Fiktive Veränderung von Planetenbahnen

[Capri2033]

Weiß jemand von euch, wie man hypethetische Planetenbahnen berechnet, wenn das Hauptgestirn an Masse verliert?

Am Beispiel des Sonnensystems:

Wie verhalten sich die Umlaufbahnen von Venus, Erde, Mars ... bis zu den äußeren Planetenbahnen, wenn die Sonne urplötzlich 20 % weniger Masse hätte?

Genauere Fragen:

• Welche Umlaufbahn (Entfernung) hätte dann z.B. die Erde, die Venus ?
• Wie schnell geschieht das Abdriften der Planeten
• Driften die äußeren Planeten vollkommen ab, raus aus dem Sonnensystem?
• Welche Größe hätte die Sonne nach der Abgabe von 20% ihrer Masse (angenommen das Volumen wird aus den äußeren Schichten abgestoßen) ???


Freue mich auf eure Antworten.

[tomS]

Urplötzlich kann die Sonne nicht an Masse verlieren; diese muss ja irgendwo hin.

Wenn man nicht-relativistisch rechnen möchte, dann müsste man wie folgt vorgehen: man setzt die Zentralmasse gleich M(t), wobei für M(t<0) = M[down]0[/down] gelten soll; d.h. ab t>0 beginnt die Zentralmasse zu schrumpfen. Für die Planetenbahn setzen wir der Einfachheit halber zunächst eine Kreisbahn an. Bei einem Bahnradius r(t) wirkt die gesamte Masse innerhalb einer Kugel mit r(t) gravitativ, d.h. es ist egal, ob die Masse nun im Zentralkörper enthalten ist oder weiter außen. Setzen wir weiterhin an, dass ein Teil der Zentralmasse nach außen strömt und diese gedachte Kugel verlässt; dabei soll der Massenstrom nach außen die sphärische Symmetrie nicht verletzen.

Dafür könnte man nun die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen aufstellen.

[Skeltek]

Die Masse wird in der Regel gleichmäßig Punkt- oder Achsen-symmetrisch abgestrahlt. Sobald die Masse den Radius der Planetenbahn überschreitet trägt sie nicht mehr zur Anziehungskraft in Richtung Sonne bei. Die Anziehungskraft zur Sonne würde langsam abnehmen und die Erde würde geringfügig mit dem Material Impuls austauschen wodurch das Material abgebremst und die Erde etwas nach außen beschleunigt wird.

[tomS]

Was meinst du mit Impulsaustausch?

[Skeltek]

Was meinst du mit Impulsaustausch?

Gravitative Anziehung tauscht negative Impulsbeträge aus, oder nicht? Muss ja nicht immer ein vollelastischer Stoß sein.

[tomS]

OK

Ich hab' mir mal ein ganz einfaches Beispiel überlegt.

Wir nehmen eine homogene, dich verdünnende Massenverteilung mit zeitabhängiger, jedoch ortsunabhängiger Dichte ρ(t). Ein Objekt bei Radius r(t) spürt eine gravitative Anziehung der Masse innerhalb der Kugel mit Radius r(t). Diese gravitierende Masse ist also

M = Vρ= (4π/3)r[up]3[/up] ρ

Dabei steht r für den momentanen Radius, an dem sich das Objekt befindet.

Das Newtonsche Gravitationspotential lautet

U(r) = -GmM/r

Einsetzen liefert

U(r,t) = -Gm M(t) / r = -(4π/3)Gmr[up]3[/up] ρ(t) / r = -(4π/3)Gmr[up]2[/up] ρ(t)

Man beachte, dass r implizit, jedoch ρ(t) und damit auch U(r,t) explizit von der Zeit abhängig sind!

Damit kann man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen aufstellen. Die Energie ist nicht erhalten (wg. der expl. Zeitabhängigkeit), m.E. jedoch der Drehimpuls.

[tomS]

Ich sollte noch hinzufügen, dass es sich dabei um die reibungsfreie Bewegung eines Probekörpers innerhalb einer homogenen Staubwolke mit zeitlich variabler Dichte handelt. Also nicht ganz die ursprüngliche Fragestellung.

[Capri2033]

Danke für die Antworten ... aber könnt ihr mir das mal konkret ausrechnen bitte?
Ich habs nicht so mit Formeln.

Was kommt bei meiner Fragestellung dabei nun herum?

Nehmen wir mal an, 20% der Masse würde auf nicht natürlichweise aus dem Stern ausbrechen und jenseits der Erde gelangen, so dass die Anziehungskraft der Sonne minimiert ist, wie weit driftet die Erde dann nun davon.
Geringfügig kann ich mir kaum vorstellen. 20% weniger Masse = 20 % weniger Anziehungskraft ... vielleicht = 20 % mehr Abstand? Wahrscheinlich ist es nicht so leicht ... wer weiß genaueres?

• Driften die äußeren Planeten vollkommen ab, raus aus dem Sonnensystem?

Driften alle ab oder verlassen einige Planeten das Sonnensystem sogar?

• Welche Größe hätte die Sonne nach der Abgabe von 20% ihrer Masse ??? Man beachte, die Masse soll aus den äußeren Schichten stammen ... nicht aus dem schweren Kern. Da die äußeren Schichten eine sehr viel geringere Masse haben, würde sehr viel Volumen (also auch viel Radius der Sonne) verschwinden.

[positronium]

• Welche Umlaufbahn (Entfernung) hätte dann z.B. die Erde, die Venus ?

Das ist so nicht beantwortbar. - Nach einem solchen Ereignis wären die Umlaufbahnen stark elliptisch. Nimmt man an, die heutigen Bahnen wären Kreise, dann entsprächen die Abstände zur Sonne beim Eintreten dieses Massenverlustes danach den kleinen Halbachsen der elliptischen Umlaufbahnen. - Der momentane Impuls bliebe ja erhalten, nur die Gravitation wäre plötzlich verringert.
Auch würde je nach Position der Planeten ein unterschiedlich, aber völlig chaotisches Sonnensystem zurück bleiben.
Da hilft nur eine exakte Berechnung.

• Wie schnell geschieht das Abdriften der Planeten

Von Abdriften könnte man nur sprechen, wenn der Massenverlust während zumindest mehrerer Planetenumläufe geschehen würde.

• Driften die äußeren Planeten vollkommen ab, raus aus dem Sonnensystem?

Müsste man ausrechnen.

• Welche Größe hätte die Sonne nach der Abgabe von 20% ihrer Masse (angenommen das Volumen wird aus den äußeren Schichten abgestoßen) ???
...
Man beachte, die Masse soll aus den äußeren Schichten stammen ... nicht aus dem schweren Kern. Da die äußeren Schichten eine sehr viel geringere Masse haben, würde sehr viel Volumen (also auch viel Radius der Sonne) verschwinden.

Ist das wirklich so? Ich glaube eher, dass der Dichteunterschied vernachlässigbar ist. Verwechselst Du das vielleicht mit dem Druck?

[tomS]

Das Dumme ist, dass die DGLs alle nichtlinear und damit nicht analytisch lösbar sind. Ganz allgemein kann man sagen: bei sphärisch symmetrischen Masseverlust bleibt der Drehimpuls erhalten. Der Bahnradius vergrößert sich. Die Winkelgeschwindigkeit verringert sich.

Alles andere muss man an konkreten Beispielen numerisch berechnen.

[Capri2033]

• Welche Größe hätte die Sonne nach der Abgabe von 20% ihrer Masse (angenommen das Volumen wird aus den äußeren Schichten abgestoßen) ???
...
Man beachte, die Masse soll aus den äußeren Schichten stammen ... nicht aus dem schweren Kern. Da die äußeren Schichten eine sehr viel geringere Masse haben, würde sehr viel Volumen (also auch viel Radius der Sonne) verschwinden.

Ist das wirklich so? Ich glaube eher, dass der Dichteunterschied vernachlässigbar ist. Verwechselst Du das vielleicht mit dem Druck?[/quote]


Also ich meine dass die Sonne in den äußeren eine verschwindend geringe Dichte hat. Das kann man überall googlen ...ich kanns nicht selbst messen ...
Aber der Großteil der Masse (ca60%) soll sich im Kern der Sonne befinden bei einem Bruchteil des gesamten Volumens ... das bedeutet für mich, dass die Dichte im Kern sehr wohl sehr sehr viel höher ist als außen.

Kann mal einer ein konkretes Beispiel berechnen? Ich meine ihr sagt, dass muss man genau berechnen Wer mag sich daran mal versuchen?

Also aus euren Angaben kann ich bisher alles vermuten. Chaotisches System klingt schon interessant... und das Lösen der äußerern Planeten hat bisher noch niemand verneint.

[tomS]

Die Dichte im Zentralkörper (Sonne) ist für das Problem egal. Das einzige was zählt ist die Masse im Inneren der Planetenbahn. Ob diese in einem Punkt konzentriert ist, in einem kleinen Zentralkörper wie der Sonne, oder bis an die Planetenbahn heranreicht, ist mathematisch irrelevant.

Wenn die Sonne Materie verliert, d.h. nach außen abgibt, dann verändert sich die Gravitationswirkung nicht, solange sich die Materie noch innerhalb der Planetenbahn befindet (immer sphärische Symmetrie vorausgesetzt). Erst wenn die Materie die Planetenbahn überschreitet, verringert sich die gravitierende Masse um genau die Masse dieser Materie.

Ich denke mir also eine homogene Staubwolke mit exakt der Masse der Sonne und von der Größe der Planetenbahn. Diese Staubwolke hat nun exakt die selbe Gravitationswirkung wie die Sonne; die Planetenbahn ist zunächst identisch. Anstatt dass die Sonne nun irgendwie Masse abstößt (wie wurde auch noch nicht gesagt), setze ich einfach an, dass sich die Stauwolke bei weiterhin homogener Dichte leicht ausdehnt. Die Gesamtmasse bleibt gleich, allerdings befindet sich bald ein geringer Teil des Staubes außerhalb der Planetenbahn und wirkt damit nicht mehr gravitativ auf den Planeten. Da sich der Planet damit am Rande bzw. innerhalb einer gedachten Staubwolke bewegt, erhalte ich statt des Keplerproblems das Problem des dreidimensionalen harmonischen Oszillators.

Bei homogener, sphärisch symmetrischer Ausdehnung bleibt der Drehimpuls erhalten. Damit liegt sicher kein chaotisches System vor. Für einen kontinuierlichen, schwachen radialen Massenfluss ist das System stabil, d.h. der Planet bleibt auf einer sich leicht ausdehnenden, stabilen Umlaufbahn (solange bis aufgrund des Massenflusses nach außen die Gravitation zu gering ist und keine gebundene Bahn mehr vorliegt).

Ich habe hier leider keinen Rechner mit Mathematica o.ä., d.h. ich kann die DGLs hier nicht lösen.

[tomS]

Anbei die zu lösende DGL für den Radius r(t) bei gegebener Dichte ρ(t).

Zunächst zwei Definitionen

ω[up]2[/up](t) = (8π/3) G ρ(t)
Ω[up]2[/up](r) = J[up]2[/up]/m[up]2[/up]r[up]4[/up]

Die DGL lautet:

r'' - (Ω[up]2[/up] - ω[up]2[/up])r = 0

J entspricht dem Drehimpuls.
Ω entspricht einer Winkelgeschwindigkeit, ist jedoch r-abhängig.
ω entspricht der Schwingungsfrequenz des harmonischen Oszillators, ist jedoch aufgrund der Dichte ρ zeitabhängig.

Bei zeitunabhängigem ω existiert eine Lösung r=const. (Kreisbahn) wobei wegen r''=0 beide Frequenzen identisch sein müssen.

Für den Winkel φ gilt die DGL

Ω = φ' = J/mr[up]2[/up]

Der Strich ' steht für eine Zeitableitung.

Im Falle unseres Problems muss die Zeitabhängigkeit von ω(t) sehr klein sein, damit wir von einer minimal gestörten Planetenbahn ausgehen dürfen. Da wir bei schrumpfender Zentralmasse bzw. Dichte von wachsendem Radius r(t) ausgehen, ist auch Ω(t) nicht konstant; J ist dagegen konstant.

Die Lösung der DGL für r(t) ist schwierig (nicht-lineare DGL zweiter Ordnung); bei gegebener Lösung r(t) ist die Lösung für φ(t) dann einfach (Integration).

[positronium]

Damit liegt sicher kein chaotisches System vor.

Wenn die Masse von jetzt auf gleich verschwindet, geht das Gleichgewicht aus Entfernung und Gravitation verloren. Dadurch werden bei 20% Massenverlust aus näherungsweise kreisförmigen Bahnen wahrscheinlich arg elliptische. Man müsste es berechnen, aber ich denke, dass sich zumindest die Bahnen der inneren Planeten wegen derer unterschiedlichen Position beim Eintreten des Massenverlust danach überschneiden werden. Dann ist es nur eine Frage der Zeit bis sich zwei Planeten so nahe kommen, dass sie aus ihren Umlaufbahnen geworfen werden, kollidieren oder evtl. sogar aus dem Sonnensystem geschleudert werden.

[tomS]

Wie soll die Masse von jetzt auf gleich verschwinden?

Ja, wenn du das Planetensystem als n-Körperproblem ansiehst, dann mag das i.A. so sein.

[tomS]

Man kann natürlich das klassische Keplerproblem mit variierender Masse M(t) betrachten. Wieder gilt Drehimpulserhaltung. Die DGL für r(t) lautet

r'' - J[up]2[/up]/m[up]2[/up]r[up]3[/up] + GM/r[up]2[/up] = 0

Wenn die Masse "einfach so" verschwindet wäre das durch eine Funktion M(t) zu modellieren, die innerhalb einer kurzen Zeit T glatt von M(0) auf M(T) abfällt und ansonsten konstant ist.

[tomS]

Man beachte, dass in beiden Fällen aufgrund der zeitabhängigen Zentralmasse M(t) die Energie E(t) des Planeten nicht erhalten ist und dass daher die Reduzierung der DGL auf erste Ordnung nicht möglich ist.

[tomS]

Hier eine Arbeit zu dem Thema: http://arxiv.org/pdf/1303.3841v1.pdf

[positronium]

Wie soll die Masse von jetzt auf gleich verschwinden?

Das ist natürlich unmöglich, war aber die Frage:

Wie verhalten sich die Umlaufbahnen von Venus, Erde, Mars ... bis zu den äußeren Planetenbahnen, wenn die Sonne urplötzlich 20 % weniger Masse hätte?

[Lebowski]

Wie interessant!!! Also klingt für mich nach einer Science-Fiction-Aufgabe, oder?
In der Fragestellung hat Capri2033 eindeutig geschrieben, dass der Materieauswurf aus den äußeren Schichten der Sonne stammen sollen.
Ich glaub er meint als Ursache sowas wie eine künstlich eingeleitete Nova.

Natürlich kann die Sonne nicht einfach so 20% ihrer Materie abgeben. Es geht hier wohl eher um das "Was wäre wenn"-Prinzip

Sehr interessant!

[tomS]

Wenn es um den Ausstoß von Materie geht, ist das keine Science Fiction sondern sehr reale Physik.

[Capri2033]

Super !!!

Kannst du mir aus dem Modell und Berechnungen nun noch die ungefähren Daten sagen, wie weit alle betreffenden Planeten ihre Bahnen verändern? Erde jetzt = 1AU (1AE 149,5 Mio Km) Wie weit aber danach?
Und wie stark würde sich der 2. Winter auswirken? Lebensbedrohlich für das Leben auf der Erde? Sprich we kalt schätzt du würde es auf der Welt?

Nur zum Verständnis. Wenn die Sonnenmasse die Planetenbahnen verläßt, wirkt sich das auf die Gravitation auf die Planeten aus. Verstanden.
Geschieht dies gleichmäßig Punkt- oder Achsen-symmetrisch und dauert lange, behalten die Planeten ihre Kreisform bei. Geht das schnell und in eine Richtung würden die Planetenbahnen elliptisch. Ist das korrekt?
Es hängt also von der Geschwindigkeit der abgestoßenen Materie ab?

@ Lebowski
Stimmt ist eine Was wäre wenn Frage für eine Sci-Fi Kolumne. Ich sammle Daten für ein Szenario
Nova kommt dem sehr Nahe.

Außerdem gebe ich dir Recht. Es ist von Bedeutung, dass sich die Sonnenveränderung nur auf die äußeren Schalen konzentriert. Die Masse im Kern ist schwerer und soll unangetastet bleiben. Wenn also die äußeren Sonnenbereiche mit geringer Dichte abgestoßen werden und der Kern nicht betroffen íst, wie viel Volumen büßt der Stern dann bei 20% Masseverlust dann ein? Ich wiederhole die Kernfrage noch einmal: Auf welchen Radius schrumpft dann die Sonne hypothetisch?


Eine Supernova-Druckwelle soll ja eine Geschwindigkeit von 1000km/s haben. Wenn die äußeren Schichten also mit dieser Geschwindigkeit abgestoßen würden, wäre sie in 41,5 stunden bei der Erde.
Weitere Frage: Würden die Atmosphären der Erde und der Venus dem standhalten können ?

[tomS]

Geschieht dies gleichmäßig Punkt- oder Achsen-symmetrisch und dauert lange, behalten die Planeten ihre Kreisform bei. Geht das schnell und in eine Richtung würden die Planetenbahnen elliptisch. Ist das korrekt?
Es hängt also von der Geschwindigkeit der abgestoßenen Materie ab?

Die Bahnen behalten nie (!) ihre Kreis- oder Ellipsenform bei.

Es ist von Bedeutung, dass sich die Sonnenveränderung nur auf die äußeren Schalen konzentriert. Die Masse im Kern ist schwerer und soll unangetastet bleiben.

Für die Orbits ist das irrelevant.

[tomS]

Ich setze also die Sonnenmasse auf mSol*0.8. Die Bahnen werden dann elliptisch, bleiben aber nach wie vor geschlossen.

Es geht doch um eine zeitlich variable Zentralmasse M(t).

Ich sehe nicht, wie du diese variable Masse einbaust; ich denke nicht, dass die Bahnen dann noch geschlossen sein können.

[positronium]

Ich setze also die Sonnenmasse auf mSol*0.8. Die Bahnen werden dann elliptisch, bleiben aber nach wie vor geschlossen.

Es geht doch um eine zeitlich variable Zentralmasse M(t).

Ich sehe nicht, wie du diese variable Masse einbaust; ich denke nicht, dass die Bahnen dann noch geschlossen sein können.

Die muss man ja nicht einbauen. - Es liegen zum Zeitpunkt des Massenverlustes für jeden Planeten eine Position und ein Impuls vor; das reicht schon, um zu den elliptischen Bahnen zu kommen.
Dass die Bahnen geschlossen sind, glaube ich aber auch nicht. Vermutlich wird in der Simulation die gegenseitige Beeinflussung der Planeten nicht berücksichtigt.