Zum Energie- und Entropiebegriff

[tomS]

Zur Problematik des Energie- sowie des Entropiebegriffs in der Allgemeinen Relativitätstheorie sowie Theorien zur Quantengravitation

Hallo zusammen,

die Physik und deren verwandte Gebiete sind sowohl beschreibende als auch analysierende Wissenschaften. Daher sind physikalisch Zusammenhänge und Erklärungen möglichst allgemeingültig, d.h. auch mathematisch exakt zu formulieren. Dies ist allerdings nicht immer ganz einfach. Philosophen haben seit einigen tausend Jahren - bis heute - ihre Fähigkeiten daran gemessen, wie scharfsinnig sie Dinge beschreiben, formulieren, präzisieren konnten. Wissenschaftler waren bemüht, die beobachteten, gemessenen und berechneten Vorgänge mathematisch und physikalisch auf solide Fundamente zu stellen.

Abhängig von den zu untersuchenden Phänomenen stößt man teilweise auf erhebliche begriffliche und konzeptionelle Schwierigkeiten. Erstaunlicherweise sind es unter Anderem die allgemein bekannten Begriffe wie Energie und Wärme, die keineswegs in allen Aspekten vollständig verstanden sind. Dies erscheint seltsam, da doch gerade Wärme ein Phänomen ist, daß den Verlauf der Natur unmittelbar beeinflußt. Aber dieser Begriff wurde so vielfältig eingesetzt, daß eine "Säuberung" eine vornehme Aufgabe der Wissenschaft war. Energie und Wärme sind miteinander verwandte Phänomene, dürfen allerdings nicht miteinander identifiziert werden. Ein dritter Begriff, der in diesem Zusammenhang eine wesentliche Rolle spielt, ist der der Entropie. Dabei handelt es sich jedoch um ein wesentlich unanschaulicheres Phänomen.

Erst durch die Darstellung der Wärme als Energieform – nicht zu verwechseln mit Gesamtenergie - sowie dem Wärmestrom - Entropie genannt, konnten für diese Begriffe in der Physik klare Strukturen eingeführt werden, die bei der Beschreibung sowohl alltäglich als auch exotischer Phänomene Anwednung finden. Insbs. auch in der Astrophysik und Kosmologie wurde es dadurch möglich, die Exaktheit der Aussagen und Beschreibungen zu präzisieren.



Die Diskussionen in den letzten Monaten (hier im Forum) haben gezeigt, dass einige zentrale Fragestellungen im Umfeld der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) sowie verwandter Theorien (insbs. der Einstein-Cartan-Theorie ECT als natürlicher Erweiterung der ART) noch nicht verstanden sind. Und da heute zunehmend die Entwicklung der Quantengravitation (die Schleifenquantengravitation sei als prominentester Vertreter genannt) im Mittelpunkt des Interesses steht, stellt sich die Frage, ob sich die Probleme der klassischen Theorien im Zuge der Quantisierung lösen lassen, oder ob sie sich im Gegenteil noch verschärfen.

Zu den Problemen, für die man eine natürliche Lösung erwartet, zählen die Regularisierung bzw. die Eliminierung von Singularitäten, wie wir sie von Modellen mit Schwarzen Löchern sowie dem Urknall her kennen. Erste Entwicklungen im Rahmen der LQC, einer hochsymmetrischen Näherung an die LQG, zeigen hier eine deutlich positive Entwicklung, auch wenn die vollständige Lösung noch nicht erkennbar ist.

Andere Probleme sind jedoch bedeutend hartnäckiger: Dazu zählt insbs. die Definition einer (erhaltenen) Energie für beliebige Raumzeiten. Es ist erstaunlich, dass gerade dieses zentrale Konzept der klassischen Physik in der ART nicht vollständig aufrecht erhalten werden kann!

Verschiedene Problemfelder sind auseinanderzuhalten: Zunächst sind grundsätzliche Verständnisprobleme zu klären. Die Problematik der Energiedefinition liegt zunächst einmal darin begründet, dass bestimmte vertraute Konzepte nicht unverändert in der ART zur Anwendung gebracht werden können. Parallel gibt es allerdings auch in der heutigen Forschung noch grundsätzliche Verständnisprobleme, was eine erhaltene Energie in einer Theorie der Gravitation bzw. Quantengravitation überhaupt ist, welchen (verallgemeinerten) physikalischen Prinzipien sie gehorchen soll und wie sie letztlich korrekt zu quantisieren ist. Dabei muss auseinandergehalten werden, welche Probleme grundsätzlich in der Konstruktion einer Quantengravitation begründet liegen und welche bereits der Problematik der Energiedefinition zuzuschreiben sind.

Eng damit zusammen hängt die Problematik der Definition der Entropie des Gravitationsfeldes. Auch hier ist ein grundsätzlich gut verstandenes Konzept aus der Thermodynamik bzw. der statistischen Mechanik auf die Quantengravitation zu übertragen. Wiederum zeigen sich ähnlich gelagerte Probleme, die offensichtlich nur Hand in Hand mit der Thematik des Energiebegriffs gelöst werden können. Beide Konzepte sind zu eng verflochten, als dass eine separate Lösung sinnvoll erscheint.

Für welche physikalischen Fragestellungen sind die hier skizzierten offenen Punkte denn überhaupt relevant? Neben den grundsätzlichen konzeptionellen Problemen der Quantengravitation, die hier nur am Rande diskutiert werden sollen, sind es gerade die Szenarien, in denen die statistische Mechanik und damit Energie und Entropie gemeinsam behandelt werden müssen; dies bedeutet natürlich an prominenter Stelle den Urknall sowie die folgende Phase der kosmischen Inflation sowie die Physik Schwarzer Löcher! Diese Szenarien stellen in vielerlei Hinsicht den Lackmustest für jede Theorie der Quantengravitation dar.

Einige Beispiele:

In einem inflationären Multiversum könnte die Gesamtenergie Null sein, d.h. die Beiträge des Gravitationsfeldes sowie der Materie heben sich gegenseitig auf, während unser Universum lediglich einer lokalen „Vakuumfluktuation“ entspricht: aber was ist denn nun überhaupt die Energie des Gravitationsfeldes und damit die Gesamtenergie des Universums bzw. Multiversums?
Aus semiklassischen Berechnungen von Hawking und Bekenstein ergibt sich die Schlussfolgerung, dass Schwarze Löcher einer bestimmten Masse M (Energie E = Mc²) sowohl eine Temperatur als auch eine Entropie besitzen: aber was ist denn nun genau die Energie des Schwarzen Lochs sowie die Entropie seine Gravitationsfeldes?
Über das holographische Prinzip (heute noch eine Vermutung mit jedoch deutlichen Indizien!) lassen sich physikalische Theorien in einem bestimmten Raumvolumen zu niederdimensionalen Theorien in Beziehung setzen, die auf der Oberfläche des zuvor betrachteten Volumens definiert sind: aber warum funktioniert das? welches generelle Konstruktionsprinzip für Energie und Entropie oder gar für eine physikalische Theorie an sich steckt dahinter?



Natürlich kommen wir in unseren Auführungen an wissenschaftlicher Exaktheit nicht vorbei, wir müssen uns zum Teil sehr komplexer Mathematik bedienen. Wir hoffen aber trotzdem auch den Nichtwissenschaftlern einen Einblick in diese Welt der physikalischen Beschreibungen aufzuzeigen, insbesondere das Verständnis der Physik zu erleichtern, was denn nun Energie und Entropie darstellen.

Um diesen Fragestellungen auf den Grund zu gehen, haben wir (Wilfried und Thomas) ein zweiteiliges Skript erstellt, das den ggw. Kenntnisstand bzgl. Energie und Entropie, fokussiert auf die o.g. Problemstellungen, präsentiert. Thomas führt dabei zunächst in den Energiebegriff sowie in die zahlreichen damit verbundenen Fragestellungen im Umfeld der Gravitation (ART und ECT) und Quantengravitation (LQG) ein. Abschließend wird ein sehr kurzer Ausblick auf die Energie und Entropie Schwarzer Löcher im Rahmen der Quantengravitation präsentiert. Wilfried entwickelt systematisch den Entropiebegriff (der sicherlich weniger gut bekannt ist als die Energie) und leitet ebenfalls über zur Thematik der Schwarzen Löcher.

Wir haben uns bemüht, den Begriffen Energie und Entropie ihren eigenen Raum zu geben. Wir erläutern diese Konzepte und stellen ihre Beziehung zueinander dar. Wir zeigen, dass bei der Beschreibung wesentlicher Phänomene - wie z.B. schwarzer Löcher - eine enge Verbindung zwischen den Begriffen Energie und Entropie existiert, wobei beide Begriffe auf eine tiefere Beziehung im Rahmen der Quantengravitation hinweisen, die sich ggw. allerdings noch im Forschungsstadium befindet.

Insbs. hier sind unsere Ausführen noch unvollständig, was sicherlich unserer unvollständigen Kenntnis der Thematik, aber letztlich auch dem Status der Theorie geschuldet ist. Ggw. stehen die beiden Teile des Skripts noch unverbunden nebeneinander. Wir haben unsere Arbeiten wechselseitig intensiv diskutiert und jeweils korrigiert, allerdings (noch) nicht zusammengeführt. Wir würden sie gerne hier zur Diskussion stellen, um euer Feedback bzgl. Inhalt, Darstellung, Stil, etc. einzuholen.

Zuletzt wünschen wir Euch viel Freude beim Durchlesen unserer Arbeiten und hoffen dann auf weiterführende und vielgestaltige Diskussionen.

Viele Grüße
Wilfried & Thomas

[tomS]

Zusammenfassung zur Energie

Energie sowie Energieerhaltung spielen in praktisch allen Bereichen der modernen Physik eine zentrale Rolle. Die Energie begegnet uns dabei in verschiedenen Formen, sowohl als kinetische sowie potentielle Energie von bewegten Körpern, als auch als Feldenergie z.B. im Elektromagnetismus; zudem sind noch Formen der inneren Energie, z.B. thermische Energie, Energie der chemischen Bindung etc. interessant. Der Energieerhaltungssatz besagt nun, dass trotz der möglichen Umwandlung zwischen diesen verschiedenen Energieformen die Summe aller Energien (eines abgeschlossenen Systems) über die Zeit konstant ist. Dieser Erhaltungssatz ist in seiner Allgemeinheit einer der wesentlichen Grundpfeiler in der modernen Physik. An prominenter Stelle zu nennen ist hier die spezielle Relativitätstheorie, in der Einstein aufgrund der Vereinheitlichung der Mechanik mit der Elektrodynamik einen völlig neuen Begriff von Raum und Zeit sowie deren grundlegenden Eigenschaften und Symmetrien entwickelte, woraus sich wiederum ein erweitertes Verständnis der Rolle der Energie ergab. Insbs. zeigte Einstein, dass ein in diesem Rahmen konsistentes Weltbild zwingend erfordert, die Masse m eines Körpers gemäß E = mc² - der wohl berühmtesten Gleichung der modernen Physik - als eine spezielle Form von Energie E zu betrachten, d.h. diese in die o.g. Energiebilanz miteinzubeziehen.

Umso erstaunlicher ist es nun, dass die Erweiterung der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie - die Einbeziehung des Begriffs des Gravitationsfeldes bzw. einer dynamischen Raumzeit - diesen Energiebegriff dahingehend modifiziert, dass die Gesamtenergie eines physikalischen Systems als Summe der Einzelbeiträge (Energie von Körpern sowie Feldern) nicht mehr grundlegender Bestandteil des Theoriegebäudes selbst ist! In der allgemeinen Relativitätstheorie werden streng genommen alle physikalischen Objekte durch Felder beschrieben, wobei diese Felder (in jedem Punkt der Raumzeit definierte Objekte) zwar Energiedichten tragen, jedoch die in einem bestimmten Volumen enthaltene Gesamtenergie i.A. nicht mehr definiert werden kann. Der Energieerhaltungssatz gilt dabei in einem lokalen Sinne streng weiter, indem nämlich eine in einem (infinitesimal kleinen) Volumen stattfinde Energieänderung immer einem Energiefluss durch die Oberfläche dieses Volumens entspricht. Allerdings ist es aufgrund mathematischer Eigenschaften der Theorie nicht mehr möglich, aus der Energiedichte (definiert für infinitesimale Volumina) die Gesamtenergie eines Systems zu definieren, das nun ein endliches Volumen einnimmt. D.h. dass die Summation (mathematisch: Integration) über die Energiedichten nicht mehr mathematisch konsistent formulierbar ist. D.h. nun nicht, dass die Energieerhaltung verletzt wäre, sondern lediglich, dass der (globale) Begriff der Energie durch den (lokalen) Begriff der (weiterhin erhaltenen) Energiedichte zu ersetzen ist. Die Erhaltung der Energiedichten wird mathematisch ausgedrückt durch eine sogenannte Kontinuitätsgleichung, die jedoch i.A. keine anschauliche Interpretation mehr gestattet.

Man kann nun Erhaltungsgrößen (wie z.B. Energie, Ladung) aus dem allgemeinen Noether-Theorem ableiten, das spezielle Symmetrien einer Theorie in Beziehung setzt zur Existenz eben dieser Erhaltungsgrößen. Das Noether-Theorem sowie seine Verallgemeinerungen im Rahmen der modernen Quantenfeldtheorie bildet ebenfalls einen Eckpfeiler der modernen Physik. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie folgt die o.g. lokale Erhaltung der Energie-Impuls-Dichte eben aus der Anwendung des Noether-Theorems auf die Symmetrien der Raumzeit. Weiterhin sind die Physiker bemüht, doch wieder eine globale Definition der Energie unter Einbeziehung des Beitrages des Gravitationsfeldes zu formulieren. Interessanterweise scheint dies tatsächlich möglich, allerdings sind die verwendeten Konstrukte nicht auf ein eindeutiges, fundamentales Konstruktionsprinzip zurückführbar. D.h. dass zwar der Begriff einer globalen Energie möglich erscheint, dass jedoch rivalisierende und nicht in allen Spezialfällen äquivalente Konstrukte Verwendung finden - und man somit nicht mehr von der erhaltenen Energie sprechen kann!

Aus diesen Betrachtungen (die Gegenstand der aktuellen Forschung sind) kristallisieren sich nun zumindest Indizien heraus, die auf ein neues, wiederum fundamentales Prinzip hinweisen, das jedoch weder in allen mathematischen Details verstanden noch durchgängig verwendbar ist. Es handelt sich dabei um das sogenannte holographische Prinzip, demzufolge die Physik und Dynamik im Inneren eines Raumbereiches mathematisch streng durch Begriffe formuliert werden kann, die ausschließlich auf der Oberfläche dieses Raumbereiches existieren. So existieren Konstruktionen der in einem bestimmten Raumvolumen enthaltenen Energie, die sich aus mathematischen Objekten auf der Oberfläche dieses Raumvolumens ableiten lassen. Damit lässt sich u.a. die Masse eines schwarzen Lochs prinzipiell durch Messungen von Größen auf einer das schwarze Loch in einem beliebigen Abstand umgebenden Kugelschale ermitteln. Das holographische Prinzip besagt nun letztlich, dass nicht nur die Energie sondern grundsätzlich die gesamte Physik innerhalb dieses Raumvolumens durch eine sogenannte duale Beschreibung ersetzt werden kann, die begrifflich ausschließlich die Oberfläche dieses Volumens voraussetzt; genauso wie in einem Hologramm das dreidimensionale Bild durch ein zweidimensionales Hologramm exakt repräsentiert werden kann. Interessanterweise sind es nun gerade diese (noch keineswegs abgesicherten) Konstrukte, die im Rahmen einer (ebenfalls noch im Forschungsstadium befindlichen) Theorie der Quantengravitation zur Anwendung kommen. D.h. dass sich die moderne Physik anschickt, ein neues, grundlegendes Prinzip der Natur zu enthüllen, das möglicherweise gleichberechtigt neben (oder sogar über) den fundamentalen Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik stehen könnte.

Naturgemäß sind diese Ableitungen häufig unanschaulich und setzen einen mächtigen und daher komplexen mathematischen Apparat voraus. Teilweise ist eine Umschreibung bzw. allgemeinverständliche Veranschaulichung schwierig bzw. impliziert zugleich - vergleichbar einer Karikatur - Verzerrungen, so dass zwar einerseits wesentliche Inhalte transportiert werden, andererseits aber Missverständnisse gefördert werden. Daher wird im Folgenden bewusst nicht auf die exakte Sprache von Formeln verzichtet, trotzdem soll nicht der Anspruch eine durchgängigen mathematische Ableitung erhoben werden. Stattdessen wird der Formalismus eher für das Setzen von Fixpunkten herangezogen, anhand derer weitere, nicht-mathematische Erläuterungen folgen.

Zum weiteren Inhalt: Ausgehend vom klassischen Energiebegriff sowie dem Formalismus der Eichtheorien wird die Problematik des Energiebegriffs in der Allgemeinen Relativitätstheorie zusammengefasst. Es werden lokale tensorielle, pseudo-tensorielle sowie nicht-lokale Definitionen der Energie erörtert. Anschließend wird die Einstein-Cartan-Theorie als Erweiterung der Einstein-Hilbert-Theorie sowie die hier auftretende Anomalie der lokalen Erhaltung der Energie-Impuls-Dichte aufgrund der nicht-verschwindenden Torsion diskutiert. Eine Diskussion des Energiebegriffs im Rahmen der Theorie des Fernparallelismus - einer mathematisch zur allgemeinen Relativitätstheorie äquivalenten (dualen), jedoch begrifflich unterschiedlichen Theorie - wird hier (zunächst) verzichtet. Abschließend wird der Formalismus der Schleifenquantengravitation vorgestellt sowie die Problematik des Energiebegriffs und verwandter Probleme im Rahmen dieser Theorie der Quantengravitation präsentiert.

Anbei den vollständigen Artikel einschließlich der obigen Zusammenfassung

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[wilfried]

Einführung zur Entropie

Ist Wärme eine Form der Energie?

Wir stellen uns einen Kasten vor, der ohne jede Beeinflussung von außen ein physikalischen Innenleben hat. Dieses Innenleben können wir sehen, messen, beschreiben. Aber wie gesagt: es gibt keinerlei Einfluß von außen. Wir nennen diesen Kasten deshalb ein abgeschlossenes System. In diesen Kasten bringen Atemluft, einen Chemiker, einen Gasbehälter, einen Bunsenbrenner, einen Gasschlauch vom Gasbehälter zu diesem Bunsenbrenner, ein Thermometer und ein Feuerzeug für den Chemiker. Der Bunsenbrenner ist aus (brennt nicht); der Chemiker misst die Umgebungstemperatur, die er als ganz angenehm empfindet. Danach zündet er sein Feuerzeug an, öffnet den Hahn des Brenners und zündet das auströmende Gas an. Der Raum um den Bunsenbrenner erwärmt sich. Diese Wärme erfüllt mehr und mehr den ganzen Raum. Bitte dran denken, welche Voraussetzung wir für dieses Experiment haben:
Ein Chemiker in einem Kasten mit Bunsenbrenner und Zubehör, jedoch hat der Kasten keinerlei energetische Verbindungen mit etwas außerhalb des Kastens!!

Es wird wärmer im Kasten, der Chemiker schwitzt, irgendwann wird es ihm zu warm, er stoppt das Experiment. Dann freut er sich auf die erhoffte Abkühlung. Aber es passiert nichts, es kühlt sich nichts ab. Warum?

Der Kasten als völlig abgeschlossenes System ist erwärmt und diese Erwärmung behält er. Der Kasten kann diese Wärme nicht abgeben, denn er hat nichts, dem er diese Wärme abgeben könnte. Anders der Bunsenbrenner. Das Gas hat einen gewissen Brennwert. Der Chemiker zündet das Gas an und nutzt diesen Brennwert, um sein System aufzuheizen. Da der Brennwert des Gases, das vor dem Experiment eingebracht wurde, exisitiert, gehört dieser Brennwert zum Experiment, er ist ein System innerhalb des gesamten Systema, also ein Untersytem. Dieses Untersystem gibt solange seine Energie an das darüberliegende System weiter, bis beide gleich warm sind; bzw. der Brennwert des gases aufgebraucht und in Temperaturerhöung des Kastens umgesetzt wurde. Dann ist das Endstadium erreicht und bleibt so, wie es ist, da es nichts gibt, was diesem System Energie entziehen oder zuführen kann.
Denn: unser Experiment ist ein ideal isoliertes oder ein abgeschlossenses System.

Was wäre, wenn unser Chemiker noch ein Kühlagreggat dabei hätte?

Fein! Die Welt des Chemikers scheint gerettet zu sein. Schauen wir mal hin:
Der Chemiker wirft, nachdem der Kasten so richtig gut warm ist, sein Kühlaggrgat an. Nun ja, es beginnt seine Arbeit zu tun. Wenn das Aggregat arbeitet, entzieht es dem äußeren System –dort, wo der Chemiker schwitzt- Wärme und holt sich diese in sein Untersystem. Das geht eine gewisse Zeit, solange bis ein maximaler Temperaturunterschied erreicht ist, dann kann das Aggregat nicht mehr arbeiten. Jedoch ist keinerlei Wärme oder Kälte aus dem Kasten -gesamt System- heraus abgegeben worden.

Damit haben wir zwei deutliche Erkenntnisse gewonnen:

1. In einem abgeschlossenen System kann es niemals kälter werden, als die momentan Temperatur des Systems.
2. Gibt es in einem abgeschlossenen System ein Untersystem -oder mehrere Untersysteme-, so können beide (alle) wechselwirken. Jedoch können beide Systeme keinerlei Energie nach außen abgeben. Aber beide (alle) Systeme können untereinander ihre Temperatur austauschen.

Wir können sagen: es gibt einen Wärmestrom zwischen einem System und einem Untersystem oder zwischen den Untersystemen. Es strömt also etwas. Rudolf Clausius (1822 – 1888) gab diesem einen Namen: ENTROPIE.

Was nun ist diese Clausius´sche Entropie?

Das Experiment unseres Chemikers hilft uns weiter:

Er erzeugt mit seinem Bunsenbrenner Wärme, diese strömt offensichtlich als eine energetische Form in den Raum und ändert die Temperatur. Temperatur ist messbar, wir geben ihr ein Formelzeichten: T.
Die Strömung ist per Nachdenken „entdeckt“, wir geben ihr ein Formelzeichen S.

Setzen wir nun die Wärme als Energieform ein, so geben wir dieser auch ein Formelzeichen – es fällt ausnahmsweise einmal etwas länger aus Jetzt können wir es hinschreiben:

Energieform Wärme W = T ∆S

Das ∆ steht für Änderung, denn die Temperatur ändert sich ja von T1 auf einen anderen Wert T2.

Aus gewissen Gründen, die mit der Geschichte dieser Entwicklung chronologisch gesehen begründbar sind, wurde der Temperatur eine eigene Dimension: das Grad zugesprochen. Die Entropie hat keine eigene Dimension, sie ist eine zusammengesetze Dimension:

Entropie = Energie pro Grad

Als Einheit der Temperatur führte man das Kelvin K ein. Auch änderte man frühzeitig den Begriff Wärme in Wärmemenge, was sich auch leicht einsehen läßt.

Das bedeutet, daß der Begriff Wärmemenge nur in Zusammenhang mit Energieänderung aufgefasst werden kann und darf. Auch das ist leicht einzusehen, wenn wir unser System mit dem Chemiker dazu zu Rate ziehen: seinem System ist ein gewisser Wärmeinhalt oder Wärmemenge zugeführt worden. Das war ja der Ausgangspunkt des Experiments, als wir den Kasten bauten und unseren Chemiker nebst Instrumentarium dort hineinsteckten.

Diese Entropie ist in vielen ihrer Facetten im folgenden Beitrag dargestellt. Der Beitrag führt von der klassischen Physik, der Thermodynamik, wo die bekannten Hauptsätze noch einmal reflektiert werden und danach über zu seiner Bedeutung in der Quantenmechanik weit in die Regionen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Damit öffnen sich auch einige der Erkenntnisse aus der String- und der Schleifenquantentheorie, die zur Vermutung Smolins führten.

Netten Gruß

Wilfried


Hier findet Ihr den vollständigen Artikel zur Entropie

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[tomS]

Eine gute Zusammenfassung zu dem Thema findet sich unter

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0011087v1
Title: Teleparallel Gravity: An Overview
V. C. de Andrade, L. C. T. Guillen, J. G. Pereira
(Submitted on 24 Nov 2000)
Abstract: The fundamentals of the teleparallel equivalent of general relativity are presented, and its main properties described. In particular, the field equations, the definition of an energy--momentum density for the gravitational field, the teleparallel version of the equivalence principle, and the dynamical role played by torsion as compared to the corresponding role played by curvature in general relativity, are discussed in some details.

... Teleparallel gravity,therefore, seems to provide a more appropriate environment to deal with the energy problem since in the ordinary context of general relativity, the energy-momentum density for the gravitational field will always be represented by a pseudotensor.

An der Stelle sei noch auf folgenden (exzellenten) Artikel verwiesen:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9602013
On the Gauge Aspects of Gravity
F. Gronwald, F.W. Hehl
(Submitted on 8 Feb 1996)
Abstract: We give a short outline, in Sec.\ 2, of the historical development of the gauge idea as applied to internal ($U(1),\, SU(2),\dots$) and external ($R^4,\,SO(1,3),\dots$) symmetries and stress the fundamental importance of the corresponding conserved currents. In Sec.\ 3, experimental results with neutron interferometers in the gravitational field of the earth, as inter- preted by means of the equivalence principle, can be predicted by means of the Dirac equation in an accelerated and rotating reference frame. Using the Dirac equation in such a non-inertial frame, we describe how in a gauge- theoretical approach (see Table 1) the Einstein-Cartan theory, residing in a Riemann-Cartan spacetime encompassing torsion and curvature, arises as the simplest gravitational theory. This is set in contrast to the Einsteinian approach yielding general relativity in a Riemannian spacetime. In Secs.\ 4 and 5 we consider the conserved energy-momentum current of matter and gauge the associated translation subgroup. The Einsteinian teleparallelism theory which emerges is shown to be equivalent, for spinless matter and for electromagnetism, to general relativity. Having successfully gauged the translations, it is straightforward to gauge the four-dimensional affine group $R^4 \semidirect GL(4,R)$ or its Poincar\'e subgroup $R^4\semidirect SO(1,3)$. We briefly report on these results in Sec.\ 6 (metric-affine geometry) and in Sec.\ 7 (metric-affine field equations (\ref{zeroth}, \ref{first}, \ref{second})). Finally, in Sec.\ 8, we collect some models, currently under discussion, which bring life into the metric-affine gauge framework developed.

An andere Stelle schreibt Hehl

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712096
Alternative Gravitational Theories in Four Dimensions
Friedrich W. Hehl (University of Cologne)
(Submitted on 26 Dec 1997)
Abstract: We argue that from the point of view of gauge theory and of an appropriate interpretation of the interferometer experiments with matter waves in a gravitational field, the Einstein-Cartan theory is the best theory of gravity available. Alternative viable theories are general relativity and a certain teleparallelism model. Objections of Ohanian and Ruffini against the Einstein-Cartan theory are discussed. Subsequently we list the papers which were read at the `Alternative 4D Session' and try to order them, at least partially, in the light of the structures discussed.

@Tensor: ich gebe dir recht, man muss diese alternative, äquivalente Theorie der Gravitation diesbezüglich betrachten. Ich bin aber eigentlich schon etwas weiter, da insbs, die Quantisierung der Theorie darauf hinweist, dass man statt des Fernparallelismus die Einstein-Cartan-Theorie quantisieren sollte - und in dieser sind diese speziellen Konzepte wiederum nicht mehr verfügbar.

[kostja]

Da hast Du uns ja ganz schön viel Material aufgetischt, Tom. Um das zu studieren bräuchte man vermutlich Monate... Ich möchte nur mal meine ersten Gedanken zum Thema hier niederschreiben, vlt. findet sie der ein oder andere interessant. Da ich von relativistischer QM so gut wie nichts verstehe und von LQG erst recht nichts, beschränke ich mich auf die ART. Die ART kennt den Begriff Energie eigentlich nicht. Stattdessen ist aber die Wirkung in der ART wohl definiert, denn das Wirkungsfunktional bestimmt gerade die Einsteinschen Feldgleichungen. Ist die Raumzeit, eine lorenzsche Metrik auf und ein Materiefeld (z.B. ein Yang-Mills-Feld), dann ist die Einstein-Hilbert Wirkung definiert durch ( ist die von induzierte Volumenform). Die Einsteinschen Feldgleichungen und die Gleichungen fürs Materiefeld (z.B. die Yang-Mills Gleichung) sind dann äquivalent dazu, dass und die Wirkung stationär machen. Der Integrand ist eine Energiedichte. Meine erste Idee die Energie in einer Raumartigen Hyperfläche auszurechnen wäre über zu integrieren. Als raumartige Hyperfläche wird auf eine riemannsche Metrik induziert, so dass man berechnen kann.

Grüße
Konstantin

PS: Könnte man Eure beiden Dokumente nur als Link verfügbar machen. Bei jedem neuladen der Seite werden die heruntergeladen und poppen in zwei separaten Fenstern auf.

[tomS]

Hallo Konstantin,

nachdem du dich auch über die Einbettung der PDFs beschwerst, werden wir diese wohl durch den Link ersetzen. Eigentlich dachten wir, es wäre ganz nett, die Dokumente direkt im Browser lesen zu können, so als ob sie Bestandteil der Forenseite wären, nur eben PDF - aber offensichtlich macht das Schwierigkeiten.

Zu deiner Idee, die Energie zu definieren:

Es gibt verschiedene Ansätze, aus der Wirkung (bzw. der Lagrangedichte mit Dimension einer Energiedichte) eine Energie abzuleiten. Diese sollte jedoch neben der korrekten Dimension verschiedene andere Kriterien erfüllen:
1) sie sollte erhalten sein (oder zumindest sollte die Energiedichte kovariant konstant sein)
2) sie sollte sich geeignet unter Lorentztransformationen verhalten (als Energie müsste sie die Nullkomponente eines Vierervektors sein)
3) sie sollte aus einem Erhaltungssatz bzw. einer zugrundeliegenden Symmetrie (globale Poincare- oder lokaler Eichinvarianz, Diffeomorphismus-Invarianz) ableitbar sein

Das trifft so auf deine Idee nicht zu - und ist m.W.n. in Summe (das heißt für alle drei Kriterien) bis heute nicht endgültig verstanden)

1) für die Lagrangedichte gilt keine lokale, für das Volumenintegral demnach auch keine globale Erhaltung
2) das Wirkungsintegral ist ein Lorentz-Skalar; ich glaube nicht, dass man aus dem Volumenintegral die korrekte Trf.-Eigenschaft erhält
3) deine Energiedefinition entspricht keiner Symmetrie

Betrachte mal den Fall eines Teilchens in einer Dimension. Die Lagrangefunktion lautet



Die Wirkung lautet



Die Energie abgeleitet als Hamiltonfunktion lautet



Die Energie abgeleitet als Erhaltungsgröße unter Zeittranslationen liefert den identischen Ausdruck

Deine Idee wäre nun, direkt so etwas wie L als Energie zu betrachten; dafür fehlt aber das grundlegende Prinzip.

[kostja]

Ohne es jetzt explizit gerechnet zu haben: Nach einer Lorenztransformation ist V auch eine Funktion der Zeit und H wird im Allgemeinen keine Erhaltsungsgröße mehr sein.

[tomS]

Das war ja auch nur ein nichtrelativistisches Beispiel. Tatsache ist aber, dass wenn V nicht explizit von t abhängt, sondern nur über die Lösung x(t) der Bewegungsgleichung, dann ist dieses H erhalten.

Du kannst H auch umformulieren, nämlich gemäß



Aus diesem H kannst du dann die Bewegungleichungen über die Poissonklammern berechnen; es gilt





Trivialerweise erhält man die Zeitabhängigkeit von H selbst aus der Gleichung



---------------------------

In der SRT / ART funktioniert der Weg über die kanonische konjugierten Größen x und p sowieso nicht mehr; wenn du das relativistische Teilchen mit



betrachtest, dann findest du explizit



Das ist aber die Zwangsbedingung



Dieses zusätzliche Problem, nämlich dass der kanonische Formalismus keine erhaltene Energie sondern eine Zwangsbedingung liefert, hast du in allen relativistisch invarianten Theorien (also auch in der ART sowie den Ansätzen zur QG). Es hat letztlich was mit der Invarianz unter Koordinatentransformationen (bzw. der Reparametrisierungsinvarianz der Bahnkurve C) zu tun.

[kostja]

Okay, ich verstehe schon. Bei meiner ersten Idee habe ich zu kurz gedacht. Aber es war ja auch nur eine erste Idee.

Du möchtest eine Erhaltungsgröße. Was aber soll das bedeuten? Das setzt ja voraus, dass Du eine Blätterung der Raumzeit in raumartige Hyperflächen vorraussetzt (kein Problem, man nimmt ja eh immer an, wir hätten eine global hyperbolische Raumzeit), die Dir eine Zeitfunktion definieren. Angenommen Du hast in diesem Koordinatensystem etwas in der Art gefunden. Warum sollte diese Größe in einer anderen Blätterung erhalten bleiben? Ich finde "Erhaltungsgröße" ist ein sehr merkwürdiger Begriff in der ART, in der es keine ausgezeichnete Zeitfunktion gibt.

Bsp: klassisches Problem: Zwei zu einem Zeitpunkt ruhende Körper, die sich aufgrund der Gravitation anziehen. Newton würde sagen, die Gesamtenergie ist erhalten. Potentielle Energie wird in kinetische umgewandelt. Einstein würde sagen die Weltlinien (zeitartige Geodätische) der Körper schneiden sich in einem Punkt. Einfach so. Es wirken keine "Kräfte" und es gibt auch kein "Potential". Trotzdem wird es aber krachen ...

Grüße
Konstantin

[tomS]

Damit hast du genau den Knackpunkt gefunden ... aber ich denke, das Papier sollte darüber Aufschluss geben

[tomS]

Ich würde das Thema gerne wieder mal in Erinnerung rufen ...