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Gravitation und Renormierung - Teil II

Jenseits des etablierten Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. Quantengravitation, Supersymmetrie und Supergravitation, Stringtheorien...
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tomS
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Gravitation und Renormierung - Teil II

Beitrag von tomS » 9. Mai 2011, 21:54

Ich hatte mir schon länger vorgenommen, das Programm der „Asymptotic Safety“ zur Quantisierung und Renormierung der Gravitation vorzustellen. Dazu beziehe ich mich teilweise auf die im Gegensatz zur Quantengravitation sehr gut verstandenen QCD.

Um einigen Missverständnissen vorzubeugen hier zunächst ein paar einleitenden Aussagen dazu:
„Asymptotic Safety“ ist keine spezifische Theorie (wie z.B. LQG, CDT oder Strings), sondern eher eine Methode, die prinzipiell auf verschiedene Theorien angewandt werden kann.

„Renormierung“ ist wesentlich weiter zu fassen als „Eliminierung von Unendlichkeiten“.
Asymptotic Safety ist eine Verallgemeinerung der aus der QCD bekannten Asymptotic Freedom (Asymptotischen Freiheit), derzufolge die eigtl. starke Kopplung g(E) zwischen Quarks und Gluonen gegen Null geht, wenn die Energie E im Wechselwirkungspunkt gegen Unendlich geht (d.h. in der Praxis sehr groß gegenüber der typischen Bindungsenergie bzw. der typischen Hadronmassenskala von z.B. für Proton ca. 1 GeV ist). Die Asymptotic Safety geht davon aus, dass in diesem Limes zwar keine verschwindende Kopplung g=0 zumindest eine „sichere“ Theorie ohne Divergenzen vorliegt.

Die Renormierung betrachtet grob gesagt ein und dieselbe Theorie auf unterschiedlichen Energieskalen und stellt Beziehungen zwischen diesen Bezugspunkten her. Im Wesentlichen wird ermittelt, wie sich die Stärke einer Wechselwirkung ändert, wenn man die betrachtete Energieskala ändert (experimentell oder theoretisch). Im Falle der QCD ist es nun so, dass es einen „sicheren“ Limes gibt, nämlich den unendlicher Energie E, bei dem die Wechselwirkung verschwindet und man eine Theorie freier Quarks mit Kopplungskonstante g(E)=0 erhält. Die Existenz dieses Punktes ist mathematisch sehr gut untermauert, und sie erlaubt es, diesen Punkt als Startpunkt (für die Störungsentwicklung) zu betrachten und sich davon sozusagen wegzubewegen. Wegbewegen bedeutet, endliche Energie sowie eine nicht-verschwindende jedoch kleine Kopplungskonstante g’(E) zu betrachten. Diese Näherung bricht im Bereich von 1 GeV, spätestens jedoch bei ca. 200 MeV zusammen, da hier die sogenannte Betafunktion der QCD eine Singularität entwickelt. Die Betafunktion bestimmt grob gesagt, wie sich g(E) mit E ändert.

Im Falle der QCD ist es nun so, dass man genau eine Kopplungskonstante betrachten muss, obwohl man prinzipiell unendlich viele Kopplungen einführen könnte. Die Kopplung g skaliert einen Term g * qAq, der die Kopplung eines Eichbosons an zwei Quarks beschreibt; man könnte aber auch andere Terme (qAq)², (qq)², (qAAq), … betrachten: I.A. entspricht eine wechselwirkende Theorie also einem allgemeinen mathematischen Ausdruck „im Raum der möglichen Kopplungen“, wobei zunächst tatsächlich alle Kopplungen in Betracht gezogen werden müssen und spezielle Fälle (wie der Fall der QCD, in dem nur eine Kopplungskonstante relevant ist) sich dynamisch ergeben. Im Falle der QCD zeigt sich, dass zum Einen andere Kopplungskonstanten die (störungstheoretische) Renormierbarkeit zerstören würden, also zu Null gesetzt werden müssen, dass aber zum Anderen die Renormierung auch keine anderen Kopplungskonstanten erzeugt, d.h. dass diese im Zuge der Renormierung exakt Null bleiben. Der Fall, dass alle andere Kopplungskonstanten außer g verschwindenden, ist also konsistent.

Eine wechselwirkende Theorie wie die QCD ist in diesem Bild nicht gegeben durch ein Punkt im Raum der Kopplungskonstanten, im Falle der QCD [g, …], sondern als eine Trajektorie [g(E), …], wobei alle Punkte auf einer Trajektorie dieselbe Theorie beschreiben, allerdings bei unterschiedlichen Energien. Im Falle der QCD ist es gelungen, eine fundamentale Formulierung zu finden, die insbs. alle anderen Kopplungskonstanten konsistent zu Null setzt.

Nun gilt es nochmals den Spezialfall (Grenzfall) unendlicher Energie zu betrachten. Hier findet man die sogenannte asymptotische Freiheit, d.h. die oben erwähnte Betafunktion führt dazu, dass die Kopplungskonstante g(E) in diesem Grenzfall verschwindet, also g(E)=0, d.h. [g(E), 0, 0, …] → [0, .0, …]. Man bezeichnet diesen Punkt der Theorie als sogenannten Gaußschen Fixpunkt. Seine Existenz garantiert, dass die Störungstheorie mit g=0 eine sinnvolle Näherung ist, da dieser Punkt g=0 auf der „physikalisch richtigen“ Trajektorie liegt, d.h. vom gaußschen Fixpunkt aus als speziellem Punkt im Raum aller Kopplungen lässt sich die korrekte Niederenergietheorie bei kleinerem E durch Anwendung der Störungstheorie erreichen.

Versucht man nun, dasselbe Bild auf die Theorie der Quantengravitation anzuwenden, so stößt man zunächst auf einige Schwierigkeiten. Zunächst wählt man als Kopplungskonstante die Newtonsche Gravitationskonstante G und betrachtet ihre Betafunktion. Dabei zeigt sich zunächst dass der Ansatz G=0 insofern inkonsistent ist, als man in einer um G=0 startenden Störungsrechnung keine konsistente Trajektorie [G(E), …] finden kann, da die störungstheoretische Renormierung bzw. die Eliminierung von Divergenzen nur gelingt, wenn man sukzessive immer weitere (eigtl. unendlich viele) Kopplungen mit betrachtet. Das oben skizzierte Bild mit einer einfachen Trajektorie im Raum der Kopplungskonstanten sowie einem sinnvollen Punkt bei G=0 bricht zusammen. Anstelle eine eindimensionale Trajektorie betrachten zu dürfen, muss man den gesamten Raum der (unendlich vielen) Kopplungskonstanten untersuchen. Damit hat man aber eine Theorie ohne Vorhersagekraft, da man unendlich viele Messungen benötigt, um diese unendlich vielen) Kopplungskonstanten festzulegen.

Zunächst interpretiert man dies als Versagen der Quantisierung der Gravitation generell, d.h. als eindeutigen Hinweis, dass man eine neue Theorie mit anderen Freiheitsgraden benötigt. Dies ist z.B. die Aussage der Stringtheorie (die in gewisser Weise die unendlich vielen Kopplungskonstanten durch unendlich viele Felder ersetzt, von denen viele im Niederenergiebereich wieder als Kopplungskonstanten in Erscheinung treten).

Der Zusammenbruch der störungstheoretischen Renormierbarkeit wird also teilweise als Indiz gewertet, dass man nicht die richtigen Freiheitsgrade betrachtet. Z.B. kann man effektive Niederenergietheorien für Pionen und Nukleonen konstruieren, die bei genügend kleinen Energien die Physik extrem gut beschreiben, die jedoch versagen, wenn höhere Nukleonenzustände bzw. allgemein immer schwerere Teilchen hinzugenommen werden müssen. Tatsächlich sind die Pionen und Nukleonen hier die „falschen“ Freiheitsgrade und man muss eben zur QCD mit den Quarks und Gluonen als fundamentalen Freiheitsgraden übergehen.

Im engeren Sinne darf dies jedoch nicht als Versagen der Quantisierung i.A. oder als Versagen der Renormierung versanden werden, sondern eben lediglich als Versagen der störungstheoretischen Renormierung. Letzteres bedeutet, dass der Punkt G=0 bzw. [0, 0, …] die physikalisch falsche Theorie beschreibt und ggf. durch einen anderen Fixpunkt ersetzt werden muss. Weinberg et al. haben bereits vor längere Zeit die These aufgestellt, dass die Quantengravitation (genauer: die nicht-störungstheoretische Quantisierung der Einstein-Hilbert-Wirkung einschließlich der kosmologischen Konstanten) auf eine asymptotisch sichere Theorie führt. Diese wäre dadurch ausgezeichnet, dass es weiterhin eine Renormierungsgruppentrajektorie [G(E), …] gibt, wobei im Grenzfall E gegen Unendlich weder einzelne Kopplungen divergieren, noch unendlich viele Kopplungen benötigt werden, sondern vielmehr endlich viele Kopplungen ausreichen, die Theorie zu beschreiben, und wobei außerdem alle diese Kopplungen endliche Werte annehmen (während die unendlich vielen weiteren Kopplungen weiterhin Null gesetzt werden dürfen).

Zusammenfassung: Die Aussage des Programms der „Asymptotic Safety“ der Quantengravitation lautet demnach, dass die Theorie durch einen nicht-Gaußschen Fixpunkt für unendliche Energie definiert ist, wobei in diesem Punkt die Kopplungen G, Λ, … zwar nicht verschwinden, jedoch sämtlich endlich bleiben, und wobei von diesem Fixpunkt aus die Niederenergiephysik mittels einer Trajektorie [G(E), Λ(E), …, 0, …] sinnvoll erreichbar ist. Dabei tragen nur endlich viele Kopplungskonstanten bei, alle weiteren dürfen weiterhin zu Null gesetzt werden. Die Eliminierung von Unendlichkeiten bzw. die Skalierung der Energie E „erzeugt“ dabei auch keine von Null verschiedenen Werte. Generell bedeutet dies auch, dass die Quantengravitation auf Basis der Metrik doch die physikalisch richtigen Freiheitsgrade betrachtet, dass also die ART nicht nur einen Niederenergie-Näherung ist, die bei höheren Energien durch eine andere Theorie ersetzt werden muss; statt dessen ist eine Vervollständigung der Theorie mittels endlich vieler Wechselwirkungsterme ausreichend.

Ausblick: Wenn das Thema von Interesse ist, kann ich einige konkrete Ergebnisse bzgl. der Skalierung der Newtonschen Gravitationskonstanten G(E) sowie der kosmologischen Konstanten Λ(E) diskutieren. Außerdem kann ich vorstellen, welche Kopplungskonstanten denn überhaut beitragen. Es gibt einige neue Ergebnisse, wie die Theorie zu modifizieren ist, wenn nicht die Einstein-Hilbert-Wirkung sondern die Einstein-Cartan-Wirkung in der Ashtekar-Formulierung zugrundegelegt wird. Zudem gibt es einige interessante Ergebnisse bzgl. der Dimension unserer Raumzeit, die sich sowohl aus der Asymptotic Safety sowie aus anderen Theorien (CDT, LQG) ergeben. Last but not least kann man Einwände diskutieren, die generell gegen die Erfolgsaussichten dieses Forschungsprogramms sprechen – das zugegebenermaßen noch relativ am Anfang steht.
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Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
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Re: Gravitation und Renormierung - Teil II

Beitrag von tomS » 22. Mai 2011, 15:15

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