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Die Zahl der Dimensionen-was verbirgt sich dahinter?

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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wilfried
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Die Zahl der Dimensionen-was verbirgt sich dahinter?

Beitrag von wilfried » 20. Aug 2006, 15:36

Liebe Freunde,

immer wieder lese ich -auch in diesem Forium natürlich- das Erstaunen und die Unbegreiflichkeit der Dimensionen ein "dickes Brett" darstellt, was erst mal durchbohrt werden will.

Ein bischen möchte ich mal versuchen zu helfen ein Löchlei in dies Brett zu graben:

Aus dem alltäglichen Leben kennen wir 4 Dimensionen, wobei wir alle 4 auch wahrnehmen:

Das sind die 3 räumlichen: Hähe, Breite, Länge und die Zeit, Oft hört man, der mensch kann nur die 3 räumlichen Dimensionen wahrnehem...jeder, der auf seinen Partner mal gewartet hat , weiß wie langsam die Zeit verrint, oder wer etwas tolles erlebt erzählt hinterher, wie kurzweilig das war.

Also haben wir die 4. Dimension, die Zeit offensichtlich erlebt.

Das ist alles, was der menschliche Sinn wahrnehmen kann.

Im Fall der mathematischen Beschreibung physikalischer Vorgänge benutzen wir sehr häufig sehr viele Dimensionen. So kann beispielsweise die Simulation eines Chips zig-Dimensional sein. Was nun bedeutet das?

In der Wissenschaft verstehen wir die Dimension als eine Anzahl von
A) physikalischen Größen, welche alle zur Beschreibung eines Sachverhaltes notwendig sind. Dazu gehören auch technologische Größen. Damit erweitert sich ein System beständig mit der Anzahl der in Frage kommenden Größen. Wir sagen auch dazu: physikalische oder technologische Parameter
B) mathematische Größen. Diese werden durch das System aufgebaut, welches z.B. die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen vorgibt. Hat man 2 dieser LUGs, so erhält man auch eine 2-dimensionale Beschreibung des Gleichungssystems. Es sind 2 Gleichungen zu lösen und es werden 2 Unbekannte ermittelt. Das kann sich auch schnell erweitern zu tausenden oder Millionen von Unbekannten. Ich frage hier nicht nach dem Sinn eines Gleichungssystems mit Millionen von Unbekannten, sondern nehme das einfach hin, denn unsere rechner können sowas ganz ganz fix lösen. Jedes graphisch orientierte Computerspiel arbeitet so!!!
Dann gibt es noch andere dimensionserweiternde mathematische Prozesse. So sind Vektorprozeduren auch dimensionserweiternd. Zu nennen sei hier das vektorielle Kreuzzprodukt. 2 Vektoren, jeder hat 1 Dimension werden mit diesem Kreuzprodukt verbunden. Es "entsteht" ein dritter Vektor -der Ergebnisvektor- welcher senkrecht auf den beiden anderen steht. So geht diese Geschichte weiter.

Wir erhalten nur durch verschiedenartige mathematische Formulierungen und durch das Anwenden der Formalismen eine Erweiterung des vektoriellen Raums. Der vektorbegriff zeigt dabei eine Eigenschaft auf, nämlich diejenige einer Verknüpfung:
Die "Größe" wird verknüpft mit einer "gerichteten" Information. "Gerichtet" bezieht sich wieder auf die Ausrichtung im Raum ... auch im n-dimensionalen Raum

Ab hier wird es jetzt etwas schwieriger: denn wir können verstehen, uns geistig vorstellen -"ein Bild machen"- von einem Vektor, der senkrecht auf zwei anderen steht.
Wir sind aber nicht in der Lage uns einen n-dimensionalen vektorraum mit n>3 "vorzustellen".
UND DAS BRAUCHEN WIR AUCH NICHT!!!!!
Wir müssen hier eben die Mathematik als eine abstrakte beschreibung nehmen und unser räumlich-zeitliches Vorstellungsvermögen dieser beschreibenden Funktion lernen zu opfern.
Als kleine Hilfe sei folgender versuch durchzuführen:

Reden Sie mit einem Künstler über das, was der Künstler erschaffen hat. Sagen wir, der Künstler sei ein Maler der Modernen und der hat auf eine tolle große Leinwand eine zeitung geklebt und in der Mitte -exakt in der Mitte- einen roten Punkt gemalt. Tolles Bild, wird ausgestellt und reiche Leute zahlen Millionen dafür. Versteh ich einfach nicht, kann ich auch machen.
Klar, aber ich bin nicht der Künstler!!!!

Das ist das gleiche mit der Mathematik. Wir müssen den Mut haben zu akzeptieren, daß es halt n-dimensionale Konstruktionen gibt und mit denen müssen wir eben leben. Verstehend "vorstellen" müssen wir die nicht, nur mit umgehen müssen wir lernen. Und das ist Handwerkszeug.

Wenn Sie mal in den höheren Sphären der Kosmologie gerechnet haben, so werden Sie über den Begriff der Vierervektoren, der tensoriellen Verknüpfungen ko- und kontravarianter Transformationen, der Eichtransformationen, gestoßen sein. So kommt dann plötzlich ein 9, 11 oder 27 dimensionaler Begriff auf Sie zu und vor Erfurcht erstarren Sie und sagen: jetzt kapier' ich gar nichts mehr!

Nicht kapitulieren, sondern akzeptieren, daß dieses nichts anderes als eine Matrix ist, also eine geordnete mathematische Niederschrift, welche eben durch mathematische Formalismen hervorgegangen ist.

Sehr viel schwieriger fällt uns stets das "verständlich machen" wissenschaftlicher Erkenntnisse. In der sogenannten Populärwissenschaft wird schnell sooo viel vereinfacht, daß jegweglicher Sinn und jegweglicher physikalischer Nutzen oder Zusammenhang verschwindet.

Zusammenfassung:

Viele Dimensionen sind nichts anders ein Ergebnis mathematischer sowie physikalischer Formalismen und dienen lediglich der ordnung in der Niederschrift.
Eine Interpretation in menschlich fassbare Werte ist bei sehr vielen dieser Dinge nahezu unmöglich bzw. endet bekanntermaßen in fürchtlich dummen Geschwätz.

Netten Gruß

Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
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Beitrag von Maclane » 20. Aug 2006, 17:47

Ja okay, das hab ich nun verstanden.
Mich erinnert das irgendwie an Datenbanken (stimmst du mir zu msueper?), wo man ja Daten auch mehrdimensional strukturieren kann.

Aber was ist nun mit den Extra-Dimensionen in den Stringtheorien?
Das sind doch nicht einfach nur mathematische Gebilde.
Schliesslich wurde uns doch erklärt: "Ja, man kann diese Extra-Dimensionen nicht sehen, deshalb müssen sie eingerollt sein. Aber bei ganz viel hohen Energien sollte man sie nachweisen können".

Also muss doch da mehr dran sein, als nur irgendwelche Rechenoperationen.

Womit ich aber keineswegs sage, dass ich diesen Ansatz für richtig halte. Ich wollte nur nachgefragt haben. :)

Gruss Mac
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Beitrag von msueper » 20. Aug 2006, 18:22

Hallo Maclane,
Tabellen sind eindimensional, das ist eine Folge der 1. Normalform, die verlangt, dass jedes Feld (Spalte/Zeile) nur einen Wert hat.
Aber egal. Ich muß Dir beipflichten, wenn durch die "Popularisierung" der Darstellung nicht ganz grober Mist reingekommen ist, ist genau das eine der Forderungen. Gerade die Zusatzdimensionen haben ja die Gemüter stark erregt, um das mal so zu sagen. Wäre es nur einfach ein math. Konstrukt, wäre der Rummel wohl geringer. Gut, "Politik" spielt natürlich auch rein... Aber Physik ist immer Mathematik mit Realitätsbezug, oder nicht?
Martin

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Beitrag von Stephen » 20. Aug 2006, 18:40

Tabellen - auf Datenbanken bezogen - sind natürlich zweidimensional - aber neue - sogenannte 4GL-Sprachen (SQL) - (z.B. PROGRESS) können durchaus mehrdimensionale Verfahren wiederspiegeln - sei es durch Aufnahme von (künstlich erzeugten) Matrixen pro Datensatz oder fester Verankerung (im Normalfall erzeugt durch eine getriggerte ID) zu einem oder mehreren anderen Datensätzen zu einer oder mehreren anderen (2-dimensionalen) Tabellen...
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Tabellen, ein, zwei ...dimensional

Beitrag von wilfried » 20. Aug 2006, 19:12

Bringt Euch nicht mit Tabellen durcheinander. Wir haben es in der Mathematik zu tun mit Matrizen. Das sind geordnete Anschrift, die haben mit Tabellen nur ein gemeinsam, nämlich dass sie 2-dimensional angeschrieben werden. Und das auch nur, weil wir halt auf paier keine weiteren Dimensionen schreiben können!

Das Durcheinander ordnen:

Eine Tabelle ordnet eine Information einer anderen zu. Beispiel:
Fahr mit dem Auto. Die eine Ordnung z.B. x-Achse sei die Zeit, die andere z.B. y Achse sei ein Ort, wo wir uns zu dieser zeit befanden. 12 Uhr: Nizza
13.Uhr Marseille, 14 Uhr London, 15 Uhr Brisbane
uhhhi das ist ein Auto was ...hättet Ihr wohl gerne ... aber das ist ein mathematisches Auto.

Eine Matrix ist eine Ordnung, welche z.B. Koeffizienten Vektoren oder
welche Knoten Kanten, oder welche physikalische Eigenschaften einem System bestehend aus n-Parametern zuordnet. Das können auch Blockmatrizen sein. Damit ist eine Matrix im Gegensatz zu einer tabelle ein Rechenhilfsmittel. Eine Matrix ist eine geordnete mathematische Niederschrift.

Eine Matrix kann größer werden, sie kann kleiner werden. Aus ihr kann ich auch direkt erkennen, ob ein System überhaupt lösbar ist.

Stephen Sour schrieb daß 4GL Sprachen auch so was benutzen. Ich habe keine Ahnung davon, aber bestimmt hat er recht, da ja die Datenverarbeitung mathematische Verfahren benutzt.

Gruß

Wilfried
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Beitrag von Stephen » 20. Aug 2006, 19:26

hmmm - 4GL leitet sich von 4th generation language ab - ist schon seit Anfang der 90ger im PC-Sprachgebrauch eigentlich.

Aber wie sollte man bereits an einer Matrix erkennen, ob ein Problem lösbar/unlösbar ist?

Gruß, Steffen
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Beitrag von breaker » 20. Aug 2006, 20:59

uii, ich glaub, dazu kann ich was sagen :wink:
(hatten wir mal wieder erst in der Schule)

Wenn man ein Gleichungssystem als Matrix schreibt, bei der die Koeffizienten vor den Variablen links stehen, und die Ergebnisse der einzelnen Gleichungen rechts (also einfach Gauss-Verfahren), kann man nach ein bisschen Umformen sehen, ob das System lösbar ist, oder nicht. Dazu hat man eine Größe namens "Rang" eingeführt. Der Rang einer Matrix steht für die Anzahl der Zeilen, die nicht nur Nullen enthalten.
Schwer in Worte zu fassen. Beispiel:
Gleichungssystem:

2x - 3y + z = 9
x + y - 2z = 2
4x - y - 3z = 10

Als Matrix schaut das dann so aus:

2 -3 1 | 9
1 1 -2 | 2
4 -1 -3 | 10

Nach ein bisschen Umformen erhält man dann:
2 -3 1 | 9
0 -5 5 | 5
0 0 0 |-3

Schaut man sich das wieder als Gleichungssystem an, hätte man stehen: 0 = -3, also ein Widerspruch.

Jetzt kommt der Rang wieder ins Spiel.
Wir betrachten zunächst nur einen Teil der Matrix von eben, nämlich den Teil links von den senkrechten Strichen.
Sie enthält zwei Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen, hat also den Rang 2.
Wenn wir die ganze Matrix betrachten, also die rechte Seite mit einbeziehen, hat sie nicht mehr den Rang 2, denn die letzte Zeile besteht ja nicht mehr nur aus Nullen. Sie hat nun den Rang 3.

Die Regel heißt also: Wenn die Ränge der beiden Matrizen nicht übereinstimmen, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Das spart ein wenig Zeit. Man sieht so eben leichter, ob es lösbar ist, oder nicht.

Das ist nicht das einzige, was man mit dem Rang machen kann.
wenn wir die linke Matrix A nennen, die ganze A1 und die Zahl der Unbekannten n, gilt folgendes:

Rang A = Rang A1 = n --- eindeutig lösbar
Rang A = Rang A1 < n --- unendlich viele Lösungen
Rang A :ungleich: Rang A1 --- unlösbar

Ich glaube, mit dem Rang kann man auch feststellen, ob eine Matrix inversierbar ist, aber das hab ich nicht mehr genau im Kopf. Die Sommerferien beginnen schon mir zu schaden :)
Zuletzt geändert von breaker am 21. Aug 2006, 13:05, insgesamt 3-mal geändert.

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Beitrag von wilfried » 20. Aug 2006, 23:23

Da sieht manb, daß bereits Schüler tolle Sachen lernen: ehrlich: meinen Glückwunsch.
Da ich jetzt aber müde bin und in die Heia abhau, werd ich an einem anderen tag mal was schreiben, wie man erkennen kann ob ein System lösbar ist oder nicht

Netten Gruß

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Beitrag von breaker » 21. Aug 2006, 12:13

Also mein Rechner kommt auf -3

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Beitrag von breaker » 21. Aug 2006, 13:04

Ja, stimmt. 0 = -3 kann man ja mit -1 multiplizieren, dann hat man 0 = 3.

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Beitrag von Stephen » 21. Aug 2006, 14:58

sorry, ich habs doof erklärt - natürlich kann man nach dem Auflösen einer Matrix erkennen, ob die lösbar ist oder nicht :lol:

War mit meinen Gedanken wohl schon an einem anderen Ort :oops:

Gruß, Steffen
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Beitrag von msueper » 21. Aug 2006, 18:27

@Breaker: invertierbar <=> eindeutige Lösung

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