Symmetrien

[wilfried]

Hallodele Tensor,

bevor ich Dir antworte erklär mir doch bitte, wie Du die Indizes an Deine Gleichungen schreibst. Ich habe bei meinen Beiträgen das -wie Du es ja auch gesehen hast- mit den Symbolen * oder ° gemacht. Ich wusste nicht dass es so schön zu schreiben ist.

Hab ich Deine Antwort, werde ich auf Deinen Punkt eine Antwort verfassen.

Danke und Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

Nicht zu verachten sind die Eichsymmetrien in der Quantenmechanik, aus der sich die Vereinigung der elektrischen und schwachen Kraft ergibt (SU2XU1) und teilweise Ansätze für die starke Kraft (SU3)!

[wilfried]

Hallo Wilfried,

wenn Du bei den Smilies "Weitere Smilies ansehen" anklickst, geht ein Fenster mit Smilies, mathematischen Symbolen und griechischen Buchstaben auf, die Du dann beim Verfassen der Antwort nur anzuklicken brauchst.

Viel Spaß dabei,
tensor

Ja danke, das hilft.

Nun zu meiner Stellungnahme:

ich fang mit dem Tensorbegriff an, ich bin mir nicht sicher ob dieser allen Forumsteilnehmnern so bekannt ist, sonst weiss u.U. der ein oder andere nicht, was hier erzählt wird und worauf sich Symmetrie bezieht.

Lineare Vektorfunktionen sind in der Physik täglich Brot. Sie treten auf, wenn Vorgänge in isotropen Medien in anisotrope übergehen. Dabei werden dann in den physikalischen Gleichungen an Stelle der reinen Skalare affine Operatoren gesetzt: eine vollständige Dyade.
Historisch wurde dieses bei der elastischen Verformung (Zug- und Druck-Spannungen) erstmals festgestellt. Daher kommt die Bezeichnung "TENSOR".
Dieser Begriff wurde aufgenommen und wird erweitert eingesetzt. Er umfasst nicht mehr nur die Summen aus dyadischen Produkten, sondern auch diejenigen aus mehrfach allgemeinen Produkten von bis zu n vektoriellen Faktoren gebildeten Systeme.
Durch skalare Produktbildung zwischen 2 der ihn bildenden Faktoren kann beispielsweise socl ein Tensor um 2 Stufen erniedrigt werden. Das nennt man Verjüngung.
Die lineare Dyade AB wird demnach zum Tensor 0-ter Stufe, zu einem Skalar verjüngt.

Tensoren werden in Komponenten dargestellt. Es wird sich auf ein bezugssystem festgelegt mit diesem werden die Einheitsvektoren dargestellt.
Eine vollständige Dyade, ein Tensor 2.Stufe, besteht dann aus 9 Koeffizienten. Das kann auch permutativ aufgefasst werden.
Es ist wichtig zu wissen, daß indiziert gesehen ij # ji ist usw.
Solch ein Tensor zeigt sich so:
T = A_1 i + A-2 j + A_3 k
dabei sind i j k die Einheitsvektoren und
A_1 = a_11 i + a21 j + a_31 k
A_2 = a_12 i + a_22 j + a_32 k
A_3 = a_13 i + a_23 j + a_33 k
Die Komponentenschreibweise; die Neunerform:

T = a_11 ii + a_22 jj + a_33 kk + a_12 ij + a_21 ji + a_13 ik + a_31 ki + a_23 jk + a_32 kj =
SUM from i,k a_ik e^i e^k
in Matrix Schreibweise:

a_11 a_12 a_13
a_21 a_22 a_23
a_31 a_32 a_33

Symmetrie und Antisymmetrie

Die Grundtensoren sind in 2 Gruppen ( verschiedenen Eigenschaften ) zusammengefaßt:
1. Symmetrische Gruppe
ii jj kk
2. Unsymmetrische Gruppe
ij ji ik ki jk kj

Die symmetrischen Tensoren besitzen die Eigenschaft, daß ihr skalares Produkt kommutativ ist
die unsymmetrischen besitzen diese Eigenschaften nicht.

Die Anzahl der unabhängigen kompoinenten verricngert sich bei symmetrischen tensoren 2.Stufe im drei-D Raum von 9 auf 6. Daher ist auch häufig von 6-er Vektoren die Rede.
im n-dimensionalem Raum verringern sich die Anzahl der Komponenten von n^2 auf n(n+1) /2
weitergehend für Tensoren höherer Stufen (p ter Stufe) gilt die Permutation
Z = n + p -1 über p

Die unabhängigen Komponenten heißen auch "strikte" Kompoonenten.
Ist man frei in der Wahl des Koordsystems, kann man das rechtwinklige so wählen, daß die Anzahl dieser strikten Komponenten eines symmetrischen tensors auf n (im 3 D Raum damit auf 3) verringert wird.

Rein antisymmetrischer Charakter besitzen die Differenzen einander entsprechender (konjugierter oder transponierter) dyadischen Produkte der Achsenvektoren
(ij - ji)
(ik - ki)
(ik . ki)
Es gilt dann:

A (ij - ji) = - (ij -ji) A

T nimmt dann die Gestalt an:

T_A = a_12 (ij - ji) + a_13 (ik - ki) a a_23(jk -kj)
das _A indiziert den antisymmetrischen Tensor
Ich muss erwähnen: ijk sind die Einheitsvektoren
Die Anzahl der strikten Komponenten eines antisymmetrischen Tensors p-ter Stufe im n-dimensionalem Raum ist:
Z = n über p oder n über n - p beide sind gleich!

Tensoren höherer Stufe können teilweise symmetrisch teilweise antisymmetrisch sein. In der Summenkonvention drückt man das aus durch die Anordnung der Indizes.
Die Stellung der Indizes sagt ob es eine kovariante oder kontravariante Komponente ist.
Die Eigenschaft gegenüber der Invarianz einer affinen Transformation läßt sich mathematisch durch das Verhalten der kovarianten bzw. der kontravarianten Komponenten und Grundvektoren charakterisieren.
Bleibt bei einer Trafo die funktionale gestalt erhalten, so ist die Trafo invariant. das ist dann eine kovariante Komponententrafo.


Die Frage von "TENSOR" wie symmetrisch die Natur aufgebaut ist, kann sehr sicher dadurch beantwortet werden, daß die Natur dem Entropieprinzip folgt:
So wenig als möglich bei maximalem Erfolg
Deshalb ist es stark anzunehmen, daß es wohl eher in Richtung Symmetrie geht. Wie weit Mutter Natur das treibt weiß ich nicht. Die Ergebnisse der Supersymmetrieen zeigen aber eine große Überbetonung der Symmetrie


was auch zu erwarten ist.

Netten Gruß

Wilfried
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