwächten Sinne einer homöomorphen Abbildung)
(2) bedeutet, dass auf einer Karte U eine FRW-Metrik mit k = 0 existiert, dass diese Karte jedoch ggf. nicht die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken kann; d.h. man kann (bzw. muss) weitere Karten V, W, ... finden, wobei weiterhin auf jeder eine FRW-Metrik mit k = 0 vorliegt, so dass diese Karten letztlich einen (minimalen) Atlas A = {U, V, W, ...} bilden und somit die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken. Wenn der minimale Atlas A zwei oder mehr Karten umfasst, dann ist es nicht gerechtfertigt, von "der" FRW-Metrik auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen; dies kann nur "je Karte" gesagt werden. Andersherum: gäbe es "die" FRW-Metrik mit k = 0, also einen minimalen Atlas mit genau einer Karte, dann wären die euklidischen Abstände entsprechend der Metrik unbeschränkt; dies schließt aber z.B. den Torus aus.
Insofern hat Andreas nicht wirklich Unrecht. Ich halte den Beitrag jedoch für mathematisch unsauber, da er suggeriert, es läge global "die" FRW-Metrik vor; richtig ist, dass lokal ggf. mehrere Karten mit je einer FRW-Metrik vorliegen, und dass dies die Möglichkeit eröffnet, diese verschiedenen Karten mittels Kartenwechselabbildungen unterschiedlich "zusammenzukleben" und so unterschiedliche Topologien zu konstruieren.