#15 Die Form des Universums

Basisforum, in dem immer wieder spannende Themen wie Urknall, schwarze Löcher, Quantenphysik usw. auf Einsteiger-Niveau als kurze Artikel vorgestellt und diskutiert werden

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Timm
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 13. Jan 2018, 19:33

tomS hat geschrieben:
13. Jan 2018, 17:55

Du schreibst z.B. "k = +1" oder "k = -1"; bereits das setzt den FRW-Kontext voraus.
Da sind wir d'accord.
Timm hat geschrieben:
13. Jan 2018, 11:58
Diese Unterscheidung bezieht sich klar auf FRW-Kontext und ist hier präzise definiert. Z.b. geschlossen -> k=1 -> sphärisch.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 15. Jan 2018, 14:45

Ich möchte den Faden wieder aufgreifen und auf die theoretisch mögliche sowie mit den Beobachtungsdaten verträgliche Form des Universums zurückkommen.

Die Idee ist letztlich, Schwingungsmuster zu beobachten, das von sogenannten primordialen Gravitationswellen kurz nach dem Urknall verursacht wurde. Dabei besteht zum einen theoretisch die Möglichkeit einer direkten Messung der Gravitationswellen sowie eine indirekte Messung über die Fluktuationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung; dabei sollten die Gravitationswellen „Muster“ in der Materie- und Strahlungsverteilung erzeugt haben, wovon wir heute die Relikte in der Hintergrundstrahlung beobachten.

Heute ist nur die indirekte Methode über die kosmische Hintergrundstrahlung technisch möglich.

Die Idee besteht also im Wesentlichen darin, zunächst die Schwingungsmuster indirekt zu ermitteln, sowie anschließend auf die Form des 3-dim. Raumes zurückzuschließen. Dazu legt man zunächst ein bestimmtes kosmologisches Modell und insbs. dessen Topologie fest, und berechnet mittels der ART die zulässigen Schwingungsmuster, d.h. Frequenzen sowie Amplituden. Anschließend vergleicht man die gemessenen Schwingungsmuster mit den berechneten und ermittelt daraus die zulässigen Topologien des Universums; natürlich sind zudem auch weitere geometrische Informationen enthalten, d.h. wir lernen nicht nur etwas über die „reiner Form“ sondern auch über die Geometrie (z.B. Krümmung, Entfernungen, …)

Üblicherweise arbeiten die Kosmologen mit homogenen und isotropen Modellen, d.h. insbs. den Friedmann-Robertson-Walker-Metriken. Dabei gehen wir davon aus, dass das Universum an jedem Punkt und in jede Richtung identisch aussieht.

Es ist wichtig, festzuhalten, dass diese Annahme für die Diskussion zur Form des Universums nicht ausreichend ist, da explizit auch andere Topologien mit den Beobachtungsdaten verträglich sind!

Insbs. muss man die Forderung der Isotropie fallenlassen. Ein einfaches Beispiel ist die Torus-Topologie. Man erhält den Torus aus einem Quadrat, das man an gegenüberliegenden Kanten verklebt. Im Gegensatz zum im 3-dim. Raum eingebetteten „Fahrradschlauch“ liegt dabei eine homogene, flache Geometrie vor. Allerdings ist die globale Isotropie gebrochen, d.h. das Universum sieht zwar an jedem Punkt gleich aus, nicht jedoch in jede Richtung (lokal ist dies der Fall). Man erkennt die Brechung der globalen Isotropie sehr einfach: man kann für den „Fahrradschlauch“ Kurven definieren, die sich unterschiedlich um den „Fahrradschlauch“ herumwinden.

Nach heutigen Erkenntnissen ist das Universum global flach, d.h. alle Topologien, die andere Krümmungen erfordern, werden ausgeschlossen – insbs. ein gemäß Sprachgebrauch der Topologen geschlossenes Universum, das in einem „Big Crunch“ endet).

Man betrachtet dazu den sogenannten Dichteparameter Ω. Dieser Parameter wird berechnet als (mittlere) Dichte einschließlich Materie, Strahlung und kosmologischer Konstante dividiert durch die kritische Dichte. Nach heutigen Messungen ist der Dichteparameter Ω sehr nahe bei Eins, typische Beobachtungsdaten führen auf Ω = 1.00±0.02, d.h. das Universum ist in sehr guter Näherung flach.

Prinzipiell ausgeschlossen werden nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten (2-dim. Beispiele: Möbius-Band, Kleinsche Flasche). Grund dafür sind theoretische Überlegungen. Auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten sind keine Spinstrukturen definierbar, d.h. es ist keine uns vertraute Physik mit Fermionen (Elektronen, Quarks, Neutrinos, ..) möglich.

Im Folgenden eine kurze Übersicht über einige mögliche Topologien mit flacher Geometrien ohne Rand.

Flach = euklidisch:
- nicht-kompakter = unendlicher, 3-Raum
- kompakter = endlicher 3-Torus (allg. Seifert-Faserungen)

Nicht-euklidsche Geometrien folgen …
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 15. Jan 2018, 18:52

tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 14:45
Ich möchte den Faden wieder aufgreifen und auf die theoretisch mögliche sowie mit den Beobachtungsdaten verträgliche Form des Universums zurückkommen.

Die Idee ist letztlich, Schwingungsmuster zu beobachten, das von sogenannten primordialen Gravitationswellen kurz nach dem Urknall verursacht wurde. Dabei besteht zum einen theoretisch die Möglichkeit einer direkten Messung der Gravitationswellen sowie eine indirekte Messung über die Fluktuationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung; dabei sollten die Gravitationswellen „Muster“ in der Materie- und Strahlungsverteilung erzeugt haben, wovon wir heute die Relikte in der Hintergrundstrahlung beobachten.
Soweit ich das verfolgt habe, entstehen primordiale Gravitationswellen während der Inflation aufgrund quantenmechanischer Effekte. Ihr direkter interferometrischer Nachweis würde die Inflationstheorie bestätigen. Ich gehe davon aus, daß du den Urknall zeitlich vor der Inflation ansetzt, dann würde es passen.

Sehr interessant finde ich nun, daß, wenn ich dich richtig verstehe, Signaturen primordialer Gravitationswellen im CMB prinzipiell etwas über die Form des Universums verraten könnten. Vermutlich gehst du darauf noch etwas näher ein. Unabhängig davon die Bitte, hast eine Referenz? Ich würde das gerne nachlesen.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von positronium » 15. Jan 2018, 19:31

tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 14:45
Insbs. muss man die Forderung der Isotropie fallenlassen. Ein einfaches Beispiel ist die Torus-Topologie. Man erhält den Torus aus einem Quadrat, das man an gegenüberliegenden Kanten verklebt.
Wenn man das aus der Perspektive von Freiheitsgraden betrachtet, ist es logisch, dass Isotropie nicht bestehen kann. Gleichzeitig bedeutet das, dass so etwas wie Koordinatenrichtungen real existieren und ausgezeichnet sind. Das ist schon bemerkenswert, auch besonders wenn man an Raumkrümmung denkt.
Lässt sich Isotropie auch durch spezielle Metriken nicht wiederherstellen?

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 15. Jan 2018, 22:31

Timm hat geschrieben:
15. Jan 2018, 18:52
Soweit ich das verfolgt habe, entstehen primordiale Gravitationswellen während der Inflation aufgrund quantenmechanischer Effekte. Ihr direkter interferometrischer Nachweis würde die Inflationstheorie bestätigen. Ich gehe davon aus, daß du den Urknall zeitlich vor der Inflation ansetzt, dann würde es passen.
Ja.

(primordiale Gravitationswellen werden auch von anderen Modellen vorhergesagt, z.B. dem ekpyritischen Modell, allerdings mit einem anderen Spektrum)
Timm hat geschrieben:
15. Jan 2018, 18:52
Unabhängig davon die Bitte, hast eine Referenz? Ich würde das gerne nachlesen.
In Weinberg's "Cosmology" findest du detaillierte Rechnungen, allerdings nur zu FRW. Zu anderen Topologien muss ich die Artikel wieder raussuchen.
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 15. Jan 2018, 22:38

positronium hat geschrieben:
15. Jan 2018, 19:31
Wenn man das aus der Perspektive von Freiheitsgraden betrachtet, ist es logisch, dass Isotropie nicht bestehen kann.
Das verstehe ich nicht.
positronium hat geschrieben:
15. Jan 2018, 19:31
Lässt sich Isotropie auch durch spezielle Metriken nicht wiederherstellen?
Ich denke nicht. Auf dem flachen 3-Torus existieren geschlossene Geodäten mit ganzzahligen Windungszahlen, d.h. Tripeln (m,n,p), sowie weitere nicht geschlossene Geodäten. Wie soll man das "reparieren"?
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von positronium » 16. Jan 2018, 12:51

tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 22:38
positronium hat geschrieben:
15. Jan 2018, 19:31
Lässt sich Isotropie auch durch spezielle Metriken nicht wiederherstellen?
Ich denke nicht. Auf dem flachen 3-Torus existieren geschlossene Geodäten mit ganzzahligen Windungszahlen, d.h. Tripeln (m,n,p), sowie weitere nicht geschlossene Geodäten. Wie soll man das "reparieren"?
Ich dachte in Richtung eines derartigen https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_Igel Feldes, das statt nur eines Vektors für 3 Vektoren, also Basen gelten könnte. Aber wahrscheinlich ist Deine Einschätzung richtig.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 16. Jan 2018, 18:28

Ich versteh nicht, auf welchen Zusammenhang du hinauswillst; das bezieht sich ja auf ein Vektorfeld auf der Sphäre, nicht auf die Metrik selbst.
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 31. Jan 2018, 10:05

tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 14:45
Nach heutigen Erkenntnissen ist das Universum global flach, d.h. alle Topologien, die andere Krümmungen erfordern, werden ausgeschlossen – insbs. ein gemäß Sprachgebrauch der Topologen geschlossenes Universum, das in einem „Big Crunch“ endet).
Das scheint mir ein wichtiger Punkt zu sein. Man könnte argumentieren, daß exakt Ω = 1.0 auch durch künftig noch genauere Winkel Messungen im CMB nicht verifizierbar ist und insofern die Sphäre nicht ausgeschlossen werden kann, denn sie kann ja beliebig groß sein. Interessanterweise klärt diese Frage nicht die Winkelsumme im Dreieck, sonder durch die Beobachtung der beschleunigten Expansion.
tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 14:45
Im Folgenden eine kurze Übersicht über einige mögliche Topologien mit flacher Geometrien ohne Rand.

Flach = euklidisch:
- nicht-kompakter = unendlicher, 3-Raum
- kompakter = endlicher 3-Torus (allg. Seifert-Faserungen)

Nicht-euklidsche Geometrien folgen …
Na?

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Pippen » 31. Jan 2018, 22:24

Ich würde die Formfrage anders aufziehen, nämlich so: Wir senden einen Lichtstrahl von der Erde aus und achten darauf, dass seine Flugbahn im Mittel gerade bleibt, also keine Krümmung hat (wir nehmen dazu an, ein Genius habe die Flugnahn so gekonnt berechnet, dass sich lokale Krümmungen der Flugbahn durch lokale Gravitationswirkungen auf größeren Skalen ausgleichen, so dass die Photonen "im Mittel" geradeaus fliegen und damit de facto wie in einem leeren euklid. Raum). Kommt dieser Lichtstrahl irgendwann an eine Grenze, wo er abprallt/steckenbleibt oder nicht? Das ist für mich die Gretchenfrage dieses flachen Universums. Die Vertreter eines geschlossenen U. bestreiten schlicht die Zusatzannahme, d.h. bereits die theoretische Möglichkeit, dass ein Lichtstrahl überhaupt je im Mittel geradeaus fliegen kann. Habe ich das richtig übersetzt?

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 31. Jan 2018, 23:19

Pippen hat geschrieben:
31. Jan 2018, 22:24
Wir senden einen Lichtstrahl von der Erde aus und achten darauf, dass seine Flugbahn ... keine Krümmung hat.
Ein Lichtstrahl folgt immer einer verallgemeinerten Geraden (einer sogenannten Geodäten). D.h. die kannst die Krümmung nie dem Lichtstrahl sondern immer nur der Geometrie der Raumzeit zuschreiben.
Pippen hat geschrieben:
31. Jan 2018, 22:24
Kommt dieser Lichtstrahl irgendwann an eine Grenze ... Das ist für mich die Gretchenfrage dieses flachen Universums.
Das beruht auf einen Missverständnis - s.u.
Pippen hat geschrieben:
31. Jan 2018, 22:24
Die Vertreter eines geschlossenen U. bestreiten schlicht die Zusatzannahme, d.h. bereits die theoretische Möglichkeit, dass ein Lichtstrahl überhaupt ... geradeaus fliegen kann. Habe ich das richtig übersetzt?
Nee, das hast du falsch verstanden.

Es gibt zunächst keine Vertreter eines geschlossenen Universums, sondern allenfalls Beobachtungen, die ein geschlossenes Universum nahelegen - oder eben auch nicht.

Die Mathematik lässt jedenfalls flache, geschlossene, unberandete Mannigfaltigkeiten ohne Grenze zu, auf denen sich Lichtstrahlen gerade, d.h. entlang von Geodäten und ohne je an einen Rand zu stoßen, bewegen können.

Ob dies ein geeignetes Modell für unser Universum darstellt entscheiden letztlich Beobachtungsdaten.
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Pippen » 1. Feb 2018, 03:20

Dann würde ich meine Gretchenfrage so formulieren wollen: Ist das Universum eine geschlossene oder offene oder maßlose Menge an Raumpunkten IR^n (wieviel Dimensionen es auch immer haben mag)?

1) Wäre es geschlossen, dann gäbe es eine richtige Grenze, so wie beim Intervall (0 ≥ x ≥1}. Das wäre Wahnsinn, weil man sich dann fragen könnte, was wohl "dahinter" sei.
2) Wäre es offen, so wie beim Intervall (0 > x > 1), dann wäre es grenzenlos und doch begrenzt, auch hier wäre interessant, was "dahinter" kommt, wenn auch die Grenze selbst unerreichbar bliebe.
3) Wäre es maßlos, dann wäre es wie das Intervall von minus unendlich bis plus unendlich.

Im Prinzip geht's mir gar nicht um die Form. Ob das Universum - von einem hypothetischen Außen-Hyperraum betrachtet - nun eine Kugel, ein Torus oder was auch immer wäre (bzw. die n-dimensionalen Vertreter davon), ist nicht so spannend. Spannend wäre 3), denn dann gälte das Infinite-Monkey-Theorem. Theoretisch müsste man 1) empirisch beobachten können, 2) zumindest als statistische Wahrscheinlichkeit, wenn man mit einem Raumschiff immer näher an einen Punkt kommt, ohne ihn zu erreichen, nur 3) wäre nie beweisbar.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 1. Feb 2018, 06:57

Pippen hat geschrieben:
1. Feb 2018, 03:20
Dann würde ich meine Gretchenfrage so formulieren wollen: Ist das Universum eine geschlossene oder offene oder maßlose Menge an Raumpunkten IR^n (wieviel Dimensionen es auch immer haben mag)
"Maßlos" ist der falsche Begriff; die beiden anderen reichen mathematisch zunächst aus.

Die Anzahl der sichtbaren räumlichen Dimensionen beträgt drei, alles andere müssen wir hier nicht diskutieren.
Pippen hat geschrieben:
1. Feb 2018, 03:20
1) Wäre es geschlossen, dann gäbe es eine richtige Grenze, so wie beim Intervall (0 ≥ x ≥1). Das wäre Wahnsinn, weil man sich dann fragen könnte, was wohl "dahinter" sei.
Geschlossen bedeutet zunächst nicht unendlich ausgedehnt. Das könnte bedeuten mit Rand, aber ein Rand erscheint heute den Physikern als überflüssige, zusätzliche Annahme. Daher meinen die Kosmologen hier immer endlich ohne Rand, wie z.B. eine Kreislinie.
Pippen hat geschrieben:
1. Feb 2018, 03:20
2) Wäre es offen, so wie beim Intervall (0 > x > 1), dann wäre es grenzenlos und doch begrenzt, auch hier wäre interessant, was "dahinter" kommt, wenn auch die Grenze selbst unerreichbar bliebe.
3) Wäre es maßlos, dann wäre es wie das Intervall von minus unendlich bis plus unendlich.
(2) und (3) sind topologisch identisch. Du darfst dir bei (2) jedenfalls keine Einbettung in die reelle Zahlengerade vorstellen. Die Kosmologen sprechen allgemein von offen, d.h. immer unendlich ohne Rand.
Pippen hat geschrieben:
1. Feb 2018, 03:20
Ob das Universum - von einem hypothetischen Außen-Hyperraum betrachtet - nun eine Kugel, ein Torus oder was auch immer wäre, ist nicht so spannend.
Es geht explizit nicht um einen hypothetischen Außenraum, ich denke, das hatten wir bereits ausführlich diskutiert. All diese topologischen und geometrischen Fragestellungen sind ohne Einbettung in einen Außenraum vollumfänglich diskutierbar.

Und doch, diese Frage der Form ist spannend, insbs. weil die selbe lokale Geometrie, durch unterschiedliche Topologien realisiert sein kann; z.B. haben sowohl der offene, unendliche, 3-dim. euklidische Raum als auch der geschlossene, endliche 3-Torus (keine Einbettung!) eine flache Geometrie. Interessanterweise existieren physikalische Observablen, die eine Unterscheidung dieser lokal identischen jedoch global unterschiedlichen Geometrien ermöglichen, insbs. das Spektrum primordialer Gravitationswellen.

Zu Fragen der nicht notwendigen Einbettung, des Ausschlusses der Existenz von Rändern sowie physikalischen Observablen siehe
tomS hat geschrieben:
11. Jan 2018, 11:32
Eine weitere Einschränkung folgt aus dem Prinzip, dass im Wesentlichen alle Punkte des Raumes gleichberechtigt sein sollen. Natürlich kann es lokale Unterschiede bzgl. Krümmung usw. geben, aber jeder kleine Ausschnitt des Raumes soll doch topologisch äquivalent zu jedem anderen Ausschnitt sein; dieses Prinzip schließt Ränder aus. Wir sprechen über den 3-dim. Raum, d.h. ein Rand wäre eine 2-dim. Fläche. Unser Universum enthält also keine Raumbereiche, die durch Flächen begrenzt werden, „hinter denen es nicht weitergeht“.

Zum Abschluss nochmals der wichtige Hinweis, dass die Topologie und die Riemannsche Geometrie immer formulierbar sind, ohne dass man sich den Raum eingebettet denkt in eine höhere Dimension! Dies würde auch für den Fall von Rändern gelten. Bsp.: Man betrachte eine 1-dim. Linie. Eine Kreislinie hat keinen Rand. Eine Strecke hat zwei Ränder, nämlich die beiden Endpunkte. Dass Ränder vorliegen kann man erkennen, ohne die Strecke in die einbettende Ebene zu verlassen: man läuft in eine Richtung – solange „bis es nicht mehr weitergeht“; dass es nicht mehr weitergeht ist der eigentliche Indikator für die Existenz eines Randes; dazu muss man die Strecke nicht von außen betrachten“.
tomS hat geschrieben:
15. Jan 2018, 14:45
Die Idee ist letztlich, Schwingungsmuster zu beobachten, das von sogenannten primordialen Gravitationswellen kurz nach dem Urknall verursacht wurde. Dabei besteht zum einen theoretisch die Möglichkeit einer direkten Messung der Gravitationswellen sowie eine indirekte Messung über die Fluktuationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung; dabei sollten die Gravitationswellen „Muster“ in der Materie- und Strahlungsverteilung erzeugt haben, wovon wir heute die Relikte in der Hintergrundstrahlung beobachten.

Heute ist nur die indirekte Methode über die kosmische Hintergrundstrahlung technisch möglich.

Die Idee besteht also im Wesentlichen darin, zunächst die Schwingungsmuster indirekt zu ermitteln, sowie anschließend auf die Form des 3-dim. Raumes zurückzuschließen. Dazu legt man zunächst ein bestimmtes kosmologisches Modell und insbs. dessen Topologie fest, und berechnet mittels der ART die zulässigen Schwingungsmuster, d.h. Frequenzen sowie Amplituden. Anschließend vergleicht man die gemessenen Schwingungsmuster mit den berechneten und ermittelt daraus die zulässigen Topologien des Universums; natürlich sind zudem auch weitere geometrische Informationen enthalten, d.h. wir lernen nicht nur etwas über die „reiner Form“ sondern auch über die Geometrie (z.B. Krümmung, Entfernungen, …)

Üblicherweise arbeiten die Kosmologen mit homogenen und isotropen Modellen, d.h. insbs. den Friedmann-Robertson-Walker-Metriken. Dabei gehen wir davon aus, dass das Universum an jedem Punkt und in jede Richtung identisch aussieht.

Es ist wichtig, festzuhalten, dass diese Annahme für die Diskussion zur Form des Universums nicht ausreichend ist, da explizit auch andere Topologien mit den Beobachtungsdaten verträglich sind!

Insbs. muss man die Forderung der Isotropie fallenlassen. Ein einfaches Beispiel ist die Torus-Topologie. Man erhält den Torus aus einem Quadrat, das man an gegenüberliegenden Kanten verklebt. Im Gegensatz zum im 3-dim. Raum eingebetteten „Fahrradschlauch“ liegt dabei eine homogene, flache Geometrie vor. Allerdings ist die globale Isotropie gebrochen, d.h. das Universum sieht zwar an jedem Punkt gleich aus, nicht jedoch in jede Richtung (lokal ist dies der Fall). Man erkennt die Brechung der globalen Isotropie sehr einfach: man kann für den „Fahrradschlauch“ Kurven definieren, die sich unterschiedlich um den „Fahrradschlauch“ herumwinden.

Nach heutigen Erkenntnissen ist das Universum global flach, d.h. alle Topologien, die andere Krümmungen erfordern, werden ausgeschlossen – insbs. ein gemäß Sprachgebrauch der Topologen geschlossenes Universum, das in einem „Big Crunch“ endet).

Man betrachtet dazu den sogenannten Dichteparameter Ω. Dieser Parameter wird berechnet als (mittlere) Dichte einschließlich Materie, Strahlung und kosmologischer Konstante dividiert durch die kritische Dichte. Nach heutigen Messungen ist der Dichteparameter Ω sehr nahe bei Eins, typische Beobachtungsdaten führen auf Ω = 1.00±0.02, d.h. das Universum ist in sehr guter Näherung flach.

Prinzipiell ausgeschlossen werden nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten (2-dim. Beispiele: Möbius-Band, Kleinsche Flasche). Grund dafür sind theoretische Überlegungen. Auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten sind keine Spinstrukturen definierbar, d.h. es ist keine uns vertraute Physik mit Fermionen (Elektronen, Quarks, Neutrinos, ..) möglich.
Gruß
Tom

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