Bewegungsgleichung eines skalaren Feldes

Beitrag von **gradient** » 20. Aug 2010, 15:31

Hallo zusammen,

in den letzten Tagen habe ich versucht, die Kosmologie aus dem Blickwinkel der ART zu verstehen, was inzwischen auch einigermaßen gelingt (ich kann etwas mit Tensoren rechnen, Christoffelsymbole und kovariante Ableitungen bestimmen, habe auch eine Herleitung der Schwarzschildmetrik mit Bleistift und Papier nachvollzogen - das Forum war mir dabei allg. sehr nützlich - danke.

).

Jedoch bin ich heute auf ein Problem gestoßen, das ich nicht lösen kann, obwohl es vermutlich nur eine kleine Rechnung ist:
Und zwar möchte ich nachrechnen, dass die Lagrangedichte $\mathcal{L} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi - V(\phi)$ mit dem homogenen Skalarfeld $\phi$ und Potential $V(\phi)$ auf die Bewegungsgleichung $\ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} + \frac{\partial V}{\partial \phi}=0$ führt.

Mein Ansatz ist (durch Variation der Wirkung), die Euler-Lagrange-Gleichung $\partial_{\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=0$ zu benutzen.
Allerdings sehe ich nicht, wie man auf
$\partial_{\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}g^{\mu \nu} \partial_{\nu}\phi)$
kommt (dies ist in einigen Skripten zu finden). (Wenn ich dieses Ergebnis verwende, komme ich unter Anwendung der Robertson-Walker-Metrik immerhin schon auf die gewünschte Bewegungsgleichung des Skalarfeldes.)

Kann mir da jemand weiterhelfen? In jedem Skript, das ich bisher danach durchsucht habe, wird diese Rechnung ausgelassen.

MfG
Patrick

p.s.: Ich weiß, dass ich aus didaktischen Gründen eigentlich alles Schritt für Schritt lernen sollte, allerdings nimmt das so viel Zeit weg (und in einer Vorlesung zu dem Thema werde ich wohl alles ohnehin viel genauer erlernen)...

Beitrag von **gradient** » 23. Aug 2010, 11:54

Hallo Sculletto,

erst mal - wenn auch verspätet - herzlich Willkommen hier im Forum!
Deine Antwort hat mich sehr weiter gebracht - vielen Dank!
In der Euler-Lagrange-Gleichung handelt es sich um eine kovariante Ableitung, nicht um eine partielle. (Siehe z.B. wikipedia)
Damit erhalte ich auch tatsächlich die gewünschte Bewegungsgleichung, indem ich die Robertson-Walker-Metrik ansetzte und damit die kovarianten Ableitungen explizit berechne.

Die Herleitung von $D_{\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}g^{\mu \nu} \partial_{\nu}\phi)$ ist mir noch nicht gelungen, daran versuche ich mich später nochmal, muss jetzt erstmal weg...

MfG
Patrick

Beitrag von **tomS** » 23. Aug 2010, 13:14

kennst du ein Ergebnis für den Zwischenschritt, d.h. die Variationsableitung der Lagrangedichte?

Beitrag von **gradient** » 23. Aug 2010, 14:31

Hallo Tom,

ja, das Prinzip kenne ich. In theoretischer Mechanik haben wir die Lagrangegleichungen hergeleitet, indem wir die Variation der Wirkung $S = \int L dt$ (Integration über die Zeit) bestimmt haben. Für kontinuierliche Systeme hat man die Wirkung $S = \int \mathcal{L} dt d^n x$ (Integration über ein Raumzeit"volumen") . Die Forderung $\delta S = 0$ liefert die Euler-Lagrange-Gleichungen. (Die Rechnung dazu habe ich in einem Skript gesehen.)
Allerdings habe ich manchmal den Eindruck, dass nicht immer zwischen partieller Ableitung und totalem Differential unterschieden wird...

MfG
Patrick

Beitrag von **gradient** » 23. Aug 2010, 18:54

Hallo Sculletto,

ich denke, es ist nun doch klar (habe nur nicht richtig hingesehen...):

$\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}g^{\mu \nu} \partial_{\nu}\phi)=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}\partial^{\nu}\phi) = \frac{1}{\sqrt{-g}}[\partial_{\mu}(\sqrt{-g})\partial^{\mu}\phi+\sqrt{-g} \partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi]=$
$= \frac{1}{\sqrt{-g}}[\sqrt{-g} \Gamma^{\sigma}_{\sigma \mu} \partial^{\mu} + \sqrt{-g} \partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi] = D_{\mu} (\partial^{\mu}\phi) = D_{\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ .
Der vorletzte Schritt ist die vorletzte Gleichung aus dem Link. Um den letzten Schritt einzusehen, muss man lediglich die kovariante Ableitung der rechten Seite berechnen.

Hoffe, das passt so.

MfG
Patrick

Abenteuer-Universum

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