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Klassische Mechanik - Frage-Antwort

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 20. Nov 2009, 20:28

Jetzt hast du Eckfahne mitgedreht! Die darfst du nur einmal einzeichnen.
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 21. Nov 2009, 13:35

Die zweite Eckfahne kann ich mir ja wegdenken, oder willst du, dass ich es nochmal mache?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 21. Nov 2009, 13:50

Du solltest das wirklich nochmal machen.

In der Zeichnung kommen vor:
- die zwei Koordinatenachsen für x und y
- die zwei Koordinatenachsen für x' und y'
- eine Eckfahne
- die vier Lote von der Eckfahne auf x, x', y und y'
Gruß
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Alexander

Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 22. Nov 2009, 13:27

Bild

Aber jetzt muss es doch stimmen?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 22. Nov 2009, 16:08

Ja, genau.

Ich stelle mal folgende Zeichnung rein, da ich da alle Beschriftungen drin habe:
Eckfahne.png
Die Eckfahne hat vom Mittelpunkt den Abstand r.

Für die Koordinaten (x, y) und (x', y') gilt in beiden Bezugssystemen




Das ist der Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreick; der Rechte = 90° Winkel geht dabei von den jeweiligen Koordinatenachsen aus.

Außerdem habe ich Winkel eingezeichnet. Man kann nun die Verhältnisse x/r, y/r, x'/r und y'/r betrachten. Dabei stellt man fest, dass diese Verältnisse nur noch von diesen Winkeln alleine abhängen, d.h. nicht mehr von der Größe der Dreicke. Es gilt







Diese Bezeichnung nennt man Polarkoordinaten, d.h. die Darstellungen





können ineinander umgerechnet werden. Man bezeichnet erste als kartesische oder rechtwinlige Koordinaten, letztere als Polarkoordinaten.Wichtig dabei ist, dass es für die Position der Eckfahne egal ist, in welchen Koordinaten man sie beschreibt. Mna nimmt einfach die, die sich für das jeweilige Problem besser eignen. In unserem Fall sind das die Polarkoordinaten, denn dabei bleibt der Radius gleich, die Drehung wirkt sich nur auf den Winkel aus.

Nun kann man überlegen, um welchen Winkel die beiden Koordinatensysteme gegeneinander gedreht sind. Das ist natürlich genau die Differenz



D.h. aber, dass die neuen Koordinaten (x', y') im gedrehten Bezugssystem von den alten Koordinaten (x, y) abhängen, sowie von dem Drehwinkel zwischen den beiden Koordinatensystemen.

Hast du das soweit verstanden?

Als nächstes käme dann die Formel für die Drehung selbst, d.h. für die Umrechnung zwischen (x, y) und (x', y').
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 28. Nov 2009, 22:59

alles klar?
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 29. Nov 2009, 14:33

Nicht zu 100%, aber weitgehend klar.

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 29. Nov 2009, 19:44

und - Sinus und Cosinus?
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 30. Nov 2009, 15:47

Sinus ist der Winkel von Gegenkatete und Hypotenuse und Kosinus der Winkel von Hypotenuse und Ankatete. Das stimmt doch, oder?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Koschi » 30. Nov 2009, 19:03

Ich merke mir das ganze immer über den Satz "Gaga Hühner Haus AG" klinkt zwar blöd hilft aber :D

GAGA
HHAG

s c t c
i o a t
ns n a

Da kann man dann immer ablesen wie wer mit wem im verhältnis steht.
G -Gegenkathete | A- Ankathete | H - Hypertenuse
Sin Cos und Tan sind dann in der Reihenfolge wie sie auf jedem Taschenrechner zu finden sind.

Gruß Ksochi
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 30. Nov 2009, 20:12

Ah, stimmt, das waren ja die Verhältnisse der verschiedenen Seiten untereinander, aber OK, jetzt wurde ich ja korrigiert.

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 30. Nov 2009, 22:45

Um es zu meiner Zeichnung in Beziehung zu setzen:
der Sinus des Winkels Alpha entspricht dem Verhältnis Gegenkathede / Radius = y/r
der Cosinus des Winkels Alpha entspricht dem Verhältnis Ankathede / Radius = x/r

Man betrachte den Satz des Pythagoras r² = x² + y². Setzt man r=1 bzw.dividiert durch r, so gilt 1 = (x/r)² + (y/r)². Damit gilt auch sin² + cos² = 1. Diese Formel gilt unabhängig davon, welchen Wert man für den Winkel einsetzt.

Daraus ergibt sich dann letztlich auch die Formel für die Drehung.

Aber zunächst nochmal die Frage, ob bisher alles verstanden ist ...
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 1. Dez 2009, 18:43

Ich meine ja, aber falls du sicher gehen willst, kannst du mir ja eine Frage stellen.

Alexander

Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 3. Dez 2009, 21:38

Wir können hier weitermachen.

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 5. Dez 2009, 09:33

Wir betrachten jetzt explizit eine Drehung des Koordinatensystems und zeigen, dass Lagrangefunktion bzw. die Energie invariant ist. Fangen wir mit einem sogenannten Zentralpotential an, der Einfachheit halber wieder in zwei Dimensionen. Ein Zentralpotential hat die Form



Dabei ist



und



die Länge des Koordinatenvektors.

D.h. das Potential hängt nur vom Abstand r ab. Bei einem Satelliten hängt die auf ihn wirkende Schwerkraft nur von seinem Abstand zum Erdmittelpunkt ab,nicht von der genauen Position, die z.B. noch die Angabe von Längen- und Breitengraden erfordern würde.

Jetzt führen wir eine Drehung des Koordinatensystems durch




Kannst du jetzt den Betrag des neuen Vektors berechnen, also

Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 6. Dez 2009, 13:36

tomS hat geschrieben:

die Länge des Koordinatenvektors.
Mir ist im Moment nicht richtig klar, warum man von x² und y² die Wurzel benötigt, das wäre doch x und y? Oder muss man davon ausgehen, dass man wieder bestimmte Koordinaten hat, wie z. B. 4 und 9, dass dann gemeint ist, dass 2/3 das Zentrum ist? Aber das Zentrum von dem Zentralpotential soll doch bei 0/0 sein, oder?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 6. Dez 2009, 14:45

Betrachte nochmal neine Zeichnung; dabei gibt es die beiden Koordinaten x und y. Ersteres ist der Abschnitt entlang der x-Achse, letzteres der Anschnitt entlang der y-Achse. Der Radius des Kreises, auf dem der Punkt mit den Koordinaten (x,y) liegt, ist zu berechnen. Dazu verwendet man den Satz des Phythagoras



Nun ist aber nict das Quadrat des Radius sondern der Radius gefragt, und deswegen muss man die Wurzel ziehen.

Ein Zahlenbeispiel (kannst du mit dem Lineal ausprobieren): ein rechtwinkliges Dreieck habe Katheten der Länge x=3 und y=4, daraus berechnet man die Hypothenuse r



Anwenden der Quadratwurzel liefert

Gruß
Tom

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 8. Dez 2009, 17:47

OK, das habe ich kapiert.

Was mir aber nach wie vor nicht ganz klar ist, ist das hier:
tomS hat geschrieben:
Damit meine ich, dass ich nicht unmittelbar aus der Zeichnung ablesen kann, dass das so heißen muss. Dass Sinus und Kosinus Verhältnisse von Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind weiß ich ja mittlerweile, deswegen möchte ich fragen, ob man (wenn man ein konkretes Beispiel berechnen wollte) für die die ausgerechneten Verhältnisse als Zahlenwerte da einsetzten kann/soll/muss?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 8. Dez 2009, 18:59

Du kannst dir ja mal klarmachen, dass das so funktioniert.

Der erste Test ist, dass du für einen bestimmten Winkel, wo das ganze einfach zu überschauen ist, das ganze mit konkreten Zahlenbeispielen belegst. z.B. kannst du x=3, y=4 und r=5 sowie die Winkel 60° und 90° ausprobieren. Dafür sind die Winkelfunktionen einfach berechenbar, du kannst die Zeichnung gut anfertigen und du kannst alles explizit nachvollziehen.

Der zweite Test wäre, dass du den Satz des Pythagoras x² + y² = r² auch auf die gestrichenen Größen anwendest; du bekommst dann x'² + y'² = r², d.h. dass der Radius r' = r unverändert bleibt, dass sich aber x- und y-Koordinaten ändern.
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 10. Dez 2009, 16:23

tomS hat geschrieben:
Man will mit der Drehung des einen Koordinatensystems doch die Koordinaten erfahren, die das Ereignis E von diesem Koordinatensystem aus hat.
Warum schreibt man dann vor die zitierte Gleichung x'= und y'=? Warum nicht E=?

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 10. Dez 2009, 21:02

Also das Ereignis E Bzw. der Ort der Eckfahne E ist ja immer der selbe; sie steht eben in der Ecke des Fußballplatzes und da stimmen auch alle Beobachter in allen Bezugssystemen überein. Sie stimmen aber nicht darin überein, welche Koordinatenwerte man dieser Ecke zuordnet.

In einem System misst man die Koordinaten (x, y), in einem anderen die Koordinatenwerte (x', y'). Wir beschäftigen uns mit der Umrechnung dieser Koordinatenwerte ineinander; die Eckfahne bleibt dabei an ihrem Platz.

Um nun zu kennzeichnen, dass es sich bei den Koordinaten um die der Eckfahne handelt, könnte man in den Gleichungen auch schreiben

x[down]Eckfahne[/down] = ...
y[down]Eckfahne[/down] = ...

sowie eben die mit Sinus und Cosinus transformierten Koordinaten

x'[down]Eckfahne[/down] = ...
y'[down]Eckfahne[/down] = ...

Nun ist es aber so, dass diese Transformationsformel strukturell auch für alle anderen Objekte auf dem Fußballplatz gilt, d.h.man kann statt der Koordinatenwerte der Eckfahne auch die des Tores oder was auch immer umrechnen; wegen dieser Allgemeingültigkeit schreibt man nun eben nicht
x[down]Eckfahne[/down], x[down]Torpfosten[/down], ..., sondern einfach x; dabei kann man eben jedes beliebige Objekt betrachten, dessen x und y bestimmen und dann auf x' und y' transformieren.
Gruß
Tom

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 11. Dez 2009, 13:44

Denkst du noch an den Beweis von x² + y² = r² = r'² = x'² + y'²
Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 13. Dez 2009, 14:31

Bild

Das stimmt doch nicht, oder? Ich habe aber schon an den Beweis gedacht, dass r² auch bei den gestrichenen Koordinaten 25 sein muss (ich habe das mit, so wie es du gesagt hast, mit x=3, y=4 und r=5 gemacht). Mit dem ausgerechneten 1,4-Wert für x' und dem dazugehörigen y'-Wert wäre ich aber nie auf 25 gekommen, auch wenn ich sie quadriert hätte, hingegen mit den eingezeichneten Werten von x' und y' schon viel näher (da kam ich 23,56 ungefähr). Was mache ich denn noch falsch?
Auf den 1,4-Wert, also auf das 0,6 und 0,8 bin ich gekommen, indem ich Gegenkathete durch Hypotenuse und Gegenkathete durch Hypotenuse geteilt habe.

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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 13. Dez 2009, 14:54

Ich denke, dass du das zeichnerisch aufrund der Ungenauigkeiten nicht besser hinbekommen wirst. Mathematisch beweisen musst du das anders.

Wir gehen aus von




Außerdem gelte wie gesagt



Nun berechnen wir



Einsetzen liefert



Ausmultiplizieren ergibt mittels der binomischen Formeln



Zusammenfassen der Terme mit x und y ergibt



Nun verwendet man noch, dass für alle Winkel gilt



Und erhält somit

Gruß
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Re: Klassische Mechanik - Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 13. Dez 2009, 17:14

tomS hat geschrieben:
Meinst du damit, dass das gar nicht anderst heißen kann, diese Gleichung, muss die bei der Drehung in zwei Dimensionen immer so heißen?

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