Einsteigerdiskussion zur Quantengravitation

[tomS]

die einsteinsche feldgleichung bestimmt wie die metrik auszusehen hat. wenn ich die metrik habe kann ich felder daraus konstruieren. was für felder sind das, jetzt mal anschaulich gesprochen, sidn das schon die teilchen oder ist das "nur" das gravitationsfeld?

Nein, du konstruierst keine weiteren Felder aus der Metrik. Die Metrik ist „nur“ das Gravitationsfeld, daraus kannst du Abstände, Winkel, Krümmung etc. berechnen. In der Schleifenquantengravitation gibt es keine weiteren Teilchen, es ist zunächst eine reine Theorie der Quantengravitation. Du kannst jedoch zusätzliche Felder einführen, die dann Teilchen beschreiben, aber das ist hier (noch) nicht das Thema.

die ashtekar variablen sind rein klassisch ja? da ist noch ncihts quantenmechanisches passiert, und sie sind auch absolut allgemein oder? d.h. es handelt sich um eine art umformulierung der ART, oder besser gesagt um eine spezielle form der ART (nämlich mit diesen speziellen variablen), ja?

Nicht um eine spezielle Form, sondern um eine klassisch absolut äquivalente Formulierung. Allerdings bietet sie im Zuge der Quantisierung „technische Vorteile“, sie erlauben es nämlich, den Formalismus der Eichsymmetrie zur Anwendung zu bringen, der aus den Quantenfedtheorien Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und Quantenflavordynamik (GSW-Theorie der erlektroschwachen WW) bekannt und gut verstanden sind.

woher kommt dann dieser neue index...

Ich habe versucht, das zu erklären. Du definierst in jedem Punkt der Raumzeit ein Koordinatensystem. Dazu benötigst du drei Vektoren (die du mit m=1..3 nummerierst) von denen jeder drei Komponenten hat (die du mit a=1..3 nummerierst). Der zusätzliche Index kommt also daher, dass du dieses zusätzliche Koordinatensystem einführst. Daraus kannst du übrigens die Metrik rekonstruieren, d.h. dieses Koordinatensystem ist fundamentaler. In der klassischen ART ist diese Formulierung optional, sobald man aber Spin-1/2 Teichen einführt, ist eine derartige Formulierung zwingend! Die Ashtekar-Variablen sind eine spezielle Form dieses Formalismus, es gibt nämlich noch einige Freiheiten.

und wie geht da die quantisierung von statten? was quantisiere ich denn dann? die ashtekar variablen?

Ja, zunächst quantisierst du die Ashtekar-Variablen A und E, d.h. Felder, die die Geometrie der Raumzeit beschreiben. Allerdings werden in der Folge noch einige Umformulierungen durchgeführt, wenn man die Theorie teilweise lös, d.h. auch die Ashtekar-Variablen sind noch nicht die fundamentalen Objekte in der LQG.

was wird denn durch die ashtekar variablen überhaupt beschrieben? das dreibein-feld scheint ja die struktur des raumes also die krümmung und so weiter zu beschreiben, also wo sich punkte befinden und der zusammenhang verbindet gewissermaßen die punkte, d.h. er sagt mir wie ich von einem punkt zu dem anderen "laufen" muss (wie oft ich mich drehen muss etc.).

Aus dem Dreibein kann die Metrik der 3-Mannigfaltigkeit rekonstruiert werden; der Zusammenhang beschreibt (grob gesprochen), wie die Koordinatensysteme in benachbarten Punkten gegeneinander verdreht sind; das hat etwas mit der Krümmung der 3-Mannigfaltigkeit zu tun.

und wo ist da die eichtheorie? was genau wird da geeicht? … damit habe ich also eine wahl, ich kann etwas eichen, also beliebig festlegen.

Die Eichfreiheit besteht darin, dass du die Koordinatensysteme, also die Dreibeine in jedem Raumzeitpunkt beliebig festlegen kannst. Wenn du normalerweise ein Koordinatensystem (in deinem Wohnzimmer) wählst, dann legst du die Bedeutung der Richtung in jedem Punkt deines Wohnzimmers identisch fest („rechts“ bedeutet überall dasselbe). Die lokale Eichtheorie besagt nun, dass du diese Wahl in jedem Punkt beliebig treffen kannst. Nun hast du natürlich das Problem, dass die Bedeutung von „rechts“ an jedem Punkt eine andere ist. Das Eichfeld A erlaubt es nun, eine Vorschrift einzuführen, wie sich ein Koordinatensystem von einem zum anderen Punkt verändert, so dass man die Richtung von Vektoren doch wieder vergleichen kann.

ist eine eichtheorie prinzipiell auch noch klassisch? und die quantisierung einer eichtheorie fällt nur einfacher oder wie ist das?

Genau so wie du sagst. Die klassische Elektrodynamik (nach Maxwell) Ist ebenfalls eine Eichtheorie, allerdings „lebt“ die Symmetrie nicht in der Raumzeit, sondern auf einem „Kreis“, den man sich zu jedem Raumzeitpunkt hinzudenken darf; auf diesem Kreis lebt eine Phase, d.h. eine Winkelvariable. Diese wird anstatt des Koordinatensystems gedreht.

und dann habe ich bei wikipedia gelesen:

Weyl entdeckte die Eichinvarianz zunächst in der Elektrodynamik und versuchte durch Anwendung des Prinzips auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie die Elektrodynamik und die Gravitation zu einer Theorie zu vereinigen. Die daraus resultierende Theorie erwies sich jedoch als falsch.

darum geht es ja hier gerade nicht wahr? ist dieser ansatz nun falsch oder ist er nur noch nicht "zuendegedacht"

Weyl versuchte, die Eichsymmetrie auf den Begriff länge anzuwenden; das erwies sch tatsächlich als nicht tragfähig. Es gibt aber nicht DIE Eichtheorie, sondern es handelt sich dabei um eine große Klasse von Theorien, die sich im Allgemeinen wie folgt formulieren lassen:
Man nehme die Symmetrie eines Raumes (z.B. Drehungen, es gibt allerdings auch andere Formen). Man führe Vektorfelder (oder Spinorfelder) ein, die sich unter dieser Drehung eben wie Vektoren drehen; man lasse Drehungen zu, die in jedem Punkt der Raumzeit beliebig gewählt werden dürfen (man spricht deswegen auch von lokalen Eichsymmetrien); man führe ein Eichfeld ein, das den Effekt dieser Drehungen kompensiert.

Wir werden später sehen, wie man auf Basis der Ashtekarvariablen die Quantisierung tatsächlich durchführt …

[tomS]

Ein kurzer Einstieg in die Quantisierung: Man ersetzt in einer Feldtheorie üblicherweise Funktionen, in unserem Fall A(x) und E(x) durch sogenannte Operatoren. Nun betrachtet man in der Schleifenquantengravitation nicht die Funktionen selbst, sondern "integrierte" Objekte, nämlich im Falle von A eine sogenannte Holonomie, um Falle von E einen Fluss; die Holonomie h_C[A] ist dabei soetwas wie eine "verallgemeinerte elektrische Ringspannung" entlang einer Kurve C; der Fluss F_S[S,F] entspricht dabei soetwas wie einem "verallgemeinerte elektrischen Fluss" durch eine Fläche S. Die Quantisierung trifft dabei Aussagen über die Beziehung zwischen diesen Objekten, wenn die Kurve C die Fläche S durchdringt. Der Begriff Schleifenquantengravitation stammt daher, dass man geschlossene Kurven C°, also Schleifen, betrachtet. Die so definierten Holonomien sind automatisch eichinvariant.

Aufgrund der Eichsymmetrie sind dies genau die richtigen Objekte, die man zu einer Formulierung der Theorie benötigt. Eine zusätzliche Symmetrie der Theorie, die sogenannte Diffeomorphismeninvarianz stellt dabei sicher, dass die Quantisierung auf Basis dieser Objekte funktioniert. Dies ist nicht trivial, da man dieselben Objekte auch in anderen Eichtheorien konstruieren kann, dort versagt diese Quantisierung jedoch, da die zusätzliche Symmetrie fehlt.

@RonnyRockel: wieviel Vorkenntnisse hast du denn in Physik und Mathematik?

[tomS]

Wir haben uns (leider) vom Niveau her von einer Einsteigerdiskussion wegbewegt. Hier also die Anregung - falls noch Diskussionsbedarf besteht - auch wieder etwas weniger abgehoben zu diskutieren. Hat jemand noch Anregungen, Fragen, ... ?

[RonnyRockel]

Nein, du konstruierst keine weiteren Felder aus der Metrik. Die Metrik ist „nur“ das Gravitationsfeld, daraus kannst du Abstände, Winkel, Krümmung etc. berechnen. In der Schleifenquantengravitation gibt es keine weiteren Teilchen, es ist zunächst eine reine Theorie der Quantengravitation. Du kannst jedoch zusätzliche Felder einführen, die dann Teilchen beschreiben, aber das ist hier (noch) nicht das Thema.

also quantisiere ich die metrik selber? ich meine irgendwie muss das doch auch begrifflioch stimmen, es ist ja schliesslich eine "quanentfeld theorie".

Nicht um eine spezielle Form, sondern um eine klassisch absolut äquivalente Formulierung.

mit speziell meinte ich, dass man spezielle koordinaten nimmt...man müsste doch die ART auch koordinatenunabhängig aufstellen können oder?

die quantisierung der raum-zeit entsteht also durch die quantisierung der ashtekar-variablen, weil die ja die raumzeit-struktur beschriben. oder anders: die metrik als feld wird quantisiert. und dies macht man so weil man es bis jetzt immer so gemacht hat (oder warum sonst sollte man diese variablen quantisieren? ist die loop theorei nur ein "test" oder gibt es eine konkrete motivation die raum-zeit zu quanteln?) das ist doch im prinzip der kanonische formalismus: ich nehem ein klassisches feld und ersetze gewisse funktionen durch operatoren. ich hbae das schonmal gefargt aber du hast glaube nicht geantwortet: wenn man die lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens hat (in der ART) also dies Wurzel aus der metrik über den raum integriert (oder so), dann könnte man doch über den kanonischen formalismus die quantisierung durchführen, also: hamilton-fkt über legendre trafo bilden, bew.-gleichungen aufstellen, die geben die feldgleichungen die löst man und quantisiert die lösung (also die koeffizienten in der lösung). wie weit kommt man durch diese methode? irgendwie klingt das mit den ashtekar variablen und der loop-gravitaion so als ob man genau das machen würde. (ausser das man die ART vorher noch etwas umformuliert).

zu meinem mathe und physik verständnis: ich hab das mal angefangen zu studieren, kenne mich mit QM und QFT einiger maßen aus, mit Diff-geom. ein bisschen aber mit begriffen wie holonomie kann ich gerade (noch) ncihts anfangen, also wenn dir das niveau nicht sio wichtig ist kannst du mich ruhig mit mathe und physik beballern. zum niveau: wie kann man so ein thema überhaupt auf einsteiger niveau diskutieren ohne nur nohcmehr zu verwirren und noch mehr fragen aufzustellen? ich kann mir das nciht vorstellen....

[RonnyRockel]

wie ist das eigentlich: man kann ja die elektrodynamik auch, wie die ART als reine geometrie verstehen, d.h. der Raum wird hier durch Ladung unterschiedlich (je nach dem ob positiv oder negativ) gekrümmt. d.h. man müsste el-dyn. auf die selbe art und weise formulieren können. hat das schon jmd getan? und wenn ja wo kann man was dazu lesen, möglichst mathematisch... und wenn man das getan hat, kann man dann nciht, da man ja die quantisierung der el-magn- felder sehr gut versteht nicht gewisse analogien zur quantisierung der gravitations-felder ziehen? d.h. man formuliert die el-dyn. in die sprache der diff-geom. um und schaut dann was man dort genau und wie quantisieren muss um auf die wohlbekannte QED zu kommen, und macht dann genau das selbe in der ART. geht das?

[tomS]

also quantisiere ich die metrik selber? ich meine irgendwie muss das doch auch begrifflioch stimmen, es ist ja schliesslich eine "quanentfeld theorie".

Du quantisierst nicht direkt die Metrik, sondern die sogenannte Ashtekar-Variablen A^a_m(x) und E^a_m(x); diese sind aber eng mir der Metrik verwandt, d.h. die quantisierte Metrik ist eine abgeleitete Größe; s.u.

mit speziell meinte ich, dass man spezielle koordinaten nimmt...man müsste doch die ART auch koordinatenunabhängig aufstellen können oder?

Das ist auch so. Du verwechselst die Koordinaten x (die hier eigentlich für einen Satz vierdimensionaler Variablen stehen) mit den Feldern A^a_m(x) und E^a_m(x). Die Wahl des Koordinatensystems ist beliebig, d.h. die Theorie ist tatsächlich koordinatensystemunabhängig, mathematisch gesprochen diffeomorphismeninvariant Insbs. kann man an jedem Punkt der Raumzeit ein Koordinatensystem beliebig wählen. Diese Freiheit in der Wahl des Koordinatensystems steckt in den Koordinaten x. Quantisiert werden aber nicht die Koordinaten sondern die Ashtekar-Variablen A^a_m(x) und E^a_m(x). Diese entsprechen einer Umformulierung der ART, d.h. man kann die bekannte Formulierung, in der die Metrik vorkommt, aus den Ashtekar-Variablen wieder rekonstruieren. Die Ashtekar-Variablen beschreiben nur die Geometrie euf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit, die "Zeitentwicklung" senkrecht zu diesen drei Dimensionen steckt an einer anderen Stelle in der Theorie. Man erhält die Metrik dieser dreidimensionalen Mannigfaltigkeit im wesentlichen aus den Dreibeinen, d.h.

g_mn(x) = E^a_m(x) E^a_n(x)

Dabei ist dies als 3*3 Matrizenmultiplikation zu verstehen, wobei a der Index ist, über den summiert wird.

Die Ashtekar-Variablen sind in gewisser Weise fundamentaler als die Metrik selbst - und sie führen zu einer Theorie, deren Quantisierung gut verstanden ist, während die Quantisierung der Metrik zu mathematischen Inkonsistenzen führt. In der Theorie stecken im wesentlichen drei Gleichungen:

G^a(x) = 0
D^a(x) = 0
H(x) = 0

Diese Gleichungen werden in quantenfeldtheoretische Operatorleichungen umgeschrieben. Ihre Bedeutung ist im wesentlichen folgende:

G^a(x) heißt Gauß-Constraint und ist dem Gauß-Gesetz aus der Elektrodynamik verwandt (wenn auch komplizierter, da wir es hier mir drei Constraints indiziert durch a zu tun haben, während in der Elektrodynamik nur eine Gleichung existiert). Im Gauß-Constraint steckt die Eichinvarianz der Theorie, d.h. beliebige, lokale SU(2) Drehungen der Dreibeine E^a_m(x). D.h. man kann diese Eichinvarianz als Freiheit der Koordinatenwahl im Tangentialraum verstehen.

D^a(x) heißt Diffeomorphismus-Constraint. Man kann diese Bedingung als Freiheit der Koordinatenwahl in der Raumzeit selbst verstehen.

H(x) heißt Hamiltonian oder Hamilton-Constraint und zeigt an, dass die Theorie quasi "zeitlos" ist, d.h. es handelt sich um eine Art Diffeomorphismus-Constraint in zeitlicher Richtung. Dabei handelt es sich nicht um eine physikalische Zeit, sondern um die Koordinatenzeit, und diese ist ja frei wählbat, darf also nicht direkt physikalische Konsequenzen haben.

... das ist doch im prinzip der kanonische formalismus: ich nehem ein klassisches feld und ersetze gewisse funktionen durch operatoren. ich hbae das schonmal gefargt aber du hast glaube nicht geantwortet: wenn man die lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens hat (in der ART) also dies Wurzel aus der metrik über den raum integriert (oder so), dann könnte man doch über den kanonischen formalismus die quantisierung durchführen, also: hamilton-fkt über legendre trafo bilden, bew.-gleichungen aufstellen, die geben die feldgleichungen die löst man und quantisiert die lösung (also die koeffizienten in der lösung). wie weit kommt man durch diese methode? irgendwie klingt das mit den ashtekar variablen und der loop-gravitaion so als ob man genau das machen würde. (ausser das man die ART vorher noch etwas umformuliert).

Stimmt, ich habe die Frage damals nicht beantwortet, weil da gerade so viele Themen anstanden. Jetzt ist glaube ich die richtige Zeit dazu :-)

Du hast recht, es handelt sich um die Anwendung des kanonischen Formalismus für eine Feldtheorie. Diese wird umformuliert; statt der Metrik werden die Felder verwendet, die Ashtekar eingeführt hat, womit man sehr nahe an einer Formulierung ist, die man aus anderen Quantenfeldtheorien her kennt. Man kann die wesentliche Unterschiede anhand der drei Constraints diskutieren. Im Hilbertraum physikalsicher Zustände gilt

G^a(x) |phys> = 0
D^a(x) |phys>= 0
H(x) |phys> = 0

In einer Theorie wie der QCD (die man auch für 2 statt 3 Farben formulieren kann, wodurch man ebenfalls eine SU(2) Eichsymmetrie erhält) gilt ebenfalls G^a(x) |phys> = 0, d.h. die Formulierung der Eichinvarianz ist identisch! Der Hamiltonoperator in der QCD generiert die Schrödingergleichung ∫d³x H(x) |phys> = E |phys>. Im Falle der QG haben wir es damit zu tun, dass wir quasi nur die E=0 Zustände als physikalische Zustände zulassen. Dabei ist E aber auch keine echte Energie, d.h. die Ähnlichkeit ist rein formal. Der Diffeomorphismus-Constraint D^a(x) |phys>= 0 tritt in der QCD nicht auf und ist das charakteristische Merkmal der QG! Die Quantisierung einer derartigen Theorie, wobei jedem Constraint eine (lokale) Symmetrie entspricht, wurde zuerst von Dirac untersucht. Es gibt einige Spezialfälle (z.B. die Gupta-Bleuler-Quantisierung der QED) sowie einige andere Formalismen (z.B. die Fadeev-Popov-Quantisierung bzw. die BRST-Quantisierung im Pfadintegralformalimus), aber die in der LQG angewandte Dirac-Methode ist physikalich sehr durchsichtig und gut verstanden.


Zu deiner Bemerkung

... lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens ...

du musst vorsichtg sein,dass du nicht die Quantisierung eines Teilchens mit der Quantisierung eines Feldes verwechselst. Wenn du ausgehend von der Lagrangefunktion eines Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit die Quantisierung durchführts, dann erhältst du die Klein-Gordon-Gleichung in einer gekrümmten, aber nicht-quantisierten Raumzeit, d.h. die allgemein-relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung. Hier quantisieren wir aber die Raumzeit selbst, d.h. wir betrachten eine Feldtheorie.

ist die loop theorei nur ein "test" oder gibt es eine konkrete motivation die raum-zeit zu quanteln?)

Es gibt Ansätze, wo man die Quantisierung quasi "von Hand" reinsteckt. Die LQG zeichnet sich dadurch aus, dass der Formalismus die Quantisierung produziert, ähnlich wie du in der QM die Quantisierung des Drehimpulses erhältst. Man erwartet aber aus physikalischen Gründen eine Diskretisierung der Raumzeit, da alle bisherigen Theorien immer Divergenzen produzeren, die man damit in Verbindung bringen kann, dass man physikalische Abstände in der Raumzeit bis auf Null reduzieren kann. Eine Einführung einer minimalen Entfernung (wie z.B. eines Gitters in der Gittereichtheorie) regularisiert diese Divergenzen, wobei andereseits viele Symmetrien explizit gebroche werden. Demzufolge ist es wünschenswert, dass die Theorie selbst diese Quantisierung produziert und man sie nicht von Hand einbauen muss.

zu meinem mathe und physik verständnis: ich hab das mal angefangen zu studieren, kenne mich mit QM und QFT einiger maßen aus, mit Diff-geom. ein bisschen aber mit begriffen wie holonomie kann ich gerade (noch) ncihts anfangen, also wenn dir das niveau nicht sio wichtig ist kannst du mich ruhig mit mathe und physik beballern.

Sehr gut; dann kann ich dir einige Artikel empfehlen, in denen du die mathematischen Herleitungen siehst und zumindest nachvollziehen kannst;kommt in einem anderen Thread.

zum niveau: wie kann man so ein thema überhaupt auf einsteiger niveau diskutieren ohne nur nohcmehr zu verwirren und noch mehr fragen aufzustellen? ich kann mir das nciht vorstellen....

Na ja, wir beide sind hier eigentlich schon viel weiter fortgeschritten, als ich in dieser Einsteiger-Diskussion kommen wollte :-) Man kann m.E. einige Effekte praktisch ohne Gleichungen diskutieren, muss allerdings in Kauf nehmen, dass man sie einfach hinnehmen. Wenn du Lust hast, dann können wir (in einem anderen Thread) die Mathematik der LQG im Detail diskutieren ...

[RonnyRockel]

Ok lass uns den das thema umlagern. Ich merke auch das ich eigentlich noch nciht so viel weiss. z.b. weiss ich nciht wie man eine eichtheorie quantisiert, aber ich bin dabei das zu lesen. auch das mit den constraints muss ich mir ansehen. Aber es ist ja auch zwecklos wenn du mir hier die LQG erklärst...das geht in diesen rahmen ja nciht....da müsste ich eher eine vorlesung bei dir hören

du musst vorsichtg sein,dass du nicht die Quantisierung eines Teilchens mit der Quantisierung eines Feldes verwechselst. Wenn du ausgehend von der Lagrangefunktion eines Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit die Quantisierung durchführts, dann erhältst du die Klein-Gordon-Gleichung in einer gekrümmten, aber nicht-quantisierten Raumzeit, d.h. die allgemein-relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung. Hier quantisieren wir aber die Raumzeit selbst, d.h. wir betrachten eine Feldtheorie.

also bis jetzt ist doch eigentlich jede feldquantisierung auch eine teilchen quantisierung oder? z.b. das el-magm. feld: man kann da das klassische feld quantisieren, man kann aber auch das photon relativistisch betrachten, das dann quantisieren (also das teilchen) und kommt so auf die QFT.
und geht es nciht genau darum ein teilchen im gekrümmten raum beschreiben zu können?, warum sollte man sonst die ART quantisieren wollen? was ist denn sonst wesen der vereinheitlichung der QM bzw. QFT mit der ART. unterscheidet sich die klein-Gordon-Glg. mit gekrümmten Variablen von der "normalen"? und man kann doch auch die lagrangedichte der ART für ein teilchen im freine fall auch als eine lagrangedichte die von feldern (nämlich der metrik) abhängt sehen, und das dann in diesem sinn QFTetisch betrachten. L ist ja die wurzel aus der summe der metrik mal x² oder so, d.h. ich hab die metrik als feld und die koordinaten x², und kann nun dieses L als L(g,x) statt nur L(x) auffassen und damit hab ich doch eijne Lagrangedichte wie ich sie brauch für den kanonischen formalismus, oder nicht?

mir ist noch was eingefallen: nimmt maN die energiegleichung die aus der ART folgt. ich weiss leider nciht wiegenau die aussieht, aber es ist ja die kinetische energie plus die bekannte potentielle energie plus ein korrekturterm der nur aus der ART kommt. und ersetzt in dieser gleichung die klassichen observablen durch operatoren der QM und lässt das dann auf einen zustand im hilbertraum wirken. was passiert dann? das ist doch die seleb vorgehensweise, die zur klein-gordan-glg geführt haben, da nimmt man auch die relativistische energie-impuls-beziheung und quantisiert einfach die energie, impuls und ort darin. und die klein-gordan-glg funktioniert ja nciht so richtig deshalb kommt man auf die dirac glg. die dann zur QFT führt. könnte mann von den oben genannten ansatz aus der ART nciht auf seleb art und weise zu einer QFT kommen?

[tomS]

also bis jetzt ist doch eigentlich jede feldquantisierung auch eine teilchen quantisierung oder?
...
unterscheidet sich die klein-Gordon-Glg. mit gekrümmten Variablen von der "normalen"?
...
und damit hab ich doch eijne Lagrangedichte wie ich sie brauch für den kanonischen formalismus, oder nicht?

Ich denke, dass ich an der Verwirrung schuld bin, deswegen nochmal: mein Eindruck war, dass dich die speziellen Ashtekar-Variablen irritiert haben; du hast dann auf Koordinatenunabhängig bestanden. Diese hast du in den Koordinaten x, während die Felder A(x) und E(x) weiterhin eine spezielle Form haben. Was ist der Unterschied zwischen der Quantisierung eines Teilchens und eines Feldes? Betrachte dazu dazu ein Feld und den Impuls . In der Quantenmechanik quantisierst du ein Teilchen, d.h. du beschreibst das Teilchen durch eine Wellenfunktion und überführst den Impuls in einen Impulsoperator . Das Feld bleibt mathematisch eine gewöhnliche Funktion. In der Quantenfeldtheorie quantisierst du das Feld selbst, d.h. aus dem Feld wird ein Feldoperator . Die Ableitung entstammt nicht der Quantisierung des Impulses, sondern aus der klassischen Feldgleichung. Wenn du eine Teilcheninterpretation einführst, dann betrachte am besten den harmonischen Oszillator: hier führt man Erzeuger und Vernichter als Linearkombination von x und p ein; in der Quantenfeldtheorie stammen die Erzeuger und Vernichter dagegen aus den Fourierkomponenten des Feldoperators .

Die Feldgleichungen in gekrümmten Räumen erhält man im wesentlichen aus den bekannten Lagrangedichten, wobei man überall wo ko-und kontravariante Größen kontrahiert werden, ausschließlich kovariante Größen schreibt und den für die Kontarktion notwendigen kovaraianten Metriktensor einführt.Ich habe das zufälligerweise gerade heute hier kurz dargestellt: viewtopic.php?f=7&t=1397#p15917 Im Falle von Spinoren ist das etwas komplizierter, da hier die Metrik nicht ausreicht und man die von mir bereits erwähnten Vierbeine bzw. Tetraden sowie einen Spin-Zusammenhang einführen muss. Diese Objeket sind eng mit der Metrik verwandt und werden in der modernen Formulierung der ART vorzugsweise verwendet.

... nimmt maN die energiegleichung die aus der ART folgt. ich weiss leider nciht wiegenau die aussieht, aber es ist ja die kinetische energie plus die bekannte potentielle energie plus ein korrekturterm der nur aus der ART kommt.

Nein, leider ist das nicht so einfach; du wirst i.A. keine Trennung mit einem ART-spezifischen Zusatzterm finden, sondern die Kopplung an die Gravitation ist bereits in die bekannte Lagrangedichte eingebaut; s.o.

... das ist doch die seleb vorgehensweise, die zur klein-gordan-glg geführt haben, da nimmt man auch die relativistische energie-impuls-beziheung und quantisiert einfach die energie, impuls und ort darin.

Du kannst die K.-G.-Gl. auf zwei Weisen ableiten.

1) Zum einen kannst du die relativistische Energie-Impuls-Beziehung



nehmen und quantisieren, in dem du E und p durch die entsprechenden Operatoren ersetzt (s.o.) und auf eine Wellenfunktion wirken lässt. Dies ist die sogenannte realtivistische Quantenmechanik.

2) Zum anderen - und das ist die vollständige quantenfeldtheoretische Beschreibung - kannst du die Feldgleichungen aus einer Lagrangedichte ableiten und darin die Feldoperatoren selbst einführen (s.o.)

Auf den ersten Blick sehen die Gleichungen identisch aus, allerdings haben sie eine völlig unterschiedliche Bedeutung, da es sich im Fall 1) um eine Wellenfunktion, im Fall 2) um einen Feldoperator handelt.

Zusammenfassend entsteht eine QFT durch Quantisierung des Feldes selbst - sagt ja schon der Name :-)

Wenn du das nun für die ART tun möchtest, dann kannst du im einfachsten Fall die Einstein-Hilbert-Wirkung nehmen, das zum Metriktensor kanonisch konjugierte Feldbestimmen und daraus eine QFT konstruieren. Dieser Ansatz ist als Wheeler-deWitt Gleichung bekannt http://www.unet.univie.ac.at/~a9405544/ ... node3.html und führt auf große Schwiergigkeiten; es ist bisher nicht gelungen, diese Gleichung auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen; die Metrik ist als Feld im Rahmen einer Quantenfeldtheorie offensichtlich nicht geeignet.

Einige mögliche Ausweg(e):
- Einführung der Ashtekar-Variablen und kanonische Quantisierung (LQG): besser geeignete Variablen zur Quantisierung; inäquivalenter Formalismus führen zu wohldefiniertem Hilbertraum
- Supergravitation (SUGRA): Einführung der Supersymmetrie als lokale Eichsymmetrie erzwingt ein Spin 3/2 Gravitino; Hoffnung (Hoffnung!!!) dass diese Formulierung mathematisch konsistent ist
- Superstrings: ...

Mathematisch ist die SUGRA recht nahe an einer "gewöhnlichen" Quantenfeldtheorie.

[wilfried]

Tag zusammn

kleines Intermezzo:


ich möchte gerne von Euch -nicht von Tom- wissen, ob Ihr Euer Wissen durch diese Diskussion wirklich erweitern konntet.

Auch möchte ich gerne wissen, ob die Tiefe der Erklärungen ausreichend war, oder ob die Erklärungen den Horizont bereits überschritten.

Wäre der letzte Fall eingetreten, dann schlage ich vor, dass wir in solchen Grundlagen Gesprächen so etwas wie eine rote Karte zücken sollten.

Rote Karte: halt ich komme nicht mehr mit, das war eine oder mehrere Etagen zu hoch.

Dann kann der Gesprächsleiter, in diesem Fall Tom, nochmal zurückgehen und die Erläuterungen besser anpassen.

Wie seht ihr das?


Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo zusammen,

Ich schließe ich Wilfried an: einige Diskussionen sind auf ein Niveau abgedriftet, das dem Titel Einsteigerdiskussion zur Quantengravitation definitiv nicht mehr gerecht wird.

Soll ich da nochmal eine Schritt zurück gehen - oder ist das Thema aus eurer Sicht zunächst mal abgeschlossen?

Ich möchte die Diskussionsergebnisse hier mal in ein kleines Paper zusammenfassen, so dass man sie gut nachlesen kann. Dazu wäre es schön, wenn ich etwas Feedback von euch bekäme, so dass ich das alles besser einschätzen kann.