Bremsstrecke eines Autos mit LW

[Otz]

Hallo zusammen,

ich wollte mal ausrechnen, um wieviel der Luftwiederstand einen Bremsweg verkürzt.
Dabei soll

a(V)=-(ao+k*V)

sein.

Wobei ao und k Konstanten sind,
und Vo (Anfangsgeschwindigkeit) ebenfalls bekannt ist.

Mein erster Ansatz ist:
a durch d²x/dt² und V durch dx/dt zu ersetzen.

dann habe ich:

d²x/dt²=-ao-kdx/dt

Dann habe ich mit dt² multipliziert und habe dann:

d²x=-aodt² - kdxdt

Jetzt weis ich leider nicht weiter, wie ich integrieren soll....

Ist das Integral aus d²x=dx ?
Muss ich kdxdt erst nach dx oder erst nach dt integireren?
Und was wären dann die Integrationskonstanten?

Vielen Dank schonmal im Vorraus
Robert

[gradient]

Das Problem ist, dass man nicht alle Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen lösen kann.
Die von dir hergeleitete Differentialgleichung sieht irgendwie so ähnlich aus wie die einer gedämpften Schwingung. Mathematisch wäre also vllt. eine Sinusfunktion mit exponentiell abnehmender Amplitude möglich, physikalisch aber irgendwie unbrauchbar...
Ich fürchte, das ganze läuft auf numerische Lösungen hinaus...

[wilfried]

Lieber Otz

das Thema ist ja nicht gerade einfach, aber versuchen wir mal eine Antwort zu finden:

Der Luftwiderstand hat zunächst etwas mit enem Gegendruck des uns umgebenden Gases zu tun. Diesen Gasdruck kannst Du aus der barometrischen Höhenformel für jeden Höhenort bis hin zur Stratosphärengrenze ganz gut ausrechnen.

Die Gleichung lautet:
\fedon\mixonp(h)=p_0 * e^(-(p_0*g*h)/(p_0))
\fedoff

Wenn Du diese Formel plottest sieht diese so aus:


Kommen wir zum zweiten Punkt:

Das ist der Luftwiderstand. Dieser Luftwiderstand sehtzt der Bewegung eine Kraft entgegen, welche diese Bewegung behindert. In der KFZ Technik wieauch in der Flugzeugtechnik wird anstelle der Kraft von einem "Beiwert", dem cw-Wert gesprochen. Schauen wir uns das an:

\fedon\mixonR=\rho_A * c_W *A * v^2/2
\fedoff
Diese Gleichung erzählt, was Sachlage ist: Der Luftwiderstand R ist abhängig von der Luftdichte, dem Widerstandskoeffizienten (Beiwert) c_w, der Fläche, welche senkrecht zur bewegung steht sowie quadratisch!! von der Geschwindigkeit.

Die verschiedenen Konstanten können zusammengefasst werden:
\fedon\mixonk=\rho_A * c_W *A/2
\fedoff
Damit vereinfacht sich das Geschehen zu
\fedon\mixonR=k*v^2
\fedoff
und der c_W Wert zu:
\fedon\mixonc_W = (2*k)/(\rho_A * A)
\fedoff

Ein Bremsweg berechnet sich mit diesen Erkenntnissen gemäß:


\fedon\mixondv/dt = F/m = g - k/m * v^2
= g*(1 - k/(m*g) * v^2)
= g*(1-v^2/v_d^2)
\fedoff

Dieses v_d bezeichnet Geschwindigkeit "delayed" oder verzögert.
Wir können substituieren: und nochmals vereinfachenb:

\fedon\mixonv/v_d = z
dv = v_d * dz
(v_d * dz)/dt = g*(1-z^2)
dt = v_d/g * dz/(1-z^2)
t = v_d/g *Ü int(dz/(1-z^2)dz = arctanh(z) + C

\fedoff

Mit etwas Übung in den Trigonometrien lässt sich dann schreiben:

\fedon\mixont * g/v_d = arctanh(v/v_d)
v/v_d = tanh(g/v_d * t)

\fedoff
Damit ergibt sich der Geschwindigkeitsverlauf während der Bremszeit zu:

\fedon\mixonv=v_d * tanh(g/v_d * t)

\fedoff

Der Bremsweg ist dann folgerichtig zu erhalten:
\fedon\mixonds = V * dt
ds = v_d * tanh(g/v_d * t) dt
mit
g/v_d * t = u
dt = v_d/g du
Der Bremsweg wird somit:
s = v_d * int(tanh(u) * v_d/g * du)
= v_d^2/g * int (tanh(u) du
v_d^2/g = (m*g)/(k*g) = m/k
s = m/k * int(tanh(u) du
\fedoff

Wir kennen:
\fedon\mixonint(tanh(u) du = ln(cosh(u)) + C
\fedoff
und damit wird der Bremsweg:
\fedon\mixons = m/k * ln(cosh(u))
\fedoff

Auch hier kann noch weitergeschrieben werden:

\fedon\mixons*k/m = ln(cosh(u))
Mit Hilfe der Exponentialfunktion kann diese Gleichung umgeschriebne werden zu:
e^(s*k/m) = cosh(g/v_d*t)
Jetzt wird noch etwas hin- und her- geschaufelt (Vertauschung auf beiden Seiten)
g/v_d * t = arccosh(e^(s*k/m)))
\fedoff

Und wir können die Bremszeit ausrechnen:

\fedon\mixont = v_d/g * arccosh(e^(s*k/m)))
\fedoff

Prinzipiell sind das alle Gleichungen. Nach diesen Gleiuchungen werden die Tabellen gerechnet, mit denen die Unfalluntersuchungen durchgeführt werden oder nach denen die Bremsversuche gefahren und bewertet werden.

Zum Schluss möchte ich Dir aber noch zeigen, wie der c_W Wert daraus abgeleitet wird:

Wir erinnern uns an:
\fedon\mixonk = m/s * ln(cosh(u))
\fedoff
das u im Argument wird umgeschrieben zu:
\fedon\mixonk = u * g/v_d = t*sqrt((g*k)/m)
\fedoff

Die letzte Gl wird in die vorletzte eingesetzt und es wird dann:
\fedon\mixonk = m/s * ln(cosh(t*sqrt((g*k)/m)))
\fedoff

Und schon haben wir das Problem: denn die Unbekannte läßt sich nicht eliminieren! Solche Schwierigkeiten kommen immer wieder vor. Das ist jedoch nicht unlösbar. Verwendet werden dann Schätzungen, im Englisch sagt man dazu:
educated guess

Das Verfahren bedingt, dass ein Wert für dieses k geschätzt wird und dann eingesetzt wird. Ziel ist erreicht, wenn beide Seiten entweder glecih sind oder ein vorher festgelegter Fehler unterschritten wird.

Jetzt erinnern wir uns an den c_W Wert (siehe oben):
\fedon\mixonc_W = (2*k)/(\rho_A*A)
\fedoff

Wir haben k geschätzt und damit ist auch c_W bekannt.

Ich hoffe es hat Di ein wenig geholfen.

Netten Gruß

Wilfried

[Otz]

Hey cool,

du hast mir sehr geholfen.
Vielen lieben dank, für die gute und ausführliche Erklärung.

Robert

[breaker]

ähm... was anderes:
Kann man die Gleichung y''=-y' denn wirklich nur numerisch lösen?
Ich glaube nämlich, ausgerechnet zu haben, dass y=e^-x (oder eben y=-e^-x) eine Lösung ist.

[wilfried]

Loeber Frank

Du kannst Deine DGL lösen.


Dabei musst Du noch die Randwertbedingung überlegen. Zunächst gibt es 2 Integrationskonstanten:

loes1 = C1 + C2*e^-t

Setzt Du für die Ramdwerte ein:
x1(0)=a und für die 1. Ableitung D(x)(0)=0

dann erhälst Du:

loes2= a + b -b*e^ -t

Gruß

Wilfried