Form eines Schwarzen Loches ??

[tomS]

Zur kosmischen Zensur:

Es gibt keinen Mechanismus innerhalb der ART, aus dem dieses Prinzip mathematisch als Satz ableitbar wäre. Z.B. ist die maximale Kerr-Lösung nach der ART nicht verboten.

Es gibt nach den bekannten Weltmodellen sogar ein Gegenbeispiel, nämlich den Urknall. Unser gesamtes Universum liegt ja im "Zukunftslichtkegel" des Urknalls.

Ich halte die kosmischen Zensur für ein "ästhetisches Prinzip"; außerdem glaube ich, dass eine endgültige Formulierung der Quantengravitation das Problem eh löst, da darin keine Singularitäten mehr auftreten sollten.

[Alex]

Kann noch jemand das mit der halben Lichtgeschwindigkeit erklären?
Wieso ist bei dieser Geschwindigkeit eine Grenze gesetzt???

[Ray Light]

Hallo zusammen.

Zunächst mal erfreut mich diese Diskussion sehr: Alex hat eine alte Frage aufgeworfen, die hier neu beleuchtet wurde. Snoopy stellt gute Fragen und lässt nicht nach, bis sie zufriedenstellend beantwortet sind. Tom antwortet gewohnt gut informiert und schlüssig – sehr schön!

Leider muss ich zugeben, dass eine präzise Beantwortung Eurer Fragen ein bisschen Rechnerei erfordert. Da geht in der Physik letztlich kein Weg dran vorbei, wenn man es genau wissen will. Ich hoffe, Ihr habt trotzdem Lust, das Folgende zu lesen.

Zunächst eine Anmerkung zu Tom, der schrieb:

Damit ist letztlich ein SL nur eine Singularität umgeben von leeren Raum = Vakuum.

Tatsächlich ist auch die Singularität leerer Raum. Bitte erinnere Dich daran, dass bei den hier diskutierten Schwarzen Löchern (Schwarzschild und Kerr) der Energie-Impuls-Tensor global verschwindet. Diese Löcher sind Vakuum-Lösungen mit einem globalen Vakuum – auch in der Singularität. Ist das nicht verblüffend!?

Tom fragte:

Kann man den Drehimpuls des SLs (ganz oder teilweise) aus einem Integral über die Raum-Zeit ableiten? Trägt also das Gravitationsfeld letztlich selbst den Drehimpuls?

Ja, die Raumzeit (ich spreche in der ART nicht mehr so gerne von Gravitationsfeldern – das ist Newtonsche Sprechweise) trägt selbst den Drehimpuls.

Die schnellste Art das zu zeigen geht über die Symmetrien der Raumzeit. Die Kerr-Lösung ist axialsymmetrisch und stationär. Mit jeder dieser Symmetrien ist exakt eine Erhaltungsgröße verbunden: Zur Achsensymmetrie gehört der Drehimpuls des Loches und zur Stationarität gehört die Masse. Hier finden wir im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie das Noether-Theorem wieder.

Alternativ kann man die Lochmasse über die Thermodynamik Schwarzer Löcher à la Hawking herleiten. Dann ist es tatsächlich ein Integral über metrische Koeffizienten. Diese Rechnung gibt es z.B. hier (S.149f):

http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/ ... s_IV.ps.gz

Ich finde diese Aspekte klassischer Schwarzer Löcher sind von Atem beraubender Schönheit (okay, für einen Theoretiker…).

Für die harten Jungs unter Euch gibt’s diese Prosa gerne als Gleichung. Dazu benötigen wir die Killing-Vektoren der Kerr-Metrik. Sie sind die Lösungen der Killing-Gleichung, d.h. die Lie-Ableitung der Kerr-Metrik soll verschwinden. Für Rechnungen am besten nach „Killing field“ oder „Killing vector“ sowie „Kerr“ recherchieren. Ich habe jetzt nichts Elektronisches gefunden…

Snoopy fragte

aber warum gerade mit halber Lichtgeschwindigkeit ???

Ja, da habe ich auch lange mit gerungen und auch schon hier im Forum Verwirrung gestiftet (nicht wahr, gravi?). Früher dachte ich immer, dass der Horizont exakt mit Lichtgeschwindigkeit c rotiere – das klingt ja zunächst plausibel. Rechnet man’s nach, erhält man 0,5c. Klingt komisch, so nach halben Sachen, ist aber korrekt.

So geht’s:
In der theoretischen Beschreibung Schwarzer Löcher gibt es bei der Kerr-Metrik (geschrieben in der Boyer-Lindquist-Form) eine Funktion, die Frame-Dragging-Frequenz (klein omega) genannt wird. Sie ist ein Maß für die Rotation der Raumzeit. Sie ist daher in der Schwarzschild-Metrik exakt null und skaliert bei der Kerr-Metrik mit der Radialkoordinate (r) und dem Poloidalwinkel (theta). In der folgenden Abbildung

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... _func3.jpg

ist omega in der Äquatorialebene (theta = 0,5pi) als türkisfarbene Kurve dargestellt. Wie man sieht steigt die Kurve zum Loch hin an, d.h. die Rotation der Raumzeit nimmt zum Loch hin zu.

(Wer es nachrechnen möchte, möge die Gleichungen für omega & Co. Hier verwenden:
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... ndfunc.jpg
Weitere Erklärungen gibt es hier:
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#kerr )

Nun sieht man auch, dass in diesem Extremfall maximaler Rotation (a = M, bei G = c =1) omega am Horizont den Wert 0,5 annimmt. Rechnet man die Frame-Dragging-Frequenz, sowas wie eine Kreisfrequenz, in eine Rotationsgeschwindigkeit gemäß v = omega x r um, so erhält man mit r = M (Horizontradius): v = 0,5/M x M = 0,5. Da wir (wie üblich) c=1 gesetzt hatten, folgt aufgrund dieser dimensionslosen Einheiten:

„Der Horizont rotiert mit halber Lichtgeschwindigkeit.“

Es geht also aus den Formeln hervor, Snoopy.

Zur kosmischen Zensur:
Ich möchte Toms Aussagen beipflichten. Die Kosmische Zensur geht zurück auf den englischen Relativisten Roger Penrose, der sie erstmals 1969 formulierte. Es gibt meines Wissens keinen formalen, mathematischen Beweis für diese Hypothese. Ich glaube, dass die Relativisten zu dieser plausiblen Forderung gekommen sind, nachdem sie vor allem in den 1960er Jahren diverse Metriken untersucht hatten – darunter auch ein paar sehr pathologische Raumzeiten (Taub-NUT-Metrik etc.). Bei sichtbaren Singularitäten passieren aus der Sicht der Physiker schlimme Sachen: das Prinzip der Kausalität wird verletzt etc. Deshalb, so vermute ich, forderte Penrose die Kosmische Zensur.

Im Englischen wird die Kosmische Zensur übrigens cosmic censorship conjecture genannt. Hier weist das letzte Wort darauf hin, dass es sich um eine unbewiesene Vermutung handelt und nicht etwa um einen bewiesenen, mathematischen Satz.
Fakt ist auch: Die Kosmische Zensur wird von astronomischen Beobachtungen bislang gestützt. Kein Astronom sah so etwas wie eine sichtbare Singularität. (Einige glaubten das wohl anfangs bei den Gamma-Ray Bursts, doch heute scheinen wir da schlauer zu sein.)

Gruß,
Ray

[tomS]

Ray, das musst du mir erklären!

Die SLs nach Scharzschild und Kerr haben doch eine wesentliche Singularität, also keine einfache Koordinatensingularität. Was meinst du mit

Diese Löcher sind Vakuum-Lösungen mit einem globalen Vakuum ...

Bedeutet das, dass der Energie-Impuls-Tensor in dieser Singularität regulär bleibt? Und wenn ja, was hilft das bei divergierender Krümmung?

Noch eine Frage zu

Ja, die Raumzeit (ich spreche in der ART nicht mehr so gerne von Gravitationsfeldern – das ist Newtonsche Sprechweise) trägt selbst den Drehimpuls.

Es gilt ja für die Energie-Impulserhaltung:
DT = 0
(D soll die kovariante Ableiting, T der Energie-Impulstensor sein; Indizes muss ich mangels Darstellbarkeit weglassen)
Um ein Integral definieren zu können, bräuchte ich aber sowas wie
dT = 0
Abhilfe wäre ein erhaltener Strom
dJ = 0
ein Tensor erster Stufe.
Den bekommt man meines Wissens über das von dir genannte Killingvektorfeld k gemäß
J = kT
(Kontraktion über einen Index)
Aber eine beliebige Raumzeit (also nicht Schwarzschilfd oder Kerr) wird normalerweise so ein Killingvektorfeld gar nicht haben, so dass ich wieder ohne 1-Form und somit ohne Integral dastehe. D.h. dass zwar ein lokaler Erahltungssatz für T vorliegt, aber mangels Symmetrie (Noether-Theorem nicht anwendbar) keine globale Ladung und somit auch keine erhaltene Ladung. Das Problem ist aber etwas anders gelagert: In anderen Feldtheorien kann ich Ladungen auch bei deren Nicht-Erhaltung zumindest definieren, es gilt nur eben nicht mehr dQ/dt=0; in der ART kann ich ohne Existenz von k nicht malk mehr die Ladung definieren - der Formalismus lässt mich also früher im Stich.
Also ja - die Raum-Zeit trägt den Drehimpuls - aber ich kann ihn nicht als Integral berechnen. Darf ich dann noch von Energie, Impuls und Drehimpuls sprechen, oder muss ich formal Energie-, Impuls- und Drehimpuls-DICHTE sagen und akzeptieren, dass es eine globale Form / Integralform nicht gibt?

[SNOOPY]

Hallo Forum,

danke erst mal für die Erklärung der kosmischen Zensur. Die Frage habe ich nämlich auch schon an anderen Stellen angebracht, aber bisher immer nur ausweichende Antworten bekommen. Ich dachte mir schon so etwas

Ich halte die kosmischen Zensur für ein "ästhetisches Prinzip"

aber scheinbar wagt das nur jemand aus zu sprechen, der die entsprechende Ahnung hat

Trotzdem ist mir natürlich klar, dass es einen "Mechanismus" geben muß, der das offenlegen von Singularitäten verhindert, da wir sonst Probleme kriegen könnten mit der uns bekannten Physik, wie auch Ray so schön formulierte:

Bei sichtbaren Singularitäten passieren aus der Sicht der Physiker schlimme Sachen: das Prinzip der Kausalität wird verletzt etc.

Damit kann ich mich also zufrieden geben. Im Übrigen glaube ich auch nicht an Singulritäen hinter einem Ereignis-Horizont. Abgesehen davon: sollte es wirklich eine Singularität geben, dann könnten wir sie sicher auch ohne Ereignishorizont nicht sehen, denn eine Singularität ist definiert mit einem NULL-Radius. Wie kann ich etwas sehen, was die Größe NULL hat???


Und damit komme ich auch noch mal auf den rotierenden Horizont zurück. Ohne es nach zu rechnen (bin ohnehin zu faul dazu ) glaube ich das mit der halben Lichtgeschwindigkeit. Was ich mich frage ist allerdings: was ist mit dem kolabierenden Stern selbst? Der Ereignishorizont ist ja nur eine berechnete Größe ohne natürliche Schranken. Der kolabierende Stern jedoch kann ja wesentlich kleiner werden (nicht unbedingt zur Singularität vielleicht, aber doch erheblich kleiner als der Horizont). Der müßte sich doch dann schneller drehen können? Ich weiß - da kommen ja noch die Unsicherheiten dessen hinzu, was eigentlich hinter dem Horizont wirklich passiert (ist ja schon oft genug diskutiert worden). Aber rein theoretisch gedacht...?

Gruß
Snoopy

[gravi]

@Ray:

Hab's nicht vergessen - war eine interessante und aufregende Diskussion damals! Wie lange ist das schon wieder her... und auch unsere Entdeckung, dass die Ringsingularität im Innern liegt und nicht zwischen innerem und äußerem Horizont (war doch so, oder?)

Gruß
gravi

[tomS]

Hi Snoopy,

das mit der Rotation ist irgendwie müßige Spekulation.

Die Rotation des Horizontes (der keine physikalische Realität besitzt - kein Beobachter am Horizont bemerkt dort etwas besonderes!) mit v = c/2 hat Ray ja geklärt.

Die Rotation der Singularität kann man getrost vergessen, denn dort werden alle möglichen Größen unendlich - also ist dieser Punkt oder Ring in der ART eben nicht mehr beschreibbar - die ART signalisiert quasi ihren eigenen Zusammenbruch.

Und sonst ist im Rahmen der ART nichts da, was noch rotieren könnte. Außer Vakuum, rotierendes Vakuum.

[Ray Light]

Hallo zusammen.

Tom schrieb:

Ray, das musst du mir erklären!

Gerne. Die Schwarzschild- und die Kerr-Lösung sind Lösungen der Einstein-Gleichungen im Vakuum, G = 0 (G: Einstein-Tensor). T = 0 gilt global, d.h. an jedem Punkt der Raumzeit – auch in der Singularität.

So. Wie passt das zur Krümmung, zur linken Seite der Einstein-Gleichung?
Es ist richtig, Tom, dass die Krümmung in Gestalt des Riemannschen Krümmungstensors divergiert. Aber: G ist ein Tensor 2. Stufe und nicht gleich dem Riemannschen Krümmungstensor (einem Tensor 4. Stufe – ein komplexes Ding), sondern G setzt sich aus den Verjüngungen des Riemannschen Krümmungstensors zusammen, nämlich dem Ricci-Tensor (einem Tensor 2. Stufe) und dem Produkt aus dem Ricci-Skalar (ein Tensor 0. Stufe) und dem metrischen Tensor (ebenfalls ein Tensor 2. Stufe). Ricci-Tensor und Ricci-Skalar divergieren nicht. Sie verschwinden für die Schwarzschild- und die Kerr-Lösung. Eine Eigenschaft, die die Relativisten Ricci-flach nennen. (Darauf hat übrigens tensor vor fast genau einem Jahr in einer Diskussion im Forum hingewiesen, siehe unter "Relativität" zum Thema "gekrümmter Raum?" Nochmals Danke dafür!)

Linke und rechte Seite der Einstein-Gleichung sind somit exakt null. Die Eigenschaften von Einstein-Tensor und Energie-Impuls-Tensor sind stimmig.

Tom schrieb:

Aber eine beliebige Raumzeit (also nicht Schwarzschilfd oder Kerr) wird normalerweise so ein Killingvektorfeld gar nicht haben, so dass ich wieder ohne 1-Form und somit ohne Integral dastehe. D.h. dass zwar ein lokaler Erahltungssatz für T vorliegt, aber mangels Symmetrie (Noether-Theorem nicht anwendbar) keine globale Ladung und somit auch keine erhaltene Ladung.

Richtig, eine beliebige Raumzeit wird im Allgemeinen nicht symmetrisch (Stationarität, Axialsymmetrie etc.) sein und hat daher keine Erhaltungsgröße. DT=0 (mit D als kovariante Ableitung), in Worten "Der Einstein-Tensor divergenzfrei.", gilt immer in der Relativitätstheorie! Dies folgt mit den Bianchi-Identitäten. Es drückt das fundamentale Prinzip der Energieerhaltung und Impulserhaltung relativistisch aus und mehr: es bringt das Prinzip mit der Geometrie von Raumzeiten zusammen. Elie Cartan drückte das so aus: "Der Rand eines Randes ist null".

Bitte hier nochmal nachlesen:
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... 2.html#bia

Tom fragte auch:

Also ja - die Raum-Zeit trägt den Drehimpuls - aber ich kann ihn nicht als Integral berechnen. Darf ich dann noch von Energie, Impuls und Drehimpuls sprechen, oder muss ich formal Energie-, Impuls- und Drehimpuls-DICHTE sagen und akzeptieren, dass es eine globale Form / Integralform nicht gibt?

Von Energie, Impuls und Drehimpuls sollte man sprechen, wenn man die Erhaltungsgröße des Loches meint bzw. die Eigenschaft eines Testteilchens, das sich in der Raumzeit des Loches bewegt.

Energie-, Impuls- und Drehimpuls-DICHTE bzw. Impuls- und Drehimpuls-STROM bzw. Druck-TENSOR sollte man sagen, wenn man sich auf die entsprechenden Komponenten im Energie-Impuls-Tensor bezieht. Das ist die Sprechweise der Relativisten.

Snoopy fragte:

Wie kann ich etwas sehen, was die Größe NULL hat???

Ja, das klingt auf den ersten Blick logisch. Aber die nackte Singularität ist ein "Nadelöhr", bei der mit einfallender Materie erstaunliche Effekte beobachtbar sein sollten. Im Prinzip sollte man etwas sehen können, aber ein Ereignishorizont verschleiert das.

Snoopy fragte auch:

Was ich mich frage ist allerdings: was ist mit dem kolabierenden Stern selbst? Der Ereignishorizont ist ja nur eine berechnete Größe ohne natürliche Schranken. Der kolabierende Stern jedoch kann ja wesentlich kleiner werden (nicht unbedingt zur Singularität vielleicht, aber doch erheblich kleiner als der Horizont). Der müßte sich doch dann schneller drehen können?

Sobald eine Masse unterhalb ihres Schwarzschild-Radius (d.h. dem Ereignishorizont eines nicht rotierenden Schwarzen Loches) komprimiert wird, wird sie zu einem Schwarzen Loch. Das besagen die klassischen Kollapsrechnungen im Rahmen der ART.

gravi schrieb

…und auch unsere Entdeckung, dass die Ringsingularität im Innern liegt und nicht zwischen innerem und äußerem Horizont (war doch so, oder?)

Richtig, mir tut es heute noch Leid, dass ich damals Verwirrung gestiftet hatte. Das kam dadurch, weil ich "keine invariante Sichtweise" eingenommen hatte, sondern mich auf den Koordinatenradius gestützt habe – das war falsch.
Die Relativitätstheorie ist eben auch ein Thema, bei dem man sich beliebig oft verrennen kann. Der Trost: Einstein war das auch oft passiert. Man darf sich eben nicht entmutigen lassen und sollte aus seinen Fehlern lernen. Mit diesem fast pathetischen Worten wünsche ich einen schönen Ausklang des Tages.

Gruß,
Ray

[tomS]

Hallo Ray,

danke für deine Ausführungen, das hilft weiter. Insbs ist mir die Rolle von G und R jetzt klarer. Ich habe aber an einer Stelle immer noch ein Problem (hat weniger was mit den SLs als mit dre ART allgemein zu tun).

In anderen Feldtheorie kann ich aus einem erhaltenen Strom immer erhaltene Ladung konstruieren. Dabei gibt es sogar Fälle (QCD), in denen das Feld selbst (also z.B. die Gluonen) zur Ladungsdichte beitragen. Also
J = j[Quarks] + j[Gluonen]
und
dJ = 0
Diese Gleichung kann man übrigens in der QCD umschreiben zu
Dj[Quarks] = 0
Also ist auch
Q = q[Quarks] + q[Gluonen]
Q steht hier für die Farbladung, für Impuls, Drehimpuls und Energie gilt das jedoch analog.
Für die kovariante Ableitung gilt übrigens
D = d + A[Gluonen]
und hat nichts mit dem Christoffel-Zusammenhang zu tun.

Der fundamentale Unterschied zur ART ist, dass in letzterer dieser Schritt von der Dichte zum Integral prinzipiell unmöglich zu sein scheint (außer wenn eben eine zusätzliche Symmetrie vorliegt). D.h. dass die Konstruktion eines erhaltenen Energie-Integrals generell unmöglich ist, obwohl ich lokal Energieerhaltung vorliegt.

Woran scheitert dieser Schritt in der ART?

Ich meine nicht formal, das ist mir schon klar, aber was ist die physikalische Begründung? Wie bekomme ich den Fall eines Systems in den Griff, das z.B. Gravitationswellen (mit positiver Energiedichte abstrahlt), für das demnach also keine Energieerhaltung gilt.

In einer normalen Feldtheorie definiere ich die Energie E als Integral über ein dreidimensionale Gebiet des Raumes für feste Zeit t und stelle dann evtl. fest, dass E nicht erhalten ist.

Wie kann ich in der ART dieses E definieren?