10 Dimensionen

Jenseits des etablierten Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. Quantengravitation, Supersymmetrie und Supergravitation, Stringtheorien...
Antworten
Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 14. Jun 2009, 10:26

Hallo,

ist euch schon mal folgendes aufgefallen?

Die Stringtheorie fordert eine 10-dimensionale Formulierung

Dann machen wir doch mal folgende Rechnung

dim Raumzeit + dim U(1) + dim SU(2) + dim SU(3) = 4 + 1 + 2 + 3 = 10

Zu einfach???
Zuletzt geändert von tomS am 14. Jun 2009, 11:13, insgesamt 1-mal geändert.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
gradient
wohnt hier!
wohnt hier!
Beiträge: 412
Registriert: 3. Nov 2006, 09:25

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von gradient » 14. Jun 2009, 10:40

Hallo,

wegen U(1), SU(2), etc. kann ich zwar nicht so mitreden, aber glücklicherweise wurde das Thema "Vektorraum" in Bayern noch nicht aus dem Lehrplan für den Mathe-LK gestrichen. Daher weiß ich ungefähr, was die Dimension eines Vektorraumes ist (ich vermute, dass das dim das hier meint).
Gilt denn auch wirklich dim V1 + dim V2 + ...+ dim Vn = dim (V1+V2+...+Vn)?
Mein Bauchgefühl sagt mir, dass da noch Terme mit Schnittmengen vorkommen müssen (so kommt es in der Stochastik bei den Mengen vor).

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 14. Jun 2009, 11:26

Also zur Dimension der Gruppen U(1), SU(2) und SU(3)

Man muss hier zwei Dimensionen unterscheiden, nämlich die Dimension der Gruppe (die wären hir 1, 3, 8) und die Dimension der Fundamentaldarstellung, also des kleinsten Vektorraums, auf dem man die Gruppe abbilden kann (die wären hier 1, 2, 3).

Konkret benötig man für die drei Gruppen "Drehwinkel" (nämlich 1, 3, 8 Stück). Daraus berechnet man dann n*n "Drehamtrizen". Diese Drehmatrizen wirken dann auf n-dimensionalen Vektoren (n wäre hier 1, 2, 3). In unserem Falle entspricht
U(1); n=1: eine Dimension = die elektrische Ladung
SU(2); n=2: zwei Dimension = der schwache Isospin
SU(3); n=3: drei Dimension = drei Farbladungen

Das Zusammenbauen des gesamten Vektorraumes funktioniert ganz einfach: man nimmt immer eine neue Dimension hinzu, also einen Einheitsvektor in eine neue Richtung, senkrecht zu den bisherigen Richtungen. Wenn man also die Raumzeit mit vier Dimensionen bereits hat, dann startet man mit vier Basisvektoren
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
Dazu kommt dann ein neuer Basisvektor hinzu:
(0,0,0,0,1)
bei den vier Vektoren hängt man jeweils eine Null dran.

Mit dem dim V1 + dim V2 + ... meine ich, dass du das direkte Produkt zweier Vektorräume bildest. Nimm als Beispiel wieder die vier Basisvektoren plus den einen neuen fünften Basisvektor. Für den fünfdimensionalen Vektorraum schreibt man V = V1*V2, d.h. die obige Konstruktion bedeutet das direkte Produkt der beiden Vektorräume V1 und V2; mit dim V=5, dim V1 = 4, dim V2 = 1.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

breaker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1546
Registriert: 14. Jan 2006, 18:23

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von breaker » 14. Jun 2009, 22:37

Ja, direkte Summe (oder direktes Produkt) bedeutet im wesentlichen das gleiche wie das kartesische Produkt, bei dem sich die Dimensionen der Räume einfach addieren.


Aber was ist denn jetzt genau an U(1), SU(2), SU(3) so besonders?
Warum nicht O(n), GL(n) oder SL(n) oder sonstwas?
Die haben doch alle irgendwo eine physikalische Bedeutung.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 14. Jun 2009, 23:00

Das ist die Symmetriegruppe des Standardmodells:
U(1)*SU(2) = el.-schwache WW
SU(3) = starke WW bzw. QCD
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

breaker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1546
Registriert: 14. Jan 2006, 18:23

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von breaker » 14. Jun 2009, 23:07

Kannst Du das genauer erklären?

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 14. Jun 2009, 23:12

Hab ich schon :-)

Ich lade dich ein, meine Beiträge unter Elementarteilchenphysik zu lesen. Zum Thema Gruppentheorie insbs. 4., 5., 8. und 10.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

breaker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1546
Registriert: 14. Jan 2006, 18:23

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von breaker » 15. Jun 2009, 00:24

Oh ok, danke, muss ich mir mal Zeit nehmen.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen - Coleman-Mandula Theorem

Beitrag von tomS » 17. Jun 2009, 08:09

Es gibt übrigens ein "einfaches" Gegenargument :-)

Man hat bereits in den 70igern versucht, sogenannte innere Symmetrien wie die genannten U(1), SU(2) und SU(3) und die Raumzeit- bzw. Lorentz-Symmetrie SO(1,3) zu vereinheitlichen, d.h. eine Symmetriegruppe zu finden, die beide auf natürliche Weise enthält. Zunächst mal ist das mathematisch relativ einfach, man muss nur eine genügend große Gl(N) nehmen, die enthält dann sicher diese Gruppen als Untergruppen. In meinem Vektorraumbeispiel reicht die Gl(10) sicher aus. Die ersten vier Koordinaten transformiere ich mit der SO(1,3), die verbleibenden sechs eben mit U(1)*SU(2)*SU(3).

Aber dabei kommt nichts vernünftiges raus, weil man die beiden Strukturen einfach trivial nebeneinander stehenlässt. Statt desen sucht man eine engere Verzahnung, etwa so wie man aus einer SU(5) die U(1), SU(2) und SU(3) ableiten kann. In der SU(5) treten zusätzliche Strukturen und Eichbosonen auf, die auf neue physikalische Effekte führen. Das ist zunächst mal erwünscht, nur leider sagt uns die Natur, dass es diese neuen Effekte nicht gibt (Protonenzerfall). Trotzdem ist diese Art der Vereinheitlichung das, was sich Physiker wünschen. In der Stringtheorie wird das Standardmodell z.B. als Unterstruktur der E(8), teilweise sogar der E(10) und E(11) gesucht.

Wenn man nun versucht, diese Vereinheitlichung von Raumzeitsymmetrien und inneren Symmetrien voranzutreiben, dann stößt man auf ein "no-go" theorem, das sogenannte Coleman–Mandula Theorem. Es besagt, dass in jeder Quantenfeldtheorie die erhaltenen Ladungen Skalaree unter Lorentz-Transformationen sein müssen. D.h. aber, dass ausschließlich die künstliche Verheiratung der Symmetrien möglch ist, ein Weg wie bei der SU(5) ist nicht erlaubt.

Die Annahmen für das Coleman-Mandula Theorem lassen jedoch einige Schlupflöcher
- die Aussagen gelten für nur die S-Matrix, d.h. physikalische Endzustände bzw. messbare Teilchen; "versteckte" Symmetriestrukturen sind nicht verboten
- die Aussagen gelten nur für Lie-Symmetrien, nicht jedoch für Erweiterungen der Lorentz-Symmetrie wie z.B. eine nicht-kommutativen Raumzeit oder Supersymmetrie
- die Aussagen gelten für nur die Theorien mit Mass-Gap, d.h. nur wenn der niedrigste angeregte Zustand nicht infinitesimal nahe an der Vakuumenergie liegt

Die Supersymmetrie ist natürlich der Ausweg, der heute am häufigsten untersucht wird (SUSY, SUGRA, Strings), aber auch icht-kommutative Geometrien spielen eine gewisse Rolle.

Trotzdem finde ich die Formel 10 = 1 + 2 + 3 + 4 irgendwie nett ...
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 31. Jul 2010, 21:36

Ich habe mich nicht verschrieben, sondern war nur sehr schlampig. Die Transformationen werden durch Matrizen der Form



beschrieben. Dabei sind die T's die sogenannten Generatoren. In der SU(n) gibt es n²-1 Generatoren der Dimension n*n.

In der Quantenfeldtheorie kann man zu den T's erhaltenen Ladungen konstruieren, nämlich; für jedes T existiert genau ein Q (das ist eine Folgerung des Noethertheorems). Die Fundamentaldarstellung der SU(n) ist jedoch ein n-dimensionaler, komplexer Vektorraum, daher spricht man auch hier von Farbladung, nämlich von n Stück (in der SU(3) wären das eben die drei Quark-Farben). Aber eigentlich ist das schlampig; mathematisch exakt sind es acht.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
AlTheKingBundy
Senior-Master
Senior-Master
Beiträge: 546
Registriert: 10. Dez 2005, 23:06
Kontaktdaten:

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von AlTheKingBundy » 1. Aug 2010, 08:32

Die Dimensionierungen der Stringtheorie und der Eichtheorien beruhen auf unterschiedlichen mathematematischen Ansätzen. In den Eichtheorien fordert man, dass die Physik unberührt bleibt von unitären Transformationen der Wellenfunktionen. Das macht in sofern Sinn, als z.B. die Wahrscheinlichkeitsdichte invariant unter solchen Transformationen ist. Wenn die Phasenwinkel explizit ortsabhängig sind (lokale Invarianz) ergibt sich bei den Bewegungsgleichungen der transformierten Wellenfunktionen ein zusätzlicher Ableitungsterm, der durch ein Wechselwirkungspotential "absorbiert" werden kann. Mit dem transformierten Wechselwirkungspotential bleiben so die Bewegungsgleichung von ihrer Form her wieder invariant. Der Ansatz der Stringtheorie (10 dimensional) beruht auf einer geometrischen Aufblähung der Raumdimensionen, wobei überflüssige, d.h. nicht beobachtete Dimensionen später wieder zusammengerollt werden, quasi auf unbeobachtbare Größe. Wenn man so will, ist die Gemeinsamkeit von Stringtheorien und Eichtheorien der, dass für beide Modelle eine Basis benötigt wird, die aber einen unterschiedlichen mathematischen Ursprung haben.
Gruß Al

Die reinste Form des Wahnsinns ist es, alles beim Alten zu lassen und gleichzeitig zu hoffen, dass sich etwas ändert.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 1. Aug 2010, 11:50

Schau dir doch mal folgenden Artikel über den n-dimensionalen harmonischen Oszillator an; da habe ich den Zusammenhang zwischen Eichtransformation und Ladung (für ein einfaches SU(n) Beispiel in der QM) beschrieben

http://abenteuer-universum.de/userfiles/sun.pdf

In der QED ist es nun so,dass der Generator der Eichsymmetrie sogenannte Gaußsche Gesetz ist, d.h. es gilt



mit



Im Falle einer konstanten Phase erhält man



Wenn man diesen Operator U auf ein Elektronfeld anwendet, dann gilt sowas wie



Dazu muss man die Ladungsdichte durch die fermionischen Feldoperatoren ausdrücken und die Kommutatoren in der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen. Die letzte Zeile gilt dabei auch für eine nicht-konstante Phase, allerdings tritt dann im Operator Q nicht die Ladung direkt auf.

Es geht mir also nicht um die reine Anwendung der Phase auf die Fermionfelder, sondern um die Ableitung aus einem quantenmechanischen Operator.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9110
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von tomS » 1. Aug 2010, 22:45

Sorry, das hatte ich vergessen zu erwähnen; es handelt sich um Gleichungen für Operatoren. Das Gaußsche Gesetz gilt als Zwangsbedingungen für physikalische Zustände (es handelt sich um einen sogenannten Constraint), nicht um eine Operatorgleichung, d.h.



und



Das ist da selbe wie in der Quantenmechanik, wenn du forderst, dass der Drehimpuls verschwindet; dann gilt auch



aber eben nicht

Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

deltaxp
Senior-Master
Senior-Master
Beiträge: 948
Registriert: 23. Sep 2010, 17:02

Re: 10 Dimensionen

Beitrag von deltaxp » 16. Okt 2013, 13:55

es ist zwar schon lange her, das zu diesem was geschrieben wurde, aber dennoch möchte ich es nochmal aufgreifen. in der super-stringtheorie gibt es doch nur die strings , deren eigenschaften sich sowohl aus den grossen dimensionen aus der konkreten realisierung realisierung der kompaktifizierten extra-dimensionen ergeben oder wie membranen rumgewickelt sind, da die die schwingungsmöglichkeiten vorgeben. also werden doch hier in gewisser weise alle eigenschaften wie auch die ineren symmetrien durch den raum bestimmt. ist das nicht so etwas wie dass die innere symmmetrie durch den raum und die durch seine geometrie erlaubten schwingungenvorgegeben wird?

Antworten

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast