Klassische Mechanik - Frage-Antwort

[Alexander]

Ja, mir ist nur wieder alles eingefallen, außer das, was du eigentlich hören wolltest...

OK, wir hatten bei den Galileitransformationen angefangen, dann hast du mir diese Aufgabe gegeben, was nun?

[tomS]

Na, jetzt löst du die Aufgabe - der erste Teil ist ja erledigt :-)

1) Ein Auto bewege sich mit einer Geschwindigkeit u nach rechts (also in positive x-Richtung). Zum Zeitpunkt t=0 sei seine Position x°. Wie lautet seine Position x(t) zum Zeitpunkt t?

2) Man betrachte ein weiteres Auto. Dieses bewege sich mit einer Geschwindigkeit v nach rechts. Zum Zeitpunkt t=0 sei seine Position y°. Wie lautet seine Position y(t) zum Zeitpunkt t?

3) Und wo befindet sich das erste Auto relativ zum zweiten Auto zu einem beliebigen Zeitpunkt t?

[Alexander]

Zu 1): x(t)=v*t+x[up]konstant[/up]

Das Auto hat zum Zeitpunkt Null die Position, die dem Wert der Konstanten entspricht.

Bei 2): y(t)=v*t+y[up]konstant[/up]

Es befindet sich zum Zeitpunkt Null bei der Position, die dem Wert der Konstanten entspricht.

Bei 3) muss man dann für den t-Wert bei x(t) den vorgegebenen beliebigen Zeitpunkt einsetzen und dann verrechnen: x(4)=v*4+x[up]konstant[/up]=Position zu jenem beliebigen Zeitpunkt. Dasselbe dann noch für y und dann den ausgerechneten Wert von y abzüglich den ausgerechneten Wert von x nehmen? Dann müsste man doch wissen, wo das erste Auto relativ zum Zweiten sich befindet?

Stimmt das so?

[tomS]

Also 1) und 2) sind korrekt.

Bei 3) machst du dir das Leben zu schwer. Wenn das erste Auto sich zu einem beliebigen Zeitpunkt 3 Meter rechts (x = +3m) und das zweite Auto sich 7 Meter links von dir befindet (x = -7m), dann ist die Differenz gerade der Abstand der beiden Autos, also 3m - (-7m) = 3m + 7m = 10m.

Allgemein lautet dies also

z(t) = y(t) - y(t) = (ut+x°) - (vt+y°) = (u-v)*t + (x°-y°)

Das ist aber gerade ein Beispiel für eine Galilei-Transformation. x(t) und y(t) sind die Koordinaten des Autos zum Zeitpunkt t von DIR aus gesehen, z(t) sind die Koordinaten des einen Autos vom ANDEREN Auto aus gesehen. D.h. man wechselt das Bezugssystem von dir zu einem Auto und betrachtet von dort aus das andere Auto. Die Galilei-Transformation beschreibt den Übergang zwischen zwei gleichförmig bewegten Koordinatensystemen; wir haben hier ein besonders einfaches Beispiel gewählt, in dem sich alles in einer Dimension abspielt. I.A. kann man natürlich auch ein Auto und ein irgendwie bewegtes Flugzeug betrachten, die Gleichungen werden entsprechend komplizierter, insbs. enthalten sie Vektoren.

Der wesentliche Unterschied zur Lorentz-Transformation in der SRT ist der, dass in der Formel für z(t) zum einen immer die selbe globale Zeit t drin steht (sie gilt für dich sowie für beide Autos) und dass die Differenz zweier Geschwindigkeiten gebildet werden darf. Beides ist in der SRT nicht mehr gültig.

[Alexander]

Die Galilei-Transformation beschreibt den Übergang zwischen zwei gleichförmig bewegten Koordinatensystemen

Ist eigentlich ein ruhender Beobachter auch als ein gleichförmig bewegtes Koordinatensystem anzusehen, oder nicht?

[tomS]

Ja natürlich; in meinen Beispiel stehst du am Straßenrand und betrachtest die beiden Autos. Du bist in Ruhe, und das ist natürlich zulässig. Außerdem wäre dieses Invarianzprinzip ja nichts wert, wenn ein Spezialfall ausgeschlossen werden müsste.

[Alexander]

OK, und nun? Ich hatte, als wir mit den Transformationen anfingen, einen Link von Wikipedia gepostet, da fragte ich, wo im Abschnitt Parallelverschiebung dieses vektorielle r herkommt, dann hast du gesagt, dass das noch zu kompliziert ist.

Wie willst du nun weitermachen?

[tomS]

Ganz einfach: in dem eindimensionalen Bild liegt der Bezugspunkt (Du selbst!) auf der Straße, auf der auch die Autos fahren. Sobald du ein realistisches, zweidimensionales Bild betrachtest, wobei du neben der Straße stehst (was besser für dich ist :-), findet die Bewegung der Autos zwar weiterhin in Richtung der ersten Koordinate statt, der Bezugspunkt (Du) bist aber in Richtung der zweiten Koordinate verschoben. Daher haben wir es i.A. mit gerichteten Größen,also Vektoren zu tun.

[Alexander]

Aber warum rechnen die da r(t)[down]2[/down]=r(t)[down]1[/down]-s, oben haben sie noch geschrieben B2=B1+s und das kann ich nachvollziehen, aber warum auf einmal Minus?

[Alexander]

Ich glaube, meine letzte Frage konnte ich mir selber beantworten, aber ich bin nicht ganz sicher, ob das auch richtig ist so, deswegen:

Wenn man zwei gegebene Koordinatensysteme hat, das eine bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v vom anderen weg und dann geschieht ein Ereignis. Die Dinstanz vom ruhenden Koordinatensystem bis zum Ereignis ist x und die Dinstanz von dem sich bewegenden Koordinatensystem aus ist x'. Wenn man die Länge der Strecke x wissen möchte, muss man ja x=x'+vt rechnen und diese Transformation kann man zu x'=x-vt umstellen.


Rechnen die deswegen auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Galilei-Tr ... rschiebung) da Minus, also stimmt das so? Also dass die da anstatt x und x' einfach r(t)[down]2[/down] und r(t)[down]1[/down] eingesetzt haben? Und der Verschiebungsvektor s ist das Selbe wie das vt bzw. ut, ist das richtig?

[tomS]

Grundsätzlich ist das richtig, allerdings sind die beiden Fälle schon unterschiedlich: in einem Fall sind die Koordinatensysteme um s gegeneinander verschoben, z.B. bezieht sich eine Angabe auf dich, eine zweite auf eine Straßenlaterne (d.h. die Verschiebung ist konstant); im anderen Fall handelt es sich wie bei den Autos um eine zeitabhängige Verschiebung entsprechend s = vt.

Bzgl. der Vorzeichenbetrachtung hast du recht.

[Alexander]

Ist das jetzt eigentlich alles, was es zur Galileitransformation Parallelverschiebung zu sagen gibt? Denn es gibt ja noch 2 andere.


Und, nicht dass ich da was falsch verstehe, die Angaben, die durch Galileitransformationen gemacht werden, sind doch nur Koordinatenangaben, oder?

[tomS]

was meinst du mit "zwei andere"?

und - jein - die Galilei-Trf. sagt etwas zur Koordinatentrf, aber eben nicht nur. Ich weiß, dass du gerne Zahlenwerte in die Gleichungen einsetzt, aber das ist nicht die eigentlich interessante Physik. Der Physiker findet eine Gleichung wie E² - p² = m² schön, ohne dass er irgendeine Zahl dafür einsetzt. Das Schöne ist nämlich, dass die Gleichung in der Form immer stimmt, die mit den Zahlenwerten nur für ein einziges Beispiel, d.h. ein bestimmtes Teilchen mit einer Masse in einem bestimmten Koordinatensystem.

Also die Galilei-Trf. besagt letztlich, dass eine Gleichung wie z.B. die für die Impulserhaltung p = p' in allen Bezugssystemen die selbe Form hat. Dabei ist ein Bezugssystem noch etwas allgemeiner als ein Koordinatensystem.

[Alexander]

was meinst du mit "zwei andere"?

Zwei andere Arten von Galileitransformationen, Drehung und gleichmäßig geradlinige Bewegung.

Also die Galilei-Trf. besagt letztlich, dass eine Gleichung wie z.B. die für die Impulserhaltung p = p' in allen Bezugssystemen die selbe Form hat. Dabei ist ein Bezugssystem noch etwas allgemeiner als ein Koordinatensystem.

Achso, ich dachte, damit soll berechnet werden könnnen, wie ein Ereignis/eine Bewegung von einem Koordinatensystem aus von einem anderen Koordinatensystem aus beobachtet wird, also schneller oder langsamer oder gleichförmig bewegt usw. Also ich dachte, dass man dann schreiben kann: Das Ereignis x hat im zweiten Koordinatensystem die Koordinaten (5/4/9), wenn man das so schreibt, wie wir es in der Schule machen, auch wenn wir nur in zwei Dimensionen blieben.

[tomS]

Du hast in beiden Fällen völlig recht.

Zunächst haben wir die Parallelverschiebung betrachtet; dann haben wir festgestellt, dass die gleichförmige Bewegung von der Form eine zeitabhängigen Parallelverschiebung entspricht:

y = x + s
y = x + vt

Im ersten Fall gehen die Koordinaten y aus x durch Verschiebung um s hervor, im zweiten Fall ersetzen wir einfach s durch vt und haben den Fall gleichmäßig geradliniger Bewegung.

Die Drehungen haben wir nicht betrachtet, da das in einer Dimenson nicht wirklich sinnvoll ist; sollen wir das als nächstes durchsprechen?

Natürlich erlauben es diese Formeln, ein konkretes Ergebnis in x nach y umzurechnen. Aber nochmal: was ihr in der Schule macht, ist immer nur ein Beispiel für eine Galilei-Trf. Das ist wichtig, damit ihr lernt, was diese bedeutet, also wie ihr sie konkret anwendet (Bsp.: Autos fahren auf einer Straße, gegen sind die Orte und die Geschwindigkeiten; zu berechnen sind Abstände, ...)

Die theoretische Physik sagt: OK, ich weiß, dass derartige Formeln in allen Bezugssystemen gelten, ich habe das anhand von Beispielen durchgerechnet, ich habe die Gültigkeit derartiger Beziehungen für gewisse Theorien bewiesen, ich halte mich nicht weiter damit auf, Beispiele durchzurechnen,sondern versuche zu verstehen, was ich aus diesen allgemeinen Beziehungen ableiten kann.

Beispiel: Ich betrachte ein Teilchen der Masse m mit Geschwindigkeit v. Ich betrachte das Gebilde

L = m/2 v²

Diese Gleichung ist invariant unter Verschiebungen, denn wenn ich die Koordinaten x(t) transformiere gemäß

y(t) = x(t) + s

Dann gilt weiterhin

dy(t) / dt = dx(t) / dt

D.h. die Geschwindigkeiten in beiden Systemen sind gleich (anschaulich: es ist egal, wo am Straßenrand du stehst, ein an dir vorbeifahrendes Auto erscheint dir immer gleich schnell). Interessanterweise kann man nun daraus ableiten, dass der Impuls

p = mv

erhalten ist, d.h. also

p = const.
dp / dt = 0

Zusammenfassung: Ist ein System invariant unter einer Translationen x => y(t) = x(t) + s, dann ist der Impuls p des Systems erhalten. Diese Aussage ist wesentlich allgemeiner als die Realisierung in einem konkreten Beispiel.

[Alexander]

L = m/2 v²

Was ist das für eine Gleichung, die habe ich noch nie gesehen? Meint L Länge?

dy(t) / dt = dx(t) / dt

Was heißt das d?

[tomS]

L kann keine Lämnge sein,betrachte mal die Dimensionen der Variablen.

Und das dx/dt bedeutet die Ableitung von x nach, also Steigung des Graphen x(t) aufgetragen über t. Das wirst du mit breaker schon noch diskutieren ...

[Alexander]

Die Drehungen haben wir nicht betrachtet, da das in einer Dimenson nicht wirklich sinnvoll ist; sollen wir das als nächstes durchsprechen?

Ja!

[Alexander]

Irgendwie ist der Thread hier ja ein wenig in den Hintergrund gerückt, deswegen wollte ich nochmal sagen, dass wir jetzt die Drehung besprechen können.

[tomS]

Ja, du hast recht.

Fangen wir mal mit einem zweidimensionalen Beispiel an.

In einem Fußballfeld werden die Richtungen der Koordinatenachsen z.B. durch das Feld selbst vorgegeben. Vom Mittelkreis aus gesehen gibt es die Richtung vorwärts, rückwärts, rechts, und links. Außerdem werden Richtungen durch einen Spieler bzgl. seiner aktuellen Blickrichtung angegeben; dabei bedeuten vorwärts, rückwärts, rechts, und links natürlich etwas anderes.

Kannst du mal ein Koordinatensystem zeichnen, in dem du die Koordinaten einer Eckfahne einträgst, also ihre Position relativ zum Mittelpunkt? Kannst du dann ein zweites Koordinatensystem einzeichnen, das die Position relativ zu einem Spieler anzeigt, der zwar im Mittelpunkt steht, sich aber etwas gegenüber gedreht hat, also z.B. irgendwie schräg schaut?

Kennst du die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus?

[Alexander]

Meinst du so:



Beim ersten Bild habe ich eine Ekcfahne eingezeichnet und beim zweiten habe ich sie versetzt, da sich der Spieler ja drehen soll?


Die beiden Winkelfunktionen kenne ich noch nicht.

[tomS]

Mal doch besser ein Bild mit einem Fußballplatz
Darin zeichnest du ein Koordinatensystem im Mittelpunkt des Anstoßkreises ein; Koordinatenachsen längs bzw. quesr zum Speilfeld
Dann ein zweites Koordinatensystem im selben Bild ebenfalls im Mittelpunkt des Anstoßkreises; Koordinatenachsen gedreht

[Alexander]

So?

[tomS]

Fast fertig!

Jetzt zeichnest du das Bild nochmal, und zwar so, dass das gedrehte Koordinatensystem nicht gerade um 45° gedreht ist, sondern um einen anderen Winkel, weil man sonst immer nur diesen Spezialfall vor Augen hat. In das neue Bild zeichnest du dann die Lote von der Eckfahne auf die vier Koordinatenachsen ein; dadurch kannst du die Koordinaten der Eckfahne, also (x,y) und (x', y') bzgl. der beiden Koordinatensysteme erkennen.

Dann solltest du dir mal folgende Seite auf Wikipedia anschauen: http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus ; aber bitte nur die Abschnitte bis einschließlich Definition mit Einheitskreis

[Alexander]

Jetzt richtig?

Übrigens habe ich beim vorherigen Bild nicht mit Absich einen 45° Winkel eingezeichnet, das geschah durch Zufall...