Einsteigerdiskussion zur Quantengravitation

[tomS]

Leider weiß ich wenig über dirch und deine Vorkenntnisse; hast du Lust, dich mal etwas vorzustellen? Siehe hier.

Wir (= Wilfried und ich) hatten vor einiger Zeoit ein Projekt "zur Problematik des Energie- und Entropiebegriffs) ins Leben gerufen. Tatsächlich ist die Definition von Energie (oder Masse) in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht vollständig verstanden. Dazu gibt es hier viewtopic.php?f=58&t=1247 zwei Artikel. Im ersten gehe ich auch auf die Einstein-Cartan Theorie sowie die Schleifenquantengravitation (Kapitel 6) ein. Letztere sollte die von dir gestellten Fargen bzgl. Quantisierung der Raumzeit beantworten. Natürlich weiß ich nicht, ob dir die Darstellung (es sind schon einige Formeln dabei :-) zusagt. Jedenfalls ist der Artikel eher nichts für Anfänger. Ich werde auf jeden Fall hier nochmal eine Zusammenfassung ohne Formeln bringen.

[tomS]

Hier mal ein paar kurze Gedanken, warum man erwartet, dass die Gravitation letztlich zu einer Quantisierung der Raumzeit führen muss. Dabei sind sich alle aktuellen Forschungsrichtungen einig, dass dies gelten sollte, sie sind sich jedoch nicht einig, wie genau die Quantisierung oder Diskretisierung aussehen sollte.

Wir betrachten dazu einen typischen Stoßprozess, z.B. von zwei Protonen, am LHC. Am LHC liegt die Energie im TeV Bereich, die Masse des Protons ist nur knapp ein GeV, d.h. der Beitrag der Masse zur Gesamtenergie beträgt weniger als 1/1000. Der Zusammenhang zwischen Masse, Impuls und Energie in der Speziellen Relativitätstheorie lautet



E ist die Energie, p der Impuls, m die Ruhemasse und c die Lichtgeschwindigkeit.

Für ein zweites Proton gilt, dass es (da entgegengesetzte Geschwindigkeit) auch entgegengesetzen Impuls -p hat; bei Quadrieren fällt das Minus aber weg.

Für die Kollision gilt also





D.h.



Demnach liegt im Kollisionspunkt ein Zustand mit einer Masse m=2E/c², d.h. ebenfalls im TeV Bereich. Man erzeugt also an einem Beschleuniger einen Zustand, der sich (kurzzeitig) wie ein Teilchen extrem hoher Masse verhakten sollte. Diese hohe Masse ist in einem extrem kleinen Raumvolumen konzenztriert.

Die Lokalisierung eines Teilchens wird in der Quantenmechanik durch die sogenannte Comptonwellenlänge beschrieben.Gemäß der Quantenmechanik hat jedes Teilchen auch Wellencharakter, die Comptonwellenlänge beschreibt die Größenordnung, innerhalb derer man sich ein Teilchen lokalisiert denken kann. Für diese Comptonwellenlänge gilt



Dabei ist h die Plancksche Konstante.

Für dieses m könnten wir nun die oben berechnete Masse am LHC (oder einem anderen Experiment) einsetzen und so herausfinden, auf welcher Größenordnung die Gesamtenergie lokalisiert ist. Interssant ist lediglich die Feststellung, dass die Comptonwellenlänge umso kleiner ist, je größer die Masse ist, d.h. im Falle höherer Energien findet eine immer stärkere Lokalisierung statt.

Nun kann man sich andererseits überlegen, was in der Allgemeinen Relativitätstheorie bei immer stärkerer Konzentration (Verdichtung) einer Masse geschieht. Im Grenzfall entsteht ein Schwarzes Loch, d.h. eine Singularität in der Raumzeit. Tatsächlich sagt die ART nicht, was da genau passiert, sie sat eher, dass sie darüber nichts sagen kann. Im Falle eines Schwarzes Loch versagt die ART bzgl. der Beschreibung der Singularität.

Die Größe eines schwarzen Lochs ist (im einfachsten Fall) durch den Schwarzschildradius gegeben:



G ist die Gravitationskonstante. Die wesentliche Aussage ist nun, dass wenn man eine Masse m in einem Raumvolumen konzentriert, das kleiner als eine Kugel mit Schwarzsschildradius ist, dass dann unvermeidlich ein schwarzes Loch entsteht.

Nun vergleichen wir die Comptonwellenlänge mit dem Schwarzschildradius, d.h. wir setzen die Gleichung





Löst man nun diese Gleichung nach m auf (und vernachlässigt man den Faktor 2), so findet man eine Masse



Eine ähnliche Ableitung, in der man statt der Comptonwellenlänge die Heisenbergsche Unschärfenrelation nutzt, führt (bis auf einen etwas anderen Vorfaktor) auf die selbe Massenskala.

Die hier berechnete Massenskala nennt man Planckmasse; sie ist nur noch von den Naturkonstanten h, c und G abhängig und definiert somit eine fundamentale Masseneinheit. Nach der o.g. Rechnung müsste jede Masse, die diese Planckmasse übersteigt, zu einem Schwarzen Loch kollabieren. D.h. bei genügend großer Masse (bzw. Energie) ist der Kollaps zu einem Schwarze Loch unvermeidlich. Nun herrschten aber zu Beginn des Universums (nahe beim Urknall) sicher höhere (beim Urknall selbst unendliche) Energie, Dichte und Temperatur. D.h. zumindest das frühe Universum - aber eben auch Teilchen in Teilchenkollisionen - müssten unweigerlich zu einem Schwarzen Loch kollabiert sein ...

... sind sie aber nicht, denn wir beobachten weder Mini-Schwarze Löcher auzs diesen Teilchenkollisionen, noch ist unser Universum ein Schwarzes Loch. D.h., dass die obige Herleitung in diesem Bereich einfach ihre Gültigkeit verlieren sollte. Die gängige Interpretation ist, dass bei entsprechend kleinen Längenskalen (genannt Plancklänge, man kann sie ebenfalls durch die obigen Naturkonstanten ausdrücken) der Begriff der kontinuierlichen Raumzeit seinen Sinn verliert und durch etwas Diskretes ersetzt werden muss, das eben diesen Kollaps verhindert.

Vereinfacht gesprochen: Wenn ich zwei Teilchen unendlich nahe zusammenbringen will, dann muss ich den Abstand immer kleiner machen. Wenn aber der Abstand diskret ist, also nur noch diskrete Längen (Vielfache der Plancklänge) erlaubt sind, dann können zwei Teilchen sich nie näher als die Plancklänge kommen; eine diskrete Raumzeit verhindert also den oben beschriebenen Kollaps und die unphysikalische Singularität.

Nun kann man jedoch nicht einfach eine Art Gitter für die Raumzeit definieren, da dies sofort diverse Symmetrien bricht. Vielmehr erwartet man, dass eine geeignete Quantisierung der Gravitation die Quantisierung bzw. Diskretisierung der Raumzeit als Ergebnis produziert, d.h. dass dies nicht künstlich als Input verwendet werden muss. Eine der heute favorisierten Theorien - die sogenannte Schleifenquantengravitation bzw. Loop Quantum Gravity (LQG) - leistet nun genau dieses.

[RonnyRockel]

also ich habe eigentlich ausser abitur keine Abschlüsse in physik und/oder mathematik. ich habe mal ein paar semester physik studiert. jetzt beschäftige ich mich aber noch damit. also mit formeln und abstrakteren gedanken kann ich schon was anfangen

zum ballon-universum: also ich fasse mal zusammen was ich jetzt verstanden habe:
a) das universum sieht aus wie die oberfläche eines ballons einer beliebigen form(also irgendwie gekrümmt und verwurstelt), d.h. es ist geschlossen. da es sich aber nicht schneller als lichtgeschwindigkeit ausdehnen kann müsste man, wenn man dannach sucht,unter umständen photonen von der selben sonne aus entgegengesetzter richtung sehen können (wenn das licht nicht durch andere massen beeinflusst ein irrweg durchs universum fliegt)
b) das universum ist der aufgeschnittene ballon, aber unendlich groß, d.h. das universum ist auch unendlich groß, das geht aber nur wenn es schon unendlich lange exisitiert (wenn der urknall tatsächlich stattgefunden hat)
also ich komme immer auf einen rand oder ein geschlossenes universum

Nach der o.g. Rechnung müsste jede Masse, die diese Planckmasse übersteigt, zu einem Schwarzen Loch kollabieren. D.h. bei genügend großer Masse (bzw. Energie) ist der Kollaps zu einem Schwarze Loch unvermeidlich. Nun herrschten aber zu Beginn des Universums (nahe beim Urknall) sicher höhere (beim Urknall selbst unendliche) Energie, Dichte und Temperatur. D.h. zumindest das frühe Universum - aber eben auch Teilchen in Teilchenkollisionen - müssten unweigerlich zu einem Schwarzen Loch kollabiert sein ...

versucht man da nicht genau das zu tun was die ART eben nciht kann, nämlich das innere eines schwarzen loches zu erklären? schliesslich war der anfang des universum doch ein schwarzes loch. müsste man dann wiederum nciht auch mal ein schwarzes loch (wenn man es überhaupt mal findet) jedenfalls theoretisch explodieren sehen (sozusagen der urknall in klein)? vielleicht ist das urknall-schwarze-loch ja noch da und speist das universum weiter mit materie durch irgendwelche qm-effekte wie teilchen-antiteilchen erzeugung. naja gut das sind jetzt eher spinnereine zurück zum punkt: ab wann war denn das frühe universum kein schwarzes loch mehr? bzw. sagst du da das in einem scharzen loch schwarze löcher entstehen?

... sind sie aber nicht, denn wir beobachten weder Mini-Schwarze Löcher auzs diesen Teilchenkollisionen, noch ist unser Universum ein Schwarzes Loch. D.h., dass die obige Herleitung in diesem Bereich einfach ihre Gültigkeit verlieren sollte. Die gängige Interpretation ist, dass bei entsprechend kleinen Längenskalen (genannt Plancklänge, man kann sie ebenfalls durch die obigen Naturkonstanten ausdrücken) der Begriff der kontinuierlichen Raumzeit seinen Sinn verliert und durch etwas Diskretes ersetzt werden muss, das eben diesen Kollaps verhindert.

das wir keine mini schwarzen löcher im LHC beobachten leigt doch aber daran dass die teilchen nicht genügend energie haben, oder? bzw. ist es denn überhaupt möglich, selbst mit lichtgeschwindigkeit die nötige energie zu bekommen? ich dachte das ist gar nciht klar. wenn man diese energien eh nciht erreichen kann dann braucht man auch nicht den abstand verbieten, bzw. verbietet die energiebilanz ja schon das sich zwei teilchen beliebig nahe kommen.

Vereinfacht gesprochen: Wenn ich zwei Teilchen unendlich nahe zusammenbringen will, dann muss ich den Abstand immer kleiner machen. Wenn aber der Abstand diskret ist, also nur noch diskrete Längen (Vielfache der Plancklänge) erlaubt sind, dann können zwei Teilchen sich nie näher als die Plancklänge kommen; eine diskrete Raumzeit verhindert also den oben beschriebenen Kollaps und die unphysikalische Singularität.

genau das verstehe ich nicht! Angenommen ich habe zwei teilchen die sagne wir mal genau den abstand dieser planck-länge haben. wie kann ich überhaupt den abstand definieren wenn der raum dazwischne gar nciht existiert? jetzt mal anschaulich gesagt, wie soll ich ein "metermaß" (oder ein entsprechendes messwerkzeug was klein genug ist) zwischen diese beiden teilchen legen? das geht doch nicht, die teilchen berühren sich doch.

ich möchte nochmal auf das was ich vorher sagte zurück kommen:

betrachtet man ein freies teilchen so kann es sich mit einer gewissen aufenthaltswahrscheinlichkeit, gegeben durch eine Wellenfunktion mit einer bestimmten wellenlänge in einem bestimmten raumgebiet befinden, d.h. die Raumzeit wird an verschiedenen stellen mit bestimmmten wahrscheinlichkeiten gekrümmt (durch die masse des teilchens). gewissermaßen wird die Raumzeit genauso gekrümmt wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchenortes aussieht. nun ist die masse des teilchens aber sooo extrem klein, das es eigentlich den raum fast gar nicht krümmt. nimmt man nun also immer mehr masse hinzu krümmt sich der raum immer mehr und die gravitation wird immer bedeutender. gleichzeitig wird aber die wellenlänge mit zunehmender masse immer kleiner, d.h. die quantenmechanischen effekte verschwinden, sobald die gravitation erscheint. d.h die gesuchte theorie der vereinheitlichung muss im grenzwert für große massen auf die gravitation kommen und für kleine massen auf die qft, oder? es scheint fast so als ob die qft, die ja beschreibt wie "leichte" teilchen sich zusammenfinden, und somit massereichere komplexe werden die gravitation "erzeugt", weil ja erst durch die elektromagnetische, schwache und starke WW die nötige masse entsteht damit gravitation überhaupt auftritt. wäre es dann nciht auch mal interessant die einsteinschen feldgleichung mit einem teilchen zu lösen was durch eine aufenthaltswahrscheinlichkeit gegeben ist, weil ja das (obwohl im endeffekt vernachlässigbar) der grenzwert in die eine richtung sein sollte, vielleicht sieht man dann etwas bekanntes...

ich kommentiere mich also jetzt mal selber:
gravitation und quantenmechanik beeinflussen sich unter normalen umständen gar nicht. d.h. mit einer quantengravitationstheorie würde man nciht neue effekte oder unerklärliche effekte erklären sondern man würde nur einen formalismus finden der beide theorien als grenzfälle enthält. ich würde sagen (ohne das ich ahnung habe) das diese neue theorie ein reine quantentheorie sein sollte die für große massen die einsteinschen feldgleichungen ausspuckt.
QFT und ART überschneiden sich nur inhgeralb eines schwarzen loches. muss die masse überhaupt zwangsläufig zu einer singularität kollabieren? können sich inerhalb eines schwarzen loches, also hinter dem ereignishochizont nciht auch extrem schwere sonnen sehr schnell umkreisen?

[tomS]

Hallo,

mal ein Kompliment an dich - du kommst ziemlich schnell auf die Knackpunkte zu sprechen!

zum ballon-universum: also ich fasse mal zusammen was ich jetzt verstanden habe:
a) das universum sieht aus wie die oberfläche eines ballons einer beliebigen form(also irgendwie gekrümmt und verwurstelt), d.h. es ist geschlossen. da es sich aber nicht schneller als lichtgeschwindigkeit ausdehnen kann müsste man, wenn man dannach sucht,unter umständen photonen von der selben sonne aus entgegengesetzter richtung sehen können (wenn das licht nicht durch andere massen beeinflusst ein irrweg durchs universum fliegt)
b) das universum ist der aufgeschnittene ballon, aber unendlich groß, d.h. das universum ist auch unendlich groß, das geht aber nur wenn es schon unendlich lange exisitiert (wenn der urknall tatsächlich stattgefunden hat)

Doch, das Universum könnte sich mit Überlichtgeschwindigkeit ausdehnen (tut es aber wohl nicht). Ein sich ausdehnender Ballon kann sich durchaus schneller ausdehnen als eine Ameise (steht für das Licht) darauf herumkrabbeln kann.
Ein „unendlich ausgedehntes“ Universum kann trotzdem innerhalb endlicher Zeit aus einem singularären Zustand entstanden sein. Das verwirrende ist, dass man nicht die Ebene als Maßstab nehmen darf, sondern man muss noch ein System aus Linien einzeichnen, die die physikalischen Längen anzeigen; nun kann man differentialgeometrisch die Linienlänge auf einer weiterhin unendlichen Fläche gegen Null gehen lassen; das wäre eben die Urknallsingularität; physikalisch relevant ist nicht die Ebene (die praktisch immer gleich aussieht, sondern die darauf eingezeichneten Linien (sorry, es ist eben so unanschaulich).

versucht man da nicht genau das zu tun was die ART eben nciht kann, nämlich das innere eines schwarzen loches zu erklären?

Nein, ich versuche nicht, das zu erklären, ich versuche lediglich, anhand der ART zu zeigen, wie man dies erklären WÜRDE und warum dieser Versuch SCHEITERT

schliesslich war der anfang des universum doch ein schwarzes loch.

Der Urknall ware eine Sinhularität und hat als solche tatsächlich einiges mit Schwarzen Löchern gemein, aber es gibt auch Unterschiede. Ein wesentlicher ist, dass der Urknall für jeden Beobachter in der Vergangenheit liegt, während die Singularität eines Schwarzes Loch sich für jeden Beobachter in der Zukunft befindet.

das wir keine mini schwarzen löcher im LHC beobachten leigt doch aber daran dass die teilchen nicht genügend energie haben, oder?

Vergiss diese Mini-SLs; ist nur Spekulation und bringt uns hier nicht weiter; sorry für die Verwirrung.

genau das verstehe ich nicht! Angenommen ich habe zwei teilchen die sagne wir mal genau den abstand dieser planck-länge haben. wie kann ich überhaupt den abstand definieren wenn der raum dazwischne gar nciht existiert? jetzt mal anschaulich gesagt, wie soll ich ein "metermaß" (oder ein entsprechendes messwerkzeug was klein genug ist) zwischen diese beiden teilchen legen? das geht doch nicht, die teilchen berühren sich doch.

Darf ich dich dazu noch etwas vertrösten; ich möchte genau zu diesen Punkten die Sichtweise der Schleifenquantengravitation darstellen, dann sollte das klar werden.

d.h die gesuchte theorie der vereinheitlichung muss im grenzwert für große massen auf die gravitation kommen und für kleine massen auf die qft, oder? es scheint fast so als ob die qft, die ja beschreibt wie "leichte" teilchen sich zusammenfinden, und somit massereichere komplexe werden die gravitation "erzeugt", weil ja erst durch die elektromagnetische, schwache und starke WW die nötige masse entsteht damit gravitation überhaupt auftritt. wäre es dann nciht auch mal interessant die einsteinschen feldgleichung mit einem teilchen zu lösen was durch eine aufenthaltswahrscheinlichkeit gegeben ist, weil ja das (obwohl im endeffekt vernachlässigbar) der grenzwert in die eine richtung sein sollte, vielleicht sieht man dann etwas bekanntes...

Was du als letztes vorschlägst, kann nicht vollständig funktionieren, ist aber ein interessanter Ansatz.

Es kann nicht vollständig funktionieren, weil es die Struktur der Einsteinschen Feldgleichungen nicht zulässt. Diese lauten symbolisch

G = T

Dabei ist G ein rein geometrisches Objekt, T ein quantenfeldtheoretisches (abhängig von den Materiefeldern etc.) Die beiden Sprachen sind inkompatibel und müssen vereinheitlicht werden.

Man kann versuchen, die linke Seite als statisch anzunehmen und die Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten zu lösen; dabei ergeben sich interessante Effekte, z.B. die der Hawkingstrahlung, d.h. des thermischen Verdampfens des schwarzen Lochs. Man geht aber davon aus, dass diese Näherung wieder in dem von mir o.g. Bereich zusammenbricht.

Man benötigt also auch links ein quantenfeldtheoretisches Objekt G; genau dies wird im Rahmen der Schleifenquantengravitation konstruiert.

Bzgl. des Grenzübergangs ist man sich heute darüber einig, dass man sich „weit weg“ von der Planckskala befinden muss (sagen wir mal zwei Größenordnungen, also z.B. einen Faktor 100), so dass die Quantenfeldtheorie auf einer (evtl. gekrümmten) jedoch klassischen = nicht-quantisierten Geometrie wieder gültig ist.

gravitation und quantenmechanik beeinflussen sich unter normalen umständen gar nicht. d.h. mit einer quantengravitationstheorie würde man nciht neue effekte oder unerklärliche effekte erklären sondern man würde nur einen formalismus finden der beide theorien als grenzfälle enthält.

Ja, zumindest in dem uns zugänglichen Energiebereich

ich würde sagen (ohne das ich ahnung habe) das diese neue theorie ein reine quantentheorie sein sollte die für große massen die einsteinschen feldgleichungen ausspuckt.

Ja

QFT und ART überschneiden sich nur inhgeralb eines schwarzen loches.

Im wesentlichen Ja

Es gibt schon andere Phänomene, bei denen man QG-Effekte erwartet; ein Schwarzes Loch sowie der Urknall sind jedoch tatsächlich die wesentlichen. Man geht davon aus, dass die QG-Effekte die Singularität gewissermaßen glätten, so dass die Theorie endlich und rergulär bleibt, also ihre Vorhersagekraft behält

muss die masse überhaupt zwangsläufig zu einer singularität kollabieren? können sich inerhalb eines schwarzen loches, also hinter dem ereignishochizont nciht auch extrem schwere sonnen sehr schnell umkreisen?

Es gibt tatsächlich Ideen, dass anstelle eines Schwarzen Lochs andere, reguläre Objekte existieren könnten; siehe dazu insbs. http://www.wissenschaft-online.de/astro ... 02.html#sl (sehr empfehlenswert!)

[RonnyRockel]

hallo

das mit dem ballon will ich noch nciht abhaken:

Doch, das Universum könnte sich mit Überlichtgeschwindigkeit ausdehnen (tut es aber wohl nicht). Ein sich ausdehnender Ballon kann sich durchaus schneller ausdehnen als eine Ameise (steht für das Licht) darauf herumkrabbeln kann.
Ein „unendlich ausgedehntes“ Universum kann trotzdem innerhalb endlicher Zeit aus einem singularären Zustand entstanden sein. Das verwirrende ist, dass man nicht die Ebene als Maßstab nehmen darf, sondern man muss noch ein System aus Linien einzeichnen, die die physikalischen Längen anzeigen; nun kann man differentialgeometrisch die Linienlänge auf einer weiterhin unendlichen Fläche gegen Null gehen lassen; das wäre eben die Urknallsingularität; physikalisch relevant ist nicht die Ebene (die praktisch immer gleich aussieht, sondern die darauf eingezeichneten Linien (sorry, es ist eben so unanschaulich).

würde sich das universum mit überlichgeschw. ausdehene würden wir doch die kosmische hintergrundstrahlung nicht sehen oder? und wie werden die linien, bzw. abstände physikalisch definiert? die linien bzw abstände sind doch an der fläche festgetackert, mache ich die linien kürzer muss ich doch auch die fläche verändern und nur verbiegen bringt da ja nichts, da bleibt die länge ja gleich lang.

Nein, ich versuche nicht, das zu erklären, ich versuche lediglich, anhand der ART zu zeigen, wie man dies erklären WÜRDE und warum dieser Versuch SCHEITERT

ich meine: versucht man mit der quantengravitation die prozesse im inneren eines schwarzen loches zu beschreibem, aber das hast du ja weiter unten auch geschrieben

Was du als letztes vorschlägst, kann nicht vollständig funktionieren, ist aber ein interessanter Ansatz.

Es kann nicht vollständig funktionieren, weil es die Struktur der Einsteinschen Feldgleichungen nicht zulässt. [...]

eine aufenthaltsWSK ist doch im prinzip nichts anderes als eine massendichteverteilung. ich könnte doch die aufenthaltswsk eines elektrons ausrechnen und damit dann die feldgleichungen z.b. fürs vakuum lösen. dann müsste doch, da die aufenthaltswsk eines freien elektrons sicherlich kugelsymmetrisch ist sogar die schwarzschildmetrik funktionieren. man betrachtet das teilchen was den raum krümmt also nciht als punkt sondern als massendichteverteilung, ich kann mir da keine probleme vorstellen. ok dabei gehen sicherlich so effekte wie die wirkung des el-magn feldes des elektrons auf sich selber etc. verloren...kann man da echt nix machen?

[tomS]

würde sich das universum mit überlichgeschw. ausdehene würden wir doch die kosmische hintergrundstrahlung nicht sehen oder?

Richtig. Allerdings ist es ja der Raum zwischen Lichtquelle und Empfänger, der sich ausdehnt. Lokal dehnt sich der Raum praktisch nicht merklich aus; erst über große Entfernungen zeigen sich die Effekte der Expansion. In der Tat entsteht bei genügend schneller Expansion ein kosmischer Horizont; von diesem aus würde uns das Licht mit unendlicher Rotverschiebung - also gar nicht - erreichen. Wichtig: das Licht wird trotz der Expansion nicht "langsamer"; hier hinkt der Vergleich mit den Ameisen.

Ich habe den Eindruck, du hast die Problematik eigentlich verstanden und fragst eher nach Problemen, die sich aus dem Ballonmodell ergeben, das jedoch - wie jedes Modell - auch falsche Aspekte zeigt.

versucht man mit der quantengravitation die prozesse im inneren eines schwarzen loches zu beschreiben ...

Ja, genau das versucht man

eine aufenthaltsWSK ist doch im prinzip nichts anderes als eine massendichteverteilung ... kann man da echt nix machen?

Doch, man kann genau das machen, was du vorschlägst, aber das entspricht "nur" der semiklassischen Näherung

G = <T>

Dabei bezeichnet <T> die klassische Dichte. Man berechnen auf einen gegebenen Geometrie G die Quantenfelder und daraus T, dann "mittelt" man zu <T>; anschließend setzt man dieses <T> ein und berechnet G', daraus wiederum T' und <T'>, daraus G'' usw. Ist das ganze selbstkonsistent, so konvergiert die Methode; man erhält tatsächlich eine Quantenfekdtheorie, aber eben augf einer klassischen Geometrie.

Der erste Fehler, den du begehst ist, dass du implizit annimmst, in der Quantenmechanik würden die Materiefelder durch Wahrscheinlichkeitsdichten beschrieben. Zunächst ist die Wahrscheinlichkeitsdichten nur eine abgeleitete Eigenschaft, die Dynamik der fundamentalen Theorie wird über die Wellenfunktion definiert. Der zweite Fehler ist, dass du mit der (nichtrelativistschen) Quantenmechanik argumentierst, während man eigentlich die Quantenfeldtheorie benötigt, die leider mathematisch weit jenseits der Begrifflichkeit der Quantenmechanik liegt.

Du kannst da nichts dafür, die Quantenfeldtheorie wird wegen der mathematischen Komplexität gerne verschwiegen. Tatsache ist jedoch, dass die heute etablierten mathematischen Methoden wie sie in Theorien wie der Quantenelektrodynamik verwendet werden, wohl nicht auf die Quantisierung der Geometrie angewandt werden können. Der wesentliche Grund dürfte wohl sein, dass man zur Quantisierung einer klassischen Feldtheorie wie der Elektrodynamik Strukturen der Raumzeit verwenden muss (Abstände, Lichtkegel, ...) die natürlich bei der Quantisierung der Geomerie noch nicht bzw. nicht mehr zur Verfügung stehen.

[RonnyRockel]

Richtig. Allerdings ist es ja der Raum zwischen Lichtquelle und Empfänger, der sich ausdehnt. Lokal dehnt sich der Raum praktisch nicht merklich aus; erst über große Entfernungen zeigen sich die Effekte der Expansion. [...]

also ist der raum im prinzip das was durch die materie aufgespannt wird. wie ich es eingangs schon sagte. raum und zeit exisitiert nur wenn ein abstand zwischen zwei punkten exisitiert und das universum ist endlich groß weil materie noch nciht so weit geschleudert wurde. anders gesagt: es macht keinen sinn sich einen raum und eine zeit vorzustellen in der noch nie materie war. der raum und die zeit wird erst dadurch erzeugt das sich materie dort befindet. in dem sinne gibt es einen rand, nämlich dort wo die entfernteste materie ist

Beschreiotb die lorentzgruppe nur koordinatentransformationen in der speziellen relativitätstheorei oder auch ganz allgemein in der ART? und wenn, kann man dann nicht gruppentheoretisch da ran gehen? symmetriegruppen kann man doch durch das Wigner-Theorem wunderbar in die quantenmechanik einfliessen lassen oder? wo liegen da die probleme?

[PeterM]

Hallo Tom!

Endlich habe ich verstanden, was mit der Hintergrundunabhängigkeit gemeint ist. Ich hatte bisher immer das Problem, dass ich in dem hintergrundunabhängigen Raum immer noch Zwischenräume gesehen habe und damit hatte ich einen zweiten Raum. Deine Erklärungen haben mir unheimlich geholfen dies endlich zu verstehen. Danke.



Jetzt steht natürlich das nächste Problem vor der Tür. Wie “pflanze“ ich die Materie in diesen Raum?

Wenn sich Materie in diesem Raum befindet, findet doch eine Art Verdrängung des Raumes statt. Verdrängung ist vielleicht nicht das richtige Wort, aber ich weiß jetzt nicht wie ich das anders nennen soll. Die Materie bewirkt ja eine Veränderung, die man als Krümmung des Raumes verstehen könnte.

Wenn ich mir jetzt diesen Vorgang vor meinen Augen bildlich ablaufen lasse, dann erkenne ich auf einmal keine Schwerkraft mehr im makroskopischen Raum, sondern sehe die Ursache der Bewegung durch den Raum begründet. Die Materie wird damit zum Spielball für den Raum. Diese Sichtweise ist damit wohl nicht so überzeugend.



Der nächste Punkt, den ich nicht so richtig geordnet bekomme ist, in welcher Form umschließt der Raum die Materie? Da die Atome für mein Verständnis ein geschlossenes System sind, müsste der Raum die Atome umgeben, damit bilden Sie doch eigentlich einen verstärkten Raum im Raum, von dem ebenfalls eine Wirkung ausgehen müsste. Dann wären Raum und Materie gleichberechtigt.

Die Masse sagt dem Raum, wie er sich zu krümmen hat,
und die Krümmung sagt der Masse, wie sie sich zu bewegen hat.

Ich habe mich jetzt mal ganz bewusst nur auf den Raum konzentriert und alles drum herum weggelassen. Materie wäre demnach nach meiner Vorstellung eine Verklumpung oder Verdickung des Raumes. Wenn Materie etwas anderes als Raum wäre, würde sie den Raum aufreißen und einen neuen Raum bilden. Demnach wäre Materie gequetschter Raum.

Lassen die mathematischen Modelle solche "Übersetzungen" überhaupt zu??

Ich würde das alles gerne wissenschaftlicher erklären, leider fehlt mir wie immer das Hintergrundwissen.

Ich kann nur hoffen, dass ich das einigermaßen rübergebracht habe, was ich meine.


Viele Grüße

Peter

P.S. Was ist denn mit dem Club los? Gehts jetzt auf den Bierkeller? Aber Bierkeller bedeutet bei euch Biergarten, glaube ich? Oder?
Ja dann wirds zu kalt.

[tomS]

also ist der raum im prinzip das was durch die materie aufgespannt wird. ... raum und zeit exisitiert nur wenn ein abstand zwischen zwei punkten exisitiert und das universum ist endlich groß weil materie noch nciht so weit geschleudert wurde. anders gesagt: es macht keinen sinn sich einen raum und eine zeit vorzustellen in der noch nie materie war. der raum und die zeit wird erst dadurch erzeugt das sich materie dort befindet. in dem sinne gibt es einen rand, nämlich dort wo die entfernteste materie ist

Jein! Raum und Zeit können (nach dem Verständnis der ART) durchaus ohne Materie existieren; allerdings gibt es nichts, was eine Längen- oder Zeitskala festsetzt. D.h. wenn es nun in einem völlig leeren Universum genau einen Beobachter gäbe, dann könnte dieser nicht feststellen, ob er sich bewegt, wie schnell, ob Zeit vergeht usw. Er würde schon in Raum und Zeit existieren, aber er würde es keinen Eindruck, keine Empfinden dafür haben können, da es keinen Bezugspnkt o.ä. gibt.

Beschreitb die lorentzgruppe nur koordinatentransformationen in der speziellen relativitätstheorei oder auch ganz allgemein in der ART?

Man muss unterscheiden zwischen der Theorie und speziellen Lösungen. Die ART selbst hat die Poincaregruppe = Lorentzgruppe * Translationen als globale Symmetriegruppe; man kann die ART auch als Eichsymmetrie bzgl. der lokalen Lorentzgruppe (ähnlich der Elektrodynamik) formulieren, das findest du aber eher nicht in den Standard-Lehrbüchern.

... symmetriegruppen kann man doch durch das Wigner-Theorem wunderbar in die quantenmechanik einfliessen lassen oder? wo liegen da die probleme?

Die Symmetriegruppe SL(2,C) ~ SU(2)*SU(2) ist tatsächlich die Symmetriegruppe der relativistischen Quantenfeldtheorie. Die Elementarteilchen transformieren auch unter bestimmten Darstellungen dieser SL(2,C); so erhält man z.B. Ruhemasse m sowie Spin =0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... aus den zwei Casimiroperatoren der SL(2,C). Die Existenz von Spin 1/2 also Fermionen ist letztlich auf die Symmetrie der Raumzeit zurückzuführen.

Aber was meinst du in diesem Zusammenhang mit "problem"? Quantengravitation? Da liegt das Problem tatsächlich wo ganz wo anders.

[tomS]

Wenn sich Materie in diesem Raum befindet, findet doch eine Art Verdrängung des Raumes statt.

Da gibt es keine Verdrängung. Der Raum ist ja nichts, das aus "etwas" besteht, das verdrängt werden müsste (also nicht so wie Wasser, das durch einen Stein verdrängt wird)

Die Masse sagt dem Raum, wie er sich zu krümmen hat,
und die Krümmung sagt der Masse, wie sie sich zu bewegen hat.

Ja, aber desegen müssen sie nicht wesensgleich sein. In der ART und auch in vielen Theorien zur QG sind es zwei verschiedene Entitäten.

Materie wäre demnach nach meiner Vorstellung eine Verklumpung oder Verdickung des Raumes. Wenn Materie etwas anderes als Raum wäre, würde sie den Raum aufreißen und einen neuen Raum bilden. Demnach wäre Materie gequetschter Raum.

Materie ist so etws wie eine Zutat zum Raum. Gemäß vieler Theorien kann man sie einfach in den Raum hineinpacken, ohne dass viel passiert. Der Raum wird (etwas) gekrümmt, mehr nicht.

Es gibt tatsächlich eine Spekulation, dass Materie soetwas wie "verdrillte Raumzeit" ist; such hier im Forum mal nach diesem Stichwort ...

Und dem Club geht's wieder besser :-)

[tomS]

Hier nochmal ein überarbeiteter Beitrag zur Problematik der Quantengravitation; ich möchte (nochmal) kurz vorstellen, warum es diese unterschiedlichen (und teilweise exotischen) Ansätze überhaupt gibt, bzw. warum der „normale“ Weg für die Formulierung einer Quantenfeldtheorie der Gravitation, wie er aus QED, QCD usw. bekannt ist, nicht funktioniert.

Zunächst: der „normale“ Weg ist heute meist die Pfadintegralquantisierung sowie die Entwicklung in eine Störungsreihe. D.h. man betrachtet ein mathematisches Objekt, das sogenannte Pfadintegral und leitet aus ihm Feynmanregeln ab. Diese beschreiben zwei Dinge:
- die Propagation (also Bewegung) eines freien Teilchens
- die Struktur der Wechselwirkung mehrerer freien Teilchen in einem Punkt
Daraus kann man nun beliebig komplizierte Feynmandiagramme zusammensetzen, die dann immer mehr Teilchen und Wechselwirkungen enthalten.

Die Idee ist dabei, dass man den vollständigen Ausdruck eines Pfadintegrals (aus dem man z.B. Observable, d.h. Messergebnisse wie Masse bzw. Energie, Streuquerschnitte usw. berechnen kann) durch eine sogenannte Störungsreihe ersetzt. Jeder Wechselwirkungspunkt trägt dabei mit einer Potenz der sogenannten Kopplungskonstanten bei. So eine Gleichung lautet dann

Observable = Observable für freies Teilchen
+ Kopplungskonstante * Summe über alle Terme mit einem Wechselwirkungspunkt
+ Kopplungskonstante zum Quadrat * Summe über alle Terme mit zwei Wechselwirkungspunkten
+ ...

Dahinter verbergen sich nun mehrere implizite Annahmen, die in der Quantengravitation alle nicht erfüllt sind:

1) man muss formulieren können, was ein freies Teilchen ist
2) das Pfadintegral muss auf Basis der „richtigen“ Freiheitsgrade der Theorie formuliert sein
3) die Kopplungskonstante muss klein sein = jeder neuen Terme stellt eine kleine Korrektur dar, da andernfalls die Reihenentwicklung divergiert
4) jeder einzelne Term in der Reihenentwicklung muss endlich sein
5) die Summe Terme in der Reihenentwicklung muss endlich sein
6) die Reihenentwicklung muss tatsächlich die gesamte Theorie umfassen, es darf z.B. keine Terme der Form 1 / Kopplungskonstante geben

Zu 1)
In einer störungstheoretischen Formulierung der Quantenmechanik nimmt man an, dass man die Metrik g als Summe einer klassischen, nicht-dynamischen Metrik g° (dem Hintergrund) und einer kleinen Variation / Fluktuation h als g = g° + h formulieren kann; h ist dann das freie Teilchen. Dies bedeutet jedoch, dass man das Konzept des freien Teilchens immer nur bzgl. der gewählten Metrik g° formulieren kann.
Bereits eine Koordinatentransformation führt dabei zu Problemen. Betrachtet man z.B. ein ruhendes und ein relativ dazu beschleunigtes Bezugssystem, so stellt man fest, dass man in dem ruhenden Bezugssystem ein Vakuum definieren kann (Vakuum = keine Teilchen, kein Gravitationsfeld), dass aber in dem beschleunigten Bezugssystem plötzlich ein thermischer Hintergrund existiert, also Teilchen mit einer gewissen Temperatur T (Unruh-Effekt). Das bedeutet, dass die Definition des Vakuums und des freien Teilchens in der ART nicht mehr so einfach funktioniert.
Bei Anwesendheit von Raumkrümmung ist die Definition eines Vakuumzustandes ebenfalls nicht mehr eindeutig möglich.
Es ist außerdem nicht mehr möglich, dass h auf g° zurückwirkt, denn g° ist fest vorgegeben. Es ist demnach unklar, wie z.B. die Quantisierung eines schwarzen Lochs funktionieren soll: muss man für g° den flachen Raum nehmen und soll das SL durch h beschrieben werden? Dann wäre das SL sicher quantisiert, jedoch wäre h nie und nimmer eine kleine Fluktuation zu g°; oder muss man bereits für g° die SL-Metrik ansetzen? Dann quantisiert man aber nicht das volle Gravitationsfeld, sondern eben nur kleine Fluktuationen.
Man fasst diese Problematik unter dem Begriff „Hintergrundunabhängigkeit“ zusammen. Man müsste prinzipiell zeigen können, dass die Aussagen der Theorie unabhängig von der exakten Wahl des Hinterrundes g° sind. In der Praxis funktioniert das Verfahren aber nicht mal für eine einzige Wahl von g°, nicht mal für die flache Metrik.

Zu 2)
Ursprünglich hat man versucht, die Metrik g bzw. deren Fluktuationen h als Freiheitsgrad zu benutzen. Nun zeigt sich bei der Analyse der ART jedoch, dass g zunächst 10 Freiheitsgrade hat (Abzählen der unabhängigen Komponenten des Metrik-Tensors) , von denen acht durch sogenannte Zwangsbedingungen (engl. Constraints) wieder verschwinden. Übrig bleiben zwei Freiheitsgrade, die den beiden Polarisationsrichtungen eines masselosen Spin-2 Feldes entsprechen. Die Implementierung der Constraints in der Quantengravitation ist nun ein nichttriviales Unterfangen, da man dazu Annahmen über die mathematische Struktur des Pfadintegrals machen muss. Insbs. muss man dieses so einschränken, dass es unabhängig von möglichen Koordinatentransformationen wird. Bei dieser Analyse stellt sich heraus, dass g als Ausgangspunkt eher schlecht geeignet ist, da man immer wieder auf mathematisch undefinierte Ausdrücke stößt.

Zu 3)
In vielen gut verstanden Feldtheorien ist die Kopplungskonstante einfach eine Zahl (z.B. in der QED die Feinstrukturkonstante, Wert ca. 1/137). In der Quantengravitation ist sie (durch das Auftreten der Newtonschen Gravitationskonstanten G) eine dimensionsbehaftete Größe. D.h. die Bedingung „klein“ muss zunächst spezifizieren „klein gegenüber was“. Es gibt aber keine zweite, unabhängige dimensionsbehaftete Größe, bzgl. derer diese Bedingung formuliert werden kann.
In der Quantengravitation stellt man fest, dass 3) zusammen mit 4) und 5) nicht gilt

Zu 4)
Die einzelnen Terme der Störungsreihe sind i.A. nicht endlich. Unendlichkeiten treten immer dann auf, wenn das Feynmandiagramm eine oder mehrere geschlossene Schleifen enthält. In anderen Theorien kennt man diese Problematik und kann sie mit einem mathematischen Trick beheben. Man führt dazu sogenannte Counterterme ein, die bei der Berechnung ebenfalls unendlich ergeben, und man kann dies nun so hintricksen, dass bei der Differenz ∞ minus ∞ etwas Endliches und physikalisch Vernünftiges übrigbleibt. Voraussetzung dafür ist, dass man die Counterterme einmal für Diagramme mit einer Schleife festlegen kann, und dass sie strukturell unverändert für alle Diagramme mit beliebig vielen Schleifen gelten.
In der Quantengravitation ist nun jede Unendlichkeit mit einer bestimmten Potenz (abhängig von der Zahl der Schleifen) der Kopplungskonstanten G multipliziert. Da G eine dimensionsbehaftete Größe ist, muss man für ein Diagramm mit mehr Schleifen wieder neue Counterterme bestimmen, d.h. es gibt nicht endlich viele sondern „unendlich viele Typen von Unendlichkeiten“ in der Theorie.
Man kann also nicht einmal die Counterterme festlegen und anschließend beginnen, die Observablen zu berechnen, sondern man müsste stattdessen erst unendlich viele Counterterme bestimmen. D.h. die Theorie hat keine Vorhersagekraft, da man unendlich viel Input benötigt, um etwas auszurechnen.
Man fasst diese Problematik unter dem Begriff „Nicht-Renormierbarkeit“ (im Sinne der Störungstheorie) zusammen.

Zu 5)
Grundsätzlich haben alle bekannten Feldtheorien (z.B. QED, QCD), die störungstheoretisch renormierbar sind – die also nicht das unter 4 beschrieben pathologische Verhalten aufweisen – trotzdem ein Problem, nämlich dass die Summe der Terme nicht konvergiert. Die ersten Terme scheinen zwar zu konvergieren, insgs. ist die Störungsreihe jedoch divergent.
Soweit kommt man bei dem o.g. Ansatz der Quantisierung der ART zwar nicht, jedoch bedeutet dies, dass man den störungstheoretischen Ansatz grundsätzlich in Frage stellen muss.

Zu 6)
Aus Theorien wie der QCD kennt man sogenannte nicht-störungstheoretische Effekte, in denen die Kopplungskonstante nicht als einfache Potenz auftritt, sondern in der z.B. Effekte mit 1 / Kopplungskonstante eine Rolle spielen. Man erwartet derartige Effekte auch in einer Theorie der Quantengravitation.
Dies bedeutet wiederum, dass man den störungstheoretischen Ansatz grundsätzlich in Frage stellen muss.

Nun zu einer kurzen Gegenüberstellung von Stringtheorie und Schleifenquantengravitation (eine Darstellung der Kausalen dynamischen Triangulation gibt es später).

Stringtheorie

Zu 1)
Wird in der Stringtheorie nicht gelöst und ist eines der zentralen Probleme!
Die Stringtheorie betrachtet die Propagation eines Strings (das ist nicht dasselbe wie h) auf einer vorgegeben Raumzeit, d.h. einem festen Hintergrund g°. Für dieses g° gilt soweit ich weiß die Konsistenzbedingung der Ricci-Flachheit. Es gibt keine Möglichkeit, die Äquivalenz der Theorie für verschiedene g° zu zeigen; es gibt keine Formulierung der Theorie, wenn g° nicht diese Bedingung erfüllt (also z.B. für realistische Schwarze Löcher).

Zu 2)
Wird in der Stringtheorie „gelöst“. Die richtigen Freiheitsgrade sind die Strings (und nicht die Metrik). Das Graviton erscheint als spezielle Ausprägung eines Strings.
Weitere Probleme, ob nun der String tatsächlich das einzige fundamentale Objekt ist, soll hier nicht diskutiert werden.

Zu 3)
Wird in der Stringtheorie „gelöst“.
Es existiert eine neue Kopplungskonstante. G ist keine Konstante mehr, sondern wird dynamisch durch den Wert eines bestimmten Feldes festgelegt.
Zu weiteren Problemen siehe 5)

Zu 4)
Wird in der Stringtheorie nicht gelöst, es gibt die Behauptung und einige gute Argumente, dass alle Terme der Störungsreihe endlich sind, jedoch meines Wissens nach keinen mathematischen Beweis!
Die Argumente sind jedoch ziemlich überzeugend: Die Divergenzen entstehen in den Schleifendiagrammen (die es in der Stringtheorie auch gibt), wenn die „Schleifengröße gegen null geht“. Zeichnet man so ein Diagramm, dann entspricht dies in der Zeichnung z.B. dem Fall, dass die beiden Wechselwirkungspunkte, an denen die Schleife angeknüpft ist, gegeneinander streben und zu einem einzigen Punkt werden. Physikalisch entspricht dies dem Grenzfall, dass zwei Ereignisse am selben Punkt stattfinden, bzw. dass zwischen zwei Punkten ein Teilchen mit unendlich hohem Impuls propagiert.
Diese Betrachtungsweise existiert in der Stringtheorie nicht mehr. Der Wert eines Terms hängt überhaupt nicht mehr von der “Größe“ einer Schleife oder deren genauen Form ab. Nur die Topologie eines Diagramms interessiert. D.h. dass die einzelnen Terme in der Störungsreihe bereits ohne den Trick der Renormierung (∞ minus ∞) ausschließlich endliche Werte haben und dass überhaupt keine Counterterme mehr benötigt werden.
Dazu trägt auch die verwendete Supersymmetrie bei, bei der Effekte ähnlich der von Countertermen automatisch eingebaut sind, d.h. dass sich Unendlichkeiten auch deswegen nicht ergeben, weil supersymmetrische Partner zu den Termen mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen beitragen und sich potentielle Unendlichkeiten so gegenseitig wegheben.
Soweit ich weiß ist dies alles zwar sehr gut motivierbar, der mathematische Beweis steht aber für Diagramme mit mehr als zwei Schleifen noch aus (und ist nach ggw. Wissenstand aufgrund der außerordentlichen mathematischen Komplexität nicht durchführbar).

Zu 5)
Es gibt keinen Beweis, dass die Störungsreihe konvergiert. Es gibt sogar immer wieder Hinweise, dass sie auch unter Voraussetzung der Lösung des Problems 4) divergiert!

Zu 6)
Die Entwicklungen der letzten 10 – 15 Jahre hat gezeigt, dass die Störungsreihe in der Stringtheorie tatsächlich nicht deren gesamten physikalischen Inhalt reproduziert; Stichworte sind Branen und Dualitäten.
Aus diesen ergibt sich zwar kein endgültiges, harmonisches Bild einer Theorie, jedoch Erkenntnisse, die deutlich über die naive Quantisierung der ART und die Störungstheorie hinausgehen.
Schlussfolgerung ist, dass die rein störungstheoretische Quantisierung der Stringtheorie nicht zum Ziel führt.

Schleifenquantengravitation

Zu 1 – 5)
Die Schleifenquantengravitation basiert nicht auf der Forderung der Existenz von freien Teilchen und nutzt an keiner Stelle ein Pfadintegral bzw. die Entwicklung in eine Störungsreihe. Die aus h abgeleiteten Gravitonen spielen ebenfalls als fundamentale Objekte keine Rolle.
Daher treffen die meisten o.g. Probleme einfach nicht zu. Die Theorie produziert ausschließlich endliche Werte – und sie löst insbs. das Problem der „Hintergrundunabhängigkeit“.
Es gibt jedoch ein zentrales, völlig anders gelagertes Problem der Schleifenquantengravitation: Sie benötigt den als zentrales Objekt den sogenannten Hamilton- oder Energieoperator H. Es ist bis heute nicht gelungen, diesen eindeutig zu konstruieren. D.h. es gibt einige vielversprechende Ansätze, jedoch stellt man immer wieder fest, dass den konstruierten H’s teilweise wichtige Eigenschaften fehlen, so dass immer noch Zweifel bestehen, ob
- die Theorie der Schleifenquantengravitation kosnsistent und eindeutig ist
- die Schleifenquantengravitation auf makroskopischen Längenskalen die ART reproduziert

[RonnyRockel]

Hallo!

mal ne Frage zu der Renormalisierung: ich hab irgendwo gelesen, dass es sogar ein mathematischen beweis dafür gibt, dass sich eine feldtheorie gar nicht störtheoretisch betrachten liese, stimmt das? man macht das ja nun aber trotzdem so und es funktioniert nihct, erst mit der renormierung funktioniert es, könnte man dann nciht vermuten das der grund für die renormierung schon vorher zu suchen ist, also in dem störtheoretischen ansatz? (soweit ich das verstanden habe ist die renormierung recht willkürlich und hat keine physikalische begründung, stimmt das?)

[tomS]

Das ist insgs. ein relativ komplexes Thema.

Zunächst mal muss man Feldtheorien nach möglichen Divergenzen klassifizieren. Man nennt das "Power-Counting", dabei werden die Potenzen der Kopplungskonstante g, g², g³, ... bzgl. ihrer Massendimension betrachtet. Man unterscheidet dabei zwischen endlich (keine Diverenz), super-renormierbar (endliche viele Divergenzen z.B. nur in erster Ordnung, aber endlich ab zweiter Ordnung), renormierbar (unendlich viele Divergenzen in allen Ordnungen, aber nur endlich viele "Typen"), nicht-renormierbar (unendlich viele Divergenzen in allen Ordnungen, wobei immer neue Typen auftreten).

Im wesentlichen hängt die Renormierbarkeit von der Form des Wechselwirkungstermes und der Dimension ab, man versteht das recht einfach wie folgt: Für eine Wechselwirkung hat man die Propagation eines freien Teilchens sowie die WW mit einem anderen Teilchen. Die Propagation wird durch einen Propagator beschrieben, der im Impulsraum typischerweise mit 1/p[up]2[/up] skaliert, während das Integral selbst mit d[up]D[/up]p = dp p[up]D-1[/up] skaliert. Über derartige Betrachtungen findet man den Grad der Divergenz eines Integrals: dp/p[up]2[/up] ist endlich, dp/p liefert eine logarithmische Divergenz, ...

QED, QCD, al.-schw. WW sind renormierbar; Theorien in 1+1 Dimensionen sind häufig superrenormierbar, da sie sich wegen der geringeren Dimensionszahl besser verhalten. Die Gravitation (störungstheoretische Quantisierung von Fluktuationen der Metrik) ist nicht-renormierbar, da in jeder Ordnung neue Terme auftreten (dazu später mehr).

Dann gibt es noch Symmetrieargumente, die zu besserem Verhalten führen können. So ist m.W.n. die Gravitation nach Power-Counting bereits in erster Ordnung divergent, in der Praxis aber erst in zweiter Ordnung; die Divergenz in erster Ordnung entfällt wegen einer zusätzlichen Symmetrie. Supersymmetrie ist eine Möglichkeit, dass sich aufgrund zusätzlicher Symmetrien bestimmte divergente Terme gegenseitig exakt aufheben (bzw. dass nur endliche Beiträge übrig bleiben). Im Falle der Supergravitation scheint das Gravitino Diverenzen des Gravitons abzumildern. Bestimmte SUGRAs wurden teilweise als endlich, teilweise als renormierbar betrachtet; ich glaube nicht, dass man das schon endgültig weiß. Bestimmte SUGRAs haben evtl.die Eigenschaft, dass die Divergenzen nur "off-shell" auftreten. Das bedeutet, dass die Divergenzen nur in virtuellen Zwischenzuständen auftreten, aber in den physikalischen Prozessen = "on-shell" nur endliche Werte auftreten. Ein endgültiger Beweis steht noch aus.

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Grundsätzlich ist das die rein störungstheoretische Quantisierung mit Vorsicht zu genießen, dabei handelt es sich nicht nur um die Divergenzen.

1) In der Quantengravitation entwickelt man das Gravitationsfeld als kleine Fluktuation um eine klassische Metrik. Dies bricht die Diffeomorphismen-Invarianz der Theorie und möglicherweise bereits vom Ansatz her falsch.
2) Die Standard-Formulierung einer Feldtheorie benötigt eine vorgegebene Raumzeit, um die auftretenden mathematischen Objekte zu definieren; insbs. beschreibt man mittels eines Propagators, wie sich ein "Teilchen von x nach y bewegt"; der Propagator ist dabei formal G(x-y). In der Quantengravitation hat man das Problem, dass x und y, also der Raum bzw. der Abstand ja gar nicht fest vorgegeben sind, da sie erst aus der Theorie entstehen.
3) Es gibt Effekte, u.a. in der QCD, die sogenannten Instantonen, die eine Art Tunneleffekt zwischen zwei Vakuumzuständen darstellen, d.h. die Theorie befindet sich in einem Vakuum und tunnelt in ein anderes Vakuum. Instanton heißt dieser Übergang, weil dabei eine räumlich und zeitlich lokalisierte Fluktuation scheinbar aus dem Nichts auftritt. Bei der Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeit treten dabei Terme auf, die sich wie 1/g² verhalten; Störungstheorie gilt dabei für g~0, dabei sind diese Terme aber nicht klein, sondern ihrerseits wieder divergent. D.h. diese Effekte lassen sich in der Störunsgtheorie unabhängig von Renormierbarkeit nicht betrachten
4) Bei der Quantisierung von Eichtheorien tritt das Problem der Gribov-Mehrdeutigkeiten auf. Zur Erklärung: Das Photon hat zwei Freiheitsgrade = Polarisationen, das Eichfeld dagegen vier Komponenten (Vierer-Vektor), d.h. zwei zuviel. Man eliminiert nun diese überzähligen Freiheitsgrade durch Fixierung der Eichung. Dabei zeigt sich, dass dies in komplizierteren, nicht-abelschen Eichtheorien nur lokale funktioniert. Ohne auf die Details eingehen zu wollen: stell dir zwei sich schneidende Kurven vor; Eichfixierung bedeutet, eine Kurve zu wählen, wobei der Schnittpunkt mit der anderen Kurve die Eichung festlegt; im Falle von Gribov-Mehrdeutigkeiten hat man mehrere Schnittpunkte. Die zugehörige Pfadintegralquantisierung ist dann nur lokal um den einen Schnittpunkt definiert und nicht global gültig.
5) Letzter Punkt: Störungstheorie bedeutet, dass man eine physikalische Größe, z.B. einen Streuquerschnitt nach Potenzen der Kopplungskonstanten entwickelt, z.B.
A = A[down]0[/down] + g[up]1[/up] A[down]1[/down] + + g[up]2[/up] A[down]2[/down] + ...
g steht für die Kopplungskonstante, A für die physikalischen Größen, die nach der Renormierung alle endlich sind. Selbst wenn man dies erreicht, ist noch lange nicht gesagt, dass die gesamte Summe für A konvergent ist. Im Gegenteil: es gibt in vielen Theoren Hinweise oder Beweise, dass die Summe divergiert.
Betrachte die Funktion 1/(1-x). Die Entwicklung lautet 1/(1-x) = 1 + x + x[up]2[/up] + x[up]3[/up]. Die Funktion 1/(1-x) ist definiert für alle Werte ungleich 1. Die Entwicklung gilt aber nur für |x|<1, d.h.man schränkt die Gültigkeit deutlich ein.

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Zusammenfassung: Störungstheorie ist eine Rechenmethode, um in bestimmten Bereichen physikalische Ergebnisse abzuleiten; eine rein störunsgtheoretische Definition einer Theorie ist häufig unzureichend.

[RonnyRockel]

RonnyRockel hat geschrieben:
... symmetriegruppen kann man doch durch das Wigner-Theorem wunderbar in die quantenmechanik einfliessen lassen oder? wo liegen da die probleme?
Die Symmetriegruppe SL(2,C) ~ SU(2)*SU(2) ist tatsächlich die Symmetriegruppe der relativistischen Quantenfeldtheorie. Die Elementarteilchen transformieren auch unter bestimmten Darstellungen dieser SL(2,C); so erhält man z.B. Ruhemasse m sowie Spin =0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... aus den zwei Casimiroperatoren der SL(2,C). Die Existenz von Spin 1/2 also Fermionen ist letztlich auf die Symmetrie der Raumzeit zurückzuführen.

Aber was meinst du in diesem Zusammenhang mit "problem"? Quantengravitation? Da liegt das Problem tatsächlich wo ganz wo anders.

ja ich meine schon quantengravitation: und zwar hat man doch die poincare-gruppe die doch die ART im prinzip zusammenfasst. also sie sagt mir doch wie materie im zusammenhang steht, oder? oder anders: man kann die gravitation gruppentheoretisch beschreiben? ich weiss leider nciht wie ich das richtig ausdrücken soll...naja ich stell mir das so vor: eine gruppe besteht aus objekten, z.b. matrizen die im minkowski raum wirken. diese matrizen geben das transformationsverhalten von teilchen, also letztendlich die bewegung des teilchens durch den raum, und zwar entsprechend der einsteinschen feldgleichungen an. jedenfalls kann man dann doch die poincare gruppe (die ganz allgemeine mit beliebiger metrik oder meinetwegen mit einer speziellen metrik wie schwarzschild oder so) über das wigner theorem in den hilbert raum der quantenmechanik darstellen. und dann hat man transformationen entsprechend der darstellungen die einen dann doch sagen müssten wie quantemechaniche objekte (felder) auf die gravitation wirken und andersrum.

[tomS]

Ich weiß nicht genau, wie wir das diskutieren sollen. Ich fasse mal kurz den Formalismus der LQG zusammen (dieser ust relativ einfach; in anderen Theorien zur QG sieht das teilw. völlig unterschiedlich aus!)

Üblicherweise ist die Vorgehensweise in der Quantenfeldtheorie wie folgt: Man kennt eine bestimmte (globale oder lokale) Symmetrie. Diese Symmetrie muss nun auf einer bestimmten Darstellung realisiert sein. Man benötigt in unserem Fall Felder, die bzgl. einer Darstellung der Poincare-Gruppe transformieren (lass' und mal den Spezialfall Lorentz-Gruppe betrachten). Dies sind ganz generell Tensor- bzw. Spinorfelder. Da für SO(3,1) ~ SU(2)*SU(2) gilt, ist die zugrundeliegende Gruppe nicht halbeinfach, d.h. dass man hier zwei Darstellungenslabels benötigt. Diese werden über die beiden Spin-Quantenzahlen der beiden SU(2) numeriert.
(0, 0) ist ein Skalarfeld
(1/2, 1/2) ist ein Diracscher Viererspinor
(1/2, 0) bzw. (0, 1/2) wäre ein Weyl-Spinor (kommt m.W.n. in der Mathematik des Standardmodells nicht vor)
(1, 0) bzw. (0, 1) sind ko- bzw. kontravariante Vektorfelder
(2,0 bzw. (0, 2) sind ko- bzw. kontravariante Tensorfelder zweiter Stufe

bekannte Beispiele:
(0, 0) Higgsfeld
(1/2, 1/2) Elektronen / Positronen-Feld
(1, 0) bzw. (0, 1) elektromagnetisches Viererpotential
(2,0 bzw. (0, 2) elektromagnetischer Feldstärketensor

In der ART gelten natürlich für alle Felder, die sich aus der Metrik konstruieren lassen, ebenfalls entsprechende Darstellungen; z.B. ist die Metrik selbst ein (2,0) Tensor.

Nun werden die sogenannten Ashtekar-Variablen eingeführt. Diese sind ein "Zusammenhang" A[up]a[/up][down]m[/down](x) (engl. Connection), die sich nicht wie ein Vektor bzw. Tensor transformiert, obwohl ein Vektorindex m vorliegt (!) sowie ein sogenanntes Dreibeinfeld E[up]a[/up][down]m[/down](x) das sich wie ein Vektor transformiert. Zur Bedeutung der Felder: E[up]a[/up][down]m[/down](x) ist formal soetwas wie ein elektrisches Feld, allerdings mit einem zusätzlichem Index a. Dieser entspricht einem Vektorindex der SU(2) (es bleibt nur eine SU(2) übrig; warum, klären wir später). Dieser zusätzliche Index ist vom elektrischen Feldher nicht bekannt. A[up]a[/up][down]m[/down](x) ist formal soetwas wie ein elektromagnetisches Viererpotential, wiederum mit einem zusätzlichem Index a.

Vergleicht man dies mit der Elektrodynamik, so fällt der zusätzliche Index a auf. Man kennt soetwas aus komplizierteren Eichtheorien, so existiert in der QCD eine "Farb-Ladung" für Quarks und Gluonen, die durch einen derartigen Index numeriert wird. D.h. die SU(2) Symmetrie, die auf dem Index a operiert ist eine lokale Eichsymmetrie. Diese ist in der "normalen" Formulierung der ART, so wie man sie aus Lehrbüchern kennt, nicht sichtbar.

Woher kommt nun diese lokale Eichsymmetrie? Man betrachtet zunächst eine Zerlegung der 4-dim. Raumzeit in einen 3-dim. Raum sowie eine darauf senkrecht stehende Zeitkoordinate. Der Index a lebt nur "in diesem 3-dim. Raum", d.h. die Zerlegung führt zum Verschwinden der einen SU(2). Geht man von dert vollen Loretzgruppe SO(3,1) aus, so ist der Index a soetwas wie der Index bzgl. der Rotationen in drei Dimensionen, d.h. SO(3). Nun führt man an jedem Punkt des 3-dim. Raumes einen flachen Tangentialraum ein (stell dir eine gekrümmte 2-dim. Fläche vor und lege in jedem Punkt eine flache Tangentialebene an). Nun zeichnest du in jedem Tangentialraum ein beliebiges Koordinatensystem mit drei "Basisvektoren" ein. Formal hast du damit an jedem Punkt x drei dreidimensionale Vektoren, die selbst mit m=1..3, deren Komponenten mit a=1..3 numeriert werden; dies wird zu dem o.g. Dreibeinfeld E[up]a[/up][down]m[/down](x) zusammengefasst. Die Symmetrie ist nun die Drehung der Koordinatenachsen E[up]a[/up][down]m[/down](x). Diese sind beliebig je x wählbar. Nun muss man jedoch eine Regel haben, wie sich die lokal beliebig verdrehten Koordinatensysteme vergleichen lassen, und dies liefert der Zusammenhang A[up]a[/up][down]m[/down](x).

Diese künstlich eingeführte lokale Eichsymmetrie bringt die ART "in die Nähe" einer normalen Eichtheorie. Es gibt allerdings auch wesentliche Unterschieden: Die Dynamik bzw. die genaue Form der Feldtheorie ist völlig unterschiedlich zu einer Standard-Eichtheorie (lediglich die "algebraiasche Struktur" ist ähnlich. Die Frage der Renormierbarkeit hat nicht direkt etwas mit dieser Gruppentheorie zu tun.

Hilft dir das als Einstieg?

[tomS]

Ein lesenswerter Artikel von Prof. Nicolai (Experte auf dem Gebiet Stringtheorie, Supergravitation)

[tomS]

sorry: http://www.spektrum.de/artikel/969247

[RonnyRockel]

hallo Tom

ja das ist ein anfang, wirft aber viele fragen auf

also nochmal:
die einsteinsche feldgleichung bestimmt wie die metrik auszusehen hat. wenn ich die metrik habe kann ich felder daraus konstruieren. was für felder sind das, jetzt mal anschaulich gesprochen, sidn das schon die teilchen oder ist das "nur" das gravitationsfeld?

die ashtekar variablen sind rein klassisch ja? da ist noch ncihts quantenmechanisches passiert, und sie sind auch absolut allgemein oder? d.h. es handelt sich um eine art umformulierung der ART, oder besser gesagt um eine spezielle form der ART (nämlich mit diesen speziellen variablen), ja?

woher kommt dann dieser neue index...kann man das beantworten? und wie geht da die quantisierung von statten? was quantisiere ich denn dann? die ashtekar variablen? was wird denn durch die ashtekar variablen überhaupt beschrieben? das dreibein-feld scheint ja die struktur des raumes also die krümmung und so weiter zu beschreiben, also wo sich punkte befinden und der zusammenhang verbindet gewissermaßen die punkte, d.h. er sagt mir wie ich von einem punkt zu dem anderen "laufen" muss (wie oft ich mich drehen muss etc.).

und wo ist da die eichtheorie? was genau wird da geeicht? kann man die ashtekar variablen an jedem punkt wählen, oder die richtung von dem dreibein, also den index a? und wohin führt das? anschaulich ist mir nämlich nicht klar wie man sich das vorzustellen hat. man hat also eine gewisse symmetrie (vorgegeben durch die ART?) die eine unbestimmtheit von variablen oder feldern oder was auch immer bewirkt, damit habe ich also eine wahl, ich kann etwas eichen, also beliebig festlegen. man kann also z.b. die bewegungsgleichung eines feldes an jedem punkt durch die gleichen gleichungen beschreiben, weil die untrschiede die durch die lorentztrafo kommen sich durch entsprechende lokale eichung aufheben, stimmt das?

ist eine eichtheorie prinzipiell auch noch klassisch? und die quantisierung einer eichtheorie fällt nur einfacher oder wie ist das?

und dann habe ich bei wikipedia gelesen:

Weyl entdeckte die Eichinvarianz zunächst in der Elektrodynamik und versuchte durch Anwendung des Prinzips auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie die Elektrodynamik und die Gravitation zu einer Theorie zu vereinigen. Die daraus resultierende Theorie erwies sich jedoch als falsch.

darum geht es ja hier gerade nicht wahr? ist dieser ansatz nun falsch oder ist er nur noch nicht "zuendegedacht"

[tomS]

die einsteinsche feldgleichung bestimmt wie die metrik auszusehen hat. wenn ich die metrik habe kann ich felder daraus konstruieren. was für felder sind das, jetzt mal anschaulich gesprochen, sidn das schon die teilchen oder ist das "nur" das gravitationsfeld?

Nein, du konstruierst keine weiteren Felder aus der Metrik. Die Metrik ist „nur“ das Gravitationsfeld, daraus kannst du Abstände, Winkel, Krümmung etc. berechnen. In der Schleifenquantengravitation gibt es keine weiteren Teilchen, es ist zunächst eine reine Theorie der Quantengravitation. Du kannst jedoch zusätzliche Felder einführen, die dann Teilchen beschreiben, aber das ist hier (noch) nicht das Thema.

die ashtekar variablen sind rein klassisch ja? da ist noch ncihts quantenmechanisches passiert, und sie sind auch absolut allgemein oder? d.h. es handelt sich um eine art umformulierung der ART, oder besser gesagt um eine spezielle form der ART (nämlich mit diesen speziellen variablen), ja?

Nicht um eine spezielle Form, sondern um eine klassisch absolut äquivalente Formulierung. Allerdings bietet sie im Zuge der Quantisierung „technische Vorteile“, sie erlauben es nämlich, den Formalismus der Eichsymmetrie zur Anwendung zu bringen, der aus den Quantenfedtheorien Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und Quantenflavordynamik (GSW-Theorie der erlektroschwachen WW) bekannt und gut verstanden sind.

woher kommt dann dieser neue index...

Ich habe versucht, das zu erklären. Du definierst in jedem Punkt der Raumzeit ein Koordinatensystem. Dazu benötigst du drei Vektoren (die du mit m=1..3 nummerierst) von denen jeder drei Komponenten hat (die du mit a=1..3 nummerierst). Der zusätzliche Index kommt also daher, dass du dieses zusätzliche Koordinatensystem einführst. Daraus kannst du übrigens die Metrik rekonstruieren, d.h. dieses Koordinatensystem ist fundamentaler. In der klassischen ART ist diese Formulierung optional, sobald man aber Spin-1/2 Teichen einführt, ist eine derartige Formulierung zwingend! Die Ashtekar-Variablen sind eine spezielle Form dieses Formalismus, es gibt nämlich noch einige Freiheiten.

und wie geht da die quantisierung von statten? was quantisiere ich denn dann? die ashtekar variablen?

Ja, zunächst quantisierst du die Ashtekar-Variablen A und E, d.h. Felder, die die Geometrie der Raumzeit beschreiben. Allerdings werden in der Folge noch einige Umformulierungen durchgeführt, wenn man die Theorie teilweise lös, d.h. auch die Ashtekar-Variablen sind noch nicht die fundamentalen Objekte in der LQG.

was wird denn durch die ashtekar variablen überhaupt beschrieben? das dreibein-feld scheint ja die struktur des raumes also die krümmung und so weiter zu beschreiben, also wo sich punkte befinden und der zusammenhang verbindet gewissermaßen die punkte, d.h. er sagt mir wie ich von einem punkt zu dem anderen "laufen" muss (wie oft ich mich drehen muss etc.).

Aus dem Dreibein kann die Metrik der 3-Mannigfaltigkeit rekonstruiert werden; der Zusammenhang beschreibt (grob gesprochen), wie die Koordinatensysteme in benachbarten Punkten gegeneinander verdreht sind; das hat etwas mit der Krümmung der 3-Mannigfaltigkeit zu tun.

und wo ist da die eichtheorie? was genau wird da geeicht? … damit habe ich also eine wahl, ich kann etwas eichen, also beliebig festlegen.

Die Eichfreiheit besteht darin, dass du die Koordinatensysteme, also die Dreibeine in jedem Raumzeitpunkt beliebig festlegen kannst. Wenn du normalerweise ein Koordinatensystem (in deinem Wohnzimmer) wählst, dann legst du die Bedeutung der Richtung in jedem Punkt deines Wohnzimmers identisch fest („rechts“ bedeutet überall dasselbe). Die lokale Eichtheorie besagt nun, dass du diese Wahl in jedem Punkt beliebig treffen kannst. Nun hast du natürlich das Problem, dass die Bedeutung von „rechts“ an jedem Punkt eine andere ist. Das Eichfeld A erlaubt es nun, eine Vorschrift einzuführen, wie sich ein Koordinatensystem von einem zum anderen Punkt verändert, so dass man die Richtung von Vektoren doch wieder vergleichen kann.

ist eine eichtheorie prinzipiell auch noch klassisch? und die quantisierung einer eichtheorie fällt nur einfacher oder wie ist das?

Genau so wie du sagst. Die klassische Elektrodynamik (nach Maxwell) Ist ebenfalls eine Eichtheorie, allerdings „lebt“ die Symmetrie nicht in der Raumzeit, sondern auf einem „Kreis“, den man sich zu jedem Raumzeitpunkt hinzudenken darf; auf diesem Kreis lebt eine Phase, d.h. eine Winkelvariable. Diese wird anstatt des Koordinatensystems gedreht.

und dann habe ich bei wikipedia gelesen:

Weyl entdeckte die Eichinvarianz zunächst in der Elektrodynamik und versuchte durch Anwendung des Prinzips auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie die Elektrodynamik und die Gravitation zu einer Theorie zu vereinigen. Die daraus resultierende Theorie erwies sich jedoch als falsch.

darum geht es ja hier gerade nicht wahr? ist dieser ansatz nun falsch oder ist er nur noch nicht "zuendegedacht"

Weyl versuchte, die Eichsymmetrie auf den Begriff länge anzuwenden; das erwies sch tatsächlich als nicht tragfähig. Es gibt aber nicht DIE Eichtheorie, sondern es handelt sich dabei um eine große Klasse von Theorien, die sich im Allgemeinen wie folgt formulieren lassen:
Man nehme die Symmetrie eines Raumes (z.B. Drehungen, es gibt allerdings auch andere Formen). Man führe Vektorfelder (oder Spinorfelder) ein, die sich unter dieser Drehung eben wie Vektoren drehen; man lasse Drehungen zu, die in jedem Punkt der Raumzeit beliebig gewählt werden dürfen (man spricht deswegen auch von lokalen Eichsymmetrien); man führe ein Eichfeld ein, das den Effekt dieser Drehungen kompensiert.

Wir werden später sehen, wie man auf Basis der Ashtekarvariablen die Quantisierung tatsächlich durchführt …

[tomS]

Ein kurzer Einstieg in die Quantisierung: Man ersetzt in einer Feldtheorie üblicherweise Funktionen, in unserem Fall A(x) und E(x) durch sogenannte Operatoren. Nun betrachtet man in der Schleifenquantengravitation nicht die Funktionen selbst, sondern "integrierte" Objekte, nämlich im Falle von A eine sogenannte Holonomie, um Falle von E einen Fluss; die Holonomie h[down]C[/down][A] ist dabei soetwas wie eine "verallgemeinerte elektrische Ringspannung" entlang einer Kurve C; der Fluss F[down]S[/down][S,F] entspricht dabei soetwas wie einem "verallgemeinerte elektrischen Fluss" durch eine Fläche S. Die Quantisierung trifft dabei Aussagen über die Beziehung zwischen diesen Objekten, wenn die Kurve C die Fläche S durchdringt. Der Begriff Schleifenquantengravitation stammt daher, dass man geschlossene Kurven C°, also Schleifen, betrachtet. Die so definierten Holonomien sind automatisch eichinvariant.

Aufgrund der Eichsymmetrie sind dies genau die richtigen Objekte, die man zu einer Formulierung der Theorie benötigt. Eine zusätzliche Symmetrie der Theorie, die sogenannte Diffeomorphismeninvarianz stellt dabei sicher, dass die Quantisierung auf Basis dieser Objekte funktioniert. Dies ist nicht trivial, da man dieselben Objekte auch in anderen Eichtheorien konstruieren kann, dort versagt diese Quantisierung jedoch, da die zusätzliche Symmetrie fehlt.

@RonnyRockel: wieviel Vorkenntnisse hast du denn in Physik und Mathematik?

[tomS]

Wir haben uns (leider) vom Niveau her von einer Einsteigerdiskussion wegbewegt. Hier also die Anregung - falls noch Diskussionsbedarf besteht - auch wieder etwas weniger abgehoben zu diskutieren. Hat jemand noch Anregungen, Fragen, ... ?

[RonnyRockel]

Nein, du konstruierst keine weiteren Felder aus der Metrik. Die Metrik ist „nur“ das Gravitationsfeld, daraus kannst du Abstände, Winkel, Krümmung etc. berechnen. In der Schleifenquantengravitation gibt es keine weiteren Teilchen, es ist zunächst eine reine Theorie der Quantengravitation. Du kannst jedoch zusätzliche Felder einführen, die dann Teilchen beschreiben, aber das ist hier (noch) nicht das Thema.

also quantisiere ich die metrik selber? ich meine irgendwie muss das doch auch begrifflioch stimmen, es ist ja schliesslich eine "quanentfeld theorie".

Nicht um eine spezielle Form, sondern um eine klassisch absolut äquivalente Formulierung.

mit speziell meinte ich, dass man spezielle koordinaten nimmt...man müsste doch die ART auch koordinatenunabhängig aufstellen können oder?

die quantisierung der raum-zeit entsteht also durch die quantisierung der ashtekar-variablen, weil die ja die raumzeit-struktur beschriben. oder anders: die metrik als feld wird quantisiert. und dies macht man so weil man es bis jetzt immer so gemacht hat (oder warum sonst sollte man diese variablen quantisieren? ist die loop theorei nur ein "test" oder gibt es eine konkrete motivation die raum-zeit zu quanteln?) das ist doch im prinzip der kanonische formalismus: ich nehem ein klassisches feld und ersetze gewisse funktionen durch operatoren. ich hbae das schonmal gefargt aber du hast glaube nicht geantwortet: wenn man die lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens hat (in der ART) also dies Wurzel aus der metrik über den raum integriert (oder so), dann könnte man doch über den kanonischen formalismus die quantisierung durchführen, also: hamilton-fkt über legendre trafo bilden, bew.-gleichungen aufstellen, die geben die feldgleichungen die löst man und quantisiert die lösung (also die koeffizienten in der lösung). wie weit kommt man durch diese methode? irgendwie klingt das mit den ashtekar variablen und der loop-gravitaion so als ob man genau das machen würde. (ausser das man die ART vorher noch etwas umformuliert).

zu meinem mathe und physik verständnis: ich hab das mal angefangen zu studieren, kenne mich mit QM und QFT einiger maßen aus, mit Diff-geom. ein bisschen aber mit begriffen wie holonomie kann ich gerade (noch) ncihts anfangen, also wenn dir das niveau nicht sio wichtig ist kannst du mich ruhig mit mathe und physik beballern. zum niveau: wie kann man so ein thema überhaupt auf einsteiger niveau diskutieren ohne nur nohcmehr zu verwirren und noch mehr fragen aufzustellen? ich kann mir das nciht vorstellen....

[RonnyRockel]

wie ist das eigentlich: man kann ja die elektrodynamik auch, wie die ART als reine geometrie verstehen, d.h. der Raum wird hier durch Ladung unterschiedlich (je nach dem ob positiv oder negativ) gekrümmt. d.h. man müsste el-dyn. auf die selbe art und weise formulieren können. hat das schon jmd getan? und wenn ja wo kann man was dazu lesen, möglichst mathematisch... und wenn man das getan hat, kann man dann nciht, da man ja die quantisierung der el-magn- felder sehr gut versteht nicht gewisse analogien zur quantisierung der gravitations-felder ziehen? d.h. man formuliert die el-dyn. in die sprache der diff-geom. um und schaut dann was man dort genau und wie quantisieren muss um auf die wohlbekannte QED zu kommen, und macht dann genau das selbe in der ART. geht das?

[tomS]

also quantisiere ich die metrik selber? ich meine irgendwie muss das doch auch begrifflioch stimmen, es ist ja schliesslich eine "quanentfeld theorie".

Du quantisierst nicht direkt die Metrik, sondern die sogenannte Ashtekar-Variablen A[up]a[/up][down]m[/down](x) und E[up]a[/up][down]m[/down](x); diese sind aber eng mir der Metrik verwandt, d.h. die quantisierte Metrik ist eine abgeleitete Größe; s.u.

mit speziell meinte ich, dass man spezielle koordinaten nimmt...man müsste doch die ART auch koordinatenunabhängig aufstellen können oder?

Das ist auch so. Du verwechselst die Koordinaten x (die hier eigentlich für einen Satz vierdimensionaler Variablen stehen) mit den Feldern A[up]a[/up][down]m[/down](x) und E[up]a[/up][down]m[/down](x). Die Wahl des Koordinatensystems ist beliebig, d.h. die Theorie ist tatsächlich koordinatensystemunabhängig, mathematisch gesprochen diffeomorphismeninvariant Insbs. kann man an jedem Punkt der Raumzeit ein Koordinatensystem beliebig wählen. Diese Freiheit in der Wahl des Koordinatensystems steckt in den Koordinaten x. Quantisiert werden aber nicht die Koordinaten sondern die Ashtekar-Variablen A[up]a[/up][down]m[/down](x) und E[up]a[/up][down]m[/down](x). Diese entsprechen einer Umformulierung der ART, d.h. man kann die bekannte Formulierung, in der die Metrik vorkommt, aus den Ashtekar-Variablen wieder rekonstruieren. Die Ashtekar-Variablen beschreiben nur die Geometrie euf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit, die "Zeitentwicklung" senkrecht zu diesen drei Dimensionen steckt an einer anderen Stelle in der Theorie. Man erhält die Metrik dieser dreidimensionalen Mannigfaltigkeit im wesentlichen aus den Dreibeinen, d.h.

g[down]mn[/down](x) = E[up]a[/up][down]m[/down](x) E[up]a[/up][down]n[/down](x)

Dabei ist dies als 3*3 Matrizenmultiplikation zu verstehen, wobei a der Index ist, über den summiert wird.

Die Ashtekar-Variablen sind in gewisser Weise fundamentaler als die Metrik selbst - und sie führen zu einer Theorie, deren Quantisierung gut verstanden ist, während die Quantisierung der Metrik zu mathematischen Inkonsistenzen führt. In der Theorie stecken im wesentlichen drei Gleichungen:

G[up]a[/up](x) = 0
D[up]a[/up](x) = 0
H(x) = 0

Diese Gleichungen werden in quantenfeldtheoretische Operatorleichungen umgeschrieben. Ihre Bedeutung ist im wesentlichen folgende:

G[up]a[/up](x) heißt Gauß-Constraint und ist dem Gauß-Gesetz aus der Elektrodynamik verwandt (wenn auch komplizierter, da wir es hier mir drei Constraints indiziert durch a zu tun haben, während in der Elektrodynamik nur eine Gleichung existiert). Im Gauß-Constraint steckt die Eichinvarianz der Theorie, d.h. beliebige, lokale SU(2) Drehungen der Dreibeine E[up]a[/up][down]m[/down](x). D.h. man kann diese Eichinvarianz als Freiheit der Koordinatenwahl im Tangentialraum verstehen.

D[up]a[/up](x) heißt Diffeomorphismus-Constraint. Man kann diese Bedingung als Freiheit der Koordinatenwahl in der Raumzeit selbst verstehen.

H(x) heißt Hamiltonian oder Hamilton-Constraint und zeigt an, dass die Theorie quasi "zeitlos" ist, d.h. es handelt sich um eine Art Diffeomorphismus-Constraint in zeitlicher Richtung. Dabei handelt es sich nicht um eine physikalische Zeit, sondern um die Koordinatenzeit, und diese ist ja frei wählbat, darf also nicht direkt physikalische Konsequenzen haben.

... das ist doch im prinzip der kanonische formalismus: ich nehem ein klassisches feld und ersetze gewisse funktionen durch operatoren. ich hbae das schonmal gefargt aber du hast glaube nicht geantwortet: wenn man die lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens hat (in der ART) also dies Wurzel aus der metrik über den raum integriert (oder so), dann könnte man doch über den kanonischen formalismus die quantisierung durchführen, also: hamilton-fkt über legendre trafo bilden, bew.-gleichungen aufstellen, die geben die feldgleichungen die löst man und quantisiert die lösung (also die koeffizienten in der lösung). wie weit kommt man durch diese methode? irgendwie klingt das mit den ashtekar variablen und der loop-gravitaion so als ob man genau das machen würde. (ausser das man die ART vorher noch etwas umformuliert).

Stimmt, ich habe die Frage damals nicht beantwortet, weil da gerade so viele Themen anstanden. Jetzt ist glaube ich die richtige Zeit dazu :-)

Du hast recht, es handelt sich um die Anwendung des kanonischen Formalismus für eine Feldtheorie. Diese wird umformuliert; statt der Metrik werden die Felder verwendet, die Ashtekar eingeführt hat, womit man sehr nahe an einer Formulierung ist, die man aus anderen Quantenfeldtheorien her kennt. Man kann die wesentliche Unterschiede anhand der drei Constraints diskutieren. Im Hilbertraum physikalsicher Zustände gilt

G[up]a[/up](x) |phys> = 0
D[up]a[/up](x) |phys>= 0
H(x) |phys> = 0

In einer Theorie wie der QCD (die man auch für 2 statt 3 Farben formulieren kann, wodurch man ebenfalls eine SU(2) Eichsymmetrie erhält) gilt ebenfalls G[up]a[/up](x) |phys> = 0, d.h. die Formulierung der Eichinvarianz ist identisch! Der Hamiltonoperator in der QCD generiert die Schrödingergleichung ∫d³x H(x) |phys> = E |phys>. Im Falle der QG haben wir es damit zu tun, dass wir quasi nur die E=0 Zustände als physikalische Zustände zulassen. Dabei ist E aber auch keine echte Energie, d.h. die Ähnlichkeit ist rein formal. Der Diffeomorphismus-Constraint D[up]a[/up](x) |phys>= 0 tritt in der QCD nicht auf und ist das charakteristische Merkmal der QG! Die Quantisierung einer derartigen Theorie, wobei jedem Constraint eine (lokale) Symmetrie entspricht, wurde zuerst von Dirac untersucht. Es gibt einige Spezialfälle (z.B. die Gupta-Bleuler-Quantisierung der QED) sowie einige andere Formalismen (z.B. die Fadeev-Popov-Quantisierung bzw. die BRST-Quantisierung im Pfadintegralformalimus), aber die in der LQG angewandte Dirac-Methode ist physikalich sehr durchsichtig und gut verstanden.


Zu deiner Bemerkung

... lagrange-funktion für den freien fall eines teilchens ...

du musst vorsichtg sein,dass du nicht die Quantisierung eines Teilchens mit der Quantisierung eines Feldes verwechselst. Wenn du ausgehend von der Lagrangefunktion eines Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit die Quantisierung durchführts, dann erhältst du die Klein-Gordon-Gleichung in einer gekrümmten, aber nicht-quantisierten Raumzeit, d.h. die allgemein-relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung. Hier quantisieren wir aber die Raumzeit selbst, d.h. wir betrachten eine Feldtheorie.

ist die loop theorei nur ein "test" oder gibt es eine konkrete motivation die raum-zeit zu quanteln?)

Es gibt Ansätze, wo man die Quantisierung quasi "von Hand" reinsteckt. Die LQG zeichnet sich dadurch aus, dass der Formalismus die Quantisierung produziert, ähnlich wie du in der QM die Quantisierung des Drehimpulses erhältst. Man erwartet aber aus physikalischen Gründen eine Diskretisierung der Raumzeit, da alle bisherigen Theorien immer Divergenzen produzeren, die man damit in Verbindung bringen kann, dass man physikalische Abstände in der Raumzeit bis auf Null reduzieren kann. Eine Einführung einer minimalen Entfernung (wie z.B. eines Gitters in der Gittereichtheorie) regularisiert diese Divergenzen, wobei andereseits viele Symmetrien explizit gebroche werden. Demzufolge ist es wünschenswert, dass die Theorie selbst diese Quantisierung produziert und man sie nicht von Hand einbauen muss.

zu meinem mathe und physik verständnis: ich hab das mal angefangen zu studieren, kenne mich mit QM und QFT einiger maßen aus, mit Diff-geom. ein bisschen aber mit begriffen wie holonomie kann ich gerade (noch) ncihts anfangen, also wenn dir das niveau nicht sio wichtig ist kannst du mich ruhig mit mathe und physik beballern.

Sehr gut; dann kann ich dir einige Artikel empfehlen, in denen du die mathematischen Herleitungen siehst und zumindest nachvollziehen kannst;kommt in einem anderen Thread.

zum niveau: wie kann man so ein thema überhaupt auf einsteiger niveau diskutieren ohne nur nohcmehr zu verwirren und noch mehr fragen aufzustellen? ich kann mir das nciht vorstellen....

Na ja, wir beide sind hier eigentlich schon viel weiter fortgeschritten, als ich in dieser Einsteiger-Diskussion kommen wollte :-) Man kann m.E. einige Effekte praktisch ohne Gleichungen diskutieren, muss allerdings in Kauf nehmen, dass man sie einfach hinnehmen. Wenn du Lust hast, dann können wir (in einem anderen Thread) die Mathematik der LQG im Detail diskutieren ...

[RonnyRockel]

Ok lass uns den das thema umlagern. Ich merke auch das ich eigentlich noch nciht so viel weiss. z.b. weiss ich nciht wie man eine eichtheorie quantisiert, aber ich bin dabei das zu lesen. auch das mit den constraints muss ich mir ansehen. Aber es ist ja auch zwecklos wenn du mir hier die LQG erklärst...das geht in diesen rahmen ja nciht....da müsste ich eher eine vorlesung bei dir hören

du musst vorsichtg sein,dass du nicht die Quantisierung eines Teilchens mit der Quantisierung eines Feldes verwechselst. Wenn du ausgehend von der Lagrangefunktion eines Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit die Quantisierung durchführts, dann erhältst du die Klein-Gordon-Gleichung in einer gekrümmten, aber nicht-quantisierten Raumzeit, d.h. die allgemein-relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung. Hier quantisieren wir aber die Raumzeit selbst, d.h. wir betrachten eine Feldtheorie.

also bis jetzt ist doch eigentlich jede feldquantisierung auch eine teilchen quantisierung oder? z.b. das el-magm. feld: man kann da das klassische feld quantisieren, man kann aber auch das photon relativistisch betrachten, das dann quantisieren (also das teilchen) und kommt so auf die QFT.
und geht es nciht genau darum ein teilchen im gekrümmten raum beschreiben zu können?, warum sollte man sonst die ART quantisieren wollen? was ist denn sonst wesen der vereinheitlichung der QM bzw. QFT mit der ART. unterscheidet sich die klein-Gordon-Glg. mit gekrümmten Variablen von der "normalen"? und man kann doch auch die lagrangedichte der ART für ein teilchen im freine fall auch als eine lagrangedichte die von feldern (nämlich der metrik) abhängt sehen, und das dann in diesem sinn QFTetisch betrachten. L ist ja die wurzel aus der summe der metrik mal x² oder so, d.h. ich hab die metrik als feld und die koordinaten x², und kann nun dieses L als L(g,x) statt nur L(x) auffassen und damit hab ich doch eijne Lagrangedichte wie ich sie brauch für den kanonischen formalismus, oder nicht?

mir ist noch was eingefallen: nimmt maN die energiegleichung die aus der ART folgt. ich weiss leider nciht wiegenau die aussieht, aber es ist ja die kinetische energie plus die bekannte potentielle energie plus ein korrekturterm der nur aus der ART kommt. und ersetzt in dieser gleichung die klassichen observablen durch operatoren der QM und lässt das dann auf einen zustand im hilbertraum wirken. was passiert dann? das ist doch die seleb vorgehensweise, die zur klein-gordan-glg geführt haben, da nimmt man auch die relativistische energie-impuls-beziheung und quantisiert einfach die energie, impuls und ort darin. und die klein-gordan-glg funktioniert ja nciht so richtig deshalb kommt man auf die dirac glg. die dann zur QFT führt. könnte mann von den oben genannten ansatz aus der ART nciht auf seleb art und weise zu einer QFT kommen?