Feldtheorie-Frage-Antwort

[tomS]

Bevor wir weitermachen, würde mich interessieren, ob du jetzt glaubst, dass du die Idee des Feldes verstanden hast; also die Idee, dass an einem Punkt der Raumzeit ein Wert (oder auch mehrere) gegeben sind und dass man dieses Feld als ein "physikalisches Objekt" betrachtet.

[Alexander]

Ich nehme schon an. Also ich habe ja die bisherige Diskusion nochmal intensiv behandelt, von daher müsste das bisherige klar sein.

[tomS]

So, dann betrachten wir als nächstes eine wesentliche Eigenschaft von Feldern, nämlich die Ausbreitung von Wellen.

In der Newtonschen Mechanik nimmt man an, dass die Kraft, die auf einen Körper im Gravitationsfeld eines anderen Körpers ausgeübt wird, proportional zu 1/r² ist, wobei r der Abstand der beiden Körper ist. Man kann dies schreiben als

F(r) = -GmM e/r²

Dabei ist die F die Kraft, m und M sind die beiden Massen, G ist die Gravitationskonstante und e ist der Vektor, der vom Körper 1 zum Körper 2 zeigt (unterstrichene Symbole stellen Vektoren dar und haben eine Länge = einen Betrag sowie eine Richtung).

r wird in diesre Formel nun zu dem Zeitpunkt bestimmt, zu dem die Kraft gemessen wird - aber das ist streng genommen falsch, denn diese Kraft breitet sich im Feld nicht unendlich schnell aus. Tatsächlich müsste man r' bzgl. des Ortes bestimmen, wo der jeweils andere Planet etwas früher war, so dass die "Ursache der Kraft" eben von diesem etwas anderen Ort ausging - und zwar genau so, dass sie den anderen Körper zum richtigen Zeitpunkt erreicht hat. All dies führt letztlich zur Allgemeinen Relativitätstheorie, auf die ich hier jedoch nicht eingehe.

Ich will lediglich darauf hinaus, dass sich Wirkungen in Feldern (GRavitation, el.-mag., ...) niue unendlioch schnell ausbreiten sondern dass es immer eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit gibt. Im Falle von Licht, el.-mag. Wellen sowie der GRavitation ist das exakt die Lichtgeschwindigkeit.

Um das zu verstehen, betrachten wir als einfachstes Feld eine Wasseroberfläche. Der Wert des Feldes h(P) ist dabei die Höhe der Wasseroberfläche gemessen bezüglich der Wasseroberfläche in Ruhe - mit anderen Worten: die Höhe einer Wasserwelle. Ohne Wellen ist h(P) = 0 für alle Punkte P. Mit Wellen ist h(P,t) eine Funktion, die vom Ort P sowie der Zeit t abhängt. Betrachten wir nun eine "punktförmige Quelle" einer Wellenausbreitung. Dazu stellen wir uns vor, dass wir eine winzige Nadel extrem schnell ins Wasser tauchen (also keine großen Stein). Von der Nadelspitze laufen kreisförmige Wasserwellen nach außen, so dass h(P,t) ungleich Null wird. Für P Kann man Koordinaten einführen, nämlich r als Abstand von der Nadelspitze sowie eine Winkel, der die Richtung angibt; h(P,t) wird aber von diesem Winkel gar nicht abhängen, da die auslaufende Welle ja kreisförmig ist. D.h. wir haben

h(P,t) = h(r,t)

Nun betrachten wir einen Punkt im Abstand r=R zum Zeitpunkt t=T, so dass die Wasserwelle dort ihr Maximum hat. Dieses Maximum wandert nun mit einer Geschwindigkeit c nach außen, d.h. zu einem späteren Zeitpunkt t=T' ist das Maximum bei r=R' angekommen. man bestimmt c dann gemäß

c = (R'-R)/(T'-T)

Wir müssen nun die Welle h(r,t) nicht exakt beschreiben, wir können jedoch zwei Aussagen treffen
1) h(r,t) ist unabhängig vom Winkel, d.h. von der Ausbreitungsrichtung, da wir kreisförmige Wellen betrachten
2) h(r,t) = h(r-ct), d.h. die Welle läuft mit der Geschwindigkeit c nach außen

Insbs. die Eigenschaft 2) ist wichtig: sie erlaubt es nämlich, dass wenn wir die Welle = die Funktion h(r-ct) zu einem Zeitpunkt T für alle r kennen, daraus die Form der Welle für jede beliebige andere Zeiten T' für alle r zu berechnen. D.h. Ein Schnappschuss der Welle = ein Photo sowie die Kenntnis von c erlaubt die Berechnung der Welle für alle Zeiten, also die Berechnung des gesamten Films der auslaufendne Welle!

Diese Eigenschaft von Wellen gilt ganz allgemein für alle Wellen, die mit einer bestimmten Art von Differentialgleichungen (sogenannten hyperbolischen Differentialgleichungen) beschrieben werden - und das sind praktisch alle bekannten Wellenphänomene (el.-mag., Gravitationswellen, Wellenfunktionen in der Quantenmechanik, Dichtewellen bzw. Schwingungen in Festkörpern, Wasserwellen, ...).

Zusammenfassend:
- in Feldern breiten sich Wellen aus
- diese Wellen werden i.A. durch Differentialgleichungen beschrieben
- daraus folgen Eigenschaften wie die (endliche) Ausbreitungsgeschwindigkeit c,
- die Kenntnis der Ausbreitung sogenannter Elementarwellen (wie die obige Wasserwelle mit der punktförmigen "Quelle",
- die o.g. Eigenschaft in mathematischer Form h = h(r-ct)

Abschließend eine Aussage zu den Differentialgleichungen, ohne dabei näher auf die Mathematik einzugehen: eine Differentialgleichung setzt den Wert einer Funktion = der Welle am Punkt P zur Zeit t in Zusammenhang mit der Änderung dieses
Wertes (d.h. an einem benachbarten Punkt P' und/oder zu einer benachbarten Zeit t'). D.h. eine Differentialgleichung verknüpft kleine Änderungen von Werten bei kleiner Änderung des Ortes oder Zeit mit den Werten selbst. Aus den bei Wellenphänomenen typisch auftauchenden Differentialgleichungen lassen sich alle o.g. Aussagen mathematisch exakt herleiten.

Wir sind ausgegangen vom Gravitationsfeld sowie einer Vereinfachung, nämlich der Annahme, dass sich die Gravitationskraft unendlich schnell ausbreitet. Angelangt sind wir Wellenphänomenne, die sich endlich schnell ausbreiten. Dies ist einer der Kerngedanken der Feldtheorie, nämlich die Betrachtung von lokalen Eigenschaften, also die Form einer Welle in einem kleinen Raumbereich für eine kurze Zeit - und daraus die Ableitung der Form der Welle für den gesamten Raum und zu allen Zeiten.

So - jetzt die Bitte um Frage :-)

[Alexander]

In der Newtonschen Mechanik nimmt man an, dass die Kraft, die auf einen Körper im Gravitationsfeld eines anderen Körpers ausgeübt wird, proportional zu 1/r² ist, wobei r der Abstand der beiden Körper ist.

Das ist doch das: Das newtonsche Gravitationsgesetzt beschreibt, dass sich zwei Körper gegenseitig mit einer Kraft anziehen, die dem Produkt ihrer Massen direkt und dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional ist.

Aber mit dem r wird nicht der Radius von der Mitte der Strecke, die die beiden Körper verbindet, gemeint, sondern die gesamte Strecke, oder?


Was ich mich auch frage ist, was die 1/r² Schreibweise bedeuten soll. Also, ich weis schon, was sie aussagt, aber nicht, wo der Einser herkommt. Was hat es damit auf sich?

Dabei ist die F die Kraft, m und M sind die beiden Massen, G ist die Gravitationskonstante...

Was genau soll eigentlich die Gravitationskonstante sein? Ich habe gelesen, dass diese Konstante die am ungenausten bestimmte ist, nur auf vier oder 5 Nachkommastellen, aber welchen Wert hat diese Konstante und was stellt sie dar? Damit meine ich nun, dass ja die Gravitation eines Körpers umso höher ist, je mehr Masse er hat, also müsste doch die Gravitationskonstante bei einem Körper mir hoher Masse größer sein als bei einem kleinen?

[breaker]

Die Gravitationskonstante ist, wenn man so will, nur ein Umrechnungsfaktor, damit die Zahlen und die Einheiten stimmen. Sie hat ungefähr den Wert 0,0000000000674 m³/(s²kg) (was nebenbei bemerkt viel genauer ist, als vier Nachkommastellen. Sie wird nur meistens als 6,74⋅10[up]-11[/up] m³/(s²kg) geschrieben und der Vorfaktor hier, also 6,74... ist wohl auf weniger als vier Nachkommastellen genau bestimmt)

Was man haben will, wenn man so ein Feld (oder sonstwas) untersucht, sind eigentlich immer zwei Sachen:
- Das grundlegende Gesetz, wie sich physikalische Größen ändern. Hier hieße das: Die Kraft ist proportional zur Masse und proportional zu eins geteilt durch das Quadrat des Abstandes. In Zeichen: F ~ m, F ~ M, F ~ 1/r².
Das ist so wie bei dem, was ich schon übers E-Feld geschrieben habe. Doppelte Masse = doppelte Kraft, halber Abstand = vierfache Kraft.
Man sieht hier, dass die Formel F = mM/r² diese Eigenschaften erfüllen würde (ich lasse die Vektoren aus Faulheit weg, da das Wesentliche auch so rüberkommt). Allerdings würde natürlich auch F = 5mM/r² die Bedingungen erfüllen, was uns zum zweiten Punkt bringt.
- Das zweite, was man will sind natürlich Zahlen, mit denen man was anfangen kann. Wäre ja blöd, wenn einen jemand fragt "Welche Kraft übt die Erde auf den Mond aus?" und man kann nur antworten: "Keine Ahnung, aber wenn er halb so weit weg wäre, wäre sie doppelt so groß." Was tut man? Man macht Experimente, um die Kraft zu messen. Wenn man von etwas die Masse kennt und weiß, welchen Abstand es von der Erde hat, dann kann man einmal mit einer Waage messen, welche Kraft die Gravitation darauf ausübt. Andererseits kann man die Zahl mM/r² ausrechnen und diese mit der Kraft vergleichen.
Und bei diesen Experimenten findet man eben, dass sich diese beiden Zahlen immer um den Faktor 0,0000000000674... unterscheiden und diese Zahl hat man Gravitationskonstante genannt.

Der Vollständigkeit halber: Beim E-Feld, dessen Kraftgesetz ich letztes Mal schlampig als F = q[down]1[/down]q[down]2[/down]/r² angeschrieben habe, gibt es auch so einen Korrekturfaktor, er hat den Wert 1/(4πε[down]0[/down]).

[wilfried]

Tag zusammen

Ihr habt den Feldbegriff ins Spiel gebracht.

Meine Definition eines Feldes lautet:

Unter einem Feld verstehen wir ein Gebiet, das eine Aussage über den Vektorfluß macht

Der Energietransport wird durch die Wirkungen des Feldes gewährleistet.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Was ist denn ein "Vektorfluss" und wozu benötigst du ihn?

[wilfried]

Tag Tom

Vektorfluß bezeichnet ein Vektorbüschel pro Flächeneinheit.
Beispiele:



Die Divergenz gibt die Quellenergiebigkeit (Überschuss) eines Einheitsvolumens an (Differenz zwischen einströmendem und ausströmendem Vektorfluss durch die Umrandung des Volumens).

Definition:

Erläuterung

Vektorfluss versteht sich als Flächenintegral eines Vektorfeldes V über eine Fläche A, die von V durchsetzt wird.

Ich hoffe damit Klarheit geschaffen zu haben. Warum hattest Du ein Problem damit?

Ich vermute wegen des "Vektor". Wahrscheinlich wäre Dir der Begriff Fluss lieber gewesen. Ich bin mir aber sicher, daß der Begriff Vektorfluß ein anerkannter Begriff ist und meine oben genannte Definition richtig ist...sonst tät ich ja in meiner Vorlesung auch falsche Dinge erzählen!!!

Gruß

Wilfried

[Maclane]

In der Newtonschen Mechanik nimmt man an, dass die Kraft, die auf einen Körper im Gravitationsfeld eines anderen Körpers ausgeübt wird, proportional zu 1/r² ist, wobei r der Abstand der beiden Körper ist.

Das ist doch das: Das newtonsche Gravitationsgesetzt beschreibt, dass sich zwei Körper gegenseitig mit einer Kraft anziehen, die dem Produkt ihrer Massen direkt und dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional ist.

Aber mit dem r wird nicht der Radius von der Mitte der Strecke, die die beiden Körper verbindet, gemeint, sondern die gesamte Strecke, oder?

Genau, r ist die gesamte Strecke, also der Abstand zweier Körper, wie Tom es schrieb.
So ist das eben in der Physik. Manchmal wird das gleiche Zeichen oder der gleiche Buchstabe in unterschiedlichem Zusammenhang verwendet.
Mal ist der Buchstabe e die Eulersche Zahl, manchmal die elektrische Ladung oder noch was ganz anderes.
Eigentllich müsste man vor jeder Formel die Buchstaben und Zeichen erst defnieren. Aber weil die Formelschreiber im Allgemeinen davon ausgehen, dass alle Formelleser Insider sind, lassen sie das weg.

Mit dem r kannst du dir das so erklären:
Der erste Körper sitzt auf dem Mittelpunkt eines Kreises. Der zweite Körper auf dem Kreis selber. Also anschaulich z.B. die Sonne in der Mitte und die Erde auf der Kreisbahn um die Sonne herum. Dann ist r als Radius des Kreises und r als Abstand der beiden Körper identisch.

Was ich mich auch frage ist, was die 1/r² Schreibweise bedeuten soll. Also, ich weis schon, was sie aussagt, aber nicht, wo der Einser herkommt. Was hat es damit auf sich?

Das nennt man den Kehrwert.
Das sollte in der achten Klasse wohl auch im Unterricht drankommen, glaub ich.

Der Kehrwert einer natürlichen Zahl a ist 1 geteilt durch a (1/a).
Also Kehrwert von 2 ist 1/2 (ein halb).
Kehrwert von 5 ist 1/5 (ein Fünftel).
usw.
aber auch andersrum:
Kehrwert von 1/2 ist 2
Kehrwert von 3/4 ist 4/3

Es gilt außerdem: Etwas durch eine Zahl zu teilen, ist das Gleiche, wie dieses Etwas mit dem Kehrwert zu multiplizieren:
a/b = a * 1/b

Es werden also nur die Regeln der Bruchrechung angewandt.

Ach, ich seh grad, Wikipedia erklärt das mal wieder besser als ich:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kehrwert

Toms Aussage proportional zu 1/r² ist gleichbedeutend mit der Aussage umgekehrt proportional zu r².
"Proportional" heißt hier "immer im gleichen Verhältnis zueinander".
Wenn a proportional zu b ist (a~b), dann bedeutet das: wenn b größer wird, dann wird auch a im gleichen Verhältnis (mit dem gleichen Faktor) größer.
Wenn a umgekehrt proportional zu b ist (a~1/b), dann bedeutet das: wenn b größer wird, dann wird a um den gleichen Faktor kleiner.

In Tom's Formel ist also die Kraft F umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes -> F~1/r²
Tom hätte seine Formel also auch so schreiben können:
F(r) = GmM e * 1/r²
Ist beides das Gleiche, nur seine erste Formel ist einfacher und hübscher.


Gruß
Mac

[tomS]

@Wilfried: ich hätte einfach nur den Begriff "Fluss eines Vektorfeldes" verwendet; klar - es ist deer Fluss eines Vektorfeldes, aber der Fluss selbst ist ja eben kein Vektor mehr.

@Alexander: bereit, weiterzumachen? oder hast du noch Fragen zu meinem letzten Beitrag (so soll es ja eigentlich sein).

[Alexander]

Zuerst muss ich aber noch wissen, ob ich das jetzt so richtig verstanden habe, man hat mir ja an anderer Stelle schon mal gesagt, dass ich bei der Mathe vorsichtig mit Selbstbildung sein sollte, da es sonst schnell mal passiert, dass ich mir etwas falsches einpräge:

Die Sprache der Physik ist ja eigentlich die Mathematik. Man benutzt diese Schreibweise 1/r² deswegen, damit man weiß, dass es nicht proportional, sondern umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes ist.

Ist das so richtig?

Und F(r) liest man doch so: Die Kraft F in Abhängigkeit des Abstandes ist....?


Was mich auch noch ein wenig verwirrt ist das:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitatio ... ionsgesetz

Hier steht nämlich vor der Gravitationskonstante ein Minuszeichen. Hier im Forum hast du mir mal gesagt, dass gravitative Energie stets als negativ aufzufassen sei, ist das deswegen so?

[tomS]

Super, das passt alles:

- das 1/r² hast du richtig verstanden
- das F(r) ebenfalls
- und meinen Fehler mit dem Minuszeichen hast du auch gefunden (hab's korrigiert)

Das Minuszeichne kann man sich auf zwei Weisen verdeutlichen

zunächst zum Potential U(r)

U(r) = -GmM/r

Hier steht die potentielle Energie eines Körpers der Masse m in einem Gravitationspotential verursacht durch die Masse M. Wenn man sich die Funktion 1/r aufzeichnet, dann sieht man, dass sie eine Art "Gravitationstrichter" beschreibt. Je näher der Körper der Masse m an das Zentrum kommt, desto tiefer sitzt er im Trichter. Aus U(r) kann man übrigens die Kraft ableiten, allerdings tritt da wieder das umgekehrte Dreieck (der Nabla-Operator) auf, deswegen verzichte ich auf die Formel.

Dann zur Kraft F(r)

F(r) = -GmM e/r²

Sie zeigt einfach an jeder Stelle, an der sich der Körper befindet, direkt zum Zentrum bei r=0; der Vektor = die Richtung zum Zetrum ist durch das kleine e angegeben. Dieser Vektor hat die Länge 1; die Stärke der Kraft steckt in den anderen Vektoren. Man hat sich nun generell darauf geeinigt, dass dieses e vom Zentrum weg zeigt, in unserem Fall also gerade in die falsche Richtung; daher benötigt man das zusätzliche Minuszeichen.

Bei der Anwendung des Nablaoperators auf 1/r entsteht übrigens genau der Term e/r². Generell gilt: Der Nablaoperator "erzeugt" bei Anwendung auf ein Potential U(r) einen Kraftvektor F(r), der genau in die Richtung zeigt, in die das Potential am steilsten abfällt.

...

Sind die Themen zur Ausbreitung der Wellen klar?

[Alexander]

Mir ist gerade so ein Gedanke gekommen, von dem ich nicht weiß, ob der richtig ist oder falsch, und ich ihn besser wieder vergessen sollte: mit r bezeichnet man ja auch den Radius, meint man mit r hier also nur die Hälfte der Strecke, die zwischen den beiden Körpern liegt? Darauf bin ich gekommen, weil es in Wikipedia im Artikel Gravitationskonstante gleich in der ersten Zeile heißt: ...die bei bekanntem Mittelpunktsabstand zweier kugelsymmetrischer Körper deren gegenseitige Massenanziehungskraft bestimmt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Wenn man die Strecke durch 2 dividieren würde, dann wüsste man ja den Mittelpunkt. Meint man damit wirklich den Radius?

zunächst zum Potential U(r)

Ist das formale Zeichen für das Potential ein U? Ich dachte, es wäre ein V. Oder was ist es?

Dann zur Kraft F(r)

F(r) = -GmM e/r²

Sie zeigt einfach an jeder Stelle, an der sich der Körper befindet, direkt zum Zentrum bei r=0; der Vektor = die Richtung zum Zetrum ist durch das kleine e angegeben. Dieser Vektor hat die Länge 1; die Stärke der Kraft steckt in den anderen Vektoren. Man hat sich nun generell darauf geeinigt, dass dieses e vom Zentrum weg zeigt, in unserem Fall also gerade in die falsche Richtung; daher benötigt man das zusätzliche Minuszeichen.

Also das Minuszeichen vor dem G steht da nur, weil in dieser Formel das e steht und man sich darauf geenigt hat, dass er vom Zentrum wegzeigt. Das ist für mich nicht nachvollziehbar, denn, wie du sagtest, egal an welcher Stelle sich der Körper befindet, die Kraft zeigt immer zum Zentrum?


Dieses e ist ja der Verktor mit Länge 1. Wieso multiplizierst du ihn in der Formel mit dem -GmM, wenn sein Wert nur 1 ist? Das verändert doch das Ergebnis nicht?



Und die Ausbreitung von Wellen: Sollte da etwas noch nicht klar sein, von dem ich momentan meine, dass es klar ist, wird sich das im weiteren Verlauf der Disussion zeigen, ich weiß ja nicht, wie du weitermachen willst.

Jedoch eine Frage habe ich zum obigen Beitrag: was genau meinst du mit der Funktion h(r,t) = h(r-ct)? Soll in diesem Fall zwischen dem c und dem t auch ein Multiplikationszeichen stehen?

[tomS]

OK, zu deinen Fragen:

Man betrachte zwei Körper, z.B. die Erde mit Masse M und einen Satelliten mit Masse m, wobei sich der Satellit auf einer Umlaufbahn im Abstand r um die Erde befinden (man nimmt näherungsweise an, dass die Bahn kreisförmig mit der Erde im Mittelpunkt ist); dann befindet sich der Satellit also irgendwo auf einer Kugeloberfläche mit Radius r um den Mittelpunkt der Erde (die Lage der Kreisbahn sei zunächst beliebig). Also betrachtet man eine Kugel mit Radius r, die genau dem Abstand des Satelliten von Erdmittelpunkt entspricht. Einen Faktor 1/2 braucht man da nirgendwo.

Das Potential wird teilweise mit U und teilweise mit V bezeichnet; das macht keinen Unterschied.

Stell dir nochmal die Erde vor und einen Vektor = "Zeiger" mit Länge Eins, der vom Erdmittelpunkt zu einem Satelliten wegzeigt. Stell dir nun den Satelliten vor, irgendwo auf der Umlaufbahn; die Kraft, die die Erde auf ihn ausübt, zeigt zum Erdmittelpunkt; stell dir dazu wieder einen Vektor = "Zeiger" mit Länge Eins vor, der diesmal vom Satelliten zum Erdmittelpunkt zeigt. Die beiden Vektoren zeigen offensichtlich in genau entgegengesetzte Richtungen; daher das Minuszeichen.

Man benötigt den Vektor, um die Richtung der Kraft anzugeben. Die Länge wird auf Eins festgesetzt, denn diese entspricht der Stärke der Kraft und wird durch den Faktor GmM/r² angegeben; der Vektor e zeigt jetzt noch die Richtung an nämlich hin zum Erdmittelpunkt (an diesem gilt r=0, der Abstand des Erdmittelpunkt vom Erdmittelpunkt ist ja Null).

Bei ct ist tatsächlich c*t gemeint.

[Alexander]

Also gut, wie willst du weitermachen, oder willst du zuerst noch eine Gegenfage stellen?

[tomS]

Spielen wir mal ein paar Fragen durch:
1) wie schnell breiten sich Störungen bzw. Wellen in el.-mag.und in Gravitationsfeldern aus?
2) was bedeutet der Begriff "Lichtkegel"
3) was bedeutet "Wechselwirkung" von Feldern

[Alexander]

1) wie schnell breiten sich Störungen bzw. Wellen in el.-mag.und in Gravitationsfeldern aus?

Du hast gesagt, bei elektromagnetischen und gravitativen Wellen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit exakt die Lichtgeschwindigkeit.

2) was bedeutet der Begriff "Lichtkegel"

Haben wir das schon besprochen? Ist dieser Begriff im weiteren Verlauf der Diskusion wichtig?

3) was bedeutet "Wechselwirkung" von Feldern

Dass sich die Raumzeit, in der sie sich befinden, expandiert.

[tomS]

zu 1) OK

zu 2) das ist sehr wichtig! lies doch nochmal nach, was ich zur Ausbreitung mit c geschrieben habe; und such mal ein bisschen bei Google :-) dann kommst du drauf

zu 3) nein, die Wechselwirkung kann wesentlich allgemeiner aussehen; Wechselwirkung bedeutet, dass sich Felder nicht durchdringen können, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen; das Beispiel "Raumzeit" ist zwar richtig, aber eben nicht allgemeingültig.

[tomS]

Ich versuche, zum Punkt 3) nochmal einige Ideen zu liefern.

Ich habe oben die Wellenausbreitung mittels Differentialgleichungen und die Ausbreitung kleiner Störungen angesprochen. Betrachten wir eine Feld A, das einer Differentialgleichung D genügt. Außerdem gebe es für das Feld noch eine Quelle (eine Ladung, einen Strom o.ä.), nennen wir die Quelle j.

Schreiben wir das formal als

DA = j

Das bedeutet, dass sich aus der Feldkonfiguration A (z.B. ein el.-mag. Feld oder das Gravitationsfeld) der Quelle j ermitteln lässt.Umgekehrt kann man ggf. auch umgekehrt die Gleichung nach A auflösen; formal schreibt man dann

A = D[up]-1[/up] j

Dabei sind A und j Felder, d.h. eigentlich A=A(x,t) und j=j(x,t), d.h. ihre Werte hänmgen vom Ort in der Raumzeit ab. D und 1/D sind formale Objekte, die du hier nicht im einzelnen verstehen musst; es handelt sich jedenfalls nicht um veinfache Zahlen, sondern um sogenannte Operatoren (die Dreiecke sind einfache Beispiele :-).

Hat man nun so eine Gleichung, so hat sie die allgemeine Eigenschaft der Linearität, d.h. ihre Lösungen genügen dem Superpositionsprinzip

Hat man zwei Lösungen A[down]1[/down] und A[down]2[/down] zu zwei Strömen j[down]1[/down] und j[down]2[/down], so ist auch die Summe eine Lösung:

A = A[down]1[/down] + A[down]2[/down]
D ( A[down]1[/down] + A[down]2[/down] ) = DA[down]1[/down] + DA[down]2[/down] = j[down]1[/down] + j[down]2[/down]

Anschaulich macht man sich das z.B. klar, wenn sich zwei Lichtstrahlen z.B. von zwei Taschenlampen gegenseitig druchdringen; nach dem Kreuzungspunkt erscheinen sie so, wie wenn die gegenseitige Durchdringung nie stattgefunden hätte - sie wechselwirken also nicht.

Es gibt aber Fälle, in denen die obige Gleichung so nicht mehr gültig ist, weil z.B. der Operator D selbst vom Feld A abhängt, also

D = D[A]
D[A]A = j

Man kennt solche Fälle aus komplizierteren Wechselwirkungen, z.B. der QCD und der ART (wobei hier diese Schreibweise unüblich ist).

Außerdem gibt es auch die Fälle, in denen das Feld A auf den Strom j zurükwirkt, z.B. wenn ein el-mag.Feld auf Ladungen wirkt.

In all diesen Fällen gilt das Superpositionsprinzip nicht mehr, die Felder beeinflussen sich gegenseitig und durchdringen sich nicht mehr wechselwirkungsfrei.

[tomS]

kurze Frage: ist das ansatzweise klar? oder völlig verwirrend?

[Alexander]

Ich habe oben die Wellenausbreitung mittels Differentialgleichungen und die Ausbreitung kleiner Störungen angesprochen. Betrachten wir eine Feld A, das einer Differentialgleichung D genügt. Außerdem gebe es für das Feld noch eine Quelle (eine Ladung, einen Strom o.ä.), nennen wir die Quelle j.

Schreiben wir das formal als

DA = j

Was ergibt das für einen Sinn, wenn man ein Feld mit einer Differentialgleichung multipliziert?

Das bedeutet, dass sich aus der Feldkonfiguration A (z.B. ein el.-mag. Feld oder das Gravitationsfeld) der Quelle j ermitteln lässt.Umgekehrt kann man ggf. auch umgekehrt die Gleichung nach A auflösen; formal schreibt man dann

A = D[up]-1[/up] j

Wo kommt das [up]-1[/up] her?




Also momentan habe ich das so verstanden: Die Wechselwirkung von Feldern bedeutet, dass die beteiligten Felder sich gegenseitig nicht durchdringen können. Die elektromagnetischen Wellen des Elektromagnetischen Feldes können z. B. nicht das Gravitationsfeld durchdringen, sondern prallen an diesen ab.

Ist diese erste Näherung gut oder falsch?

[breaker]

Was ergibt das für einen Sinn, wenn man ein Feld mit einer Differentialgleichung multipliziert?

D ist nicht die Differentialgleichung, sondern nur ein Operator.
Die Differentialgleichung ist DA = j.
(nebenbei: DA bedeutet hier nicht D·A, sondern "D wird angewandt auf A". Um das im einzelnen zu verstehen, ist es aber auch noch zu früh.)

Wo kommt das [up]-1[/up] her?

D[up]-1[/up] ist nur eine Schreibweise für den Operator, der genau das Gegenteil von D tut.
Also, wenn man bei der Gleichung DA = j auf beiden Seiten D[up]-1[/up] anwendet, dann bekommt man:
D[up]-1[/up]DA = D[up]-1[/up]j
D[up]-1[/up]D hebt sich gegenseitig auf und es bleibt A = D[up]-1[/up]j übrig.

[tomS]

@breaker: Danke für die Klarstellung; ganz generell möchte ich hier noch nicht Mathematik betreiben, sondern lediglich symbolisch eine Notation einführen, die uns später weiterhelfen wird.

@Alexander: Doch, die Felder durchdringen sich gegenseitig. Bleiben wir bei den Lichtstrahlen: sie durchdringen sich und prallen nicht voneinander ab; sie beeinflussen sich aber gegenseitig nicht, d.h. es findet keine Wechselwirkung statt! Der Lichtstrahl in der Raumzeit wird durch diese nur extrem schwach beeinflusst. Diesen Effekt der Wechselwirkung zwischen elektromagnetischem Feld und Gravitationsfeld sieht man in der Nähe der Sonne während einer Sonnenfinsternis.

[Alexander]

Mit deinem letzten Punkt meinst du, dass wenn eine große Masse den Raum krümmt, der Lichtstrahl erst noch die Mulde, die in der Raumzeit entsteht, durchlaufen muss und so nicht zu einer erwarteten Zeit an einem vorausberechneten Ort ist, da er ja durch die Wanderung in die Mulde mehr Zeit benötigt?

[tomS]

Ja, genau das meine ich.

Trotzdem solltest du auch prüfen, ob du den einfacheren Fall der Wechselwirkunsgfreiheit verstanden hast