nicht-kommutative Geometrie

[tomS]

Hallo zusammen,

wer kennt eigentlich die Theorie der nicht-kommutativen Geometrie von Alan Connes?

Connes verzichtet auf eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit, sondern er führt eine abstrakte Operatoralgebra ein, aus der er aber viele physikalische Prinzipien ableiten kann. Z.B. "entsteht" ein Abstandsbegriff, d.h. er konstruiert Operator-Relationen, die ihm die Definition eines Abstandsbegriffes ermöglichen. Dieser ist also nicht mehr fundamental, sondern abgeleitet.

Interessanterweise gelingt es Connes, eine Zerlegung seiner Theorie einzuführen, in der generische Quantenfluktuationen die Symmetrieeigenschaften des Standardmodells aufweisen; er leitet also gewissermaßen das Standardmodell bzw. dessen Symmetrien ab. Diese enthalten die korrekten Symmetrien U(1) * (SU(2) * SU(3) für die Eichbosonen sowie die Fermionen-Multipletts; auch das Higgs sowie dessen Kopplung sind ableitbar.

Leider ist der Zugang sehr mathematisch; ich verstehe nur die Hälfte von dem was er tut und warum er es tut. Aber das Ergebnis ist es wert, sich den Zugang genauer anzuschauen (Connes ist Mathematiker, von daher ist es verwunderlich, dass man überhauopt etwas versteht). Evtl. habt ihr Lust, bei der Suche nach einer allgemeinverständlichen Zusammenfassung zu suchen?

http://arxiv.org/abs/hep-th/0610241v1
Gravity and the standard model with neutrino mixing
Gravity and the standard model with neutrino mixing
Authors: Ali H. Chamseddine, Alain Connes, Matilde Marcolli
(Submitted on 23 Oct 2006)
Abstract: We present an effective unified theory based on noncommutative geometry for the standard model with neutrino mixing, minimally coupled to gravity. The unification is based on the symplectic unitary group in Hilbert space and on the spectral action. It yields all the detailed structure of the standard model with several predictions at unification scale. Besides the familiar predictions for the gauge couplings as for GUT theories, it predicts the Higgs scattering parameter and the sum of the squares of Yukawa couplings. From these relations one can extract predictions at low energy, giving in particular a Higgs mass around 170 GeV and a top mass compatible with present experimental value. The geometric picture that emerges is that space-time is the product of an ordinary spin manifold (for which the theory would deliver Einstein gravity) by a finite noncommutative geometry F. The discrete space F is of KO-dimension 6 modulo 8 and of metric dimension 0, and accounts for all the intricacies of the standard model with its spontaneous symmetry breaking Higgs sector.

[wilfried]

Tag Tom

diese nicht-kommutative Geometrie hat sich auch in der Quantencomputerei eingenistet. Schau mal unter diesen beiträgen, da steht einiges darüber (aber kein Verweis auf die nk Geo).

viewtopic.php?f=5&t=298

Zunächst haben wir es hier mit Kategorien zu tun. Die Wertschöpfung dieser Geometrie ist eine neuartige Sichtweise durch Erschaffung neuer Klasseneinteilungen.

Die Aussage der nk-Geo ist eine Darstellung der Quantenräume und das in einer einzigartigen Art und Weise.
Denn sie definiert eine Quantenwolke um den klassischen Raum herum. In dieser Quantenwolke verborgen finden sich die geometrischen Informationen und jetzt kommt das Einzigartige bei dieser Theorie: auch dann, wenn der klassische Raum völlig entartet ist.

Mit Hilfe dieser neuartigen mathematik lassen auch physikalische Systeme beschreiben, so daß diese als quantisiert-optische Phasen darstellbar sind. Damit entsprechen deren Skalierungen den Phasoren oder Zeigern, die in Quantencomputern Anwendung gefunden haben. Hier schließt sich der Kreis zu unserem oben erwähnten Diskussionsbereich.

netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Also ich sehe da leider überhaupt keinen Zusammenhang. Connes definiert eine abstrakte Operatoralgebra und analysiert spektrale Eigenschaften. Ich sehe nicht, dass das irgendwas mit Quantencomputern zu tun hat.

[wilfried]

Tag Tom

dazu Literatur:

a) http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=970659881

Diese Diss ist sehr gut ausgearbeitet und folgt in ihren Punkten Deinen Gedankengängen. Sie stellt meiner Ansicht nach ein ausgezeichnetes Werk dar. Wir sollten sie in unseren Literaturordner nehmen, wenn Du der selben Ansicht bist.

b) http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumen ... kt/pdf.pdf

Diese Arebit geht einen anderen Weg, sie berichtet schwerpunkmäßig über zahlentheroretische Aspekte der nkG. Daraus ist die Verbindung zu den Quantencomputern erkenntlich und auch ausgeführt.

c) http://wwwmath.uni-muenster.de/sfb/abou ... jekte.html

Die Uni Münster stellt einige der Forschungsbereiche in Abstrkationen vor, aus denen Verkettungen der mathematischen Disziplinen erkenntlich sind. nkG ist der letzte Punkt. Gerade hier sind wichtige Stichpunkte aufgeführt. Ich habe den Eindruck, dass sich dieses Institut bereits auf einem sehr sehr hohen Kenntnsstand befindet. Eventuell kannst Du ja mal dort nach Details anfragen.

Netten Gruß

Wilfried