Bisher ist keine Theorie in der Lage, zu erklären, warum wir gerade drei Raumdimensionen beobachten. Die klassischen Theorien wie der Elektromagnetiscmus oder Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie können in beliebig vielen Raumdimensionen formuliert werden (wobei sie dann natürlich abweichende Eigenschaften aufweisen). Auch die bekannten Quantenfeldtheorien des Standardmodells wären in einer anderen Dimensionszahl widerspruchsfrei denkbar. Lediglich die String- / M-Theorie macht hier eine Ausnahme, sie fordert 9 / 10 Raumdimensionen, also eine 10- / 11-dimensionale Raumzeit. Allerdings können auch diese Dimensionen nicht erklären, warum gerade 6 / 7 der Raumdimensionen kompaktifiziert oder anderweitig "unsichtbar" werden und genau drei Raumdimensionen übrigbleiben.
Bisher wenig untersucht ist die Möglichkeit, dass wir es mit weniger oder mehr als einer Zeitdimension zu tun haben!
In einem Artikeluntersucht Max Tegmark, welche Anzahl von Raum- bzw. Zeitdimensionen (n,m) sinnvoll möglich sind und grundsätzlich eine physikalisch vernünftige Naturbeschreibung ermöglichen.
Zunächst untersucht Tegmark Theorien mit einer Zeitdimension m=1, aber einer abweichenden Anzahl von Raumdimensionen n. Für n<3 sind die dabai resultierendne Theorien "zu einfach" und lassen keine komplexen Strukturen zu. Ein- bzw. zweidimensionale Lebewesen könnten z.B. kein vernünftiges Verdauungssystem entwickeln :-) Aus mathematischen Gründen existiert in diesen Dimensionen auch keine echte Gravitationskraft. Für n>3 wären Atome bzw. Planetensysteme instabil. Das Coulomb- bzw. Newtonsche Gravitationspotential ist für n>3 proportional zu 1/r[up]n-2[/up]. Diese Potentiale lassen keine stabilen Bahnen zu.
Dann untersucht Tegmark den Fall keiner Zeitdimension (n,0) bzw. keiner Raumdimension (0,m). Die dabei entstehenden Gleichungen (partielle Differentialgleichungen) sind "elliptisch" - was das genau heißt, ist zunächst mal uninteressant - und lassen keine vernünftige Definition der Kausalität zu, d.h. eine Welt mit elliptischen Differentialgleihcungen erlaubt - vereinfacht gesagt - keine Vorhersagbarkeit der Zukunft auf Basis gegebener Anfangsbedingungen in der Gegenwart.
Als nächstes untersucht Tegmark den Fall genau einer Zeitdimension (n,1) bzw. genau einer Raumdimension (1,m). Man erhält hierbei sogenannte "hyperbolische" Differentialgleichungen entsprechend einer Raumzeit-Metrik (+--...-). Diese Gleichungen erlauben eine kausale Welt, allerdings schließt Tegmark alle Fälle außer der dem der drei Raumdimensionen n=3 aus, da sie wie oben erwähnt keine stabilen Systeme zulassen. Der Fall einer Raum- und dreier Zeitdimensionen schließt Tegmark ebenfalls aus: in diesem Fall hätte wir ausschließlich Tachyonen = Teilchen mit imaginärer Ruhemasse bzw. Geschwindigkeit > c. Mathematisch führt die Theorie ebenfalls auf ein Problem mit der kausalen Struktur.
Zuletzt untersucht Tegmark den gemischten Fall mit (n>1, m>1), d.h. mit mindestens zwei Raum- und mindestens zwei Zeitdimensionen. Die Differentialgleichungen heißen "ultra-hyperbolisch" und liefern ebenfalls keine Raumzeit mit vernünftiger Kausalität.
Zusammenfassend:
- mehr oder weniger als eine Zeitdimension: mangelnde Kausalität = Vorhersagekraft
- mehr als drei Raumdimensionen: mangelnde Stabilität
- weniger als drei Raumdimensionen: mangelnde Komplexität
http://space.mit.edu/home/tegmark/dimensions.pdf
On the dimensionality of spacetime
Max Tegmark
Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA
Received 10 February 1997
Abstract. Some superstring theories have more than one effective low-energy limit corresponding to classical spacetimes with different dimensionalities. We argue that all but the (3+1)-dimensional one might correspond to ‘dead worlds’, devoid of observers, in which case all such ensemble theories would actually predict that we should find ourselves inhabiting a (3+1)-dimensional spacetime. With more or less than one time dimension, the partial differential equations of nature would lack the hyperbolicity property that enables observers to make predictions. In a space with more than three dimensions, there can be no traditional atoms and perhaps no stable structures. A space with less than three dimensions allows no gravitational force and may be too simple and barren to contain observers.