Kinetische Energie als Maß für die Temperatur

[Alexander]

Hallo!

Allgemein heißt es ja, dass die kinetische Energie der Teilchen ein Maß für die Temperatur darstellt. Aber diese Aussage impliziert doch, dass es eine höchste Temperatur gibt? Aber das ist doch nicht der Fall. Stimmt dann diese Regel dann überhaupt vollkommen?

MfG
Alex!

[Skeltek]

Wieso impliziert es das? Es gibt doch gar keine höchste kinetische Energie?

[gradient]

Hallo Alexander,

genau genommen ist die mittlere kinetische Energie ein Maß für die Temperatur. Kann es sei, dass du davon ausgehst, dass die kinetische Energie nach oben beschränkt ist? Das stimmt nämlich nicht. Es gilt .

MfG
Patrick

[Alexander]

Wieso impliziert es das? Es gibt doch gar keine höchste kinetische Energie?

Das war etwas ungeschickt formuliert, ich ging davon aus, dass es ja eine höchste Geschwindigkeit und somit höchste Temperatur gibt, wenn man die Geschwindigkeit der Teilchen als Maß für die Temperatur nimmt.

[Skeltek]

Dann hast du dir die Frage ja selbst beantwortet.
Eine höchste Geschwindigkeit gibt es nicht.
C ist nur eine Grenze, die nie erreicht wird.

Oder beziehst du das jetzt auf die kosmische Hintergrundstrahlung?

[Alexander]

Nein, das ist gerade der Grund, warum ich die Frage stellte. Die Temperaturgrenze nach unten hin liegt bei -273,15°C oder eben 0K. Nach oben hin soll es ja unbegrenzt sein, das habe ich vorausgesetzt, daher sah ich hier eine Diskrepanz, wenn die Geschwindigkeit als Maß für die Temperatur hergenommen wird, denn dann gäbe es ja eine höchste Temperatur. Aber das soll ja nicht so sein.

[seeker]

Aber es muss zwangsläufig relativistische Temperaturen geben - und zwar auch schon in der SRT.
Interessant...

Grüße
seeker

[gravi]

Das Thema möchte ich doch noch mal aufgreifen:

Direkt nach dem Urknall betrug die Temperatur 10[up]32[/up] [K], das ist also nach meiner Ansicht die höchstmögliche Temperatur im Kosmos. Die kann durch nichts überboten werden.

Damit müsste dann auch die mittlere kinetische Energie einen Höchstbetrag annehmen, der in unserem Universum als absolute Obergrenze gilt...was meint Ihr?

Gruß
gravi

[deltaxp]

erstmal zu alexander.

ich vermute deine frage bezieht sich auf maximal mögliche geschwindigkeit c (also licht geschwindigkeit).
die kinetische Gastheorie mit ist der nicht relativistische Grenzfall. Wenn du zu hohen Geschwindigkeiten nahe c gehst musst du dann aber schon olle einsteins Spezielle relativitäts theorie bemühen.
ist hierbei die ruhemasse des objectes, also in dem bezugssystem, in dem es sich nicht bewegt

und da gibt es die berühmte Formel für die Gesamtenergie eines massiven Objectes: .
aber, je schneller ein Objekt ist, desto schwerer wirds (vom ruhenden bezugssyszem aus gesehen:
.
wie du siehst wenn geht, geht
Die kinetische Energie ist nun die gesamt energie abzüglich der ruhe masse wie oben schon geschrieben wurde

was natürlich auch gegen unendlich geht, da der ruhemasseterm endlich ist.
das heisst, wenn teilchen (ultrarelativistisches gas) sich in ihrem wilden Tanz der Lichtgeschwindigkeit beliebig annäheren wird die temperatur beliebig höher bis unendlich, rein mathematisch.

in der praxis gibt es wohl ne obergrenze, da man nicht mehr energie reinstecken kann als im gesamten universum vorliegt.

oben wurde erwähnt, direkt nach dem urknall war sie K im universum. ob das nun die höchste hitze war weiss ich nicht, schliesslich enden die meisten modelle mit denen sowas ausgerechnet wird in der singularität, was ein zeichen dafür ist, dass sie hier an ihre grenze kommen. solange es keine konsistente und experimentell verifizierte theorie der quantengravitation gibt wird sich die frage was war nun die höchste Temperatur kaum beantworten lassen. es gibt aber hinweise im rahmen der loop-quanten-graviation darauf, dass man nur eine begrenzte energiemenge in ein raumvolumen packen kann (aber die ist sau hoch) die maximal mögliche energiedichte wird bei etwa 9 planklängen (rund m wären das das glaub ich) erreicht. versucht man mehr reinzustopfen wird raum erzeugt, so dass die dichte nicht höher wird. damit hätte man in der tat eine maximal mögliche temperatur, die sicher irgendwas K sein wird. aber wie hoch nun weiss ich nicht. die ursache für dieses limit ist dann aber nicht die endliche lichtgeschwindigkeit sondern das "fassungsvermögen" des raumes.

[gravi]

Ich denke auch, dass es nicht höher geht. Wie Du sagst, rechnet man weiter zurück, kommt man unweigerlich zur Singularität. Die aber ist "kalt". Ich weiß nicht, zu was Materie/Energie in einer Singularität komprimiert werden, jedenfalls wird es dort nicht mehr die geringste Bewegung geben. Ohne Bewegung aber keine Temperatur.

Anders definiert: Diese Singularität ist von einem Horizont umgeben, an dessen Grenze virtuelle Teilchenpaare die Hawkingstrahlung verursachen. Die aber ist unmessbar gering - eben ultrakalt.
Also gibt es (in unserem Kosmos) nach meiner Ansicht nur diese zwei Extreme, richtig heiß oder richtig kalt. Nach richtig heiß erfolgt dann durch die Expansion die bekannte Abkühlung.

Was nicht heißen soll, dass 10[up]32[/up] K die absolute Obergrenze ist. Andere Universen können höhere oder niedrigere Energieinhalte haben, dementsprechend könnte die max. Temperatur auch anders gelagert sein.

Gruß
gravi

[wilfried]

Guten Tag Alexander

lise bitte mal hier, was wir über dieses Thema seinerzeit geschrieben haben. Vieleicht tangiert auch dies Deine Fragestellung.

viewtopic.php?f=4&t=1300

Netten Gruß

Wilfried

[Timm]

Ich denke auch, dass es nicht höher geht. Wie Du sagst, rechnet man weiter zurück, kommt man unweigerlich zur Singularität. Die aber ist "kalt". Ich weiß nicht, zu was Materie/Energie in einer Singularität komprimiert werden, jedenfalls wird es dort nicht mehr die geringste Bewegung geben. Ohne Bewegung aber keine Temperatur.

Anders definiert: Diese Singularität ist von einem Horizont umgeben, an dessen Grenze virtuelle Teilchenpaare die Hawkingstrahlung verursachen. Die aber ist unmessbar gering - eben ultrakalt.
Also gibt es (in unserem Kosmos) nach meiner Ansicht nur diese zwei Extreme, richtig heiß oder richtig kalt. Nach richtig heiß erfolgt dann durch die Expansion die bekannte Abkühlung.

Es hängt davon ab, welche Singularität gemeint ist. Eine Koordinatensingularität (Beispiel Ereignishorizont eines schwarzen Loches) ist kalt, während bei einer physikalischen Singularität Temperatur und Massendichte gegen oo gehen. Das ist für Physiker ein Trauma und einer der Gründe sich um eine Quantengravitation Gedanken zu machen.

@Alexander: Die energiereichsten Ereignisse dürften beim Verschmelzen schwarzer Löcher auftreten. Aber auch hier kann die Energie der Planck-Ära bei 10^32 K / 10^19 GeV bei weitem nicht erreicht werden. Deine Frage bezieht sich allerdings auf Teilchen. Diese erschienen etwas später und dementsprechend bei niedrigeren Temperaturen. Quarks entstanden bei 10^28 K, Hadronen bei 10^14 K. Rein theoretisch, unabhängig von der Realisierung in unserem Universum, können Teilchen mit Ruhemasse beliebig nahe an c heran, es aber nicht erreichen. Aber das wurde ja schon weiter oben gesagt.

Gruß, Timm

[gravi]

während bei einer physikalischen Singularität Temperatur und Massendichte gegen oo gehen. Das ist für Physiker ein Trauma und einer der Gründe sich um eine Quantengravitation Gedanken zu machen.

Richtig, Dichte und Gravitation gehen gegen unendlich groß, die Ausdehnung gegen unendlich klein.
Ich mag aber nicht einsehen, dass die Temperatur ebenfalls gegen unendliche Werte strebt. Wir wissen zwar nicht, in welcher Form Materie in einer (theoretischen) Singularität vorliegt, ob dort überhaupt noch etwas derartiges existiert. Es widerstrebt mir aber hier eine Aussage über die Temperatur zu treffen. In einem Punkt - sagen wir von fast unendlich großen bzw. kleinen Parametern - kann sich nichts mehr bewegen, egal was sich dort befindet. Ich denke, man kann bei einem solchen Zustand den Begriff der Temperatur eigentlich gar nicht mehr anwenden, er verliert dort seine Gültigkeit wie alle physikalischen Gesetze auch. Daher ist meine oben geäußerte Behauptung, eine Singularität sei kalt, vermutlich physikalischer Schwachsinn...

Netten Gruß
gravi

[Timm]

Ich mag aber nicht einsehen, dass die Temperatur ebenfalls gegen unendliche Werte strebt.

Rein mathematisch ist das so. Daß die Temperatur bei der adiabatischen Kompression von kondensierter Materie steigt ist klar aber ich habe keine Ahnung, wie man das rechnet oder abschätzt.

Ich denke, man kann bei einem solchen Zustand den Begriff der Temperatur eigentlich gar nicht mehr anwenden, er verliert dort seine Gültigkeit wie alle physikalischen Gesetze auch.

Genau, Physik beim Volumen Null gibt es nicht. Deshalb beginnt die physikalische Beschreibung des Urknalls auch erst bei der Plancklänge,

Gruß, Timm

[tomS]

Nehmen wir mal an, man könne beliebig hohe Energien erreichen, d.h. die Planck-Energie wäre keine Grenzenergie. Dann haben wir es natürlich mit ultra-relativistischen Teilchen zu tun, denn zwar trägt jedes Teilchen eine prinzipiell beliebig hohe Energie, aber dennoch ist die Geschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit limitiert. Daraus folgt auch sofort, dass die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung nicht mehr gültig sein kann (denn sie nutzt explizit E = mv²/2)

Kennt jemand eine geeignete relativistische Verallgemeinerung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung?

[Timm]

Kennt jemand eine geeignete relativistische Verallgemeinerung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung?

Zu meinem Verständnis, gibt es einen Unterschied zur Boltzmann-Verteilung?

Gruß, Timm

[tomS]

Nein; man sagt auch Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Ich hab' inzwischen selbst was gefunden, nämlich hier in der englischen Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2 ... tic_speeds

[Timm]

Ich vermute, daß es bei solchen Energien keine Maxwell-Boltzmann-Verteilung gibt, weil das Konzept der Teilchenkollisionen nicht mehr greift, sofern es überhaupt noch welche gibt.

Gruß, Timm

P.S.

[tomS]

Du meinst sicher, elastische Teilchenkollisionen.

Nehmen wir an, wir haben ein Elektron-Positron (Photon) Gas bei einer mittleren kinetischen Energie von 511 keV; Kelvin wären dann zu berechnen mittels Umrechnung der Energie in Joule, anschließend mittels Boltzmann-Konstante in Kelvin. Hier entspricht die kinetische Energie der Ruhenergie der Elektronen, d.h. es handelt sich um ein relativistisches Gas (sicher kein ideales, weil wir ja Annihilations- und Paarbildungsprozesse haben, aber doch sicher eines im thermodynamsichen Gleichgewicht, also mit wohldefiniertem Temperaturbegriff). Andererseits könne wior in ziemlich guter Näherung davon ausgehen, dass es keine schwereren Teilchen gibt, da diese bei ca. 1MeV noch nicht entstehen können.

Daher wäre das schon ein System, auf das die relativistische Statistik zutreffen würde.

[Timm]

Daher wäre das schon ein System, auf das die relativistische Statistik zutreffen würde.

Ja, das denke ich auch.

Aber zurück zur Planckmasse/energie. Sie wird durch die Gravitationslänge des kleinstmöglichen Schwarzen Loches definiert. Von daher sehe ich keine Barriere für beliebig hohe relativistische Energieen (gamma-1)m(0)c^2 von Teilchen der Ruhemasse m(0), da die Geschwindigkeit sich beliebig an c und somit der gammafaktor sich beliebig an oo annähern kann.

Ein Gas mit Teilchen beliebig hoher Energie solle jedoch eine beliebig hohe Temperatur haben, also auch T > Planck. Ich kenne die relativistische Statistik nicht, schiebt die hier einen Riegel vor? Andererseits muß man sich fragen, ob es bei der Plancktemperatur überhaupt Teilchen gibt.

Zuguterletzt, ich bin nicht sicher, ob ich Deine Ausgangsfrage richtig erfasst habe. Vielleicht wolltest Du auf etwas anderes hinaus.

Gruß, Timm

[tomS]

Zunächst mal sollte klar sein, dass die kinetische Energie eines einzelnen, freien Teilchens sicher unbeschränkt ist, d.h. dass die Planckenergie hier irrelevant ist, oder?

[Timm]

Zunächst mal sollte klar sein, dass die kinetische Energie eines einzelnen, freien Teilchens sicher unbeschränkt ist, d.h. dass die Planckenergie hier irrelevant ist, oder?

genau, das war mein Punkt.

Gruß, Timm

[gravi]

Mal 'ne kurze Zwischenfrage: Wenn die kinetische Energie eines Teilchens unbeschränkt anwachsen kann, müsste es dann nicht ab einem gewissen Betrag zum Schwarzen Loch kollabieren? Dann wäre es wieder Essig mit der Temperatur

Gruß
gravi

[Timm]

Mal 'ne kurze Zwischenfrage: Wenn die kinetische Energie eines Teilchens unbeschränkt anwachsen kann, müsste es dann nicht ab einem gewissen Betrag zum Schwarzen Loch kollabieren?

Die Versuchung daran zu denken liegt nahe. Aber die Antwort ist nein. Denn Phänomene die Naturgesetze beschreiben, dazu gehört auch die Gravitation, sind unter Lorentz-Transformation kovariant. Andernfalls müßte aus der Sicht eines Neutrinos die Erde zu einem Schwarzen Loch kollabieren.

Gruß, Timm

[tomS]

Stell dir vor, zwei hochenergetische Protonen fliegen direkt aufeinander zu; aus der Sicht des einen müsste das jeweils andere ein schwarzes Loch sein. Stell dir nun vor, beide fliegen parallel zueinander, d.h. beide haben relativ zueinander verschwindende kinetische Energie.

Was zählt ist nicht die kinetische Energie, sondern die invariante Masse m² = E² - p²; sie ist in allen Bezugssystemen gleich.