Mathematik der Stringtheorie?

[Keplerfan]

Hallo,

mich würde ein Überblick interessieren, was man "mathematisch" (und auch physikalisch) verinnerlicht haben sollte, um Artikel zur Stringtheorie einigermaßen verstehen zu können. Da habe ich stichwortartig schon die wildesten Dinge gelesen, wie Knote, Zöpfe, Lie-Algebren, Funktoren usw., ohne ansatzweise zu verstehen, was das sein soll. Außerdem wurde hier im Forum erwähnt, dass die SST und die Quantenschleifengravitation sich mathematisch so ähnlich sind wie eine Armbanduhr und ein Pinguin (oder so ähnlich) . Vielleicht könnte da jemand einen kleinen Leitfaden erstellen?

Bei theoretischer Physik hört es bei mir momentan bei normaler Quantenmechanik im Rahmen der Kursvorlesungen auf, relativistische QM ist schon nicht mehr ganz mein Ding. Kann ich trotzdem was verstehen? Was müsste ich ggf. lernen?

Grüße,
Keplerfan

[gradient]

Willkommen, Keplerfan!
Ich bin im vierten Semester und höre eine zweistündige Vorlesung über Stringtheorie, wobei die VL auf dem Buch "A first course in string theory" von Barton Zwiebach beruht. Das Buch fängt sehr einfach an, wiederholt die Spezielle Relativitätstheorie, die klassische Elektrodynamik (aber nur soweit man dies benötigt). Ab dann braucht man für die nächsten Kapitel im Wesentlichen nur noch zusätzlich Grundlagen der theoretischen Mechanik. Es wird die Nambu-Goto-Wirkung S (Wirkung für einen relativistischen String) hergeleitet. Daraus beschafft man sich die Bewegungsgleichungen und diskutiert Lösungen. Weil S reparametrisierungsinvariant ist (entspricht quasi den Eichungen in der E-Dynamik) und man durch geschickte Parametrisierungen die Bewegungsgleichungen vereinfachen kann, sollte man mit Flächen- und Kurvenintegralen vertraut sein (damit beweist man zum einen die Invarianz, zum anderen baut man sich durch Kurvenintegrale erhaltene Ströme und Impulse).

Inzwischen sind wir aber an einem Punkt angelangt, an dem man was von Feldquantisierung verstehen sollte, denn langfristig wollen wir den quantisierten bosonischen String analysisern. Ich hoffe, dass ich das noch irgendwie hinbekomme (haben auch noch nicht mit rel. QM angefangen). Allerdings gibt es hierzu auch noch Kapitel im Zwiebach.

Ich glaube, dass dieses Buch ein guter Einstieg ist.

MfG
Patrick

[Keplerfan]

Das klingt ja einigermaßen überschaubar; werde mir das Buch von Zwiebach mal anschauen. Scheint relativ genau das zu sein, was ich suche.
Kann man relativ einfache Artikel aus der Stringtheorie lesen, nachdem man das Buch durchgearbeitet hat, werden also die wichtigsten Grundprinzipien abgedeckt? Das wäre, unabhängig davon, ob das Buch für einen Einstieg taugt, für mich besonders interessant.

[tomS]

Herzlich willkommen, Keplerfan!

Leider sind moderne und wichtige Artikel zur Stringtheorie nur mit relativ viel Spezialwissen verstehbar - und zudem ist die Theorie recht weit verzweigt, so dass man kaum einen kleinsten gemeinsamen Nenner bzw. einen Königsweg angeben kann.

@gradient: hast du Lust und Zeit, hier mal sukkzessive eine kleine Einführung zu schreiben?

[Keplerfan]

Im Moment würde es mir schon reichen, überhaupt auch nur eine grob handgezeichnete Karte zu haben, wohin der Weg führen könnte.
Beispiel: Ich wollte mir schon länger mal ein Skript oder Buch über Lie-Algebren bzw. -Gruppen durchlesen (was ja glaube ich im Prinzip physikalisch gesehen "nur" eine Verallgemeinerung des Operator-Kommutator-Formalismus ist, mit dem man z.B. den quantenmechanischen harmonischen Oszillator behandeln kann) . Wäre das jetzt in Bezug auf die Stringtheorie besonders wertvoll, oder eher ein nettes "Goodie"? Wie gut muss man sich mit Gruppentheorie auskennen?
Muss man in der ART die schwierigsten Dinge im Schlaf rechnen können? usw.
Ich habe jetzt aber gesehen, dass es auch im arxiv ein paar Einführungen in die Stringtheorie gibt. Werde in diese und das Buch von Zwiebach erstmal reinlesen.

[gradient]

Hallo zusammen,

@Keplerfan: Ich weiß nicht, ob die Grundlagen des Buches ausreichen, um einfachere Artikel zur ST zu verstehen, da ich es selbst nicht versucht habe und noch weit davon entfernt bin. Wo ich mir aber sicher bin, ist, dass dieses Buch einen guten Anschluss zu den anspruchsvollen Büchern zur ST bietet.
Soweit ich es überblicke, ist es hilfreich, etwas mit dem Formalismus der ART vertraut zu sein (Metriktensor, Tensoren allgemein), aber für das Buch nicht wirklich notwendig. Kommutatoren, Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren usw. kommen in einer abgeänderten Form wieder.

@Tom: Da ich sowieso meine Mitschrift strukturiere und einTeXe, ist das eigentlich kein Problem. Ich müsste den bisher geschriebenen Text (bisher ~16 Seiten) auslagern, da er in einer anderen Datei (mit Grundlagen zu Tensoren, Differentialgeometrie, E-Dynamik mit Differentialformen,...) ist. Weil ich den Definition-Satz-Beweis-Stil unübertrefflich finde, habe ich meine Mitschrift übrigens auch entsprechend strukturiert. Zur Feldquantisierung und Quantisierung des Strings gibt es leider noch nichts, zum Einen, weil ich da noch nicht so ganz durchsteige und zum Anderen, weil die nächsten zwei Wochen keine Vorlesung sein wird (Prof. ist auf Konferenzen). Wäre aber sinnvoll, wenn vor dem Reinstellen das jemand (du? ) lesen könnte, da es manchmal schon eine ordentliche Indexschlacht gab und evtl. Faktoren h und c abhanden gekommen sein könnten...

MfG
Patrick

[breaker]

Die Idee mit der Einführung hier find ich gut, würde mich auch interessieren!
Fänds auch nicht schlimm, wenn noch ein paar Fehler drin sind; wenn das mal online ist, werden die bestimmt schnell gefunden.

[tomS]

@gradient: ich halte das Skript als erste Einführung für sehr gut geeignet, da es erstens klar strukturiert und zweitens sehr elementar gehalten ist; schick es doch auch an gravi, damit er es bei den Userfiles einstellen kann; du solltest irgendeine Art der Versionierung einführen, da du ja daran weiterarbeitest, z.B. Dateinamen mit Datum; ich werde das Skript außerdem selbst durcharbeiten, aber ich denke nicht, dass ich mehr als Kleinigkeiten finden werde

[gravi]

Hier ist das Script von gradient zu finden:

userfiles/IntroStrings.pdf

Ich find's prima, dass sich die Leute hier solche Mühe machen!

Den Link setze ich auch in die Liste "Artikel von Mitgliedern", ist dann dauerhaft dort zu finden.

Netten Gruß
gravi

[gradient]

Hallo gravi,

vielen Dank!

Ich hoffe, das Skript ist hilfreich. Vor allem gegen Ende kommen viele verschiedene Notationen ins Spiel, daher fand ich es sinnvoll, alles in Def., Satz, Notation,... zu packen, damit man die Formeln leichter findet. Für Kritik, Anmerkungen, Korrekturen, etc. bin ich stets dankbar! Wann es mit Kapitel 2 losgeht, kann ich nicht sagen. Ich weiß auch nicht, wie viel wir in den letzten Vorlesungsstunden machen werden (unklar ist auch, ob ich Stringtheorie II hören werde).

MfG
Patrick

[Keplerfan]

Danke für das Skript!

Leider hört es gerade an der spannensten Stelle auf ...
Allerdings muss ich die Rechnungen sowieso noch ein wenig verdauen. Ich bin also gespannt, was noch so passiert. Je nachdem, wieviel Zeit ich habe, würde ich das Skript vielleicht auch nach dem Buch von Zwiebach noch ein wenig ergänzen (momentan nur eine hypothetische Möglichkeit). Wäre dir das, hypothetisch gesprochen, recht?

[tomS]

Außerdem wurde hier im Forum erwähnt, dass die SST und die Quantenschleifengravitation sich mathematisch so ähnlich sind wie eine Armbanduhr und ein Pinguin.

Armbanduhr und Pinguin sind sich ähnlicher ...

Vielleicht könnte da jemand einen kleinen Leitfaden erstellen?

Für die LQG - ja, für die Stringtheorie - nein; vielleicht ist es einfacher, zu sagen, welche Bereiche der Mathematik nicht benötigt werden ...

Wenn also auch die LQG von Interesse ist, dann gib kurz Bescheid, ich aktualisiere dann eine entsprechenden älteren Thread

[Keplerfan]

Hallo TomS,

LQG ist natürlich auch von Interesse. Wäre toll, wenn du den alten Beitrag aktualisieren könntest.

MfG,
Keplerfan

[gradient]

Hallo Keplerfan,

zur Frage, was noch so kommt: Unser Dozent hat uns in Aussicht gestellt, den Nachweis zu führen, warum in der bosonischen Stringtheorie 26 Raumzeitdimensionen erforderlich sind. Das liegt im Wesentlichen daran, dass die in Def. 1.30 konstruierten Lorentz-Generatoren ("Ladungen") kommutieren sollen, genauer (Lichtkegelkoordinaten!):

Zur Fortführung: Ich habe das Skript bisher zum Selbstzweck geschrieben, und plane, das so beizubehalten. Fortsetzungen würde ich hier online stellen (lassen). Wenn du magst, kannst du auch weiterschreiben. Allerdings wäre es dann schwer möglich, sich abzuwechseln, da ich die weiteren Themen u.U. anders aufbereite als du es tun würdest.

Zur LQG: In Würzburg gibt es wohl eine Vorlesung dazu: http://physik.uni-wuerzburg.de/~hinrich ... index.html

MfG
Patrick

[Keplerfan]

Hey, coole Sache! In Würzburg gehts in der Beziehung anscheinend ganz schön ab ...

[Keplerfan]

Hallo Keplerfan,

zur Frage, was noch so kommt: Unser Dozent hat uns in Aussicht gestellt, den Nachweis zu führen, warum in der bosonischen Stringtheorie 26 Raumzeitdimensionen erforderlich sind. Das liegt im Wesentlichen daran, dass die in Def. 1.30 konstruierten Lorentz-Generatoren ("Ladungen") kommutieren sollen, genauer (Lichtkegelkoordinaten!):

Ah . D.h. man kann beweisen, dass diese Generatoren nur in >= 26 Dimensionen kommutieren ... ? Interessant. Allerdings schon ein ganz schöner Sprung weg von der altbekannten Raumzeit und der Anschauung.

[tomS]

In 26 Dimensionen verschwindet die konforme Anomalie; andernfalls wäre die Theorie inkonsistent.

[Keplerfan]

Klingt nach dem üblichen Gespräch auf der Brücke der Enterprise.

Meine übliche Frage: Kannst du das näher erläutern? (Die Antwort "Nein" ist durchaus akzeptabel.)

[tomS]

ich dachte, das macht gradient :-)