Einstein-Cartan-Theorie und Quantengravitation

[tomS]

Nachdem wir das Thema immer wieder mal hatten, hier nochmal ein paar Hinweise zur Einstein-Cartan-Theorie (ECT): Es handelt sich dabei um eine alternative Theorie der Gravitation. Verglichen mit der ART lässt die ECT etwas allgemeinere Mannigfaltigkeiten, also Raumzeiten zu, nämlich solche mit nichtverschwindender Torsion (Riemann-Cartan-Mannigfaltigkeiten) . Eine Quelle der Torsion ist dabei der Spin-Tensor der Materie.

Im Gegensatz zur Raumkrümmung ist die Materie zwar auch die Ursache der Torsion, allerdings ist die Torsion außerhalb der Materieverteilung identisch Null, d.h. Gravitationswellen und -felder wirken auf die Raumzeit ausschließlich krümmend; oder andersherum: es gibt keine Torsionswellen. Dies ist auch der Grund, warum die Torsion experimentell nicht nachweisbar ist - sie wäre nur innerhalb von Materie messbar und sie ist bzgl. ihrer Effekte winzig klein. Nicht einmal Neutronensterne dürften in ihrem Inneren eine messbare Torsion erzeugen - ganz zu schweigen davon, dass Experimente im Inneren von Neutronensternen kaum realisierbar sind :-)

Bzgl. der messbaren Effekte macht die ECT also dieselben Vorhersagen wie die ART und ist demnach als gleichwertig zu betrachten. Welches ist nun die "richtige" Theorie? Ohne experimentelle Befunde ist das nicht entscheidbar, es gibt jedoch gute Gründe, die ECT Zu favorisieren!

Mathematisch ist die Formulierung der ECT wesentlich eleganter und erscheint natürlicher als die der ART. Insbs. ist in der ECT der Formalismus der EIchinvarianz explizit sichtbar. Die ECT erscheint als Eichtheorie der Poincare-Transformation, d.h. der lokalen Rotationen, Boosts und Translationen, und ist insofern analog zu allen anderen Theorien formulierbar. Die Einführung von Spin-1/2 Teilchen in die Theorie, d.h. die Kopplung an das Gravitationsfeld erzwingt den Formalismus einschließlich Torsion. In der LQG wird der Formalismus der Ashtekar-Variablen verwendet, einer bestimmten Neuformulierung der ECT. In der Supergravitation erscheint das Gravitino als Spin-3/2 Partner des Gravitons. Damit sind beie Theorien im wesentlichen Erweiterungen der ECT, nicht der ART.

Wer sich für weiterführende Literatur interessiert, dem seien folgende (nicht elementaren!) Artikel empfohlen:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606062
Einstein-Cartan Theory
Andrzej Trautman
(Submitted on 14 Jun 2006)
Abstract: The Einstein--Cartan Theory (ECT) of gravity is a modification of General Relativity Theory (GRT), allowing space-time to have torsion, in addition to curvature, and relating torsion to the density of intrinsic angular momentum. This modification was put forward in 1922 by Elie Cartan, before the discovery of spin. Cartan was influenced by the work of the Cosserat brothers (1909), who considered besides an (asymmetric) force stress tensor also a moments stress tensor in a suitably generalized continuous medium.

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712096
Alternative Gravitational Theories in Four Dimensions
Friedrich W. Hehl (University of Cologne)
(Submitted on 26 Dec 1997)
Abstract: We argue that from the point of view of gauge theory and of an appropriate interpretation of the interferometer experiments with matter waves in a gravitational field, the Einstein-Cartan theory is the best theory of gravity available. Alternative viable theories are general relativity and a certain teleparallelism model. Objections of Ohanian and Ruffini against the Einstein-Cartan theory are discussed. Subsequently we list the papers which were read at the `Alternative 4D Session' and try to order them, at least partially, in the light of the structures discussed.

http://arxiv.org/abs/arXiv:gr-qc/9602013
On the Gauge Aspects of Gravity
F. Gronwald, F.W. Hehl
(Submitted on 8 Feb 1996)
Abstract: We give a short outline, in Sec.\ 2, of the historical development of the gauge idea as applied to internal ($U(1),\, SU(2),\dots$) and external ($R^4,\,SO(1,3),\dots$) symmetries and stress the fundamental importance of the corresponding conserved currents. In Sec.\ 3, experimental results with neutron interferometers in the gravitational field of the earth, as inter- preted by means of the equivalence principle, can be predicted by means of the Dirac equation in an accelerated and rotating reference frame. Using the Dirac equation in such a non-inertial frame, we describe how in a gauge- theoretical approach (see Table 1) the Einstein-Cartan theory, residing in a Riemann-Cartan spacetime encompassing torsion and curvature, arises as the simplest gravitational theory. This is set in contrast to the Einsteinian approach yielding general relativity in a Riemannian spacetime. In Secs.\ 4 and 5 we consider the conserved energy-momentum current of matter and gauge the associated translation subgroup. The Einsteinian teleparallelism theory which emerges is shown to be equivalent, for spinless matter and for electromagnetism, to general relativity. Having successfully gauged the translations, it is straightforward to gauge the four-dimensional affine group $R^4 \semidirect GL(4,R)$ or its Poincar\'e subgroup $R^4\semidirect SO(1,3)$. We briefly report on these results in Sec.\ 6 (metric-affine geometry) and in Sec.\ 7 (metric-affine field equations (\ref{zeroth}, \ref{first}, \ref{second})). Finally, in Sec.\ 8, we collect some models, currently under discussion, which bring life into the metric-affine gauge framework developed.

[kostja]

Ich finde das Paper von Andrzej Trautman "Einstein-Cartan Theory" sehr interessant. Cartans "Moving frames" kenne ich aus bereits aus meiner Differentialgeometrie Vorlesung. Dieser Formulismus ist wesentlich bequemer als der Koszul-Zusammenhang oder gar die alt hergebrachte Index Notation . Ich könnte Trautmans Paper vermutlich auch etwas abgewinnen, wenn er näher bestimmen würde, was er unter "tensors of enrgy-momentum and of intrinsic angular momentum (spin)" versteht.

Grüße
Konstantin

[tomS]

Trautmans Papier könnte durchaus etwas physikalischer sein ... ich bin noch auf der Suche nach einer Quelle, aus der sich auch der Zusammenhang mit der "Fußgänger-Variante" der ART einfach ersehen lässt.

[tomS]

Anbei ein Link auf ein (recht mathematisches) aber kompaktes Übersichtspapier zur Formulierung der Relativitätstheorie als Eichtheorie der Poincare-Symmetriegruppe. Darin werden auch die Themen Krümmung und Torsion sowie Spin aufgegriffen

http://arxiv.org/abs/0907.0934
On the Poincare Gauge Theory of Gravitation
S. A. Ali, C. Cafaro, S. Capozziello, Ch. Corda
(Submitted on 6 Jul 2009 (v1), last revised 16 Dec 2009 (this version, v2))
Abstract: We present a compact, self-contained review of the conventional gauge theoretical approach to gravitation based on the local Poincare group of symmetry transformations. The covariant field equations, Bianchi identities and conservation laws for angular momentum and energy-momentum are obtained.

[tomS]

Anbei ein Link auf einen Reviewartikel, der sehr umfassend die Eichtheoretische Formulierung verschiedener Gravitationstheorien vorstellt, u.a. auch die Einstein-Cartan-Theorie

http://arxiv.org/abs/1010.5822
Gauge Gravity: a forward-looking introduction
Andrew Randono
(Submitted on 27 Oct 2010)
Abstract: This article is a review of modern approaches to gravity that treat the gravitational interaction as a type of gauge theory. The purpose of the article is twofold. First, it is written in a colloquial style and is intended to be a pedagogical introduction to the gauge approach to gravity. I begin with a review of the Einstein-Cartan formulation of gravity, move on to the Macdowell-Mansouri approach, then show how gravity can be viewed as the symmetry broken phase of an (A)dS-gauge theory. This covers roughly the first half of the article. Armed with these tools, the remainder of the article is geared toward new insights and new lines of research that can be gained by viewing gravity from this perspective. Drawing from familiar concepts from the symmetry broken gauge theories of the standard model, we show how the topological structure of the gauge group allows for an infinite class of new solutions to the Einstein-Cartan field equations that can be thought of as degenerate ground states of the theory. We argue that quantum mechanical tunneling allows for transitions between the degenerate vacua. Generalizing the tunneling process from a topological phase of the gauge theory to an arbitrary geometry leads to a modern reformulation of the Hartle-Hawking "no boundary" proposal.

[tomS]

Kurze Anmerkung: im letzten Artikel sind besonders die beidne Gleichungen (18) und (19) interessant, da man hier formal nebeneinander die EH-und die EC-Wirkung sieht. Der Unterschied steckt in der Zusammenhangsform, die im Falle der EC-Wirkung nicht aus den Christoffelsymbolen abgeleitet wird.

[tomS]

(in memoriam tensor)

Es wurde die Frage aufgeworfen, ob die beiden Zusammenhangsformen sowie die resultierenden Gleichungen der ECT zu einem System zusammengefasst werden können. Die Antwort ist 'ja - allerdings mit einem gewissen Preis'.

Man kann die ECT mit der Symmetrie Spin(3,1) erweitern zu einer deSitter-Eichtheorie mit Spin(4,1). Die deSitter Eichtheorie weist die Symmetrie einer speziellen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit auf, des sogenannten deSitter-Raumes, der als spezielle Lösung der Einstein-Gleichungen bekannt ist, nämlich als Vakuumlösung (gloabl materiefrei) allerdings mit nicht-verschwindender kosmologischer Konstanten Λ. Der deSitter-Raum kann als vierdimensionaler Unterraum einer fünfdimensionalen Raumzeit konstruiert werden (das kann man tun, muss man aber nicht, d.h. die fünf Dimensionen sind nicht zwingend notwendig!) wobei er als eine Art eingebetteter Hyperboloid erscheint.

Im deSitter-Raum gelten einige interessante Aspekte. Zum einen existiert eben eine nicht-verschwindende kosmologische Konstante; deren Wert wird (zunächst) in die Konstruktion eingebaut. Damit wäre die Beobachtung der beschleunigten Expansion des Universums ein Relikt dieser deSitter-Symetrie, wobei allerdings der genaue Wert der kosmologischen Konstanten "von Hand" vorgegeben werden muss. Die ECT Theorie folgt dann aus einer geeigneten Symmetriebrechung der deSitter-Eichtheorie. Im Zuge dieser Symmetriebrechung ergibt sich auch eine recht natürliche Erklärung des sogenannten Immirzi-Parameters β, eines weiteren freien Parameters, den man aus bestimmten Quantengravitationstheorien kennt. Die Symmetriebrechung resultiert aus einer Kopplung von Fermionen (irgendwelche Fermionen, da muss man nichts Spezielles vorgegeben) an die Torsion der Raumzeit, die in einer bestimmten Formulierung der ECT ganz zwanglos folgt, wodurch die ursprüngliche Spin(4,1) Symmetrie zur Spin(3,1) Symmetrie der ECT gebrochen wird.

Die resultierende Quantengravitationstheorie weist unendlich viele (allerdings in gewisser Weise instabile) Vakuumzustände auf, zwischen denen Vakuumtunneln möglich ist. Man konstruiert nun einen neuen, stabilen Vakuumzustand als Überlagerung dieser unendlich vielen Vakuumzustände. Diese Überlagerung wird durch einen freien Parameter θ beschrieben, weswegen man das neue Vakuum auch θ-Vakuum nennt (diese Konstruktion ist aus der QCD bekannt und erlaubt dort eine Begründung, warum θ[down]QCD[/down]=0 gelten muss). In der ECT ist θ[down]ECT[/down] direkt mit der kosmologischen Konstanten Λ sowie dem Immirzi-Parameter β verknüpft. Man kann also aus dem vollständigen Parametersatz (G, Λ, β, θ) einen Parameter eliminieren.

Die Notwendigkeit der Vergrößerung der Symmetrie von Spin(3,1) zu Spin(4,1) sowie der darauffolgenden Brechung zu Spin(3,1) erscheint unnatürlich, erlaubt jedoch, die dabei involvierten Parameter unter einem neuen Blickwinkel zu betrachten.

Ausblick:

Zunächst sind die drei gewählten Parameter feste, von Hand vorgegebene Größen. Allerdings ergeben sich im Zuge der Renormierung der ECT ggf. Aussagen bzgl. der genauen Werte dieser Größen. So nimmt man heute an, dass nur bestimmte Parametersätze tatsächlich selbstkonsistent sind, wobei die Renormierungsgruppengleichungen (dazu sollte ich evtl. mal was schreiben) diese Werte in gewisser Weise vorhersagen. Man stellt sich dazu eine n-dimensionalen Raum vor, dessen Koordinaten durch die Werte (G, Λ, β, …) gegeben sind. In Abhängigkeit von der betrachteten Energieskala sagt die Renormierungsgruppe nun voraus, dass es bestimmte Fixpunkte gibt, auf die die Werte zulaufen und für die die Theorie wohldefiniert ist. Im Falle der QCD kennt man dieses Verhalten sehr genau, am Fixpunkt sind alle Kopplungskonstanten identisch Null (asymptotische Freiheit für hohe Energien) Im Falle der Quantengravitation scheint dies wesentlich komplizierter zu sein, jedenfalls gibt es keinen Fixpunkt, an dem alle Konstanten identisch verschwinden. Dies ist der Grund, warum die naive Quantisierung und Renormierung der Gravitation fehlschlägt. Allerdings gibt es Hinweise darauf, dass die Renormierungsgruppe einen nicht-trivialen Fixpunkt mit nicht-verschwindendem G und Λ hat, d.h. tatsächlich eine Vorhersage der physikalisch beobachteten Werte von G und Λ erlaubt.

Bezug zur ART:

Genauer gesagt gibt es in der Renormierungsgruppe der ECT drei Fixpunkte, nämlich β=0 sowie β=±∞; diese „Trivialfälle“ für β zeigen, dass man offensichtlich eine Theorie zurückerhält, aus der bestimmte Terme in diesen Grenzfällen verschwinden, so dass man letztlich wieder die ART resultiert, in der ausschließlich G und Λ vorkommen.
Die o.g. Methoden der Renormierungsgruppe können auch direkt für die ART angewandt werden, d.h. ohne Einführung der ECT, der deSitter-Symmetrie sowie ohne die Parameter β und θ. Dabei erhält man ebenfalls wieder einen Fixpunkt für G und Λ, der auf eine konsistente Quantengravitationstheorie hinweist. Allerdings zeigen erste Ergebnisse, dass der Fixpunkt evtl. verschieden ist von den für die ECT diskutierten.

Dies bedeutet, dass der niederenergetische Limes in beiden Theorien identisch sein sollte, dass sie jedoch im Bereich der Planck-Energie voneinander abweichen. Und zudem könnten bestimmte Relikte der Effekte in der Nähe der Planck-Skala auch die Niederenergiephysik beeinflussen, nämlich insbs. die Werte der Parameter für G und Λ.

Daraus folgt die faszinierende Konsequenz, dass zwei Theorien, die sich zunächst nur durch ihre algebraische Struktur sowie in „von Hand“ vorgegeben Werten unterschieden, diese Werte jeweils (aufgrund von Konsistenzbedingungen) dynamisch festlegen, d.h. vorhersagen und diese somit eben nicht mehr beliebig vorgegeben werden können. Diese beiden Quantengravitationstheorien werden damit zumindest prinzipiell experimentell überprüfbar (eine genügend genaue Messung der beiden Parameter G und Λ vorausgesetzt).

[tomS]

Hallo zusammen,

der letzte Beitrag spannt einen weiten Rahmen zwischen verschiedenen Formlierungen der klassischen Gravitationstheorien, ungelösten Problemem im Rahmen der Quantengravitation sowie der prinzipiellen Vorhersagekraft von Quantengravitationstheorien bei niedrigen Energien.

Ich hoffe, dass euch das interessiert.