Beiträge Ashtekars zur Quantengravitation

[tomS]

Hallo zusammen,

ich wollte auf einige hervorragende Artikel Ashtekars hinweisen. Einige davon sich relativ leicht verständlich, andere davon gehen ziemlich in die Tiefe, verzichten aber zumindest weitgehend auf Formeln.

http://cgpg.gravity.psu.edu/people/Asht ... icles.html

[wilfried]

Tom

Danke dafür. Gerade Ashtekars Ansätze sind nicht die leichteste Übung! Seine Formulierungen der mathematischen Struktur der LQG gehören zu den allerhöchsten Schwierigkeitsgraden und sind in ihren Formalismen sehr kritikwürdig!

Es sind mathematisch geometrische Formulierungen. Mir selber gefällt das nicht so dolle, denn die Physik bleibt doch ein wenig auf der Strecke. Die Cartan Ansätze haben -zumindest für mein Gefühl - deutlich mehr Potential, denn sie fußen auf physikalischen Dingen und berücksichtigen die Torsionen. Torsionen sind so etwas wie das zentrlae Element nahezu jeder Disziplin in der Physik. "Alles dreht sich".

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Aber Ashtekars Ansätze sind doch genau eine Quantisierung der Einstein-Cartan-Theorie.

Das wird nur nie so deutlich, weil in den wenigsten Fällen Fermionen mitbetrachtet werden, und nur dann hat man nichtverschwindende Spindichte und Torsion.

[wilfried]

Tag Tom

prinzipiell ja! Nur was ich sagen wollte -ist wohl nicht ganz so rübergekommen- ist, daß Ashtekars Formulierungen mir zu "geometrisch" sind.

Mag sein, daß ich hier auf einer einsamen Insel stehe mit dieser Meinung, aber so kommt es halt bei an.

An alle anderen: die Formulierungen Ashtekars und die Weiterführung derselben in der LQT sind sehr genial.

Bitte hier kene Mißverständnisse reininterpretieren!!

netten Gruß

Wilfried

[wilfried]

Tag zusammen

so kann ich ja meine Meinung nicht stehen lassen, die muss ich schon ein wenig untermauern:

Vom Grundsatz her geht es um einen kanonischen (regel bedingten) Ansatz der Quantisierung, begonnen irgendwann in den 50er Jahren. Ich nenne hier: Dirac und Bergmann als Väter dieser Gedanken.
Was war die Größe dieses Gedankens?
Beide führten die Theorie Hamiltons weiter zu einem System mit gewissen Zwangsbedingungen. In späterer Zeit zweigten sich daraus die Zwangsbedingungen erster sowie zweiter Art ab.
Dirac konnte daraufhin die Hamilton Struktur der ART bestimmen:

Dirac, P.A.M. "The Theory of Gravitation in Hamiltonian Form", Royal Society of London, Proceeding series A, pp 246; 333-343, Aug. 1958

DeWitt nahm den Faden auf, aber erst 1967, und formulierte die bekannte Wheeler-DeWitt Gleichung. Er nutzte darin den zur Hamilton Funktion der Gravitation zugehörigen Hamilton Operator und bestimmte Form der Metrik. Das war sehr probematisch, wenn nicht gar mutig. Denn: die darin enthaltene Funktion auf dem Raum aller Rienmann Metriken innerhalb oder auf einer hyperfläche -wurde bekannt asl Hyperfläche ; engl. superpace- konnte zu seiner Zeit nicht berechnet werden!!

Witten schaffte und veröffentlichte 1981 einen Beweis des Positive Energy Theorem und konnte einen weiteren Stein setzen hin zur kanonischen Formulierung der QG.

Witten, Edward, "A simple proof of the positive energy theorem", Commun. Math. Phys., pp 80;381, 1981


Sen folgte danach mit einer ganzen Serie von Veröffentlichungen:

Sen, A, "On the existence of neutrino ´zero modes´ in vacuum spacetimes", Journal of Math.Phys. , Januar 1981
Sen, A, "Gravity as a spin system". Physics letters B, 119: 89-91, Dez. 1982
Sen, A, "Quantum Theory of Spin-3/2 Field in Einstein Spaces", International Journal of Theoretical Physics, 1982

Auf diesen Arbeiten setzte Ashtekar auf und formulierte eine völlig neue kanosiche Darstellung der Gravitation.

Ashtekar, A, "New Variables for Classical and Quantum Gravity", Phys. Rev. Lett., 57: 2244-2247, 1986
Ashtekar, A, "New Hamiltonian Formulation of General Relativity", Phys. Rev. D, 36: 1587-1602, Sept. 1987

Diese neuen kanosichen Variablen waren ein gewichtetes Dreibein ebenso wie er den -oder einen (?) - Zusammenhang auf den durch die ADM Zerlegung enthaltenen Hyperflächen der Raumzeit aufzeigte.
Der Punkt dahinter ist, daß er anstelle der Einstein Feldgleichungen 3 Zwangsbedingungen aufstellte:

1. Zwangsbedingung:

Hamilton Zwangsbedingung engl: hamilton constraint

2. Zwangsbedingung:

Diffeomorphismen Zwangsbedingung engl: Diffeomorphism contraint

3. Zwangsbedingung:

Gauß Zwngsbedingung engl. Gaussion constraint

Vorteil dieser Art der Formulierung war und ist, daß es eine sehr formelle Ähnlichkeit zu der Yang-Mills Theorie gibt. (YM Theorie: Beschreibung des Standardmodells).

Die Originalarbeit Ashtekars jedoch berücksichtige den Berbero-Immirzi Parameter nur insofern, daß er dort i zugewiesen wurde: .

Immirzi, G, "Letter to the editor; Real and Complex Connections for Canonical Gravity.", Classical and Quantum Gravity, 14: L177-L181, Okt. 1997

Diese Wahl des BI Parameters ergab eine signifikante vereinfachung der Ergebnisse der Zwangsbedingungen. Ashtekar sah dies als ungeheuren Vorteil an. Jedoch, daß er auf i gesetzt werden konnte erforderte eine Formulierung der ART mit komplexen Größen, in deren Konsequenz sich die Einführung von Realitätsbedingungen ergab.
Erst jetzt war man in der Lage einzelne Lösungen dieser Zwangsbedingungen zu ermitteln.

Nachteil war allerdings, daß eben diese komplex Formulierung der ART eine Eichgruppe erhalten wurde: die SL(2,C) . Anmerkung: C steht für komplex.
Diese ist eine nicht kompakte Gruppe. Tja und was heißte das?

Das heißt, daß die gerade erwähnten Realitätsbedingungen nahezu nicht implementiert werden konnten.

Konsequenz:

Barbero nahm sich diese "zur Brust", betrachte dann aber die Ahtekarvariablen für reelle Werte von .

Barbero, J. Fernando, "Real Ashtekar Variables for Lorentzian Signature Space Times", Phys. Rev. , D51: 5507-5510, 1995
Berbero, J.Fernando, "Reality Conditions and Ashtekar Variables: A Different Perspective", Phy. Rev., D51: 5498-5506, 1995

In den Arbeiten Barberos zeigte sich, daß die Zwangsbedingungen sehr komplizierte nicht-plynome Formen annehmen. Trotzdem wird diese Form der reellen Ashtekarvariablen immer noch in vielen Kreisen favoritisiert.

Und dieses sind meine Kritikpunkte daran, deshalb meine so formulierte Meinung.

Das musste ich einfach los werden, denn so stand meine Position recht einsam in der Luft und neimand kann ja meine Gedankengänge lesen...

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Also zunächst mal sehe ich da keine Kritikpunkte sondern einfach eine hervorragende Zusammenfassung zur Historie der kanonischen Formulierung der ART.

Tatsache ist, dass man über verschiedene Methoden zeigen kann, dass der Immirzi-Parameter ß eine sogenannte Quantisierungsmehrdeutigkeit der Theorie ist. Aus eher technischen Gründen tritt er in der ART ziemlich versteckt auf (eben in der Definition der Ashtekar-Variablen) unde war lange Zeit nicht gut verstanden. Man weiß heute, dass man ihn zwischen verschiedenen Stellen im Formulsimus "hin- und herschieben" kann. Man kann z.B. eine klassische Erweiterung der Einstein-Hilbert-Wirkung (bzw. Einstein-Cartan-Wirkung) in Anwesendheit von Fermionen formulieren - Stichwort Nieh-Yan-Invariante - und zeigen, dass die diese mit einem reellen Vorfaktor ß äquivalent zur Einführung des Parameters in den Ashtekar-Variablen ist. Klassisch ändert ß nichts an den Bewegungsgleichungen, in der qm Formulierung wirkt sich der Parameter bzw. die Nieh-Yan-Invariante als Phasenfaktor des qm Zustandes aus, d.h. es entspricht einer unitären Transformation.

Man kennt eine ähnliche Quantisierunsgmehrdeutihgeit aus der QCD - hier bezeichnet man den Parameter mit theta - der entsprechende Zusatzterm in der Wirkung ist ebenfalls eine topologische Invariante. Beide Formalismen sind nicht völlig identisch, zeigen aber wesentliche Gemeinsamkeiten.

Man ist sich heute wohl einig, dass der Parameter ß reell sein muss, da sonst Realitätsbedingungen gefordert werden müssen, die eben nicht vernünftig implementiert werden konnten; man nimmt statt dessen kompliziertere Constraints in Kauf (genauer: nur der Hamiltonsche Constraint wird komplizierter, die anderen ändern sich nicht).

Was genau ist denn nun dein Kritikpunkt? die Wahl des Parameters ß? die nicht eindeutige Festlegung eines reellen Wertes, oder die Tatsache, dass er reell gewählt wird?

[wilfried]

Tag Tom

naja mich stört: daß die Zwangsbedingungen sehr komplizierte nicht-plynome Formen annehmen. Mich stört auch, daß Ashtekar zunächst eben die rein komplexe Lösung hochhielt, wobei ihm doch der Nachteil der komplex Darstellung ART bekannt war und daß eben dann Barbero sagt:
na schön, weil das eben nicht besonders geschickt ist: ich nehm mal die reelle Variante...

Ist salopp ausgedrückt, aber ich habe das ja im obigen beitrag beschrieben.

Das störende ist: ich finde keinen vernünftigen Grund, oder besser keine klare saubere Begründung diees Vorgehens. Für mich erscheint das etwas willkürlich.

Aber wie ich ganz oben schon sagte: mag sein, ich stehe mit meiner Meinung auf einer einsamen Insel. Mag gewiß auch sein, daß ich hier die eine und andere erhebliche Wissenslücke habe.

Man kann ja nicht überall firm sein oder? Und eben für diese Lücken habe ich ja meine Freunde hier im Forum, die mir helfen, selbige zu schließen.

netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Du siehst das von der Seite der sehr einfachen, polynomialen Form im Falle von ß = i. Das erscheint dir recht geradlinig zu sein.

Aber die Formulierung einer (nicht aller Gleichungen!) darf schon mal kompliziert sein. Thiemann hat den Hamiltonian ziemlich drastisch vereinfacht und die nicht-polynomiale Form macht heute niemandem mehr Kopfzerbrechen. Die Probleme beim Hamiltonian liegen woanders und sind unabhängig von ß.

Die SL(2,C) als Strukturgruppe der Raumzeit + Realitätsbedingungen ist dagegen äußerst befremdlich; sie hat eigentlich keine Vorteil ggü. der SU(2), außer dass sie eben einen einfacheren Constraint liefert. Für die SU(2) kann man dagegen die gesamte Gruppen- und Darstellunsgtheorie der letzten Jahrzehnte sowie die Erfahrung mit den Eichtheorien auffahren.

Im wesentlichen ist die LQG nichts weizter als eine diff.-invariante SU(2) Eichtheorie, bei der uns nur der Eigenwert h=0 interessiert.

Also das was dich stört, ist eher eine technische Komplikation, während der reelle Wert von ß eher eine konzeptionelle Vereinfachung darstellt (die man sich mit etwas mehr Rechenaufwand erkauft).

Man betrachtet heute auch nicht unbedingt einen Wert von ß, sondern untersucht eine ganze Klasse von Theorien mit reellem ß. Um dem ganzen die Krone aufzusetzen: man untersucht sogar, ob der Immirzi-Paraneter ß=b(x) ein Skalarfeld sein könnte!

[wilfried]

Bitte was???

ob der Immirzi-Paraneter ß=b(x) ein Skalarfeld sein könnte

Ich tue mich da unheimlich schwer. Es baut sich bei mir so gar kein richtiges Verständnis bzgl dieses Immirzo Parameters oder gar seines Skalarfeldes auf.

Ich muss es jetzt erwähnen -für uns beide ist das ein Vorgriff, auf das, was wir uns vorgenommen haben -
#
Die Entropie der Quantengeometrie

Schau ich mir die Quantengeometrie an, so versucht diese die Gravitation quantisiert zu beschreiben. Und zwar wird die Geometrie selber quantisiert, oder besser gesagt: für die Koordinaten werden Operatoren eingeführt. Ziel der Übung ist die ART neu hinzuschreiben und zwar mit Verbindungen ( in der "noramlen Formulierung stehen hier Metriken ).
Nun, dieses kann so weit getrieben werden, dass man eine triade erhält, welche sämtliche Infornationen der räumlichen Geometrie beinhaltet. Und noch zusätzlich einen Faktor, oder ein Gewicht, das sich als Wurzel der Gravitationsbeschleunigung darstellt.

Eben jene Quantisierung dieser Variablen erfolgt über die bekannte Schleifen Quantisierung - engl. loop quantaion.

Stichwort hierzu: Wilson Loop Funktionale.

Im weiteren Verlauf dieser Überlegungen folgen dann eben jene Zustände, die sich als SPIN Zustände darstellen. Ich denke, daß dieses die engste Verknüpfung zur Einstein - Cartan Theorie ist. Damit wird der gesamte Hilbertraum dieser Spin (Netzwerk) Zustände in endlich dimensionale Teilräume zerlegt. Die Kanten derselben ( hier reflektiere ich auf den Graphen ) sind eindimensional und die daraus sich ergebende quantisierte Geometrie ist ein Polymer und das in Planck Dimensionen.

Diese Idee wird durchgearbeitet und man erhält auf dem Wege dann Operatoren für die klassische 3-D Vorstellung: Länge, Fläche und Volumen - welche aus der Quantisierung einer zur Triaden dualen 2-Form sich ergeben.

Die Eigenwerte dieses so sich ergebenden Flächenoperators enthalten den besagten Immirzi Parameter und den als direkte Proportionalität. Darin ist selbiger eine reele zahl, die aus der Meherdeutigkeit der Schleifen Quantisierung sich ergibt.

Entwickelt man diesen Gedanken weiter - das werde ich hier aber nicht tun, das hebe ich mir auf für einen zukünftigen Beitrag, den ich noch in Arbeit habe- so kann dieser Ansatz auf die Theroie der Schwarzen Löcher angewandt werden und eine völlig andersartig dargestellte Entropie werden wir kennenlernen.

So kenn ich das, wenn aber der besagte I. Parameter ein Skalarfeld sein soll, dann muss ich diesen Ansatz ja völlig anders behandeln.

Du verwirrst mich, lieber Tom!!!

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

nicht ich verweirre dich, sondern die Gravitation - aber da bist du in guter Gesellschaft.

Lassen wir den Meister zu Wort kommen ...

In the classical theory, has the interpretation of an orthonormal triad field (or a `moving frame') on M (with density weight 1). Here is a dimensionless, strictly positive number, called the Barbero-Immirzi parameter, which arises as follows. Because of emphasis on connections, in the classical theory the first order Palatini action is a more natural starting point than the second order Einstein-Hilbert action. Now, there is a freedom to add a term to the Palatini action which vanishes when Bianchi identities are satisieed and therefore does not change the equations of motion. arises as the coeffcient of this term. In some respects is analogous to the parameter of Yang-Mills theory. Indeed, while theories corresponding to any permissible values of ° are related by a canonical transformation classically, quantum mechanically this transformation is not unitarily implementable. Therefore, although there is a unique representation of the algebra a there is a 1-parameter family of inequivalent representations of the algebra of geometric operators generated by suitable functions of orthonormal triads E, each labelled by the value of . This is a genuine quantization ambiguity. As with the ambiguity in QCD, the actual value of in Nature has to be determined experimentally. The current strategy in quantum geometry is to fix its value through a thought experiment involving black hole thermodynamics.

Siehe auch

http://arxiv.org/abs/0903.2270
A possible topological interpretation of the Barbero-Immirzi parameter
Simone Mercuri
(Submitted on 12 Mar 2009 (v1), last revised 11 Apr 2009 (this version, v2))
Abstract: A possible topological interpretation of the Barbero-Immirzi parameter is proposed. Classically, by generalizing the Holst action to torsional spacetimes, we construct a precise analogy between the Barbero--Immirzi parameter and the $\theta$-angle of Yang-Mills gauge theories, where the role of the Pontryagin class is played by a well known topological term containing the Holst modification, the Nieh-Yan density. Quantum mechanically, the same analogy requires to study the large gauge sector of the theory. In particular, it is argued that the large sector of the gauge group can be correlated with the Nieh-Yan density, while the Barbero-Immirzi parameter plays the role of the free angular parameter of the large gauge transformations.

Was bedeutet das?

Die klassische Einstein-Cartan-Wirkung hat eine zusätzliche topologische Symmetrie; man addiert einen Term proportional zu



e steht für die zu E dualen Vierbeine, T für die Torsion. Wie die rechte Seite zeigt ist dies eine totale Ableitung, also gemäß dem Satz von Stokes ein Oberflächenintegral

\int_{\partial M} e_a \wedge T^a

Man kann nun folgendes tun: Reskalierung bedeutet die Einführung des Parameters in den kanonischen Impulsvektor (wie oben beschrieben). Oder eben äquivalent den zusätzlichen Term mit in die Wirkung einbeziehen, d.h. die Mehrdeutigkeit bereits in letztere zu packen. Klassisch macht das beides Sinn, denn dieses Oberflächenintegral ändert die Feldgleichungen nicht, d.h. dieser Term ist klassisch irrelevant.

Dieses sogenannte Nieh-Yan Funktion übernimmt die aus der QCD bekannte Rolle dort wichtigen Chern-Simons-Funktionals. Mathematiker (algebraische Topologen) kennen den Begriff Pontryagin Klasse.

Nun hat die zugrundeliegende Eichsymmetrie eine topologische Eigenschaft, nämlich die, dass die Eichgruppe in topologische Sektoren zerfällt, die durch eine sogenannte Windingszahl charakterisiert sind. Am Beispiel der U(1) kann man sich das wie folgt veranschaulichen: man betrachte eine eindimensionale Theorie, deren Raumkoordinate einem Kreis entspricht; diese habe eine Eichsymmetrie. Man betrachte nun eine lokale Eichtransformation . Nun laufe einmal entlang des Ortsraumes um den Kreis herum, während die periodische Eichfunktion n-mal um den Kreis herumlaufe. Betrachte ein geschlossenes Gummiband, das du n-mal um ein zusammengerolltes Poster herumwindest. In Falle der Einstein-Cartan-Theorie ist die Topologie komplizierter, da sowohl die Eichgruppe als auch der Raum selbst komplizierter sind, aber es läuft auf das selbe hinaus.

Man kann also die Eichgruppe (besser: das Faserbündel) in Sektoren der Windungszahl n zerlegen; jede Transformation kann dabei geschrieben werden als



D.h. sie ist zerlegbar in eine "große" Eichtransformation, die die Windungszahl ändert, und eine kleine Eichtransformation, die die lokale Symmetrie ändert. Wendet man nun eine derartige Eichtransformation auf das Chern-Simons-Funktional an, so passiert etwas erstaunliches:



D.h. das Chern-Simons-Funktional ändert seinen Wert genau um die Windungszahl, d.h. um eine ganze Zahl!

In der Quantenmechanik muss man nun aber auch die Zustände einer Eichtransformation unterwerfen, und für diese gilt



D.h. sie sind nicht invariant unter dieser Eichtransformation !!!

Wir haben also eine Theorie, die nur unter kleinen Eichtransformationen invariant ist, nicht aber unter großen! Das ist aber nicht schlimm, denn die großen Eichtransformationen sind ja gewissermaßen globale, diskrete Transformationen. D.h. Die Theorie "zerfällt" zunächst in Sektoren unterschiedlicher Windungszahl n.

Zusammenfassung: Das Auftreten des Immirzi-Parameters in der Definition der Ashtekar-Variablen kann gerechtfertigt werden, in dem man die klassische Wirkung durch einen topologischen Term ergänzt, über den die Mehrdeutigkeit bereits in der Wirkung Einzug hält. Damit lässt sich die Mehrdeutigkeit auf eine nicht-triviale, topologische Struktur des Faserbündels der Eichgruppe über der Raumzeit-Mannigfaltigkeit zurückführen. So betrachtet ist der Immirzi-Parameter kein Schwachpunkt in der Theorie, sondern reflektiert einfach die topologische Struktur. Letztere spielt aber in der klassischen Theorie keine Rolle, oder besser, sie ist irrelevant, wenn man eine bestimmte Lösung der Theorie betrachtet, da diese immer zu genau einem topologischen Sektor gehört. In der LQG muss man aber eine Überlagerung aller topologsichen Sektoren betrachten, insofern ist es natürlich, wenn diese erst nach der Quantisierung relevant werden.

[wilfried]

Lieber Tom

Danke für die Antwort des Meisters! Ich werde noch dararuf eingehen, jedoch muss ich zeitlich gerade andere Schwerpunkte setzen: die Prüfungssaison hat angefangen und ich muss meine hausaufgaben noch machen:

Klausuren erfinden, damit ich meine Studenten damit kräftig ärgern kann!

Ich komm auf dieses Thema sicher zurück!

Neten gruß

Wilfried

[wilfried]

Tag Tom

folgender Punkt:

die Zwangsbedingungen machen mir Probleme in Zusammenhang mit Deiner Antwort, denn:

Diese Zwangsbedingungen -ich schreibe sie mal in Kruzschrift hin:

Eichbedingung
Vektorbedingung
Hamiltonbedingung

Dieses sind die erzeugenden von Eichtrafos und auf M angewandten Diffeomorphismen. Nun liegt aber der ursprung der Eichsymmetrie in der Anwendung von Vierbeinen, damit spiegelt die Eichsymmetrie doch die Freiheit in der Wahl des lokalen euklid´schen Bezugssystems wider.

Soweit ja noch gut, jetzt kommt aber das Problem:


Nun liegt doch das Eichproblem darin, daß diese Zwangsbedingungen häufig unscharf verwendet werden:

Das drückt sich dadurch aus, daß sie mit einer geeigneten Testfunktion bzgl der Intrallösung verglichen werden, so daß dieser Vergleich fordert: Vergleichsfunktionsidentität:





Ich kenne mich mit den Details, die Du schreibst nicht aus.

Frage bzgl Deiner Info:

D.h. sie sind nicht invariant unter dieser Eichtransformation !!!

Wir haben also eine Theorie, die nur unter kleinen Eichtransformationen invariant ist, nicht aber unter großen! Das ist aber nicht schlimm, denn die großen Eichtransformationen sind ja gewissermaßen globale, diskrete Transformationen. D.h. Die Theorie "zerfällt" zunächst in Sektoren unterschiedlicher Windungszahl n.

Wie korreliert diese Art der Eichung mit der, welche ich oben beschrieb, also jene, die bei den Zwangsbedingungen i.d.R. angewandt wird?

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Vergiss im Zuge der Eichsymmetrie erst mal die Diffeomorphismen; diese sind explizit keine Eichtransformationen, d.h. die Generatoren sowie die Transformationsvorschrift sehen anders aus.

Zur Eichsymmetrie selbst betrachten wir ein einfaches Beispiel, nämlich eine U(1) Eichsymmetrie der Elektrodynamik in einer Raum- und einer Zeitdimension. Wir setzen zunächst die Lorentz-Eichbedingung an. Das hat den Vorteil, dass die nicht-dynamische Variable eliminiert wird. Sie ist nicht-dynamisch, da es für sie keine Zeitentwicklung gibt, d.h. es gibt in der Lagrangedichte keinen Term ; Ableitungen des Potentials stammen ja alle aus dem Feldstärkentensor, der ist aber antisymmetrisach in den Indizes und daher ist .

Man stellt nun fest, dass die Maxwellgleichungen (bzw. die Theorie als Quantenfekdtheorie) nach Festlegung der Lorentz-Eichung noch eine Rest-Eichsymmetrie haben. Man kann nämlich weitere Eichtrafos betrachten, unter der Voraussetzung, dass diese die Lorentz-Eichung nicht zerstören, d.h. also dass für eine Eichtransformation



gilt. Dies ist trivialerweise der Fall, wenn f(x) nicht von der Zeit abhängt.

Nun kann man die Eichbedingung in die Maxwellgleichungen einsetzen und stellt fest, dass ein Constraint (Zwangsbedingung), d.h. eine Gleichung ohne Zeitableitung übrigbleibt. Dies ist das Gaußsche Gesetz (das ich der Einfachheit halber nur für Vakuum diskutiere)



Dabei ist der zu konjugierte kanonische Impuls.

Man definiert



Dieses G[f] ist der Generator einer Eichtransformation mit der Eichfunktion f(x). Man kann dies explizit verifizieren, in dem man folgende Operatorgleichung berechnet:



Das Gaußsche Gesetzt generiert also Eichtransformationen mit der Eichfunktion f(x). Die Theorie ist symmetrisch unter diesen (zeitunabhängigen) Eichtransformationen, da sie die ursprünglich gewählte Lorentz-Eichung nicht zerstören.

Wir betrachten der Einfachheit halber die Theorie auf einen Kreis mit Umfang L, d.h. wir betrachten periodische Funktionen bzw. Operatoren A(x), E(x) und f(x) mit x aus [0,L]. Sämtliche Transformationen müssen also die Randbedingung A(0) = A(L) usw. respektieren. Doch halt! die Eichfunktion f(x) kann durchaus allgemeiner aussehen, denn sie tritt nie selbst in Erscheinung, sondern immer nur der Operator . D.h. wir dürfen die Bedingung für f(x) etwas aufweichen und fordern nur noch, dass ein "periodischer unitärer Operator" ist.

Wir erreichen dies durch die Forderung , d.h. mittels



Wir schreiben nun jede Eichtransformation als Summe einer "kleinen" Eichtransformation (Tilde ~) sowie einer "großen" Eichtransformation (Index n)



Als nächstes betrachten wir die Fourierzerlegung





Ich habe dabei den Zero-Mode der Felder explizit herausgezgen, d.h. die Terme mit Tilde entsprechen dem Anteil der Felder ohne Zero-Mode. Wir benötigen für die Diskussion der großen Eichtransformationen ausschließlich die Zero-Modes!

Man kann zeigen, dass die Komponenten und für jedes k zueinander konjugierte Variablen (vgl. in der QM Orte und Impulse) sind.

Betrachten wir die Wirkung einer großen Eichtransformation, so finden wir



D.h. sie verschiebt den Zero-Mode um eine Konstante und lässt die anderen Terme (Tilde) invariant. Eine große Eichtransformation wirkt also nur auf den Zero-Mode!!!

Nun habe ich oben bei der Betrachtung des Generators geschummelt, ich habe nämlich einmal partiell integriert.

1) Betrachten wir zunächst den Term



Für eine große Eichtransformation



Das Integral



verschwindet, da ga der Tilde-Term keine Zero-Mode enthält, also



2) Nun betrachten wir den Term mit Gauß-Gesetz



für eine große Eichtransformation



Dabei fällt der Term mit dem Zero-Mode des elektrischen Feldes wegen der Differentation heraus. D.h. aber dieser Term enthält den Zero-Mode nicht mehr und kann daher als Generator nicht auf den Zero-Mode des Potentials wirken. Wir haben also zwei verschiedene Generatoren von Eichsymmetrien, nämlich das Gaußsache Gesetz sowie den Term mit einmaliger partieller Integration; welcher ist der richtige??? Wie man explizit zeigen kann, unterscheiden sich beide nur bzgl. der großen Eichtransformatione, d.h. bei einer kleinen Eichtransformation sind ihre Wirkungen identisch.

Nun kommt die Schlussfolgerung:

Das Gaußsche Gesetz ist ein Constraint, d.h. es gilt als Operator-Identität



und damit auch



D.h. dass jeder einzelne physikalische Zustand invariant unter den so generierten Transformationen ist. Die physikalischen Zustände sind also genau die Eigenzustände mit Eigenwert Null zum Gaußschen Gesetz.

Bzgl.des Generators der großen Eichtransformationen gilt dies jedoch nicht, denn es gibt einfach keine Euler-Lagrange- bzw. Maxwell-Gleichung der Form



Setzt man die großen Eichtransformationen ein, so gilt



Betrachtet man Eigenzustände zum Zero-Mode des Vektorpotentials, so kann man zeigen, dass sich diese nicht-trivial unter den großen Eichtransformationen verhalten, d.h.

[wilfried]

Tag Tom

das ist weirklich sehr aufschlussreich! Du hast Dir sehr viel Mühe gegeben meine Fragen zu beantworten.

So langsam erkenne ich, wie hier mit den Eichtrafos umgegangen wird. Es ist nicht ganz so trivial. Ob ich da jemals selber drauf gekommen wäre???

Nein, bestimmt nicht! und in der Literatur findet man diese Details nicht, zumindest nicht bei "normaler" Suche.

Ich bedanke mich nochmals für Deine große Mühe und wünsch Dir noch einen schönen Abend

Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

derartige Betrachtungen (im Rahmen der QCD) waren ein Teil meiner Diplomarbeit. Die Eichtrafos im kanonischen Formalismus sind in Lehrbüchern m.W.n. nicht aufgeführt. Man kann sich einiges zwar einiges aus der Quantenmechanik anlesen, aber die Übertragung auf die QFT ist extrem komplex. Eine 1+1 dimensionale Theorie ist noch vergleichsweise übersichtlich, da das Eichfeld sich auf einen rein quantenemechanischen Freiheitsgrad reduziert.

Die Implementierung in der LQG sieht anders aus als hier vorgestellt, da man die sogenannte Wilson-Loops (Holonomien) verwendet. Diese sind trivialerweise eichinvariant (kann ich in einem nächsten Beitrag zeigen), d.h.die Eichsymmetrie ist sofort erledigt. Allerdings kostet die Diff.-Invarianz dann wesentlich mehr Gehirnschmalz. Die Wilson-Loops kennt man ebenfalls in der QCD, aber eben nicht als fundamentale Variablen! Die Wilson-Loops sind nämlich "über-vollständig", d.h. die "Mächtigkeit der Vektorraumbasis" wird zu groß. In der LQG erlaubt die zusätzliche Diff.-Invarianz, diese "über-Vollständigkeit" wieder zu reduzieren, in der QCD geht dies nicht, da sie eben nicht diff.-invariant ist. Eine Ausnahme ist die Gittereichtheorie; in dieser wird die "über-Vollständigkeit" dadurch vermieden, dass man auf einem diskreten Gitter arbeitet. D.h. aber dass die Gittereichtheorie einerseits und die LQG andereseits trotz Verwendung derselben Variablen (Wilson-Loops) völlig unterschiedliche Theorien sind.

[wilfried]

Tag Tom

ja, dann ist mir klar, warum Du das so gut erläutern kannst. Wir werden in diesem Thema weiter miteinander reden, denn ich habe hier echten Nachholbedarf.

Sehr sicher macht es Sinn, dieses Thema zu gruppieren,sonst wird es leicht Spaghetti - mäßig unüberschaubar.

Danke und netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Tja, warum sind denn nun die Wilson-Loops eichinvariant?

Fangen wir mit einem einfachen Beispielin der QED an:



Eine Eichtransformation ändert den Wilsonloop gemäß



Das letzte Interal entlang einer geschlossenen Kurve verschwindet aber trivialerweise, wie man durch geeignete Parametrisierung sieht:

Für nicht-abelsche Eichtheorien ist das extrem kompliziert zu zeigen, da die Formel



nicht mehr gilt, da A und B nun für Matrizen stehen. Was tut man statt dessen? Man zerlegt den Exponenten in eine Art Produkt der Form über Faktoren der Form "1 + infinitesimales Wegelement * Eichpotential"



Die Eichpotentiale werden dabei an infinitesimal aueinanderliegenden Punkten 1, 2, 3, ... entlang des Integrationsweges C ausgewertet.

Die Eichpotentiale selbst haben die Form von su(N) Matrizen (aus der Algebra)



Man kann nun zeigen, dass für eine geschlossene Kurve C dieses Produkt über infinitesimale Beiträge tatsächlich eichinvariant ist. Die Eichtransformation ist dabei in der SU(N) gegeben durch



wobei U(x) eine SU(N) Matrix (aus der Gruppe) ist.

[tomS]

Ashtekar hat einen neuen Übersichtsartikel veröffentlicht, in dem er Aspekte der Quantengravitation (speziell der Schleifenquantnegravitation) im Kontext der Kosmologie diskutiert. Dabei werden insbs. die Ersetzung des Big Bangs durch einen Big Bounce geschildert, sowie die natürliche Super-Inflation im frühen Kosmos, d.h. ein inflationärer Effekt ausschließlich basierend auf der Quantengravitation ohne die Notwendigkeit eines künstlich eingeführten Inflatonfeldes.

Der Artikel hat ein ansprechendes Niveau: kaum Formeln, d.h. insbs. auch für Einsteiger, interessierte Laien und Physiker, die auf anderen Gebieten aktiv sind, geeignet.

http://arxiv.org/abs/1005.5491v1
The Big Bang and the Quantum
Abhay Ashtekar
(Submitted on 29 May 2010)
Abstract: This short review is addressed to cosmologists.
General relativity predicts that space-time comes to an end and physics comes to a halt at the big-bang. Recent developments in loop quantum cosmology have shown that these predictions cannot be trusted. Quantum geometry effects can resolve singularities, thereby opening new vistas. Examples are: The big bang is replaced by a quantum bounce; the `horizon problem' disappears; immediately after the big bounce, there is a super-inflationary phase with its own phenomenological ramifications; and, in presence of a standard inflaton potential, initial conditions are naturally set for a long, slow roll inflation independently of what happens in the pre-big bang branch.

[wilfried]

Tag Tom

Du nimmst mir den Stift asus der Hand!!! Gerade wollt ich dies auch schreiben, als Deine Nachricht ankam.

Ja, dieser Artikel ist sehr lesenswert. Insbesondere merkt man, wie sehr der Urknall zu einem UrDYNAMICUS wird. Es ist bemerkenswert, dass die Welt so langsam lernt, daß es nicht den grossen Bums gab und schwupps da wir sie....

Die Geschichte des Universums bzw. der Universen ist eine sehr dynamische.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

@Wilfried: hast du Lust, eine Zusammenfassung zu schreiben?

[wilfried]

Tag Tom


das kann ich übernehmen ... wird so 2-3 Wochen dauern (maximal).

Gruß

Wilfried

[tomS]

super - finde es gut, dass du das mal aus deiner Perspektive schreibst, das Thema ist sehr Tom-lastig

[Orbit]

In diesem Zusammenhang gäbe es morgen in einer Woche quasi vor der Haustür einen Vortrag zu hören:
http://www.sternfreunde-muenster.de/

Orbit

[wilfried]

Lieber Orbit ....

vor der Hautüre .... das wäre in Tübingen oder Stuttgart!!!!

Gruß

Wilfried

[wilfried]

Guten Tag zusammen

ich habe mir die Zeit genommen und die Ashtekar Veröffentlichung durchgelesen. Hier meine Zusammenfassung mit ein klein wenig Bewertung.

Netter Gruß

Wilfried

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Besprechung Veröffentlichung
Für das Forum http://www.abenteuer-universum.de

The Big Bang and the Quantum
Abhay Ashtekar
Institute for Gravitation and the Cosmos & Physics Department
Penn State, University Park, PA 16802, U.S.A.

arXiv:1005.5491v1 [gr-qc] 29 May 2010


Ashtekar stellt als Voraussetzung einige wesentliche, jedoch „konzeptionell“ noch nicht abgesicherte Erkenntnisse der letzten Jahre unserer Forschung. Dieses sind:

1. Das Universum, in der alten Vorstellung aus dem Big Bang heraus erstanden, damit aus einer Singularität. Problem ist hier, dass dass die nachfolgende Inflation den strengen Bedingungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) zu entsprechen hat. Borde, Guth und Vilenkin haben diese Annahmen untersucht und konnten theoretisch zeigen, dass die ursprüngliche Hoffnugshaltung, dass eben jene Singularität vermeidbar ist, een weil die Inflationsphase streng der ART Gesetzmäßigkeiten folgen muss, sich nicht bewahrheitet. Die Begründung liegt in einem Rückwärtsschluss. Ausgehend davon, dass eben diese ursprüngliche Annahme der Infaltion des Universums unendlich fortschreitet, konnten die Wissenschaftler zeigen, dass eben die Raumzeit endlich ist und auch die Gesetze der Physik und damit die Physik im Allgemeinen ihr Ende im Big Bang findet.
2. All unsere Erkenntnisse, so Ashtekar, sagen uns, dass eben die Annahmen unter Punkt 1. so nicht zutreffen können. Unsere Erkenntnisse aus allen Gebieten der Physik erzählen uns, dass eben unsere Physik eine Folgerung aus einer Theorie sein muss, die weit über der steht, welche bisher bekannt ist. Damit wir diese Tehorie vernünftig aufrichten können, haben wir einige Aufgaben zu erfüllen:
a. Wir müssen eine Vereinheitlichung der ART finden, deren Aussagen völlig allgemein und ursprünglich sind.
b. Diese Vereinheitlichung darf keinen voreiligen Schluss bzgl einer Aussage besitzen, dass die der Raumzeit ein gleichmäßiges Kontinuum darstellt
c. Sie muss aufzeigen, dass die stark nicht lineare Struktur der starken Gravitation (Anmerkung: damit meint er die „merkbare“ Gravitation), welche in der Störungstheorie nicht vollständig erklärbar ist, lösbar wird.

Nun, all das sind mächtige Aufgaben, aber notwendig, damit wir eine vereinheitlichte Theorie erhalten. Verbunden damit ist ein ganzer Satz essentieller Fragen, der zu beantworten ist:

1. Wenn die ART durchgängig ist, wie dicht kommt Einstein’s Theorie des Raumzeitkontinuums an den BigBang heran und macht dann noch Sinn? Kann man zeigen, dass aus diesen ersten Prinzipien heraus eine Näherung für die Start der Inflation ableitbar wird?
2. Kann die BigBang Singularität aus der Quanten-Versin der Einstein Gleichungen natürlich (ohne Sonderannahmen) abgeleitet werden? Oder sind etwa besondere Randbedingungen notwendig, um den BigBang abzuleiten? Eine solche Randbedingung wäre die von Hartle-Hawkings.
3. Ist die Quanten Entwicklung über die Singularität hinweg deterministisch? Dazu ist ein völlig störungsfreies Knonzept notwendig, um diese Fragen wirklich beantworten zu können. Im Vorstadium des BigBang und in epokryptischen(zyklischen) Szenarien wird diese Fragestellung negiert. Grund ist, dass eben diese Ansätze des raumzeitlichen Kontinuums der ART und deren Approximation im BigBang selber zu keinen Lösungen führen.
4. Sollte die Singularität lösbar werden, was eigentlich finden wir auf „der anderen Seite“? Gibt es ausserhalb unseres Universums –völlig losgelöst von demselben- ein anderes auch grosses klassisches Universum?

All diese Fragen sind so tiefgehen und grundlegend, da deren Beantwortung einen Paradigmen Wechsel in unserem physikalischen Verständnis nach sich ziehen kann. Deshalb ist es unumstößlich, dass wir ein tiefes und vollständiges Wissen um die Quantenstruktur des BigBang erarbeiten.

Ein möglich Schritt in diese Richtung ist die Schleifen-Quanten Gravitation (LQG –Loop Quantum Gravity), deren Aussagen und Bedeutung wir im Forum bereits recht tiefgehend erörtert und die neueren Erkenntnisse auch vorgestellt haben. Diese LQG hat den Vorteil, dass sie keine Annahmen über die Raumzeit im klassischen Sinn notwendigerweise braucht. Sie ist, wie man auch dazu sagt: Hintergrund (Raumzeit) unabhängig. Die Grundlagen –inklusive der Geometrie- wird durch die Paradigmen der Quantenphysik gelegt. Ein weiterer Vorteil dieses Ansatzes ist, dass er voll störungsfrei arbeitet und aus diesem Grunde hervorragend geeignet ist für die Beschreibung der wirksamen Kräfte nahe des vermutlichen BigBang.

Die LQG führte mit ihren Konsequenzen zu einem neuen kosmologischen Weltbild LQC – Loop Quantum Cosmology (Schleifen Quanten Kosmologie) genannt, die sich aus den bestehenden kosmologischen Modellen durch Berücksichtigung der Aussagen der LQG entwickelt hat.

In allen Fällen namentlich: die Singularitäten von BigBang und BigCrunch, konnten diese mit den neuen Ansätzen gelöst werden. Die daraus entstandene „Planck Skalierung Physik“ wurde sorgfältig untersucht. Man nahm analytische und numerische Lösungen der gequantelten Einstein Gleichungen sowie auch wirksame Gleichungen, welche die hauptsächlichen Quantenkorrekturen für die Singularitäten enthalten. Singularitätstheorien hat man dabei vermieden, da diese wesentliche Energiebedingungen verletzen. Diese Theoreme sind nicht anwendbar, da deren Quanteneffekte die Einstein Gleichungen modifizieren.

Ashtekar stellt in seinem Artikel die einzelnen kosmologischen Weltbilder vor. Das zu wiederholen kann ich mir sparen, da in unserem Forum diese Weltbilder oft und sehr detailreich als auch allgemeinverständlich erklärt wurden.

Aber eine Kernaussagen in Ashtekars Ausführungen werde ich hier hervorheben, denn diese ist in gewisser Art sensationell:

Es geht um die Dynamik des Friedmann-Lemetre-Robert-Walker (FLRW) Universums.
Siehe auch:
http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann% ... ker_metric


Neben den bekannten Ausführungen hebt Ahstekar die Bedeutung der Störung hervor und stellt diese unter den Aspekt der Planck Skalierung. Er erklärt, dass unter dieser Bedingung, die Aussagen der Störungen nicht glaubhaft dargestellt werden und mathematisch gesehen sogar fehlerhaft sind bzgl ihrer deterministischen Entwicklung über eben jene mutmaßliche Singularität hinaus!

Das ist eine ungeheuer tiefgehende Aussage, denn sie besagt, dass diese Ideen unter den Aspekten des neuen –LQC- Ansatzes nicht haltbar sind. Diese Herausfordung untermauert er mit einer Zahl: der Materiedichte unter diesen Bedingungen hat 10^94 gms/c^2 in der Umgebung des BigBang. Diese Materiedichte bedeutet: Dichter als die Planck Großen es erlauben!!!

Bzgl der Wheeler-De-Witt Theorie, sagt Ashtekar, wurde der Infrarot Test – besitzt ein Wellenpaket auf einer klassischen Bahn (Trajektorie) Energiespitzen (peaks) im flachen Raum?- dadurch positiv bestanden, dass man „flying colors“ soll heissen beschränkte oder unvollständige Wellenpakete –hier spricht man im Fourier Sinn von "eingefärbeten" Wellen- annahm.
Unglücklicherweise konnte dieser Ansatz in den BigBang und sogar den BigCrunch –bei k=1- hineinverfolgt werden. Eigentlich sollte man das ja positv sehen, aber eben diese Vorannahmen passten nicht, waren nicht allgemein genug gefasst. Trotzdem konnte die Singularität nicht gelöst werden, da eben hier die erwarteten Werte der Materiedichte und er Raumkrümmung in ihren Entwicklungsstufen divergieren.

Die LQG zeigte sich alledem wesentlich resistenter. Das gesamte kinematisch notwendige Paket ist in der LQG enthalten auch der Diffeomorphismus (Umkehrabbildung – siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Diffeomorphismus) konnte als unabhängig (wie oben bereits gesagt: Hintergrund Unabhängigkeit) dargestellt werden. Aber die LQG ist nicht gleichwertig zum Wheeler-De-Witt Ansatz, insbesondere auf kinematischer Ebene gesehen nicht.

Die Quantendynamik bildet eine eigene Klasse für sich kann aber doch mit der WDW unter gewissen „zahmen“ Bedingungen zusammengebracht werden. Jedoch unterscheidet sie sich entscheidend vom Planck Skalen Regime, denn sie führt selber zu einer natürlichen Lösung der BigBang und auch der BigCrunch Singularitäten.

In den ausgeführten Details geht Ashtekar den geschichtlichen Entwicklungsweg bis hin zur heutigen Reife der LQC. Während der Entwicklung der LQC wurde die BigBang bzw. BigCrunch Singularität ersetzt durch einen Quanten Rückprall (bouncing). Vergleiche der klassischen Ansätze, insbesondere des Friedmann Ansatzes, zeigen deutliche Unterschiede in der Dynamik diesen Geschehens. Das ist eine bemerkenswerte Erkenntnis, die zunächst nahezu untergeht im Text. Jedoch konnte erstmals eine Trajektorie –eine Bewegungsbahn- mit diesem Quantenweg berechnet werden, der ausgezeichnete Ergebnisse in allen Sklalierungsebenen aufzeigte. Das konnte dann simuliert werden: das war das erste mal, daß dies ohne Hinderung durch die Singularität möglich war.

Über die weiteren Details der Ausführungen Ashtekars gehe ich hinweg. Diese Erkenntnisse sind bereits im Forum in vielen Facetten vorgesteellt und diskutiert worden:
viewforum.php?f=52

Interessant sind Ashtekars Anmerkungen zum Thema: was verbirgt sich „hinter“ dem BigBang / Crunch?
Es dreht sich auch hier alles um diese Singularitäten: wir kennen die starke Singularität –eben jenen BigBang und BigCrunch; hier geht der Skalierungsfaktor gegen Null und die Krümmung als auch die Materiedichte divergieren ab einem gewissen Zeitpunkt- und wir kennen auch schwache Singularitäten. So zum Beispiel die Singularität des BigRip. Erläuterungen und Kritiken dazu unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Big_Rip

Eine weitere ist die des „plötzlichen Todes“ „sudden death“ genannt. Hier divergiert die Raumkrümmung und/oder deren Ableitung ab einem bestimmten Wert des Skalierungsfaktors als auch ab einem bestimmten Zeitpunkt.
All diese Szenarien sind in neuerer Zeit mit den Methoden der LQC berechnet worden. Erwartungsgemäß konnten die starken Singularitäten dabei entdeckt werden, jedoch verhielt sich die Modellrechnung bei den schwachen Singualritäten nicht so gutartig.
Aber man muss hier aufpassen und nicht allzu schnell aufgeben, denn die Physik existiert nach den schwachen Singularitäten weiter und eben diese schwachen Singularitäten erweisen sich in dem Erkenntnisfortschritt als nahezu „harmlos“ besser zu sagen: ohne besondere Auswirkungen.

Interessanter werden die Darstellungen / Ergebnisse der LQC, wenn man die eigentlichen Gleichungen der LQC verfolgt: Dann zeigt sich, dass die Energiedichte vorherbestimmbar ist, jedoch der Druck und auch die Änderungsrate der Hubbel Parameter (Achtung: hier wird nicht mehr der Begriff Hubble Konstante angewandt!) divergieren!

Nun mag man schliessen, dass dies ein negatives Phänomen des LQC Ansatzes ist. Schaut man sich diese Szenarien jedoch in weiteren Details an, so stellt man schlussendlich fest, dass diese eine schwache Singularität darstellen, bei welcher die Geodäten erweitert werden. Das bedeutet, dass die Quanten Geometrie hier eine zunächst starke Singularität quasi in eine schwache Síngularität transformiert.

Das ist eine weiter ganz bemerkenswerte udn erstaunliche Erkenntnis ,die zeigt, dass wir mit diesen Theorien auf einem erfolgversprechendem Weg sind.

Schauen wir die Situation an, in welcher die Hubble Konstante –ihr merkt: ich bin wieder bei den klassischen Ansätzen (Konstante!!)- negativ wird. Das ist vergleichbar zum k=1 Modell (Friedmann).
Wir lassen das Universum vom „Urknall“ ausgehend sich ausdehnen ... und schauen uns seinen Zustand an, wenn es seinen maximalen Skalierungswert (Ausdehnung) erreicht hat:
Dieser Zustand ist gekennzeichnet durch die positive Energiedichte, welche exakt gleich der negativen Energiedichte bzgl. der kosmologischen Konstante ist. Im Friedmann Modell ist das problematisch, besser das Friedmann Modell läßt negative Energiedichten gar nicht zu. Im Falle der negativen Energiedichte rekollabiert das Weltall, es nähert sich wieder dem Geburtsstatus.

Dies hat man auch mt den Gleichungessystem des LQC Modells nachgerechnet, dabei bediente man sich numerischer Methoden, um die quantisierten Einstein Gleichungen zu lösen. Der BigBang / BigCrunch wurde dabei ersetzt durch den Quanten-Rückprall.
Das Ergebnis zeigt eine Entwicklung mit zyklischem Charakter: auseinderstreben, zusammenfallen, auseinderstreben, zusammenfallen etc. Wohlgemerkt: hier mit negativer kosmologischer Konstanten!

Was passiert unter dem Einfluss einer positiven kosmologischen Konstante?
Die ART lehrt uns, dass nach dem Start des Universums im BigBang sich dieses Universum unendlich ausdehnen wird. Damit wird die Energiedichte bei einem endlichen Lebensalter gegen Null streben streben. Wir schauen uns diesbezüglich das Szenario mit den Methoden der LQC an:
Die LQC zeigt, dass die Entwicklung der fortschreitenden Zeit (wenn denn mag: tickende Uhr) einheitlich (man sagt unitär) ist. Interessanterweise bleibt die Energiedichte endlich im Vergleich zum klassischen Modell, wo eben diese gegen Null strebt. Die LQC jedoch folgt den Ausdehnungswegen des klassischen Modells. Hier ist eine sehr schöne Übereinstimmung zu entdecken. Jedoch ist die Weiterführung über den Punkt der Energiedicht „Null“ hinaus in der LQC analytisch.

( Hier wäre es eine tolle Sache, die physikalischen Auswirkungen dieses eher unerwarteten Verhaltens näher kennenzulernen. wunderschöne Doktorarbeit). Zu erwarten ist, dass sich als Grenzwerte diejenigen der Planck Dimensionen ergeben. Auch ist eines der Ergebnisse, dass die Planck Konstante (!) einen endlichen Wert –einen maximal Wert- besitzen muss.

Die inflationären Szenarien, die Anisotropien als auch die Gravitationswellen werden in der Ashtekar Veröffentlchung nochmals reflektiert, jedoch sind hier keine weiteren neuen Punkte genannt. Auch hier verweise ich bzgl. Der Details auf unsere Ausführungen und Diskussionen des Forums.

Interessant wird es wieder, wenn man sich Ashtkears Darlegungen anschaut bzgl. der Inhomogenitäten.
In der klassischen ART, dem Gowdy Kosmologie-Modell (z.B,. in: http://www.aei.mpg.de/~rendall/ar3.pdf beschrieben) wird sehr viel Beachtung geschenkt. Grund ist, dass dieses lokale inhomgene Freiheitsgrade zulässt. Auch auf diesen Ansatz ist die LQC geprüft worden. Das Ergebnis war negativ, denn die Singularität lies sich nicht lösen!
Jedoch, wenn vereinfachend nur die homogenen (!) Freiheitsgrade berücksichtigt werden, dann genügt das LQC Modell auch hier. Stichwort: Fock Quantisierung. Dieses Thema ist noch in Bearbeitung, die vorläufigen negativen Ergebnisse bei Anwendung der LQC auf inhomogene Freiheitsgrade ist noch nicht endgültig. Die Hoffnung ist, durch Einbeziehung des Ultra-Violett Verhaltens eine weitere Verbesserung des Quanten-Gravitations Verständnisses erreicht wird. Dieses „Hybrid“ Schama wird von der „Madrid“ Gruppe bearbeitet und deren Wissenschaftler glauben fest daran, dass die Singularitäten nicht angebunden an das homogene Modell sind. Das wird spannend ....

Die allgemeinen raumähnlichen Singularitäten sind ein weiteres Gebiet, auf dem die Leistung der LQC prüfstandmäßig getestet wird. Basierend auf einer Vermutung, die besagt, dass in der ART die raumähnlichen Singularitäten bei räumlicher Ableitungen der traditionellen Felder subdominant bezüglich ihrer zeitlichen Ableitungen an einem Raumpunkt näherungsweise mit den homogenen Modellen dargestellt werden können. Diese sind als Bianchi I Dynamiken bekannt. ( Stichwort: Überführung einer Bianchi I in eine andere Bianchi I Lösung unter Moderation einer Bianchi II Lösung): Ziel dieser Arbeiten ist, dass die Quanten Natur der Singularitäten, welche wir von den Binachi I als auch Bianchi II Modellen her kennen, zu einer darüberliegenden allgemeineren, aber streng mathematischen Form geprägt, als gültig bewiesen werden kann.
Hierbei werden die Methoden der LQC als vielversprechend angesehen, um eben die allgemeinen raumähnlichen Singularitäten als auch die streng gekrümmten Singularitäten lösbar zu gestalten.

Dem Thema Inflation und Super-Inflation widmet Ashtekt ebenfalls seien Aufmerksamkeit. Auch hier erwähnt er neueste Vorhersagen. Diese entspringen erwartungsgemäß wiederum den Planck Skalierungen und führen zu einer Verbesserung der Bestimmung der Startbedingungen der „slow-roll inflation“.
Erläuterungen dazu¨ http://en.wikipedia.org/wiki/Inflation_%28cosmology%29

Wir schauen auf die Beziehung der Hubble Parameter verbunden mit dem Wissen, dass die LQC die Einstein Dynamik Lösungen verändert. In der ART ist der Ausdruck der Hubble Parameter H groß über das Planck Regime hinweg und divergiert in der Singularität. Das LQC Modell jedoch zeigt dass H im Rückprall verschwindet (Null wird) -simpler Grund: die Garvitationsbeschleunigung ist hier auch Null- dann zeigt die LQC, dass es für H einen Grenzwert gibt: H=0.94 und dass die Skalarfeld (Vierrer-Raum) abhängige potentielle Energie V einen unteren Grenzwert besitzt als auch, dass für sehr große Skalarfelder der Wert der potentiellen Energie V unbegrenzt anwächst. Aber auch der Betrag des Skalarfelds erweist sich als endlich.
Konsequenz: In der LQC Raumzeit kann sowohl die Materiedichte als auch die Krümmung nirgendwo divergieren. Anders herum ausgedrückt heisst das:
Die Lösungen der LQC sind stets regulär und das unabhängig von der Materiedichte , der Raumkrümmung bzw. des Skalierungsfaktors.

Die Super Inflation, eine Besonderheit des LQC Szenarios, ist diejenige Phase in der Frühgeschichte der Entstehung des Universums, in der ein einzelnes Skalarfeld mit negativem Skalarpotential (quadratisches Gesetz) die dominate Rolle spielt. Hier bestimmt der Ereignishorizont die Eigenschaften der Quantenflktuation und nicht der Hubble Horizont! So wie die Dinge bislang liegen, fängt die Super Inflation an, wenn der Quantenzustand des Skalarfelds die klassische Darstellung erreicht und endet, wenn dessen effektiver Horizont den des Hubble Horizonts erreicht. Dabei besitzt der effektive Horizont (Skalarfeld) nur Größen oberhalb bis gleich der Planck Skala.
Dieses Super Inflationsszenario ist eines der festen Bestandteile der LQC Theorie und besitzt keinerlei Analogon in der ART!

Nun läßt sich fragen, ob denn die von der Quanten Geometrie bestimmte Super Inflation die Inflation selber enthält, quasi eine Obermenge davon darstellt. Bislang zeigen jedoch alle Arbeiten, dass dies offensichtlich nicht der Fall ist. Auch zeigt sich, dass diese Super Inflationsphase wohl zeitlich äußerst kurzlebig ist. Eventuell liegt in dieser Kurzlebigkeit der Grund, weshalb die daraus gewünschte Ableitung der Inflation (noch ???) nicht gelingen will.

Ashtekar schaut nun auf die Inflationsphase in Zusammenhang mit der LQC. Auch hier übergehe ich deren Details. Hier sagt Ashtekar nichts Neues. Die Hauptaussage ist eben der Verweis auf die im Vergleich zur ART nicht vorhandene Singularität und damit der Einbezug des Rückprallszenarios. Auf weitere Beeinflussungen der LHC bzgl Quantenkorrekturen der Einstein Gleichungen geht Ashtekar nicht weiter ein (das tät diese veröffentlichung gewiss platzmäßig gesehen sprengen)

Diese eher zusammenfassende und bewertende Studie kann als Zwischenabhandlung der Schleifen Quanten Arbeiten angesehen werden. Sie eröffnet einige Einblicke in die Stärken der LQG und des daraus entwickelten LQC Modells als auch zeigt sie die (noch) vorhandenen Lücken auf.