Der Informationsbegriff in der Physik

[deltaxp]

Ist halt aber auch doof und sagt nichts aus wenn man nicht weiß in welche Welt man als nächstes landet? Wie wird in der VWI der Kollaps interpretiert?

das ist ja gerade der witz, es gibt keinen kollaps der , nenne ich sie mal globalen wellenfunktion.

ein kollaps erscheint dort nur lokal wenn ein isoliertes (kein kausalen zusammenhang zur umgebung) quantenmechanisches untersystem (was wir präparierten eigenzustand nennen) in wechselwirkung mit der umgebung gerät und sich mit dieser verschränkt (was wir messung nennen) und somit für das untersystem selbst, die zuvor festen phasenbeziehungen enden und im untersystem selbst defacto dan gemischt vorliegen. die verschränkung des untersystems mit der umwelt bedeutet die dekohärenz für das untersystem selbst, was von der umgebung heraus betrachtet als kollaps erscheint, denn das geht schnell (je nach umgebung und grösse des quantnmechanischen untersystems (1 teilchen, mehrere teilchen etc), aber die wellenfunktion untersystem+umgebung ist nicht kollabiert sondern hat sich nur entwickelt.

es ist sicher schwer klassisch zu beschreiben,m denn klassig ist ja dekohäriert. ich weiss nicht, vielleicht kann man sich diesen prozessiert irgendwie als diffusion und verdünnung von konzentrierter information vorstellen. du hast einen tropfen tinte (die information des untersystems im reinen quantenzsstand, feste phasenbeziehungen, quantenzahlen). dann fällt der ins wasser (wechselwirkung mit der umgebung) und diffundiert rasch (information, phasenbeziehung etc des untersystems wandern ab in die umgebung). insgesamt haben sich wasser+tinte nur entwickelt, die info der tinte ist nun nur verteilt über das gesamtsystem, aber sie ist noch da. wenn du lokal in dem gebiet gebiet guckst, wo der tintentropfen reingeknallt ist, findest du nur noch ein bisserl tinte, stark verdünt (dekohäriert). ich weiss, das bild hinkt natürlich vorn und hinten, aber nen versuch wars vielleicht wert.

(ps: ich kopier das mal in den andern thread mit rein)

[seeker]

Zur Entropie.

Die Entropie ist über die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Mikrozustände im Makrozustand definiert durch

...

Man sieht nun auch, wann die Entropie ihr Minimum 0 annimmt, nämlich dann, wenn ein sogenannter reiner Zustand vorliegt, d.h. wenn der Makrozustand sicher genau einem Mikrozustand entspricht. Nehmen wir z.B. an, das System sei im Grundzustand, dann ist...

Danke. Es wird einigermaßen klar, wie das mit der Entropie gemacht wird.
Den bedeutenden Unterschied, den ich zwischen klassischer Sicht und QM-Sicht sehe ist das, was jeweils mit "Zustand" gemeint ist.
Klassich haben wir konkrete, eindeutige Mikrozustände, quantenmechanisch eindeutige aber nicht-reale Wahrscheinlichkeits-Mikrozustände.

Nun kann man, wie ich annehme, so einen einzigen QM-Mikrozustand sozusagen als stellvertretend für ein ganzes Ensemble von von klassichen Mikrozuständen interpretieren.
Wenn man nun der Kollapsinterpretation folgt, so würde beim Kollaps aus einem Ensemble von Zuständen (= ein QM-Zustand) nur ein einziger klassischer Zustand übrig bleiben.
Ergo: Die Entropie hätte abgenommen. Nicht? (Bzw.: Die Real-Werdung der Wahrscheinlichkeit wird sozusagen mit Entropie bezahlt.)

D.h. die Entropie ist hier ein Maß für die mögliche (quantenmechanische) Entartung. Sie zählt gewissermaßen die möglichen Vakuumzustände. Wenn ein reiner Zustand vorliegt, d.h. wenn keine Entartung vorliegt, dann ist die Entropie exakt Null

Ja. Per Definition, damit der 2. Hauptsatz nicht fällt. Nicht wahr?
Könnte man nicht auch anders definieren?

Grüße
seeker

[Hawkwind]

Nun kann man, wie ich annehme, so einen einzigen QM-Mikrozustand sozusagen als stellvertretend für ein ganzes Ensemble von von klassichen Mikrozuständen interpretieren.
Wenn man nun der Kollapsinterpretation folgt, so würde beim Kollaps aus einem Ensemble von Zuständen (= ein QM-Zustand) nur ein einziger klassischer Zustand übrig bleiben.
Ergo: Die Entropie hätte abgenommen. Nicht? (Bzw.: Die Real-Werdung der Wahrscheinlichkeit wird sozusagen mit Entropie bezahlt.)

Hier kann ich nicht folgen:
1.) ich sehe keinen Zusammenhang zu den Interpretationen der Quantenmechanik.
2.) Wieso sollte denn überhaupt der Kollaps der Kopenhagener Deutung eine Energie-Entartung aufheben und so zu einer Abnahme der Entropie führen?
3.) Was hat Toms Diskussion der Entropie mit dem Messproblem der Quantenmechanik zu tun?

Gruss

[seeker]

Hallo Hawkwind!

3.) Was hat Toms Diskussion der Entropie mit dem Messproblem der Quantenmechanik zu tun?

Na ja, es sollte ja in diesem Thread eigentlich um den Begriff "Information" in der Physik gehen, was er bedeutet und nicht primär um das Messproblem.
Ich fragte dabei auch, ob es so eine Art Informationserhaltung in der Physik gäbe.
Wir sind dabei halt immer wieder etwas in die QM bzw. deren Interpretationen abgeschweift.

Der Begriff "Information" ist wie wir gesehen haben in der Physik eng mit dem Begriff "Entropie" verknüpft, die wiederum eng mit dem Begriff "Zustand" (bzw. Anzahl an Zuständen) verknüpft ist.
Nun kann man die Entropie sowohl klassisch betrachten als auch quantenmechanisch.
Und deshalb hat Tom versucht das zu erklären, was sehr hilfreich und völlig passend zum eigentlichen Kern-Thema in diesem Thread hier ist.
Ich hätte dabei noch gerne über die Unterschiede zwischen klassischem Zustand und QM-Zustand gesprochen.

1.) ich sehe keinen Zusammenhang zu den Interpretationen der Quantenmechanik.

Na ja, deshalb frage ich ja. Ich will verstehen ob man einen Zusammenhang herstellen kann?
Man könnte meine geschilderte Argumentation vielleicht auch als Argument gegen die Kollapsinterpretation und für die VWI verwenden?
Denn wenn es (in der VWI) keinen Kollaps gibt, dann nimmt die Entropie in meinem Ansatz auch nicht ab sondern immer zu (da sozusagen alle klassischen Zustände verwirklicht werden und nicht nur einer).

2.) Wieso sollte denn überhaupt der Kollaps der Kopenhagener Deutung eine Energie-Entartung aufheben und so zu einer Abnahme der Entropie führen?

Ich meine keine Energie-Entartung sondern die Auflösung (in der QM) von klassisch exaktem Ort + exaktem Impuls zu einer Wahrscheinlichkeit wahrscheinlicher Ort + wahrscheinlicher Impuls, die dann beim Kollaps wieder zu einem (quasi) exakten Ort + exaktem Impuls wird, identifizierbar als konkreter Einzel-Messwert.
Mann findet/misst niemals direkt Wahrscheinlichkeiten, sondern immer konkrete (klassische) Messwerte.

Kann man also die Wahrscheinlichkeitswelle (Ort + Impuls) nicht auch so sehen, dass sie die Vereinigung von sehr vielen klassischen Zuständen darstellt, also die Information von sehr vielen klassischen Zuständen enthält, wobei diese Information nach dem Kollaps verloren gegangen ist und ergo die Entropie aus klassischer Sicht abgenommen haben muss?

Wie funktionieren denn Quantencomputer? Worauf beruht ihre enorme Rechenleistung?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

So, jetzt habe ich einwertig den Faden verloren, was ich eigtl. beantworten soll.

Unabhängig von der MWI steht ein Makrozustand (nicht klassisch sondern thermodynamisch, beschrieben durch makroskopische Größen wie Energie E, Druck P, Volumen V, ...) für ein Ensemble von Mikrozuständen, die bzgl. der o.g. Größen entartet sind. Bsp. Münzwurf: eine Münze wird zehnmal geworden, die 2[up]10[/up] Mikrozustände sind einfach die Ergebnisse "kkkkkkkkkk" bis "zzzzzzzzzz" für Kopf oder Zahl, die 10 Makrozustände sind einfach die Zustände mit 1*Kopf, 2*Kopf, ... 10*Kopf.

Die Entropie besagt grob, wieviele Mikrozustände einen Makrozustand beschreiben.

Betrachtet man die Mikrozustände exakt ohne "coarse-graining" = ohne Zusammenfassung in Makrozustände, so ist die Entropie exakt Null, da es dann immer genau einen Mikrozustand gibt. Bsp. Gas: theoretisch kann man ein großes Volumen V gefüllt mit Gas der Temperatur T und Druck P durch N einzelne Gasteilchen beschreiben. Diese haben als Moleküle 3N Freiheitsgrade der Translation, 3N Freiheitsgrade der Rotation, sowie weitere M interne Freiheitsgrade wie Anregungen, Vibrationen etc. Der Quantenzustand des Gases |...> enthält dann 3N+3N+M Parameter ... die alle diese Freiheitsgrade codieren. Die Entropie dieses einen Quantenzustandes ist Null und bleibt Null, die Zeitentwicklung ist unitär. Erst wenn man auf Methoden der statistischen Mechanik zurückgreift, Makrozustände einführt und durch Dichteoperatoren beschreibt, die keine Projektoren sind, wird die Entropie dieses Makrozustandes größer Null sein.

Der Zusammenhang mit den Interpretationen der QM ist nur sehr indirekt. Sowohl für "Kopenhagen" als auch für die MWI gilt, dass prinzipiell kein Informationsverlust d.h. keine Verletzung der Unitarität aufritt, wobei erstere das Problem hat, dass ein Messprozess mit Kollaps des Zustandes ebenfalls nicht unitär ist. Das wird dadurch "gelöst", dass man dies außerhalb des Formalismus ansiedelt und sozusagen ausblendet. Letztere - die MWI - nimmt das Problem dagegen ernst und versucht es im Rahmen des Formalismus zu lösen. Die Entropie ist wieder Null und nimmt nicht zu, weil zwar alle klassischen Zustände gleichzeitig realisiert sind, aber innerhalb exakt eines Quantenzustandes. Die "vielen Welten" sind nicht verschiedene Quantenzustände, sondern genau einer, der scheinbar (aus unserer Froschperspektive) in einzelne Zweige zerfällt, von denen wir nur einen Zweig wahrnehmen. Die Entropie wird aber im Bezug auf den Gesamtzustand berechnet.

Zur Dekohärenz ist zu sagen, dass sie ebenfalls die Unitarität erhält und die Entropie exakt Null ist und bleibt. Die Dekohärenz besagt lediglich, dass ein einzelner Quantenzustand des Gesamtsystems in sehr guter Näherung durch einen partiellen Dichteoperator beschrieben werden kann, der wie ein klassisches, statistisches System (d.h. ein statistisches Gemisch verschiedener klassischer Zustände) aussieht und daher nicht-verschwindende Entropie trägt. Dies ist jedoch nur eine Näherung und erfordert die Eliminierung vieler Freiheitsgrade. Bsp. Katze: das Gesamtsystem besteht aus zerfallendem Atom, Katze, Zeiger am Messgerät und Umgebung (Luft etc.); der partielle Dichteoperator beschreibt nur noch exakt beobachtbare Untersysteme, d.h. die Umgebung wird herausgerechnet. Dies ist jedoch eine Näherung, und erst über diese Näherung scheint es so, dass das System Entropie entwickelt. Dies ist genau das o.g. "coarse-graining", man fasst die sehr vielen Mikrozusände (siehe oben) zu wenigen Makrozuständen zusammen.

[tomS]

Klassisch haben wir konkrete, eindeutige Mikrozustände, quantenmechanisch eindeutige aber nicht-reale Wahrscheinlichkeits-Mikrozustände ...

Evtl. ist das das Grundproblem bzw. Missverständnis.

Ein Mikrozustand eines Makrozustandes (Gas, Flüssigkeit, Festkörper, Universum ;-) beschreibt jeden einzelnen Freiheitsgrad des Makrozustandes, d.h. z.B. Ort, Impuls, Spin, ... jedes einzelnen Teilchens (Elektron, Quark, Photon, ...).

In der klassischen Mechanik wäre das ein Punkt im Phasenraum mit Koordinaten (x,p,s,...) wobei diese Koordinaten bei N Teilchen entsprechend oft vorkommen. In der QM wäre das ein einziger Quantenzustand |p,s,...> im Hilbertraum, wobei dies wiederum je Teilchen gilt. Der wesentliche Unterschied ist, dass nur kompatible = vertauschende Observablen genutzt werden dürfen, d.h. nur entweder x oder p, nicht beides!

Ein Makrozustand ist ist ein Punkt mit Koordinaten wie (T,P,V).

[seeker]

Die Entropie dieses einen Quantenzustandes ist Null und bleibt Null, die Zeitentwicklung ist unitär. Erst wenn man auf Methoden der statistischen Mechanik zurückgreift, Makrozustände einführt und durch Dichteoperatoren beschreibt, die keine Projektoren sind, wird die Entropie dieses Makrozustandes größer Null sein.

D.h. wir hätten zwei Beschreibungen desselben, wo einmal die Entropie konstant Null bleibt und einmal größer Null ist und stetig wächst bzw. höchstens konstant bleibt?
Steckt da nicht ein Widerspruch drin, der evtl. einfach wegen der Handhabbarkeit in der Praxis hingenommen wird?

Der Zusammenhang mit den Interpretationen der QM ist nur sehr indirekt. Sowohl für "Kopenhagen" als auch für die MWI gilt, dass prinzipiell kein Informationsverlust d.h. keine Verletzung der Unitarität aufritt, wobei erstere das Problem hat, dass ein Messprozess mit Kollaps des Zustandes ebenfalls nicht unitär ist. Das wird dadurch "gelöst", dass man dies außerhalb des Formalismus ansiedelt und sozusagen ausblendet. Letztere - die MWI - nimmt das Problem dagegen ernst und versucht es im Rahmen des Formalismus zu lösen. Die Entropie ist wieder Null und nimmt nicht zu, weil zwar alle klassischen Zustände gleichzeitig realisiert sind, aber innerhalb exakt eines Quantenzustandes. Die "vielen Welten" sind nicht verschiedene Quantenzustände, sondern genau einer, der scheinbar (aus unserer Froschperspektive) in einzelne Zweige zerfällt, von denen wir nur einen Zweig wahrnehmen. Die Entropie wird aber im Bezug auf den Gesamtzustand berechnet.

... und dieses Ausblenden kann man ja kritisieren, auch wenn es nur die Interpretation und nicht die Rechnungen betrifft?

Dies [die Dekohärenzbetrachtung] ist jedoch eine Näherung, und erst über diese Näherung scheint es so, dass das System Entropie entwickelt.

Das möchte ich festhalten. Das erscheint mir sehr wichtig.

Ein Mikrozustand eines Makrozustandes (Gas, Flüssigkeit, Festkörper, Universum beschreibt jeden einzelnen Freiheitsgrad des Makrozustandes, d.h. z.B. Ort, Impuls, Spin, ... jedes einzelnen Teilchens (Elektron, Quark, Photon, ...).

In der klassischen Mechanik wäre das ein Punkt im Phasenraum mit Koordinaten (x,p,s,...) wobei diese Koordinaten bei N Teilchen entsprechend oft vorkommen. In der QM wäre das ein einziger Quantenzustand

Danke! Das musste ich nochmals gesagt bekommen, damit es sich hoffentlich irgendwann setzt.
Zum Verständnis noch: Es wäre also klassich-makroskopisch EIN Punkt in einem Phasenraum (für das Gesamtuniversum) und klassisch-mikroskopisch wären es viele Punkte an verschiedenen Stellen in einem Phasenraum (für die Einzelteile)?


Ich versuche meine Hauptfrage anders zu stellen:

Nehmen wir zwei Teilchen und beschreiben sie klassisch in einem Kasten.
Nun kann ich ihre Einzelzustände zu jedem beliebigen Zeitpunkt angeben. Ich kann auch im Phasenraum alle möglichen Zustände angeben, die sie einzeln annehmen können.
Ich kann auch betrachten welche Kombinationen (als Gesamtzustand) sich aus beiden Zuständen ergeben können.

Mein Gedanke war nun: Betrachte ich die zwei Teilchen (mathematisch) zu irgendeinem Zeitpunkt, so kann ich ihren Momentan-Zustand mit rel. wenigen Angaben (Informationen) angeben.

Nun betrachte ich die Teilchen quantenmechanisch. Sie verschränken sich. Nun kann ich ihren (verschränkten) Gesamt-Zustand auch mit genauso wenigen QM-Angaben angeben.
Nur: Jeder QM-Zustand ist ja ein Zustand aus einem 2^N -dimensionalen Hilbert-Raum.

D.h.: Im klassischen Fall brauche ich hier N Informationen zur Festlegung eines Zustands, im QM-Fall aber 2^N Informationen für dasselbe.
So gesehen enthält ein verschränkter QM-Zustand viel mehr Information als ein klassicher Zustand aus Einzelteilchen.
Frage: Kann man das so sehen?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Die Entropie dieses einen Quantenzustandes ist Null und bleibt Null, die Zeitentwicklung ist unitär. Erst wenn man auf Methoden der statistischen Mechanik zurückgreift, Makrozustände einführt und durch Dichteoperatoren beschreibt, die keine Projektoren sind, wird die Entropie dieses Makrozustandes größer Null sein.

D.h. wir hätten zwei Beschreibungen desselben, wo einmal die Entropie konstant Null bleibt und einmal größer Null ist und stetig wächst bzw. höchstens konstant bleibt?
Steckt da nicht ein Widerspruch drin, der evtl. einfach wegen der Handhabbarkeit in der Praxis hingenommen wird?

Nein, nur eine Näherung. Wenn wir glauben, dass die Theorie des gesamten Universums exakt quantenmechanischen Regeln folgt, dann gilt S = 0 = const.

Der Zusammenhang mit den Interpretationen der QM ist nur sehr indirekt. Sowohl für "Kopenhagen" als auch für die MWI gilt, dass prinzipiell kein Informationsverlust d.h. keine Verletzung der Unitarität aufritt, wobei erstere das Problem hat, dass ein Messprozess mit Kollaps des Zustandes ebenfalls nicht unitär ist. Das wird dadurch "gelöst", dass man dies außerhalb des Formalismus ansiedelt und sozusagen ausblendet. Letztere - die MWI - nimmt das Problem dagegen ernst und versucht es im Rahmen des Formalismus zu lösen. Die Entropie ist wieder Null und nimmt nicht zu, weil zwar alle klassischen Zustände gleichzeitig realisiert sind, aber innerhalb exakt eines Quantenzustandes. Die "vielen Welten" sind nicht verschiedene Quantenzustände, sondern genau einer, der scheinbar (aus unserer Froschperspektive) in einzelne Zweige zerfällt, von denen wir nur einen Zweig wahrnehmen. Die Entropie wird aber im Bezug auf den Gesamtzustand berechnet.

... und dieses Ausblenden kann man ja kritisieren, auch wenn es nur die Interpretation und nicht die Rechnungen betrifft?

Nun, es funktioniert in der Praxis, aber es ist natürlich wünschenswert, weniger ad-hoc Annahmen zu haben.

Zum Verständnis noch: Es wäre also klassich-makroskopisch EIN Punkt in einem Phasenraum (für das Gesamtuniversum) und klassisch-mikroskopisch wären es viele Punkte an verschiedenen Stellen in einem Phasenraum (für die Einzelteile)?

Makroskopisch handelt es sich bei der thermodynamischen Beschreibung im Zustandsraum (T,P,V, ...) nicht um einen Phasenraum. Mikroskopisch handelt es sich (für eine Zeit) um genau einen Punkt in einem hochdimensionalen Raum mit 6 Koordinaten je Teilchen (3 für Ort und 3 für Impuls), d.h. 6N Koordinaten für N Teilchen (ohne Spin etc.)

Nehmen wir zwei Teilchen und beschreiben sie klassisch in einem Kasten.
Nun kann ich ihre Einzelzustände zu jedem beliebigen Zeitpunkt angeben. Ich kann auch im Phasenraum alle möglichen Zustände angeben, die sie einzeln annehmen können.
Ich kann auch betrachten welche Kombinationen (als Gesamtzustand) sich aus beiden Zuständen ergeben können.

Nun, ich benötige einfach 2*3 Orts- und 2*3 Impulskoordinaten für die zwei Teilchen.

Nun betrachte ich die Teilchen quantenmechanisch. Sie verschränken sich. Nun kann ich ihren (verschränkten) Gesamt-Zustand auch mit genauso wenigen QM-Angaben angeben.
Nur: Jeder QM-Zustand ist ja ein Zustand aus einem 2^N -dimensionalen Hilbert-Raum.

Nein, so ist das nicht. Zunächst darf ich in der QM immer nur eine von zwei inkompatiblen Obervablen benutzen, also nur entweder Ort oder Impuls, ansonsten ist das System überbestimmt und verletzt die Heisenbergsche Unschärfenrelation. Ein Zustand im Hilbertraum ist definiert durch einen Vektor |p>, wobei dieses p für 2*3 Impulskoordinaten steht. Im Falle des Kastens ist der Impuls diskret, d.h. statt |p> habe ich |n>, wobei n jetzt für 2*3 ganze Zahlen steht. Aber die Gesamtzahl möglicher Basisvektoren d.h. die insgs. möglichen Kombinationen aller ganzen Zahlen in |n> ist abzählbar unendlich, d.h. der Hilbertraum als ganzes ist unendlich-dimensional.

So gesehen enthält ein verschränkter QM-Zustand viel mehr Information als ein klassicher Zustand aus Einzelteilchen.
Frage: Kann man das so sehen?

Man kann das nicht direkt vergleichen. Die Entropie gibt in beiden Fällen ein Maß dafür an, aber das ist recht unanschaulich.

Die Information im klassischen sowie im quantenmechanischen Fall sind jeweils durch einen einzigen Punkt bzw. Vektor gegeben, damit sind beide Zustände exakt definiert, und damit ist die Entropie jeweils exakt Null.

Im klassischen Phasenraum wäre ein thermodynamischer Zustand (T,P,V,...) jedoch durch ALLE Punkte (x,p) definiert, die DEN SELBEN makroskopischen Größen (T,P,V,...) entsprechen. D.h. es liegt ein BEREICH im Phasenraum vor (deswegen spricht man von vielen Mikrozuständen, die einen einzigen Makroszustand definieren).

Die klassische Entropie S ist proportional zum Logarithmus dieses Phasenraumvolumens Ω, d.h.

S = k * ln Ω