25 Jahre Schleifenquantengravitation: Status, offene Fragen!

[tomS]

Nach langer Zeit wollte ich wieder mal eine Zusammenfassung bzgl. des aktuellen Status’ der Schleifenquantengravitation (LQG für engl. Loop Quantum Gravity) schreiben. Ich gehe dabei anhand eines Papers von Rovelli vor:

http://arxiv.org/abs/1102.3660
Zakopane lectures on loop gravity
Authors: Carlo Rovelli
(Submitted on 17 Feb 2011 (v1), last revised 27 Feb 2011 (this version, v3))
Abstract: This is a first version of the introductory lectures on loop quantum gravity that I will give at the quantum gravity school in Zakopane. The theory is presented in self-contained form, without emphasis on its derivation from classical general relativity. Dynamics is given in the covariant form. Some applications are described, including the recent derivation of de Sitter cosmology from full quantum gravity.

wobei der zweite Artikel

Loop quantum gravity: the first twenty five years
Authors: Carlo Rovelli
(Submitted on 21 Dec 2010 (v1), last revised 25 Jan 2011 (this version, v4))
Abstract: This is a review paper invited by the journal "Classical ad Quantum Gravity" for a "Cluster Issue" on approaches to quantum gravity. I give a synthetic presentation of loop gravity. I spell-out the aims of the theory and compare the results obtained with the initial hopes that motivated the early interest in this research direction. I give my own perspective on the status of the program and attempt of a critical evaluation of its successes and limits.
Während in der Vergangenheit großer Wert auf die Quantisierung der Gravitation (ART oder verallgemeinerte Theorien) gelegt wurde, präsentiert Rovelli hier direkt die formale Definition der Theorie, ihren aktuellen Status bzgl. physikalischer Implikationen, offener Punkte und zukünftigen Forschungsschwerpunkten.

ebenfalls sehr lesenswert ist.

Ich halte mich im Folgenden grob an Rovellis ersten Artikel, verzichte aber einerseits auf die mathematischen Details, während ich andererseits einige zusätzliche Aspekte diskutieren, die bei Rovelli lediglich im Literaturverzeichnis zu finden sind. Zunächst gebe ich eine sehr kompakten Überblick über die Idee und Entwicklung der LQG und diskutiere einige zentrale Problemstellungen. Anschließend fasse ich kurz einige bereits seit längerem bekannte Aspekte der LQG zusammen, die in Rovellis Papier diskutiert werden und präsentiere einen (nicht-mathematischen) Überblick zu einigen Aspekten der (mathematischen!) Umformulierung der LQG in den letzten Jahren. Im Anschluss diskutiere ich einige Details, die ggf. übersprungen werden können, bevor ich zu einem längerem Abschnitt komme, in dem ich wesentliche physikalische Erkenntnisse und Fortschritte diskutiere. Zuletzt gehe ich nochmals auf einige zentrale Problemstellungen ein, diesmal jedoch weniger bzgl. der formalen Definition als vielmehr hinsichtlich der physikalischen Weiterentwicklung der Theorie.

Übersicht zur Entwicklung der LQG

Zur Erinnerung: Die LQG wird aus der ART abgeleitet, indem letztere zunächst mittels der sogenannten Ashtekar-Variablen in eine von Eichtheorien bekannte Struktur überführt wird; die Ashtekar-Variablen entsprechen den Eichfeldern = Vektorpotentialen sowie den verallgemeinerten Feldstärken. Dieser Formalismus erlaubt die Konstruktion von Schleifenintegralen (Integrale über Felder entlang geschlossener Schleifen sowie über die von Schleifen begrenzten Flächen), was der Theorie ihren Namen gibt. Mittels dieser Integrale werden den Feldern diskrete Werte aus der su(2) Algebra zugeordnet, die formal quantenmechanischen Spins entsprechen. Die Schleifen liegen zunächst in der Raumzeit, die Diffeomorphismeninvarianz der ART erlaubt es jedoch, einer überabzählbar unendlichen Klasse benachbarter bzw. ineinander deformierbarer Schleifen einzelne Repräsentanten zuzuordnen, d.h. die überabzählbar vielen möglichen Schleifen durch eine diskrete (aber immer noch unendliche) Menge von Graphen ersetzt. Die dabei verbleibenden Graphen tragen noch die o.g. quantenmechanischen Spins, was letztlich den Begriff Spin-Netzwerk erklärt. Bei der Elimination der Schleifen zugunsten der Graphen verschwindet die Einbettung der Schleifen in die Raumzeit, es verschwindet sogar die Raumzeit selbst, lediglich das abstrakte Spinnetzwerk bleibt übrig.

Zentrale Problemstellungen

Diese sogenannte Quantisierung ist nun aus mehreren Gründen nicht unproblematisch:

(1) Zunächst ist die Einbettung der Schleifen in die Raumzeit offensichtlich unphysikalisch, dennoch wird sie als Zwischenschritt genutzt, wobei unklar ist, ob gewisse Strukturen der Theorien noch eine „Erinnerung“ an diese Einbettung tragen, d.h. ob sie so gewonnene Theorie wirklich unabhängig von der Einbettung ist.

(2) Im Zuge der o.g. Konstruktion werden drei sogenannte Constraints G, D, und H implementiert, wobei dies auf recht unnatürliche und unterschiedliche Weise geschieht. G repräsentiert das sogenannte Gauß-Gesetz und sorgt für lokale Lorentz-Invarianz (als Eichinvarianz), welche letztlich mittels der o.g. geschlossenen Schleifen erfüllt ist. D steht für die räumliche Diffeomorphismeninvarianz, die mittels der o.g. Graphen implementier wird, wobei eben die Frage nach der Unabhängigkeit von der Einbettung bleibt. H steht für den Hamiltonoperator, der die zeitliche Entwicklung eines Spinnetzwerkes definiert und ist sozusagen ein Überbleibsel der nicht-räumlichen Diffeomorphismen.

(3) Es ist dabei unklar, ob bestimmte algebraische Relationen zwischen den Constraints G, D und H im Zuge der Quantisierung erhalten bleiben, d.h. ob die Algebra der Constraints anomalienfrei ist. Dies gilt sicher auf dem physikalischen Unterraum, der durch die Lösung der Constraints definiert wird, jedoch nicht auf dem vollen Raum aller möglichen Zustände. Diese Einschränkung ist bis heute nicht endgültig verstanden, obwohl viele LQG-Experten der Meinung sind, dass diese Problematik keine Rolle spielt.

(4) Die Konstruktion von H ist bis heute nicht endgültig verstanden, die konkrete Form von H ist nicht eindeutig bekannt. Aus H folgen jedoch die wesentlichen physikalischen Aussagen der Theorie. Der Bezug zwischen H und den im Folgenden zu diskutierenden Spinnetzwerken und Spin-Foams ist heute ein aktueller Forschungsgegenstand

(5) Im Zuge der Quantisierung stellt sich heraus, dass ein neuer, in der klassischen Theorie irrelevanter Parameter in die Theorie eingeführt werden muss, dessen genaue Natur und dessen Wert heute ebenfalls noch unverstanden sind. Dieser sogenannte Immirzi-Parameter hängt letztlich mit einer Mehrdeutigkeit der o.g. Ashtekar-Variablen zusammen und hat eine formale Ähnlichkeit mit dem Theta-Parameter der QCD. Der Parameter skaliert verschiedene physikalische Größen, so dass die Bestimmung seines Wertes von extremer Wichtigkeit ist.

(6) Eng mit der Frage der Einbettung hängt zusammen, dass auch andere Diskretisierungen der Raumzeit möglich sind, insbs. mittels sog. Simplizes, d.h. verallgemeinerter Tetraeder (mit einer zusätzlichen) zeitlichen Richtung. Die Graphen sind dann dual zu den Simplizes, d.h. ein Vertex eines Graphen entspricht einem Punkt im Inneren des Simplex, eine Kante des Graphen (zwischen zwei Vertizes) entspricht einer Hyperfläche des Simplex (zwischen zwei Simplizes). Eine derartige Triangulierung der Raumzeit (Regge-Triangulierung, siehe auch Causal Dynamical Triangulation) ist jedoch nicht in allen Fällen äquivalent zu einem Graphen, was man an der einfachen Tatsache erkennt, dass man zwar zu jeder beliebigen Triangulierung (Einteilung in Zellen) einen dualen Graphen, nicht jedoch zu einem beliebigen Graphen immer auch eine Triangulierung finden kann (man überzeugt sich leicht davon, dass bereits einfache Graphen keine entsprechenden Triangulierungen besitzen). Es bleibt also die Frage, ob die allgemeineren Graphen oder nur die zu Triangulierungen dualen Graphen physikalisch relevant sind, und wie dies von der Theorie festgelegt wird.

(7) Was bleibt eigtl. noch von der Struktur der vierdimensionalen Raumzeit in der Sprache der LQG übrig? Nun, die Symmetriegruppe der Raumzeit, hier als lokale Eichinvarianz, ist die SO(3,1) ~ SU(2) * SU(2). Diese SU(2) – warum nur eine davon ist ein technisches Detail – tritt in Form der SU(2) Spins der LQG wieder in Erscheinung. Damit lässt sich die Frage „warum ist unsere Raumzeit vierdimensional?“ übersetzen in die Fragestellung „warum wird für die Konstruktion der Spinnetzwerke gerade die SU(2) verwendet?“. Tatsächlich befasst man sich heute damit, ob und in welcher Form diese Konstruktion verallgemeinert werden kann, und zwar einerseits hinsichtlich sogenannter Quantengruppen, z.B. SU(2)q, sowie anderseits hinsichtlich beliebiger Liegruppen, auch in höheren Dimensionen. An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass das so konstruierte Spinnetzwerk (noch) keinen klassischen Dimensionsbegriff erlaubt und dass der Zusammenhang zwischen dem diskreten SU(2) Spinnetzwerk einerseits und der daraus hervorgehenden klassischen glatten Raumzeit-Mannigfatigkeit (mit ihrem Dimensionsbegriff) noch nicht abschließend verstanden ist.

Zur Quantisierung im Allgemeinen

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass al diese Probleme darauf hinauslaufen, den Prozess der Quantisierung einer klassischen Theorie zu verstehen. Es ist klar, dass dies letztlich nicht eindeutig funktionieren kann, da die klassische Theorie immer nur dem Grenzfall ħ → 0 entspricht, in dem natürlich die reichhaltige Struktur der zugrundeliegenden Quantentheorie „verwaschen“ wird. Die Rekonstruktion der vollständigen Quantentheorie aus der klassischen Theorie kann also nie formal eindeutig sein. Insbs. ist es durchaus möglich, dass unterschiedliche Quantentheorien denselben klassischen Grenzfall haben.

Dennoch war die jahrzehntelange Untersuchung der Konstruktion der LQG aus der ART nicht vergebens; ich halte es da mit Wittgenstein: „Er muß sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist“.

Zusammenfassung einiger bekannter Ergebnisse

Jetzt zurück zu Rovellis Artikel: Rovelli stellt zunächst fest, dass die bisher untersuchten und noch nicht endgültig verstandenen sowie im Detail voneinander abweichenden Konstruktionen dennoch allesamt auf eine gemeinsame Struktur hinweisen, nämlich auf den Hilbertraum der o.g. SU(2) Spinnetzwerke sowie bestimmter SU(2) Operatoren, die auf diesen Spinnetzwerken operieren.

Rovelli definiert diese Theorie formal und untersucht die sich daraus ergebenden Konsequenzen. Die Gesamtheit der Graphen sowie ihrer SU(2) Labels definiert den verallgemeinerten Zustandsraum der Theorie. Die Kanten der Graphen tragen dabei Informationen bzgl. der Relationen der verbunden Knoten, übersetzt in das Simplex-Bild die Fläche der beiden aneinandergrenzenden Simplizes; jeder Knoten trägt die Information bzgl. des durch ihn repräsentierten Volumens des Simplex. Rovelli verzichtet jedoch auf die Einschränkungen, dass immer eine zu den Graphen duale Triangulierung existiert, sowie dass sich immer genau vier Kanten in einem Knoten treffen, was u.a. allgemeinere Zerlegungen (als in Tetraeder mit genau vier Flächen) zulässt.

Für den Fall eines vierwertigen Knotens mit vier Spins J[down]n[/down] (n=1, 2, 3, 4) an den vier Kanten gilt für das Volumen V

V² = 2/9 |J[down]1[/down] • (J[down]2[/down] × J[down]3[/down])|

Dabei ist aufgrund der lokalen Eichinvarianz an jedem Knoten

∑[down]n[/down] J[down]n[/down] = 0

und damit das Volumen V unabhängig davon, über welche drei der vier Spins die Berechnung erfolgt. Für höherwertige Knoten ist noch keine insgs. zufriedenstellende Definition des Volumenoperators bekannt!

Letztlich ist es möglich, eine Darstellung der Spinnetzwerke zu finden, die jedem Knoten sowie jeder Kante gerade das jeweilige Volumen sowie den jeweiligen Spin (= die Fläche) zuordnet. In dieser Darstellung ist die Theorie dann definiert durch „an den Knoten wechselwirkende Spins“ J mit entsprechenden Eigenwerten. Die Eigenwerte für die Fläche werden häufig in der Literatur als Zeichen einer diskretisierten Raumzeit genannt. Das Spektrum der Flächeneigenwerte einer Kante mit Spins J lautet dabei

a² = j(j+1)

entsprechend den Spineigenwerten j = 1/2, 1, 3/2, …

Wichtig: Auch wenn für Volumen und Fläche exakte Eigenwerte auftreten, ist es nicht korrekt, sich geometrisch eine diskretisierte Raumzeit bestehend aus aneinanderstoßenden Zellen vorzustellen. Dieses Bild ist nur im übertragenen Sinn zu verstehen, genauso wie ein quantenmechanischer Spin eben kein klassisch rotierenden Kreisel ist.

Die Diskretisierung der Raumzeit folgt dabei nicht aus den oben eingeführten diskreten Graphen als Repräsentanten der Schleifen sondern aus der Diskretheit der Eigenwerte. Diese Diskretisierung verletzt insbs. nicht die kontinuierlichen Symmetrien wie Rotations- und generell Lorentz-Invarianz (jeweils an einem Punkt), genauso wenig wie die diskreten Eigenwerte des Drehimpulsoperators die Rotationsinvarianz in der Quantenmechanik verletzen.

Genauer müsste man statt der dimensionslosen Größe a eine physikalische Fläche A einführen, wobei genau hier die Planckskala (über die Plancksche Konstante ħ und die Gravitationskonstante G) sowie der o.g. unbestimmte Immirzi-Parameter γ auftreten:

A² = 8π γ ħG j(j+1)

An dieser Stelle sei kurz darauf verwiesen, dass mittels dieses Ergebnisses die Quantisierung der Fläche A des Ereignishorizontes Schwarzer Löcher sowie deren statistische Entropie S (gemäß Bekenstein & Hawking) verstanden werden kann. Die LQG ist dabei in der Lage, über das semiklassische Ergebnis von Hawking (quantisierte Strahlung auf klassischer Raumzeit) hinauszugehen und Quantenkorrekturen zur Entropie zu berechnen. Auch dabei tritt jedoch der noch unbestimmte Immirzi-Parameter auf.

S[down]horizon [/down] ~ A[down]horizon[/down] / γ ħG + logarithmic quantum corrections

Wichtig: Ein Zustand der Raumzeit (im Sinne der LQG) ist nun nicht „genau ein Spinnetzwerk mit festgelegten Spins“. Zum einen entspricht ein Spinnetzwerk immer nur einem räumlichen Schnitt, d.h. uns fehlt noch die zeitliche Dimension, zum anderen sind natürlich allgemeine quantenmechanische Superpositionen von Spinnetzwerken möglich, d.h. die Raumzeit „entsteht“ durch die zeitliche Entwicklung beliebiger Superpositionen (Überlagerungen) von Spinnetzwerken. Erst durch diese Superposition kann das Bild einer klassischen (glatten) Raumzeit entstehen. Die Konstruktion derartiger Superpositionen (genauer: kohärenter Zustände) entspricht dabei im übertragenen Sinne der Konstruktion von Wellenpaketen als physikalischen Photonen aus idealisierten mathematischen Zuständen.

Weiterentwicklung der LQG

Bis hierher handelt es sich lediglich um eine Zusammenfassung des Status’ der Theorie bis vor einigen Jahren. Nun ist es jedoch so, dass die LQG seit ca. 2007 deutlich umformuliert wurde, woraus sich neuartige Konzepte sowie erweiterte Möglichkeiten für konkrete Berechnungen ergeben haben. Zentral ist dabei die Entwicklung des Spin-Foam Formalismus, entsprechend der Pfadintegralquantisierung der Quantenmechanik sowie der Quantenfeldtheorie. Ohne zu sehr auf formale Aspekte eingehen zu wollen beschreibt ein Pfadintegral im Wesentlichen den Übergang zwischen zwei Zuständen „in“ und „out“, ursprünglich entwickelt für Berechnungen zur Streutheorie; „in“ steht dann z.B. für einen Zustand eines einlaufenden Elektrons, „out“ für das (z.B. an einem Atomkern) gestreute Elektron. Der Übergang zwischen diesen beiden Zuständen wird formal durch den Hamiltonoperator H definiert (wobei wir oben gesehen haben, dass dieser in der LQG notorisch schwierig zu definieren ist). Feynman hat nun einen Formalismus entwickelt, in dem der Übergang statt dessen durch ein sogenanntes Pfadintegral gegeben ist, wobei man sich vorstellen darf, dass in diesem Pfadintegral alle möglichen Pfade des Elektrons beitragen, wobei jedem Pfad eine komplexe Zahl zugeordnet und anschließend über alle Pfade summiert wird. Der wesentliche quantenmechanische Aspekt ist die Interferenz zwischen allen Pfaden, woraus u.a. abgeleitet werden kann, dass im Mittel „hauptsächlich“ die klassisch erlaubten Pfade beitragen.

Formal entspricht das Pfadintegral Z also dem Übergang eines Zustandes „in“ in einen Zustand „out“

Z ~ < out | in >

Wobei im Falle der Spinnetzwerke beide Zustände durch genau ein Spinnetzwerk gegeben sind, die im Pfadintegral auftretenden Pfade sind dann jeweils die zeitlichen Entwicklungen der Spinnetzwerke. D.h. man betrachtet alle möglichen Spinnetzwerke, die zwischen dem „in“-Spinnetzwerk und dem „out“-Spinnetzwerk interpolieren. Diese Gesamtheit aller Spinnetzwerke heißt Spin-Foam (dt. Spin-Schaum).

SU(2) vs. SL(2,C) und semiklassischer Grenzfall

Die Symmetriegruppe der Raumzeit ist die Lorentzgruppe SO(3,1), wobei diese die Lichtkegelstruktur bzw. die „vierdimensionale“ Länge s² = t² - x² invariant lässt. Dabei wird die SO(3,1) erzeugt durch drei Drehungen mit Drehoperatoren J sowie drei Boosts mit Boostoperatoren K (die man als Drehungen mit imaginären Drehwinkeln auffassen kann). Lässt man allgemeine komplexe Kombinationen und „Drehwinkel“ zu, so erhält man formal die Gruppe SL(2,C), wobei statt der 4-dim. Vektoren der Raumzeit und 4*4 Lorentz-Matrizen komplexe 2er Vektoren sowie komplexe 2*2 Matrizen Verwendung finden. Mathematisch enthält diese SL(2,C) die bekannte SU(2) sozusagen zweimal. es ist nun interessant, wieso nur eine SU(2) für die Konstruktion der Spinnetzwerke übrigbleibt.

Dazu betrachtet man die Operatoren J und K sowie die beiden daraus abgeleiteten Operatoren

C[down]1[/down] = J² + K²
C[down]2[/down] = J • K

Alle quantenmechanischen Zustände können mittels der Eigenwerte dieser beiden Operatoren beschrieben werden, wobei sich zeigt, dass diese nicht unabhängig sind, sondern dass nur bestimmte Kombinationen zulässig sind, was letztlich dazu führt, dass man statt der SL(2,C) ~ SU(2) * SU(2) Spinnetzwerke doch nur SU(2) Spinnetzwerke betrachten muss. Generell gibt es eine Abbildung zwischen verschiedenen Formulierungen der Theorie mittels SL(2,C) und SU(2) Spinnetzwerken. Dies ist jedoch recht technisch und soll im Folgenden nicht weiter diskutiert werden.

In der Quantisierung der ART mittels der Ashtekar-Variablen tritt nun der bereits oben erwähnte Immirzi-Parameter γ in der Kombination K + γJ auf. Entsprechend hält dieser Parameter nun Einzug in den Zustandsraum der Theorie.

Betrachtet man für beliebige Zustände „in“ und „out“ den Grenzfall großer Spins j, so stellt man zunächst fest, dass dies gemäß a² = j(j+1) dem Grenzfall großer Flächen und damit dem klassischen Grenzfall entspricht. Es gilt hier außerdem

< out | K + γJ | in > ~ 0

Diese Relation beschreibt letztlich den semiklassischen Sektor der LQG, wobei dieser eben nicht eindeutig sondern nur unter Berücksichtigung der durch γ induzierten quantenmechanischen Mehrdeutigkeit definiert ist.

Formale Definition der LQG

Rovelli präsentiert eine leider extrem technische Definition der LQG als Pfadintegral

Z ~ < out | in >

wobei zunächst einmal bemerkenswert ist, dass diese Definition auf unterschiedlichen Wegen von verschiedenen Forschungsgruppen gefunden wurde. Unterschiedliche Darstellungen haben sich dabei letztlich als äquivalent herausgestellt, was das Vertrauen in die Theorie stärkt.

Die technischen Einzelheiten sind zu verwickelt, um sie hier zu diskutieren. Grob gesprochen werden die oben kurz diskutierten Konstruktionselemente verwendet, um eben dieses Pfadintegral zu definieren. In diesem Sinne handelt es sich um ein ganz gewöhnliches Pfadintegral, das keinerlei konzeptionelle Besonderheiten mehr aufweist; insbs. sind alle o.g. Schwierigkeiten entweder unkritisch oder nicht mehr vorhanden. Ob dieses Pfadintegral nun tatsächlich das korrekte Pfadintegral der Quantengravitation darstellt, sollte weniger ein formales als ein phänomenologisches Thema sein, d.h. es muss sich experimentell (!) bewähren.

Der zentrale Punkt in diesem Pfadintegral ist die sogenannte Vertexamplitude, d.h. die mathematische Beschreibung, wie Spins, die an einem Knoten zusammenlaufen, miteinander koppeln. Insbs. beschreibt sie, wie elementare Raumvolumina (beschrieben durch die Vertizes) ineinander übergehen. Diese elementaren Prozesse entsprechen sozusagen einer Art Feynman-Diagramm der Raumzeit, wobei eben statt elementarer Teilchen elementare Raum-Volumina miteinander wechselwirken und sich ineinander umwandeln. Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass es für die Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen nur einen (im Falle von Quarks und Gluonen nur zwei) Vertizes gibt, während im Falle der LQG die Zahl der prinzipiell möglichen Vertizes unendlich ist. Dabei können beliebig viele Kanten in einen Knoten einlaufen und bis auf algebraische Beschränkungen können die Kanten beliebige Spins tragen.

Die Bestimmung dieses algebraischen Gebildes war der wesentliche Forschungsschwerpunkt über die letzten Jahre und wird zukünftig der Hautprüfstein für die Korrektheit der Theorie sein. Aus dieser Vertexamplitude folgt u.a. der bereits oben erwähnte semiklassische Grenzfall, d.h. sie muss die ART korrekt vorhersagen.

Heuristische Motivation der Theorie

Wie bereits erwähnt legt Rovelli Wert darauf, dass der Nachweis der Korrektheit der Herleitung der Theorie selbst weniger wichtig ist (da formal prinzipiell nicht möglich) als ihre Ergebnisse. Rovelli zeigt dennoch einige Punkte, die die Korrektheit der Herleitung zumindest motivieren können.

Dazu präsentiert Rovelli zunächst die ART in der sogenannten Plebanski-Form mittels Krümmungsform und Tetraden. Diese verallgemeinert er zur sogenannten Holst-Formulierung, wobei ein topologischer Term addiert wird, der den Immirzi-Parameter enthjält, jedoch die klassischern Feldgleichungen (Einsteingleichungen) nicht modifiziert. Daraus konstruiert er nun die o.g. Operatoren J und K bzw. die Linearkombination K + γJ. Dafür formuliert er den sogennanten Constraint K + γJ ~ 0, der natürlich dem o.g. Matrixelement entspricht.

Dann geht Rovelli kurz auf die Tatsache ein, dass eine verallgemeinerte Form der ART, die sogenannte BF-Theorie, für die die Quantisierung im Detail verstanden ist, sich mittels dieses Constraints auf die ART einschränken lässt.

Rovelli erwähnt ebenfalls den historisch bedeutsamen (von mir oben zusammengefassten) Weg mittels der Ashtekar-Variablen sowie der Konstruktion des Operators H. Für diesen Weg wird weiterhin intensiv versucht, die Äquivalenz beider Zugänge (kanonische Quantisierung mittels Konstruktion von H, Pfadintegralquantisierung mittels Konstruktion von Z) zu zeigen – was in der Quantenmechanik in der Regel möglich ist.

Zuletzt zeigt Rovelli, wie der Spinfoam-Formalismus, die Triangulierung bzw. die (verallgemeinerten) Simplizes mit den Ashtekar-Variablen sowie letztlich der Metrik der Raumzeit zusammenhängen.

Wie gesagt, dieser Abschnitt ist bewusst nicht formal mathematisch; er zeigt jedoch die wesentlichen Querbezüge sowie die Entsprechungen der unterschiedlichen Zugänge zur LQG und motiviert die Erkenntnis, dass es sich dabei um ein kohärentes Theoriegebäude handelt, auch wenn noch einige Puzzle-Teile fehlen.

Physik!

Nun wendet sich Rovelli der Problematik zu, aus diesem Formalismus physikalische Konsequenzen zu extrahieren. Dabei ist zunächst interessant, dass der Zugang hintergrundunabhägig ist, d.h. es gibt keine ausgezeichnete Hintergrundraumzeit, auf der sich alles abspielt. Die Theorie erlaubt es jedoch, eine derartige Raumzeit als „in“-Zustand hineinzufüttern und zu berechnen, wie sich dieser Zustand entwickelt.

Eine zentrale Fragestellung ist dabei, ob das Pfadintegral in der Nähe semiklassischer Zustände eine Art Maximum hat, d.h. ob semiklassische Zustände in gewisser Weise bevorzugte Zustände der Theorie sind. Dies ist natürlich unsere Erwartungshaltung – zumindest auf Längenskalen deutlich oberhalb der Planck-Länge.

Die erste Schwierigkeit, die überwunden werden muss, ist dabei überhaut die mathematische Definition semiklassischer, d.h. makroskopischer und glatter Zustände. Dazu betrachtet Rovelli sogenannte kohärente Zustände, d.h. Zustände, die zum einen wie Wellenpakete lokalisiert sind (hier: lokalisiert in der Umgebung der jeweiligen klassischen Raumzeit) und die auch unter Zeitentwicklung lokalisiert (und semiklassisch) bleiben. Üblicherweise haben Wellenpakete in der Quantenmechanik die Eigenschaft, zu „zerfließen“, d.h. dass z.B. die Wellenfunktion eines sich selbst überlassenen Elektrons, das an einem bestimmten Ort „präpariert“ wurde, mit der Zeit über den gesamten Raum zerfließt, dass also die Ortsunschärfe des Elektrons mit der Zeit zunimmt. Im Falle kohärenter Zustände besteht die Möglichkeit, dieses Zerfließen zu verhindern, wobei dazu zwei Voraussetzungen erfüllt sein müssen, nämlich zum einen die geeignete Präparation des Zustandes (hier: ein ausgeprägtes Maximum in der Umgebung der klassischen Raumzeitgeometrie), zum anderen das Nicht-Zerfließen, was jedoch im Wesentlichen eine Eigenschaft der Selbst-Wechselwirkung bzw. Dynamik der Theorie ist.

Rovelli fasst dabei zunächst Ergebnisse verschiedener Gruppen zusammen, die unabhängig voneinander gezeigt haben, dass die Theorie die Definition von (im Detail verschiedenen, jedoch weitgehend äquivalenten Klassen von) semiklassischen Zuständen zulässt, die die Definition von klassischen Größen wie Geometrie und Krümmung als quantenmechanische Erwartungswerte zulassen und die „als Wellenpakete betrachtet“ eine geringe Unschärfe in der Ashtekar-Variablen aufweisen.

Diese Erkenntnis ist ein wesentlicher Forschritt, der über die letzten Jahre gewonnen werden konnte. Die Frage, ob die LQG überhaupt in der Lage ist, die ART als semiklassischen Grenzfall korrekt zu reproduzieren, ist keineswegs trivial und wurde lange Zeit bezweifelt. Hier zeigt sich also, dass sowohl eine vollständige und konsistente Formulierung der QG vorliegt, die im Bereich der Planck-Skala volle Gültigkeit besitzt, als auch dass diese Theorie die uns bekannte makroskopische Raumzeit zumindest im Prinzip beschreiben kann.

Rovelli beschreibt kurz mögliche Näherungen an das exakte (und in voller Schönheit natürlich nicht lösbare) Pfadintegral Z. Dabei geht er auch auf Ähnlichkeiten zu analogen Näherungen in bekannten Quantenfeldtheorien ein, wobei diese Ähnlichkeiten eher heuristisch als formal sind.

Zum einen betrachtet er die Näherung eines fixen bzw. endlichen Graphen, was nicht zwingend endliches oder kleines Volumen bedeutet, da die volumen-tragenden SU(2) Spins an den einzelnen Vertizes nicht beschränkt sind.

Zum zweiten analysiert Rovelli die Vertex-Entwicklung, d.h. die Näherung, dass zwischen einem „in“- und einem „out“-Zustand nur endlich viele Wechselwirkungen stattfinden also nur endlich viele Vertizes existieren. In diesem Zusammenhang geht er kurz darauf ein, dass ein umfassendes Bild wie in anderen QFTs bzgl. dabei auftretender Renormierungseffekte noch nicht bekannt ist. Zwar sollten die Berechnungen ausschließlich zu endlichen Ergebnissen ohne Divergenzen führen, dennoch wäre es möglich, dass die Paraeter an den Vertizes oder die Struktur der Vertizes selbst sich nicht-trivial bzgl. der Renormierung verhält. In QED und QCD ist dies trivial: die Renormierung führt lediglich zu Korrekturen von Ladung und Masse, ohne die Struktur der Kopplung selbst zu beeinflussen.

Als weitere Näherung betrachtet Rovelli die Approximation großer Längenskalen, d.h. Geometrie deutlich oberhalb der Planck-Skala. Hier stellt er als zentrales Ergebnis vor, dass in dieser Näherung bestimmte Vertexstrukturen dominieren und dass sich daraus die sogenannte Regge-Wirkung der ART reproduzieren lässt, die man durch eine geeignete Diskretisierung der 4-Mannigfaltigkeit der ART erhält. Es wird also nicht gezeigt, dass diese Näherung direkt der ART entspricht, sondern „nur“, dass die Näherung großer Längenskalen der LQG mit einer geeigneten Diskretisierungs-Näherung der ART übereinstimmt. Dies ist jedoch bereits ein bemerkenswertes Ergebnis.

Einschub: Das zentrale Problem bei der Quantisierung der ART war, dass das übliche Renormierungsprogramm fehlschlägt. Normalerweise berechnet man dazu sogenannte Greensfunktionen (Feynman-Diagramme) und absorbiert dabei auftretende Unendlichkeiten durch die Renormierung der Parameter der Theorie (in der ART wären dies die Parameter G, γ und Λ). Im Falle der ART erzeugt die Renormierung jedoch Ordnung für Ordnung strukturell neue Kopplungsterme mit neuen Parametern, die jeweils wieder an die physikalischen Werte angepasst werden müssen. Anstatt also mit höheren Ordnungen physikalische Aussagekraft zu gewinnen, verliert die Theorie dieselbe, da statt neue Vorhersagen zu produzieren, neue Inputs für die Anpassung der Parameter benötigt werden. Dies wird als Zeichen des Versagens der störungstheoretischen Renormierbarkeit der ART angesehen, d.h. dass die Näherung „kleiner“ Kopplung, also G~0, unzulässig ist. Dennoch besteht grundsätzlich die Möglichkeit, dass die ART nicht-störungstheoretisch renormierbar ist, d.h. dass es einen anderen Punkt G>0 gibt, um den herum eine Entwicklung gestattet ist.

Wie dem auch sei, aus der störungstheoretischen Analyse der ART kann zumindest die algebraische Struktur einiger Feynmandiagramme (besser: der n-Punkt Funktionen) gewonnen werden. D.h. dass zwar nicht die relative Stärke aller Terme, aber zumindest die algebraische Struktur der Terme berechenbar ist. Die LQG erlaubt nun unter Ausnutzung der o.g. Näherungen ebenfalls eine Berechnung der n-Punkt Funktionen, d.h. der „Streuung von n Gravitonen aneinander“. Die LQG ist demnach in der Lage, in einem bestimmten Grenzfall das Bild von wechselwirkenden Gravitonen zu extrahieren. Wichtig dabei ist, dass es sich eben um eine Näherung handelt uns dass diese Gravitonen keinesfalls als fundamentale Objekte angesehen werden dürfen.

Ein weiteres interessantes Ergebnis für die Kosmologie bezieht sich auf die Näherung großer Längenskalen. Hier ist es möglich, eine Spinnetzwerk-Wellenfunktion abzuleiten, die einem Wellenpaket in der Umgebung der Friedmann-Robertson-Walker-Kosmologie entspricht. Durch eine geeignete Erweiterung der LQG (der Vertexamplitude) ist es möglich, eine ähnliche Näherung für das deSitter-Universum bei Anwesendheit einer kosmologischen Konstante abzuleiten. Dies ist insofern interessant, als man dafür bereits seit Langem Näherungslösungen der Wheeler-deWitt Gleichung kennt, wobei letztere mathematisch nicht wohldefiniert ist und man die Näherung sehr frühzeitig und künstlich einführt, während im Rahmen der LQG die Näherung erst sehr spät und für eine vollständig konsistente Theorie durchgeführt wird.

Zukünftige Forschungsschwerpunkte und zentrale offene Punkte

Rovelli führt eine lange Liste offener Punkte an, was ich weniger als schlechtes Omen sondern eher als ehrliche Bestandsaufnahem werte. Einige Punkte habe ich schon angesprochen, einige andere sind sehr technisch und hier nicht von Interesse. Folgende Themen möchte ich jedoch nochmals erwähnen, wobei nicht alle davon in Rovellis Artiel zu finden sind

(1) Generell die Fragestellung, wie die Äquivalenz der kanonischen Quantisierung und der Konstruktion von H einerseits sowie der Pfadintegralquantisierung und der Konstruktion von Z andererseits gezeigt werden können. Wenn auch letztere offensichtlich den Vorteil hat, dass sie „robuster“ bzgl. mathematischer Feinheiten ist bzw. diese vermeidet, so müssen für ein umfassendes Verständnis der Theorie doch beide Methoden verstanden und zueinander in Beziehung gesetzt werden

(2) Wie kann generell eine 4-dim. Raumzeit motiviert werden, ohne dass diese als kohärenter Zustand „von Hand“ als „in-Zustand“ in die Theorie hineingesteckt werden muss? Warum resultiert gerade eine 4-dim. Raumzeit, wo doch die zugrundeliegenden Graphen keinerlei Dimension auszeichnen? Eng damit zusammen hängen Ergebnisse, denen zufolge die Theorie für kleine Längenskalen eine näherungsweise 2-dim., für große Längenskalen eine näherungsweise 4-dim. Raumzeit vorhersagt; die Dimension entsteht als effektive Näherung, d.h. „Dimension“ ist nur in einem bestimmten Regime ein sinnvoller Begriff; i.A. muss man eher von einer „fraktalen“ Geometrie definiert durch die Graphen ausgehen.

(3) Erweiterung der Methode auf verallgemeinerte Spinnetzwerke, d.h. zum einen allgemeine Liegruppen und zum anderen sog. Quantengruppen (quanten-deformierte Lie-Algebren). Eng mit dieser Fragestellung hängt zusammen, welche Rolle die kosmologische Konstante spielt. Interessanterweise scheint die kosmologische Konstante nicht ein Ergebnis der Dynamik der hier definierten Theorie zu sein, vielmehr muss die Definition der Theorie selbst geeignet erweitert werden. Die Erklärung der kosmologischen Konstante wäre dann ggf. eine völlig andere: sie würde nicht als zusätzlicher dynamischer Effekt (DE o.ä.) aus einer Theorie resultieren die zunächst ein FRW-Universum bevorzugt, sondern die zugrundeliegende Theorie hätte bereits ein intrinsische deSitter-Symmetrie, die sich eben erst jetzt ggü. den bisher dominierenden Effekten von Materie und Strahlung durchsetzt.

(4) Man kennt ähnliche kosmologische Näherungen im Rahmen der sogenannten LQC, die zunächst eine Einschränkung der Theorie auf sphärisch-symmetrische Raumzeiten ggf. unter Einbeziehung von (endlich vielen) Fluktuation macht. Die LQG wird dagegen für unendlich viele Freiheitsgrade (Anzahl der Spins auf dem Spinnetzwerk) formuliert. Im Rahmen der LQC sind vielversprechende Ergebnisse bzgl. der Vermeidung des Kollapses bei Schwarzen Löchern und der Urknallsingularität im FRW-Universum sowie Entstehung einer inflationären Phase ohne künstliche Zusatzannahmen bekannt. Die LQC kann jedoch heute im strengen Sinne nicht als Näherung an die LQG betrachtet werden; die Theorien laufen zu früh „auseinander“. Der Zusammenhang muss besser verstanden werden.

(5) Die Kopplung von Materiefeldern an die Raumzeit muss noch besser untersucht werden. Evtl. besteht auch die Möglichkeit, dass Materie selbst aus bestimmten Mikrostrukturen der Raumzeit, insbs. geeignet deformierten und verdrillten Spinnetzwerken hervorgeht. Rovelli sieht diese Möglichkeit jedoch als recht spekulativ an.

(6) Ein interessanter Aspekt ist das inzwischen weit fortgeschrittene Verständnis der nicht-störungstheoretischen Renormierung der ART im Kontext des „asymptotic safety“ Programms. Dies weist darauf hin, dass die ART doch renormierbar ist, dass sie jedoch einen sogenannten nicht-Gaußschen Fixpunkt besitzt, d.h. dass nicht wie üblich Störungstheorie für G~0 betrieben werden darf, sondern dass ein anderen physikalischer Punkt G* ausgezeichnet ist. Im Zuge der LQG sind wenig Arbeiten zur Renormierung erschienen. Dies liegt im Wesentlichen an der fehlenden Notwendigkeit, da die Theorie keine UV-Divergenzen, also keine Unendlichkeiten aufweist. Allerdings ist die Renormierung eine generell anwendbare Methode und sollte in Form der Kadanoffschen Blockspin-Renormierung auch im Zuge der LQG einsetzbar sein. Dabei wären dann Berechnungsmethoden aus der Festkörperphysik bzw. der Gittereichtheorie auf die Spinnetzwerke zu übertragen. Insbs. scheinen erste Anwendungen des „asymptotic safety“ Programms auf die Einstein-Cartan-Theorie (die Verallgemeinerung der Einstein-Hilbertschen ART als vermuteter klassischer Grenzfall der LQG) darauf hinzudeuten, dass die Einstein-Hilbert-Theorie sowie die Einstein-Cartan-Theorie bzgl. ihrer Renormierungsgruppe nicht übereinstimmen.

Zum Abschluss

So, ich hoffe der Artikel lädt zu weiteren Fragen sowie Diskussionen ein. Es ist klar, die LQG ist noch lange kein abgeschlossenes Gebiet, sondern weiterhin „work-in-progress“ mit vielen offenen Punkten und spannenden Fragestellungen.

[gravi]

Vielen Dank für diese sehr ausführliche Darstellung - wenn ich auch selbst leider nicht mal die Hälfte verstanden habe.
Daher kann ich auch kaum sinnvolle Diskussionsbeiträge liefern.

Was mich jedoch interessieren würde: Könnte die LQG jemals durch Experimente überprüft werden, vielleicht auch indirekt?
Könnte es sein, dass sie langsam zu einem ähnlich aufgeblähten Monstrum wie die String- Theorien heranwächst? Anhand Deiner Darstellung gewinnt man diesen Eindruck ein wenig...

Gruß
gravi

[deltaxp]

danke für deinen informativen beitrag. ich hab wie gravi auch nicht alles vertsandden, werde es mir noch ein paarmal durchlesen muessen. aber was ich mitnehme, sind 2 wesentliche fortschritte. 1) auf dem gebiet der verifizierung der klassischen art ist man weiter gekommen, wenn auch lange nicht angekommen. so sind doch aber vielversprechende resultate erreicht. die pfadintegralformulierung scheint ebenso fortschritte zu machen. als weiteres scheint mir die lqg an fahrt aufzunehmen und mehr physiker sich mit ihr beschäftigen zu lassen, was nur gut sein kann.

vielen dank, tom!

[tomS]

Experimente zur LQG könen nach heutigem Wissensstand allenfalls indirekter Natur sein; das trifft eigtl. auf alle QG Theorien zu. Insbs. mittels des Spektrums der Fluktuationen im Mikrowellenhintergrund sind Aussagen zu verschiedenen QG Theorien zu erwarten.

Die Theorie ist sicher kein "Monster" wie die Stringtheorie, sondern hat einen sehr klar umrissenen Kern, der die Theorie eindeutig definiert; das sind im Gegensatz zur Stringtheorie einige wenige wohldefinierte Gleichungen ohne jegliche esotherische Zutaten. Aus diesen Gleichungen folgen wesentliche Aussagen ziemlich direkt, wenn auch mittels komplizierter mathematischer Methoden. Es gibt jedoch verschiedene Formulierungen der Theorie, deren Äquivalenz noch nicht vollständig geklärt ist. Da ist man aber z.B. mit normalen QFTs mindestens gleichauf, da die LQG insgs. sicher rigoroser formuliert wird als z.B. die QCD. Zuletzt gibt es Varianten der Theorie bzw. Verallgemeinerngen wie bei gewöhnlichen QFTs auch. Z.B. kann man natürlich auch andere als SU(2) Spinnetzwerke betrachten und die Natur muss uns letztlich sagen, welches das zutreffende ist. Das ist im Falle anderer QFTs aber ebenso der Fall. Eine einheitliche und insbs. eindeutige Theorie liegt nicht vor, aber das war auch nicht zu erwarten.

deltaxp hat die wesentlichen Fortschritte gut zusammengefasst. Es gibt verschiedene Forschungsrichtungen, insbs. die axiomatische und kanonische Formulierung, group field theory, physikalische Anwendungen / semiklassische Näherung, Erweiterungen / Verallgemeinerungen einschließlich dem möglichen Bezug zu anderen QG Theorien.

[gravi]

Danke für die Erläuterung.
Ich bin gespannt, ob sich die LQG einmal als die Theorie manifestieren wird.
So aus dem Bauch heraus gesagt, könnte sie das Zeug dazu haben, zumal sich nach Tom's Darstellung wohl immer mehr Physiker intensiv damit beschäftigen.

Gruß
gravi

[deltaxp]

es erscheint mir mehr und mehr wichtig, dass sich die forschungswelt erstmal klar um die natur der gravitation bzw der dynamik der raumzeit klar werden muss, bevor an eine tof gedacht werden kann. die diskrepanzen sind zu gross, als das es auf dem bisherigen wege (symmetrie-gruppen suche) zu vernünftigen resultaten führen kann.

[Timm]

Experimente zur LQG könen nach heutigem Wissensstand allenfalls indirekter Natur sein; das trifft eigtl. auf alle QG Theorien zu. Insbs. mittels des Spektrums der Fluktuationen im Mikrowellenhintergrund sind Aussagen zu verschiedenen QG Theorien zu erwarten.

Nach Bojowald sollte die Ausbreitungsgeschwindigkeit höchstenergetischer Photonen c unterschreiten. Ich bin nicht sicher, ob das für alle LQG Varianten gilt. Jedenfalls sind gamma ray bursts im Focus. Bisher wurden (leider) keine Abweichungen von der SRT gefunden.

Gruß, Timm

[tomS]

Experimente zur LQG könen nach heutigem Wissensstand allenfalls indirekter Natur sein; das trifft eigtl. auf alle QG Theorien zu. Insbs. mittels des Spektrums der Fluktuationen im Mikrowellenhintergrund sind Aussagen zu verschiedenen QG Theorien zu erwarten.

Nach Bojowald sollte die Ausbreitungsgeschwindigkeit höchstenergetischer Photonen c unterschreiten. Ich bin nicht sicher, ob das für alle LQG Varianten gilt. Jedenfalls sind gamma ray bursts im Focus. Bisher wurden (leider) keine Abweichungen von der SRT gefunden.

Es war eine zeitlang "in", diese Richtung zu verfolgen; das ging m.W.n. auf eine Idee Smolins bzgl. der DSR als Niederenergie-Limes der LQG zurück, was aber nie explizit gezeigt werden konnte. Im Falle von Smolins Veröffentlichung hat er eher etwas hineinkonstruiert, eine unpassende Näherung gewählt o.ä. In den letzten Jahren sind sich aber - soweit ich das beurteilen kann - alle Forscher im Bereich der LQG einig, dass die Theorie insgs. eine ungebrochene und nicht-deformierte Lorentz-Symmetrie mit frequenzunabhängigem c aufweist. Wenn sich das nun wieder ändern sollte, dann wäre das eher eine Schwächung der Theorie, denn sie kann nicht einmal links- und einmal rechtsherum sagen.

[Timm]

Smolin's doch sehr spezielle Variante (DSR) behauptet eine Überschreitung, Bojowalds LQG jedoch eine Unterschreitung von c bei höchsten Energien, was durch genaue Analyse von GRB's im Prinzip meßbar ist, sofern die Energien erreicht werden. Jedenfalls geht bei der DSR die Lichtgeschwindigkeit in der Planckära gegen oo, woraus sich interesssante kosmologische Konsequenzen ergeben. Ich glaube, Du hast aber vor einiger Zeit schon mal vermerkt, daß die DSR als ausgemuster gilt.

Gruß, Timm

[tomS]

Ich glaube, Du hast aber vor einiger Zeit schon mal vermerkt, daß die DSR als ausgemuster gilt.

Zumindest liest man darüber seit einiger Zeit überhaupt nichts mehr.

[tomS]

Hallo, nachdem keplerfan kürzlich nach der "Mathematik der LQG" gefragt hat hier ein Hinweis auf diese Zusammenfassung (Beitrag #1 in diesem Thread) sowie die beiden Artikel von Rovelli. Ich hoffe, das hilft erstmal weiter. Konkrete Fragen können wir dann gerne im Detail diskutieren.

[Keplerfan]

Ja, jetzt bin ich mit Lesestoff erstmal eingedeckt.
Danke fürs aktualisieren, bei sicher auftretenden Fragen melde ich mich wieder.

[belgariath]

hab' jetzt hier wirklich nicht alles gelesen aber weil es oben um Nachweise der LQG ging ist vielleicht folgendes interessant:
http://www.pro-physik.de/Phy/leadArticle.do?laid=14196
Da wird durch Beobachtungen geschlossen das die Quantisierung der Raumzeit auf Skalen von ca. 10[up]-48[/up]m stattfindet, nicht auf der Planck-Länge.

[tomS]

Nach heutigem Wissenstand sagt die LQG zwar eine "Körnigkeit" der Raumzeit voraus, allerdings folgt aus dieser eben gerade nicht die in dem ESA-Artikel diskutierte Velretzung der Lorentzinvarianz.

Schaut mal hier: viewtopic.php?f=52&t=1884