Interpretation des effektiven Potentials

Beitrag von **gradient** » 21. Sep 2007, 22:02

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit gebundenen Planetenbahnen und bin da auf das Effektive Potential gestoßen.
Es ist in der Himmelsmechanik definiert durch:
\fed\mixonV_eff(r):=L^2/2mr^2-GMm/r

Wenn man die Funktion plottet (die Energie E gegen die Entfernung r aufgetragen), stellt man fest, dass sie genau ein Minimum besitzt.
Meine Interpretation:

Hat ein Planet die Gesamtenergie E, so muss diese erhalten bleiben. Deswegen kann man eine Parallele zur r-Achse einzeichnen (die den Achsenabschnitt E hat).
Tangiert diese Gerade die Kurve genau im Minimum, liegt eine Kreisbahn vor (da sich ja der Radius nicht ändert).
Schneidet die Gerade die Kurve genau zweimal, handelt es sich um eine Ellipse. Der erste Punkt ist dann das Perihel, der zweite das Aphel.
(gebundene Bahnen)
Wenn die Gerade die Kurve einmal schneidet, hat der Körper zu viel Energie und verschwindet im Unendlichen. (nicht-gebundene Bahn)

Ist das so richtig?

Jetzt kann man mit den oben angegebenen Term etwas herumspielen. Ich gebe einfach ein Potential V(r)~-1/r^3 vor. Dann bekommt man:
\fed\mixonV_eff(r):=L^2/2mr^2-GMm/r^3

Graphisch sieht die Funktion nun anders aus: Es liegt kein Minimum mehr vor, sonder ein Maximum!
Es heißt (laut allen bisher gefundenen Quellen im Internet), dass es hierfür keine gebundenen Planetenbahnen mehr gibt.
Gibt man aber eine Energie E vor, so könnte die Gerade (s.o.) die Kurve zweimal schneiden, so dass Umkehrpunkte gegeben wären.
Wieso ist dann die Bahn instabil?

Ich habe von den Vorstellungen einer im Minimum rollenden Kugel gelesen, was die Instabilität bei Maxima erklären würde (die Kugel fiele runter), aber es fehlt die Begründung, warum diese Vorstellung richtig ist.

Was ich kurz gesagt wissen möchte, ist:
(i) Ist meine bisherige Interpretation der Sachlage (insbes. bei V(r)~-1/r) richtig?
(ii) Wie kann man erklären, dass für V(r)~-1/r^3 keine gebundenen Planetenbahnen vorliegen?

Experten an die Front!

Beitrag von **wilfried** » 26. Sep 2007, 18:05

Lieber gradient

Du bist ja ein armer Kerl....schreibst solche Dinge und Dir verweigert man das Gehör..naja ich nehm es mal an und versuche Dir etwas zu erzählen.

Zunächst gelten die 3 Kepler Regeln für gebundene Bahnen. Damit ist der Begriff "gebunden" erklärt. Es ist ein zentraler Masseschwerpunkt notwendig um den sich diese Bahnen drehen und !!! zu diesem hin jedes auch noch so kleinste Bahnsegment hin gebogen ist. Auch die Mondbahn ist stets auch innerhalb des kleinsten Zeitabstands zur Zentralmasse hin gebogen.

Seitens der Himmelsmechanik werden jetzt die Mehrkörperprobleme als mathematische Hilfsmittel angewandt. Das Einfachste, das 2-Körperpropblem läßt sich noch von Hand rechnen und liefert stets schöne Klausurarbeiten. Die Ansätze sind denen des Bio-Savart-Laplace Ansatzes zur Bestimmung von Strömen auf Leiterbahnsegmenten durchaus ähnlich.

Wir sprechen dann von reduzierten Massen, welche sich im Feld der Zentralmasse bewegen und leiten Energie und Drehimpuls ab.

Der Drehimpuls mit seiner Impulserhaltung spiegelt sich im 2. Kepler Gesetz wieder. Mittels dieses Drehimpulses, besser dann über das zeitliche Integral desselben kommt man zur effektiven Energie.

Unter der effektiven Energie verstehen wir den Begriff Energie pro Masse. Die zugehörige Gleichung besitzt 3 Terme, wobei einer die zeitliche Ableitung des Quadrat des Radius enthält. Diese sortieren wir aus und nutzen nun die übrig gebliebenen 2 Terme.
Der eine davon ist der, welcher bei Dir das negative Vorzeichen besitzt:
-GM/r
der andere ist der mit dem positiven Vorzeichen,

( r^2 d PHI/dt )^2 / ( 2 r^2) mit PHI als dem Teilstück einer Drehung.
oder wie bei Dir eben L^2/m /(2 r^2) bezeichnet.

Die effektive Energie hängt mit dem effektiven Potential zusammen. Du musst nur Deinen aufgeführten Ausdruck verdoppeln und mit dem Quadrat der ersten zeitlichen Radiusableitung addieren. Dann das ganze noch durch 2 teilen.

Nun zu Deiner Schlussfolgerung:

Die so gefundene effektive Energie besitzt 4 Eigenschaften:

E_eff = E_eff_min = E0 bedeutet: Kreisbahn...."gebunden"

E_eff < E_1 <0> 0 Hyperbelbahn ...."ungebunden" Die Eigenschaft dieser Energieortspunkte ist die, dass sie von der Ortskurve der Effekticen Energie nur einmal geschnitten werden.

Die Ortskurve der effekticen Energie kommt bei Radien gegen 0 aus der positiven Unendlichkeit, erreicht bei Radius r0 sein Minumim, welchen kleiner als 0 ist und erreicht asymptotisch in der Radiusu8nendlichkeit den effekticen Energie 0 Punkt.

Das ist es, was ich Dir antworten wollte. Sei mir nicht bös, wenn Du lange gewartet hast, aber zur Zeit bin ich mit Arbeit übervoll und komme auch erst sehr spät nach Hause.

Netten Gruß

Wilfried

Beitrag von **gradient** » 27. Sep 2007, 14:54

Hallo Wilfried,

danke für deinen Beitrag!

Ich glaube, ich muss noch weiter nachhaken, aber davor denke ich über das was du geschrieben hast nochmal in Ruhe nach.

Beitrag von **gradient** » 28. Sep 2007, 16:35

Hallo Wilfried,

hier bin ich nochmal.
Ich weiß zwar nun, dass meine Interpretation für V~-1/r in Ordnung ist, womit Frage (i) beantwortet ist. Danke.

Mit Hilfe deines Beitrages kann ich aber leider trotzdem nicht erklären, warum es z.B. für V~-1/r^3 keine gebundenen Planetenbahnen gibt. Es liegt zwar bei V_eff ein Maximum vor (was ich zwar intuitiv mit Instabilitäten verbinde - aber Intuition reicht mir hier nicht). Aber man kann ja einwänden, dass es wieder (wie bei einer Ellipse) Umkehrpunkte geben kann (es gibt ja Parallelen zur r-Achse, die die Kurve zweimal schneiden). Warum liegen hier trotzdem keine gebundenen Bahnen vor?

Beitrag von **wilfried** » 29. Sep 2007, 09:31

Lieber gradient

Du fragst nach einer Proportionalität des effektiven Potentials bezüglich der 1/r^3 Komponente des Abstands?

Das gibt es nicht!!

Das effektive Potential hat, wie ich es erklärte 2 Terme: der erste ist propoertional 1/r und der zweite proportional 1/r^2.

Nur der Drehimpuls besitzt eine Proportionalität von 1/r^3.

Es ist eine reine Frage der Kurvendiskussion. Führ diese mal wiefolgt durch:

y = -1/r + 1/r^2

lassen r gegen 0 streben.
der erste Term strebt dann gegen -unendlich und der zweite gegen + unendlich. aber viel viel schneller. Damit ist die Summe der beiden stets dominant zu 1/r^2.
Ergo strebt der ganze Ausdruck gegen + Unendlich

lassen wir r gegen unendlich streben
der erste Term strebt dann gegen 0 und der zweite sowieso

bilden wir den Extremwert, suchen wir wir ihn: wir leiten ab:

dy/dr = 1/r^2-2/r^3

Setzen wir diesen Ausdruck zu 0, wegen der Extremwerermittlung und erhalten dann als Lösung für r:

r=2

Das setzen wir in unsere Ausgangsgleichung ein und erhalten:
y= - 1/4

Dann magst Du noch -obwohl es ja offensichtlich ist- fragen ob wir ein Maximum oder ein Minimum haben. Solches erzählt die 2. Ableitung. Bilden wir diese und wir erhalten:

d2y/dr^2 = -2/r^3 + 6/r^4

Darin wird der Extrmwert an der Stelle r=2 ermittelt und es ist:

d2y/dr^2 | (r=2) = 1/8

ist die 2. Ableitung >0 haben wir ein Minimum

Das war es auch schon.

Hat es geholfen???

Gruß

Wilfried

Beitrag von **gradient** » 29. Sep 2007, 19:07

Hallo Wilfried,

Du fragst nach einer Proportionalität des effektiven Potentials bezüglich der 1/r^3 Komponente des Abstands?

Das gibt es nicht!!

Wieso gibt es das (in der Theorie) nicht? Mal angenommen, die Gravitation würde sich in fünf Dimensionen ausbreiten. Dann würde für das Gravitationspotential gelten: V(r)~-1/r³. Dann ergibt sich für V_eff(r) ein Maximum, aber kein Minimum. (Man kann sogar zeigen, dass es für mehr als drei Raumdimensionen kein Minimum gibt.)
Ich verstehe nur nicht, warum es dann keine gebundenen Planetenbahnen mehr geben kann (mein Problem habe ich ja weiter oben schon ausgeführt).

Beitrag von **Ray Light** » 29. Sep 2007, 23:38

Lieber gradient, lieber wilfried,

Potentialtheorie ist ein schönes Thema, weil es einerseits sehr tief in die Physik geht, andererseits doch recht anschaulich ist und insgesamt sehr breit in der Physik Anwendung findet (Mechanik, Himmelsmechanik, Kernphysik, Relativitätstheorie, Feldtheorie, Inflation etc.). Daher vielen Dank für den Anstoß dieser Diskussion, lieber gradient.

Das 1/r-Potential habt Ihr nun besprochen und geklärt. Ich finde es wunderbar, dass Du mit den Formeln „spielst“, gradient. Das ist genau die Herangehensweise eines theoretischen Physikers, der einfach mal wissen will, was unter leicht geänderten Bedingungen geschieht.

Das 1/r^3-Potential scheint nur auf den ersten Blick etwas komisch. Tatsächlich wird diskutiert, ob die Form eines solchen Potentials bei kleinen Abständen die Gravitation richtig beschreiben könnte. Wer etwas mehr wissen will, möge hier schauen (S.17 im pdf)
http://www.mpe.mpg.de/~amueller/downloa ... eworld.pdf

Allerdings müsste ein solches Potential um einen Parameter erweitert werden, der dafür sorgt, dass der geänderte Potentialverlauf tatsächlich nur bei kleinen Abständen zuschlägt. Dieser Parameter heißt z.B. Kompaktifizierungsparameter in der Branentheorie. Motiviert ist der Parameter dadurch, weil wir aus Beobachtungen wissen, dass das 1/r-Gravitationspotential unsere makroskopische Welt ganz gut beschreibt, z.B. wie Körper unseres Sonnensystems.

Der seltsame Potentialverlauf Deines 1/r^3-Potentials, lieber gradient, hat mich an die effektiven Potentiale bei der Beschreibung Schwarzer Löcher erinnert. Siehe Diagramm unter
http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_m02.html#rms
Hier gibt es ähnliche Potentialkurven, die bei kleinen Abständen steil nach negativ unendlich gehen. In diesen Fällen wird das Teilchen von dem Loch eingefangen (akkretiert).

Wichtig: Das Ganze hängt aber von den Eigenschaften des Testteilchens ab, nämlich seiner Masse und vor allem von seinem Drehimpuls. Dieser Drehimpuls L parametrisiert die Potentialkurven. Typisch ist, dass ein Teilchen mit großem L nicht eingefangen werden kann, weil es zu viel Drehimpuls hat. Physiker sagen dann, das Teilchen werde „am Potentialwall reflektiert“. Bei den Potentialkurven sieht das dann so aus, dass der Verlauf bei kleinen Radien einen Buckel hat: das Teilchen kommt anschaulich betrachtet von rechts, prallt an den Buckel und läuft wieder von links nach rechts – weg von der Zentralmasse. Je nach Parametern kann ein Teilchen mit hohem Drehimpuls auch eine gebundene Bahn ausführen, beispielsweise die äußeren Planeten im Sonnensystem. Sie können nicht ohne Weiteres in die Sonne stürzen.

Das bringt mich zum wichtigen Thema Drehimpulstransport. Gibt das Teilchen seinen Drehimpuls an benachbarte Teilchen ab, so hat es ein kleineres L und kann näher an das Zentralobjekt (Sonne, Schwarzes Loch etc.) wandern.

Mechanismen des Drehimpulstransports sind viskose Reibung (rein hydrodynamisch): Teilchen „kuscheln“ in einem Teilchenstrom und übertragen so Drehimpuls auf Nachbarteilchen; oder auch (sehr effizient) die magnetische Rotationsinstabilität (MRI, das ist magnetohydrodynamisch). Hier übertragen elektrisch geladene Teilchen ihren Drehimpuls über ihre magnetische Kopplung, d.h. entlang einer magnetischen Feldlinie.
http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_m.html#mri

Ich finde Deine „Spielerei“ außerordentlich interessant, gradient, weil sie uns demonstriert, dass unser Kosmos bei einer 1/r^3-Gravitation recht merkwürdig aussehen würde: zum einen fällt ein 1/r^3-Potential so steil ab, dass sich die Massen kaum spüren würden. Es würde entsprechend viel seltener zu Systemen ausreichender Massenkonzentration (Planetensysteme, Galaxien, Galaxienhaufen) kommen. Wenn sich die Massenteilchen dann doch einmal spüren würden, würde es seltener zu gebundenen Bahnen kommen, sondern entweder zu Reflektionen oder zu Einfängen.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass es bei einer 1/r^3-Gravitation nicht zu einem Kosmos mit „Inseln“ hoher Masse und Dichte und schlussendlich Leben kommen könnte.

Gruß,
Ray

Beitrag von **wilfried** » 30. Sep 2007, 08:50

Lieber grandient, leiber Ray

danke für das "Einschalten" in diese Diskussion Ray und die damit verbundene Erweiterung.

Ich sehe hier eine ganz klare Zweiteilung dieser Theorie:

a) die der "klassischen" theoretischen Physik - auf diese habe ich meine Antworten bezogen
b) die der "relativistischen" theoretischen Physik - auf die hat sich offensichtlich gradient gestürzt und Ray hat sich die Mühe gemacht diese Ansätze zu erläutern.

Wir müssen hier sehr aufpassen, denn zunächst müssen wir die klassische Theorie wohl verstanden haben um Sonderfälle weiterführender Art wirklich verstehen zu können.

Ray sagre ja auch sehr deutlich, dass wenn eine 1/r^3 Proportionalität worliege müssen die Gleichungssysteme erweitert werden. Und exakt darin liegt die Schwierigkeit: die richtige!!! Erweiterung zu finden und diese auch zu begründen.

Lieber gradient: bitte halte diese beiden Ansätze sehr sorgfältig auseinander, vermische sie nicht, sonst kommst Du schnell in undurchsichtig turbulente Strömungen, die Deine Vorstellung bestimmt auf falsche Fährten führen. Das ist auch während des Studiums schwer, vergleichbar mit einem Musiker, der sich einen falschen Fingersatz angewöhnt hat. Der wird nie oder nur äußerst schwer ein Meister werden können!

Netten Gruß

Wilfried

Beitrag von **gradient** » 30. Sep 2007, 10:53

Hallo Ray, hallo Wilfried,

besten Dank für die Beiträge!

Zunächst @ Wilfried:

Lieber gradient: bitte halte diese beiden Ansätze sehr sorgfältig auseinander, vermische sie nicht, sonst kommst Du schnell in undurchsichtig turbulente Strömungen, die Deine Vorstellung bestimmt auf falsche Fährten führen. Das ist auch während des Studiums schwer, vergleichbar mit einem Musiker, der sich einen falschen Fingersatz angewöhnt hat. Der wird nie oder nur äußerst schwer ein Meister werden können!

Genau deshalb möchte ich hier im Forum nachfragen, ob meine durch Recherche gewonnenen Vorstellungen korrekt sind. Aber danke für den Hinweis, da ist wirklich was Wahres dran.

Dann @ Ray:
Dein Beitrag könnte mir sehr weitergeholfen haben!!
Ich versuche mal, das Ganze in eigenen Worten zusammenzufassen, am Besten gleich übertragend auf mein Problem mit dem V(r)~-1/r^3-Potential bei 5D. Es hat bei r_0 ein Maximum, aber sonst kein Minimum (lässt sich nachrechnen). Hat der Planet zu wenig Energie, fällt er in die Sonne, weil er das Maximum nicht erreichen kann (ich lasse ihn bei kleinen Radien r<r_0 "loslaufen"). Ist seine Energie sehr groß, kann er den Berg leicht überwinden, rollt dann aber blöderweise ins Unendliche, d.h. der Planet entweicht dem Gravitationsfeld der Sonne. Theoretisch könnte der Planet genau so viel Energie haben, dass er gerade noch das Maximum erreicht und genau bei r_0 zum stehen kommt. Wenn es überhaupt keine Störeinflüsse gibt, dann sollte es doch dem Planeten gelingen, auf einer Kreisbahn mit Radius r_0 um die Sonne zu kreisen, oder? Dieser Fall ist nur sehr sehr sehr unwahrscheinlich, aber keineswegs unmöglich - genauso unwahrscheinlich wie der Fall, dass ein Komet eine Exzentrizität von exakt e=1 hat. Im Normalfall ist e minimal kleiner oder größer als 1.

Zusammenfassung: Die Existenz gebundener Planetenbahnen in mehr als drei Dimensionen sind rein theoretisch nicht unmöglich, aber extrem unwahrscheinlich.

Kann man das so stehen lassen?

Was mir noch aufgefallen ist: Wenn man V(r)~ -1/r^2 nimmt, dass ist V_eff(r) eine Parallele zur r-Achse!! Dies sollte auch eine sehr instabile Angelegenheit sein: ein kleiner Stoß Richtung Sonne und das Ende naht...

Beitrag von **Ray Light** » 1. Okt 2007, 21:51

Liebe potenziellen Mitdiskutanten und -onkels,

lasst mich nach diesem launigen, doppelten Wortspiel Folgendes sagen:

@gradient:
Du hast die Interpretation in Deinem letzten Posting richtig dargestellt. Wie allgemeingültig Deine Schlussfolgerung für Extradimensionen ist, vermag ich nicht zu sagen. Es gibt da sicherlich eine Parametrisierung durch Kompaktifizierung und Zahl der Zusatzdimensionen.

Lässt Du aber die Extradimensionen völlig beiseite, muss man zugestehen, dass wir es beim Sonnensystem mit einem Vielkörperproblem zu tun haben. Die gebundenen Bahnen, die wir mit unseren einfachen Modellen ableiten, sind also ohnehin nur eine gute Näherung - die ggf. ins Chaos kippen kann, um es mal populärwissenschaftlich auszudrücken.

Noch eine kleine Anmerkung: Der scheinbar unüberwindliche Potentialberg kann laut Quantenphysik von quantenmechanischen Teilchen (also Mikro-Objekten, nicht von Makro-Objekten wie Planeten!) durchdrungen werden, auch wenn sie eigentlich zu wenig Energie haben. Das ist der Tunneleffekt.
Genau so erklären Physiker den Alpha-Zerfall, eine spezielle Form der Radioaktivität, bei der Heliumatomkerne aus dem radioaktiven Atomkern heraustunneln.
Und nun - aufgepasst! Auch das Coulomb-Potential der elektrostatischen Beschreibung hier, ist ein 1/r-Potential - genau wie die klassische Gravitation!

@wilfried:
Ich kann diese Zweiteilung der Theorie nicht nachvollziehen, wilfried. Im Gegenteil: Anhand verschiedener Bereich der Physik erkennt man hier sehr deutlich, wie mächtig die Potentialtheorie ist. Sie "durchzieht alle Fasern der Physik".
Ich sehe auch nicht, wo hier Gleichungssysteme erweitert werden müssen. Meinst Du nur die Zusatzparameter der neuen Potentialterme? Natürlich muss man diese "Spielereien" an der Natur testen und schauen, ob sie zu experimentellen Messungen passen.

Im Fall der "gespielten Potentiale" im Bereich der Kernphysik, hat das zur Entdeckung der Yukawa-Potentiale geführt, die erfolgreich die Kernkräfte durch den Austausch von Mesonen beschreiben.
Im Unterschied zum hier diskutierten 1/r-Potential werden die Yukawa-Potentiale durch einen Exponentialterm, der vom Radius abhängt stark gedämpft. Logische (und beobachtete) Konsequenz: Kernkräfte sind extrem kurzreichweitig und vermögen es dadurch nicht, eine Ansammlung von vielen hundert Nukleonen stabil zusammenzuhalten.

Wer mehr wissen will und diesen Bereich der Potentialtheorie vertiefen möchte:

http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_y.html#yuk

Gruß,
Ray

Beitrag von **wilfried** » 1. Okt 2007, 22:04

Lieber Ray

danke für diese Infos. Ja ich meine nur die Zusatzterme. Denn die klassische Physik des Mehrkörperprblems kennt diese ja nicht.

Die Yukawa Potentiale lassen sich meines Wissens nach nicht mehr durch Anwendung der klassischen Gleichungen beschreiben. Das sagst Du ja auch; es sind zusätzliche Exponentialterme erforderlich, die ihrerseits wiederum radisuabhängig sind.

Und exakt so meonte ich es, das mit dem "vorsichtig" sein. Die Disziplinen werden nur allzu gerne, geraden von jungen noch in Ausbildung begriffenen Leuten kaum bemerkt oder diese werden daraufhin nicht sensibilsiert.
Ich finde dass unser "gradient" diese Sensibilisierung in seinem Beitrag wunderschön herausgehoben hat.

So und jetz ab in die Falle und morgen ins Flugzeug

Gruß

Wilfried

Beitrag von **AlTheKingBundy** » 2. Okt 2007, 04:06

lieber wilfried,

das yukawa-potential lässt sich fürchterlich einfach aus den klassischen quantenmechanischen bewegungsgleichungen (je nachdem, was du unter klassisch verstehst) für spin-0-teilchen gewinnen (klein-gordon-gleichung). man nehme nur kugelkoordinaten und setze zeitunabhängigkeit voraus, dann resultiert das yukawa-potential. man muss beim begriff "klassisch" gut aufpassen. viele vestehen darunter die klassische mechanik, viele theoretische physiker die klassische quantenmechanik, die sich von der relativistischen quantenfeldtheorie unterscheidet.

Beitrag von **gradient** » 6. Okt 2007, 19:34

Hallo Ray, hallo Wilfried,

ich bedanke mich nochmal für eure Beiträge!

Ich werde mich mit den anschaulichen Erklärungen zufrieden geben (für mathematische Details fehlen mir leider die Grundlagen). Insgesamt habt ihr mir aber sehr weitergeholfen!

Beitrag von **wilfried** » 7. Okt 2007, 22:08

Lieber gradient

a voitre service

Gruß

Wilfried