Energie, Gravitation und Masse

[tomS]

Hallo Tensor,

in einer Raumzeit, die ein schwarzes Loch enthält, kann man m.W.n. nicht behaupten, dessen Masse (bzw. Energie) wäre bei r=0 konzentriert, denn dann müsste dort eine "delta-artige" Singularität des Energie-Impuls-Tensors existieren. Dem ist aber m.W.n. nicht so. T und damit auch G sind global identisch Null, auch an der Singularität.

Die Konstruktion eines Objektes namens "Masse" oder "Energie" ist im Rahmen der ART ziemlich kompliziert und m.E. tatsächlich noch nicht endgültig geklärt. Es gibt Grenzfälle, in denen eine vernünftige Definition existiert, insbs, für stationäre Raumzeiten (ohne Gravitationswellen) die asymptotisch flach sind - dies trifft insbs. für die Schwarzschildmetrik zu.

Normalerweise benötigt man zur Definition einer erhaltenen Energie eine zeitartige Symmetrie (in der klassischen Mechanik ist die die Invarianz unter einer zeitartigen Translation der Lagrangedichte, also t => t+dt). In der ART tritt an diese Stelle die lokale, zeitartige Bewegung der Raumzeit, repräsentiert durch sogenannte zeitartige Killingvektorfelder. Im Falle der o.g. Metrik existiert ein derartiges Killingvektorfeld. (Die Methode funktioniert nicht für ein Kerr-SL, da das zeitartige Killingvektorfeld innerhalb der Ergosphäre raumartig wird!) Sind diese Bedingungen aber erfüllt, kann die Energie (und somit auch die Masse) durch ein Volumenintegral über eine Energiedichte definiert werden. Allerdings sind damit noch nicht die Beiträge des Gravitationsfeldes selbst berücksichtig!

Zurück zur asymptotischen Flachheit: Man definiert hier die Mase durch deren gravitative Wirkung gemessen in großer Entfernung, d.h.man verabschiedet sich schlichtweg von einer lokalen Definition der Energiedichte! Eine bekannte Konstruktion ist die ADM-Masse (ADM für Arnowitt, Deser and Misner), bei der man den Enerieinhalt eines Volumens der Raumzeit repräsentiert durch ein geeignetes Oberflächenintegral über die Oberfläche der dieses Volumen berandenden Kugel:



Lässt man die Kugel gegen unendlich streben so erhält man



Natürlich findet man für Kerr-SLs die bekannte Masse des SLs - sonst wäre die ganze Anstrengung ja ziemlich witzlos.

Der Witz ist, dass man hier völlig ohne die Betrachtung des Innenraumes auskammt, also dass man die Problematik der Singularitäten vermeidet. Allerdings ist diese Definiton eben nur anwendbar für asymptotscih flache Raumzeiten.

I.A. darf man sich nicht wundern, dass einem der Energie-Impuls-Tensor nicht die Gesamtmasse liefert, da dieser ja zum einen im Vakuum verschwindet und zum anderen nicht berücksichtigt, dass Energie in Form von Gravitationswellen quasi von T ins Gravitationsfeld abwandern kann. Dies wird aber natürlcih in der Einsteingleichung G=T nicht sichtbar. Man verwendet zur erweiterten Definiton einer Energie über die lokale Energie-Impuls-Dichte sogenannte Pseudo-Tensoren. Diese berücksichtigen auch die gravitative Energie. Allerdings kenne ich keine Definition auf Basis eines fundamentalen Prinzips. Der bekannteste Pseudotensor stammt von Landau und Lifschitz:



mit



Die Anwendung auf die Kerr-Metrik muss ich noch nachreichen ...

[tomS]

Evtl. berechne ich mal bei Gelegenheit den Energie-Impuls-Tensor für r=0, d.h. für die Innenraumlösung der Schwarzschildmetrik.

Fakt ist zunächst, dass für r ungleich Null zwar g(r), R(r) etc. ungleich Null sind und für r=0 divergieren, dass aber T(r) für r ungleich Null immer exakt Null ist, da ja eine Vakuumlösung vorliegt.

Zunächst könenn alle Objekte, die von der Metrik g abhängen, eine Divergenz wie 1/r, 1/r², 1/r³ usw. aufweisen. Für T gilt aber T(r) = 0. Da über die Einsteingleichung G(r) = T(r) gilt, muss mit der rechten Seite auch für die linke Seite G(r) = 0 gelten, d.h. für G(r) bzw. T(r) haben wir keine derartige Divergenz! Die einzige Funktion, die dies leisten könnte, wäre demnach eine Delta-Distribution. Diese hat die Eigenschaft, dass sie für exakt einen Punkt r=0 gleich unendlich, für alle anderen Punkte dagegen exakt gleich Null ist. Tatsächlich findet man ein derartiges Verhalten, wenn man für den Grenzfall verschwindenden Sternradius' R die "Massendichte" berechnet:



D.h. dass bei festem M und singulärem Radius R die gesamte Masse in einer Kugel von Volumen Null enthalten ist. Man kann also derartige Rechnungen duchführen, muss dabei jedoch beachten, dass man zunächst ein künstliches Gebilde mit R ungleich Null betrachten und anschließend für festes M den Grenzübergang R = 0 durchführen muss. Ich würde als anschauliche Begründung stehen lassen, dass die gesamte gravitative Masse in der Singularität steckt, allerdings würde ich nicht versuchen, diese Masse explizit aus dem Objekt T(r) heraus zu berechnen, da dieses eben nach dem Grenzübergang identisch Null ist.

Die nicht-lokale Defnition der ADM-Masse des SLs über die Gravitationswirkung "im Unendlichen" erlaubt die Bestimmung der Masse direkt aus der Metrik g im Außenraum ohne den Umweg über eine singuläre Delta-Distribution.

[tomS]

Ja, der ADM-Formalismus wird im Rahmen des hamiltonschen Formalismus der Quantengravitation (Wheeler-deWitt-Gleichung, Ashtekar-Variablen) verwendet. Er benutzt im wesentlichen dreidimensionale Schnitte bzw. eine sogenannte Foliation oder Blätterung der Raumzeit, d.h. eine Zerlegung in eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit und eine vierte, darauf "senkrecht" stehende Richtung, die Zeit. Offensichtlich fällt dabei eine nicht-lokale Energiedefinition ab.

Die wesentliche Einschränkung dürfte sein, dass die Quellen des Gravitationsfeldes in einem endlichen Volumen lokalisiert sein müssen, um den Formalismus anwenden zu dürfen. Damit kann man z.B. die Energie von Sternen, schwarzen Löchern oder Galaxien definieren, aber nicht die Gesamtenergie des Universums - wenn man annimmt, dass die Materieverteilung homogen ist, denn dann gibt es kein Volumen, das die o.g. Bedingung erfüllt.

Hast du eine Quelle, in der diese "Verrechnung" der beiden Energiebeiträge explizit vorgeführt wird?

Ich kenne immer nur diese Aussage, habe aber noch keine mathematische Herleitung (anhand eines vereinfachten Modells) gesehen.

[tomS]

Wie sind diese lokalen Energiedichten des Gravitationsfeldes in dem speziellen Fall definiert?

[tomS]

Was du sagst gilt für die Materie, nicht für das Gravitationsfeld. Dessen Energie ist nicht im Energie-Impuls-Tensor enthalten.

"Vakuumlösungen der ART können, obwohl der Energie-Impuls-Tensor global verschwindet, lokal beträchtliche Gravitationsenergien beherbergen. Ungeladene Schwarze Löcher und Brill-Wellen sind solche Vakuumlösungen."

=> Der Energie-Impuls-Tensor ist Null, d.h. die Energie des Gravitationsfeldes steckt woanders in den Gleichungen. Meine Frage war, ob du für die von dir genannten Fälle einen konkreten Hinweis oder eine Quelle kennst, wo diese Energie steckt bzw. wie man sie mathematisch herleitet.

[tomS]

Es gibt eine Konstruktion nach Landau und Lifschitz, über die ein Energie-Impuls-Pseudotensor konstruiert werden kann, der die Gesanmtenergie einschließlich der Gravitationsenergie enthält. Nur leider ist das wie üblich extrem zeitaufwändig, das z.B. für Brill-Wellen zu berechnen. Wäre schön gewesen, wenn du da was gehabt hättest ...

Eine Alternative ist die ADM-Energie, aber ich weiß nicht, ob die Brill-Wellen asymptotisch flache Lösungen sind - wahrscheinlich schon, oder?

[Skeltek]

Hi ihr, ich hab von dem oben geschriebenen jetzt formeltechnisch nicht so die Ahnung, aber wurde Energie nicht ursprünglich festgelegt als die Fähigkeit eines Systems, eine Relationsgröße in eine andere umzuwandeln? Nicht einmal Wärmeenergie existiert ohne die relative Geschwindigkeit eines Atoms in Bezug zur Position eines anderen zu setzen.

Die Energie des Gravitationsfeldes eines Objektes ist meiner Meinung nach davon abhängig wie viel Arbeit sie auf andere Massen ausüben kann. Eine punktförmige Singularität ohne ein weiteres Objekt im Universum hat keine Energie?
Um eine punktförmige Singularität zu bilden, müsste das Drehmoment eines jeden Teilchens, das an der Entstehung beteiligt ist exakt null werden, oder sehe ich das falsch? So gesehen können nicht alle Teilchen gleichzeitig sich in diesem Punkt befinden?
Wäre es nicht möglich, dass die Drehbewegung innerhalb des Schwarzschildradius nahe am Mittelpunkt zumindest rechnerisch c überschreitet? Immerhin herrscht zwischen innerem und äußerem Universum nicht viel Wechselwirkung.

[tomS]

...wurde Energie nicht ursprünglich festgelegt als die Fähigkeit eines Systems, eine Relationsgröße in eine andere umzuwandeln? Nicht einmal Wärmeenergie existiert ohne die relative Geschwindigkeit eines Atoms in Bezug zur Position eines anderen zu setzen.

Du hast recht, die ursprüngliche Intention war, Energie immer in Bezug etwas zu setzen, das Arbeit verrichtet oder verrichten kann. Im weitesten Sinne gilt das für Feldenergie auch, so kann z.B. ein elektrisches Feld eine elektrische Ladung beschleunigen und somit Feldenergie in Bewegungsenergie umwandeln. Allerdings lässt sich die Feldenergie sowie die Erhaltung derselben auch verstehen bzw.definieren, wenn kein Bezugsobjekt existiert. Der Begriff der Feldenergie macht auch dann Sinn, wenn keine Lsdungen existieren, die beschleunigt werden könnten (in der Praxis wäre ohne Ladung natürlich weder die Erzeugung eines Feldes noch die Messung der Feldenergie möglich)

Die Energie des Gravitationsfeldes eines Objektes ist meiner Meinung nach davon abhängig wie viel Arbeit sie auf andere Massen ausüben kann.

Ja, aber dieses "kann" musst du auch ernst nehmen, wenn gar keine Massen zum Beschleunigen da sind.

Eine punktförmige Singularität ohne ein weiteres Objekt im Universum hat keine Energie?

Ist das eine Frage?

Es geht nicht um die Singularität sondern um die im Gravitationsfeld gespeicherte Energie. Diese ist gemäß der o.g. Definition messbar, indem man eine sehr große Kugelschale um das erzeugende Objekt betrachtet und die Raumzeit auf dieser Kugelschale vermisst; dazu muss man sich dem erzeugenden Objekt gar nicht nähern. Insbs. kannst du aus der Ferne gar nicht unterscheiden, ob das Gravitationsfeld von einem kugelsymmetrischen Stern oder einem schwarzen Loch ausgeht. Die Stärke des Gravitationsfeldes (z.B. auf der o.g. Kugelschale) ist unabhängig davon, wie kompakt das Objekt ist, also erzeugt ein Stern, ein massegleicher Neutronenstern sowie ein massegleiches SL exakt das selbe Gravitationsfeld (Unterschiede bemerkst du erst, wenn du dich im Inneren des Objektes befindest bzw. seine Dichte betrachtest, oder aber wenn das Objekt nicht exakt kugelsymmetrisch ist).

Um eine punktförmige Singularität zu bilden, müsste das Drehmoment eines jeden Teilchens, das an der Entstehung beteiligt ist exakt null werden, oder sehe ich das falsch? So gesehen können nicht alle Teilchen gleichzeitig sich in diesem Punkt befinden?

Zugegeben, die Entstehung eines SLs mit Drehimulks exakt Null ist unwahrscheinlich; die Argumentation ändert sich jedoch nicht, auch wenn du ein SL mit Drehimpuls betrachtest.