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Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Jenseits des etablierten Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. Quantengravitation, Supersymmetrie und Supergravitation, Stringtheorien...
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Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 3. Mai 2009, 11:44

Hallo zusammen,

nach etlichen Diskussionen über Details der Schleifenquantengravitation (englisch Loop Quantum Gravity; kurz LQG) wollte ich mal wieder einen Beitrag schreiben, der die gesicherten Ideen und Ergebnisse kurz zusammenfasst, ohne dabei zu sehr auf neue, spekulative Ideen einzugehen.

Ich hoffe sehr, dass dieser Artikel für Einsteiger ohne Vorkenntnisse geeignet ist.

Ich versuche dabei mittels einiger anschaulicher Bilder die wesentlichen Ideen zu vermitteln, ich möchte jedoch auch gleichzeitig warnen, diese Bilder zu wörtlich zu nehmen! Es handelt sich um den Versuch, mathematische Modelle in die Alltagssprache zu übersetzen. Das bedeutet nicht, das die Natur dann so „ist“, wie es diese Bilder suggerieren, sondern lediglich, dass hier eine grobe, oft unvollkommene Analogie existiert (so wie wenn sich Blinde über Farbe unterhalten).

In der LQG ist das Bild einer klassischen Raumzeit zunächst vollständig verschwunden. Es gibt keine glatte Mannigfaltigkeit mehr, auf der sich die physikalischen Prozesse abspielen bzw. die sich im Rahmen dieser Prozesse krümmt und somit die Gravitation vermittelt. Stattdessen gibt es lediglich ein „Spinnetzwerk“, wobei die Spins an den Knoten des Netzes sitzen und die Verbindungslinien des Netzes mit Zahlenwerten versehen sind, die durch eine bestimmte mathematische Struktur definiert sind. Dieses Netz „lebt“ nicht in der Raumzeit, sondern es „ist“ das quantenmechanische Analogon zur Raumzeit.

Man vergleiche das mit dem mikroskopischen Bild einer Wasseroberfläche unter Einbeziehung der Atomphysik. Es gibt dann keine glatte Wasseroberfläche mehr, sondern lediglich wechselwirkende Atome, aus denen erst makroskopisch wieder das Bild einer Wasseroberfläche entsteht. Die Wasseroberfläche (bzw. das gesamte Wasser mit allen seine Eigenschaften wie Oberflächenspannung, Wellen, Dichte usw.) ist ein sekundäres Phänomen, fundamental sind lediglich die Atome. Damit soll nicht die Existenz der Wasseroberfläche wegdiskutiert werden, sondern es soll lediglich argumentiert werden, dass auf einem fundamentaleren Niveau die Natur eben durch Atome beschrieben werden muss.

Ebenso verhält es sich mit der Raumzeit in der LQG. Fundamental sind die Spinnetzwerke, d.h. die Spins an den Knoten, die Verbindungslinien zwischen den Knoten, sowie gewisse mathematische Regeln, die die Dynamik des Spinnetzwerkes beschreiben. Diese Dynamik besteht im Wesentlichen darin, dass innerhalb dieses Netzes neue Knoten entstehen können, die wiederum mit existierenden Knoten durch neue Verbindungslinien verknüpft sind. Das Entstehen dieser Knoten ist durch die mathematische Struktur SU(2) sowie ein Objekt namens Hamiltonoperator bestimmt.

Anmerkung: Ein Spin ist dabei zunächst ein mathematisches Gebilde, das eine bestimmte Art von Eigendrehimpuls beschreibt (bekannt aus der Atomphysik). Dabei treten z.B. nur quantisierte Drehimpulse auf. In unserem Fall handelt es sich nicht um echte Drehimpulse von irgendetwas, lediglich die mathematischen Formeln sind ähnlich zum Formalismus der Drehimpulse. Es gibt da also nichts, was sich irgendwie dreht!

Das Bild der uns bekannten Raumzeit entsteht nun ähnlich wie oben das Bild der Wasseroberfläche bzw. wie bei Schaum. Ein Knoten entspricht einer Zelle des Schaumes, d.h. er repräsentiert ein elementares Volumen. Benachbarte Volumina sind durch Grenzflächen getrennt; diese Grenzflächen werden durch eine Verbindungslinie zwischen den Knoten repräsentiert. Man bezeichnet dieses Bild als dual zu dem Bild des Schaumes. Es ist jedoch tatsächlich allgemeiner als das Bild des Schaumes, da z.B. auch Verbindungslinien zwischen „weit auseinander liegenden“ Knoten erlaubt sind, während im Schaum eben nur Grenzflächen zwischen direkt benachbarten Volumina auftreten.

Wichtig: man darf sich das Spinnetzwerk nicht „im Raum“ vorstellen, sondern es „ist“ der Raum selbst. Eliminiert man alle Spins, d.h. alle Knoten, so bleibt kein leerer Raum mehr übrig, sondern der Raum ist vollständig verschwunden! (zeichnet man ein derartiges Netzwerk auf ein Blatt Papier, so ist das Papier lediglich eine Hilfskonstruktion, keine reale physikalische Entität). Das Vakuum in der LQG ist also nicht „leerer Raum“, sondern tatsächlich „kein Raum“.

Über die Knoten und Verbindungslinien entstehen elementare Quanten des Raumes. Es gibt keine unendlich kleine Fläche bzw. kein unendlich kleines Volumen, sondern ein einzelner Knoten repräsentiert das minimal erlaubte Volumen. Das Volumen ist also diskret (kein Raum = Volumen Null, ein Knoten = minimales Volumenquant). Ähnlich verhält es sich mit Flächen, eine Verbindungslinie repräsentiert ein minimales Flächenquant. Für Längen gilt dies analog, allerdings ist die Beschreibung der Länge in der LQG wesentlich komplizierter.

So wie in der Atomphysik bzw. Quantenmechanik diskrete Energieniveaus auftreten, so treten in der LQG diskrete Volumina und Flächen auf. Diese Diskretheit ist auch der Grund, warum in der LQG Objekte wie schwarze Löcher und der Urknall keine unphysikalischen Singularitäten entwickeln können. Stattdessen entstehen fundamental diskrete Strukturen, die jedoch mathematisch wohldefiniert bleiben. Auch hier hilft wieder ein Vergleich mit der Atomphysik: betrachtet man ein Atom klassisch, so würde man erwarten, dass das Elektron in das „unendlich tiefe Coulomb-Potential“ fallen kann, wobei es unendlich negative Energie annehmen würde. Quanteneffekte sorgen nun dafür, dass es ein niedrigstes Energieniveau gibt, unterhalb dessen ein Elektron im Coulomb-Potential einfach nicht existieren kann. Ähnliche Mechanismen treten auch in der LQG auf.

Wie entsteht nun die makroskopische Raumzeit? Dies ist noch Gegenstand aktueller Forschung, da hier noch nicht alle mathematischen Probleme abschließend gelöst sind. Im Wesentlichen hat man dabei das Bild eines extrem großen Spinnetzwerkes vor Augen, das für größere Entfernungen in das Bild der klassischen Raumzeit übergeht (so wie man makroskopisch auch nur die Wasseroberfläche und nicht die einzelne Atome wahrnimmt). Wichtig ist dabei, dass diese so aus der LQG hervorgehende Raumzeit wieder die uns bekannten Eigenschaften aufweist (ART, Newtonsches Gravitationsgesetz als Näherung, …). In jüngster Zeit konnte hier ein wesentlicher Durchbruch erzielt werden: man konnte zeigen, dass ein physikalisches Objekt namens „Graviton-Propagator“ makroskopisch Eigenschaften entwickelt, die man aufgrund des 1/r Verhaltens des Gravitationspotentials erwartet.

Die Rolle der Zeit in der LQG (bzw. generell in allen Theorien der Gravitation) ist dabei ebenfalls noch Gegenstand der Forschung. Denn im Bild der Spinnetzwerke gibt es keine kontinuierlich verlaufende Zeit. Stattdessen gibt es nur „Ticks“ einer elementaren Uhr, ein Tick entspricht dabei z.B. dem Entstehen eines neuen Knotens im Spinnetzwerk. Ein makroskopischer Begriff von Zeit entsteht ebenfalls erst als abgeleitete Größe.

Falls dieser Artikel Gefallen und genügend Resonanz findet, werde ich weitere Schlussfolgerungen aus der LQG betrachten.
Gruß
Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von wilfried » 3. Mai 2009, 16:38

Tag Tom

Du hast es verstanden, eine sehr komplizierte und auch schwer vorstellbare Einführung mit einfachen Worten zu beschreiben und trotzdem sehr nahe an der Physik / Mathematik zu bleiben.

Das ist eine Kunst! Ich bin sehr froh, daß Du diese Kunst so meisterlich beherrschst und unseren Forenmitgliedern die Schönheiten und auch die Erkenntnisse der neuesten Forschung sehr nahe bringst.

Danke dafür und ja, ich meine: mach weiter!

Gruß

Wilfried
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Maclane » 3. Mai 2009, 18:13

Tom, du bist wie immer spitze!

Über den "Graviton-Propagator" würd ich gerne mehr erfahren.
Und es täte mich interessieren, ob es für die Knotenpunkte im Spin-Netzwerk eine maximale Anzahl Verbindungen gibt und wenn ja, wie hoch diese ist.
Wird ein Volumenquant eigentlich dreidimensional betrachtet, also hat dieses Volumen eine Kugel-, Ei, Tetraeder, sonstwas-eder Form oder ist es irgendeine höherdimensionale Form?

Du sagst, dass Knoten auch mit Knoten verbunden sein können, die nicht "benachbart" sind (stell mir das grade vor wie die Nervenzellen im Gehirn). Woraus ergibt sich aber, ob ein Knoten benachbart ist oder nicht? Kann es zwischen zwei Knoten überhaupt sowas wie eine "Entfernung" geben?

Gruß
Mac
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von gravi » 3. Mai 2009, 19:38

Wieder mal ein Superbeitrag, Tom. :verygood:
Besten Dank!

Gruß
gravi
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von gradient » 3. Mai 2009, 21:32

Hallo Tom,

auch ich finde diesen Text als Einstieg sehr gelungen. :well:
Neben Maclanes Fragen interessiert mich noch, welchen Sinn es hat, den Verbindungslinien Zahlen zuzuordnen. Gibt es da neben der mathematischen Bedeutung zusätzlich eine physikalische?

Beste Grüße,
Patrick

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 3. Mai 2009, 21:39

Freut mich, dass euch der Beitrag gefällt. Eigentlich habe ich ihn aus einer Diskussion auf dem "Matheplaneten" heraus geschrieben - vielleicht bleibt da ja jemand bei uns "hängen"

Zu den einzelnen Punkten:

1) der Graviton-Propagator erfodert eine etwas längere Ausführung ... heute nicht mehr

2) zu den "benachbarten Knoten " habe ich schon mal was geschrieben: Nichtlokaler Quantenkosmos
Tatsächlich gibt es dann quasi zwei Arten von "Nachbarschaft"; zum einen sind zwei Vertizes mikroskopisch benachbart, wenn sie durch einen Link verbunden sind; zum anderen sind zwei Punkte dann makroskopisch benachbart, wenn sie bzgl. der makroskopischen Metrik bzw. Mannigfaltigkeit benachbart sind.
Stellt euch zunächst mal Seifenschaum vor. Jede Zelle Seifenschaum wird durch einen im ihrem Inneren liegenden Vertex (Knoten) repräsentiert. Zwei benachbarte Vertizes (die durch eine einzige Seifenhaut getrennt sind) werden durch einen Link verbunden. In diesem Bild sind nun mikroskopische und makroskopische Nachbarschaft zunächst identisch.
Nun erlaubt die LQG jedoch etwas, das man sich makroskopisch so vorstellen kann, dass zwei (makroskopisch) weit auseinanderliegende Vertizes (Zellen) trotzdem durch einen Link verbunden sind. Damit ist das Bild des Seifenschaums streng genommen nicht mehr zulässig (zwischen diesen Vertizes kann man sich keine Seifenhaut mehr vorstellen; der Link ginge durch andere Zellen hindurch). Allerdings geht man davon aus aus, dass "meistens" derartige "nichtlokale" Links nicht vorkommen, dass also das mikroskopische und das makroskopische Bild von "Nachbarschaft" näherungsweise übereinstimen - andernfalls würde die LQG nicht eine gewöhnliche vierdimensionale Mannigfaltigkeit ergeben (je mehr nichtlokale Links es gäbe, desto verwobener wäre die Raumzeit - insbs. wäre ihre effektive Dimenmsion größer als vier - es gäbe quasi Abkürzen entlang dieser Links.

3) Bzgl. des Volumens bzw. seiner Form. Es hat gar keine Form; es handelt sich einfach um einen Knoten, der die abstrakte Eigenschaft hat, ein Volumenquant zu tragen. Im Falle des Bildes des Seifenschaums ergibt sich eine Form der Zelle; allerdings wird dies auch nur näherungsweise gelten; insbs. wenn nichtlokale Links existieren, verliert der Begriff Zelle und Form seine Bedeutung.

4) Die Spins an den Vertizes sind in etwa sowas wie die Volumenquanten (der jeweiligen durch den Vertex repräsentierten Zelle); die Zahlen an den Links ergeben sich durch bestimmte Regeln der SU(2) Clebsch-Gordon-Algebra. Diese Zahlen entsprechen in etwa den Flächen, die durch die Links repräsentiert werden (also den zwischen den Zellen liegenden Seifenhäuten).

Macht doch mal folgende Übung: malt ein Muster mit beliebigen, verzerrten n-Ecken auf ein Papier (n ist beliebig, z.B. 3, 4 und 5, wie ihr Lust habt). Die n-Ecke sind unregelmäßig, ihre Größe ist beliebig. So, nun ist euer ganzes Papier ohne Lücke mit n-Ecken überdeckt. Nun setzt in jedes n-Eck einen Punkt (= den Vertex). Nun verbindet (mit einer anderen Farbe) ALLE Vertizes, die durch jeweils eine einzige Seite eines n-Ecks getrennt sind (also alle benachbarten Vertizes). Damit habt ihr das zu den ursprünglichen n-Ecken duale Bild eines Spinnetzwerkes (na ja - fast). Nun vergesst ihr die ursprünglichen n-Ecke und verbindet beliebige weitere (weiter auseinanderliegende) Vertizes miteinander (ihr erhalten Links, die sich gegenseitig schneiden; denkt euch die neuen Links einfach in der dritten Dimension gezeichnet). Damit habt ihr eine "Nichtlokalität" eingeführt. Nun vergesst ihr noch das Papier! Was ihr nun übrig behaltet, entspricht in etwas einem Spinnetzwerk.
Zuletzt geändert von tomS am 4. Mai 2009, 22:03, insgesamt 1-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von gravi » 4. Mai 2009, 20:27

tomS hat geschrieben:... Nun vergesst ihr die ursprünglichen n-Ecke und verbindet beliebige weitere (weiter auseinanderliegende) Vertizes miteinander (ihr erhalten Links, die sich gegenseitig schneiden; denkt euch die neuen Links einfach in der dritten Dimension gezeichnet). Damit habt ihr eine "Nichtlokalität" eingeführt. Nun vergesst ihr noch das Papier! Was ihr nun übrig behaltet, entspricht in etwas einem Spinnetzwerk.
@Tom:
Könnte man diese Nichtlokalität irgendwie mit der "spukhaften Fernwirkung" in Zusammenhang bringen? Ich meine, wenn alles mit jedem verbunden ist, könnte das doch ein wenn auch vager Fingerzeig auf die Quantenteleportation sein. Oder bin ich auf dem Holzweg?

Gruß
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 4. Mai 2009, 22:27

Zuerst mal eine Skizze, nicht für ein Spin-Netzwerk, sondern lediglich für meine Idee aus dem letzten Absatz:
- schwarz: die elementaren Volumina bzw. Zellen
- blau: der dazu "duale" Graph mit Vertizes und Links
- rot: zwei "nichtlokale" Links

Ich habe bewusst einen nichtlokalen Link eingezeichnet, dem man dies auf den ersten Blick im dualen Graphen gar nicht ansieht. Klar ist jedenfalls, dass der "duale" Graph wesentlich allgemeiner ist als das ursprüngliche Bild mit den Zellen. Jedenfalls kann man den gesamten Graph inklusive der nichtlokalen Links nicht das ursprüngliche Bild ausschließlich mit Zellen zurückübersetzen - die roten Links lassen dies nicht zu.
SN.JPG
Zur Idee mit der spukhaften Fernwirkung: Damit hat das sicher gar nichts zu tun, denn diese zeigt ja eine extrem starke Korrelation zwischen Messergebnissen, während die nichtlokalen Links extrem stark unterdrückt sein müssen, da sie sonst zu sichtbaren Effekten führen würden. Der eine von mir eingezeichnete nichtlokale Link schneidet andere (blaue) Links. Dies lässt sich nur dadurch verhindern, dass man ihn sich in die dritte Dimension gehoben vorstellt. Würde man nun die Dimension des Spinnetzwerkes mittels eines ähnlichen Algorithmus wie in der CDT bestimmen, so würden derartige nichtlokale Links die effektive Dimension etwas über 4 anheben, d.h. bei zu vielen nichtlokalen Links würden wir eine effektive Dimension größer 4 sowie echt Wurmlocheffekte sehen.
Gruß
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Maclane » 5. Mai 2009, 03:06

tomS hat geschrieben: d.h. bei zu vielen nichtlokalen Links würden wir eine effektive Dimension größer 4 sowie echt Wurmlocheffekte sehen.
Das wollte ich auch erst fragen, aber dann kam ich zu dem Schluss, dass die nichtlokalen Links nicht allzuweit reichen können. So ein nichtlokaler Link ist bestimmt immer noch "kürzer" als der Durchmesser eines Protons oder so.
Auf makroskopischen Skalen würde man so auch keinen Unterschied sehen, egal wie häufig diese nichtlokalen Links vorhanden sind. Wollte man Unterschiede z.B. in der Bewegung eines Elektrons sehen, müsste man schon sehr sehr genau hinschauen. Das kann man aber nicht wegen der Unschärferelation.
Mein Schluss ist, dass die nichtlokalen Links auf jeden Fall kleiner sein müssen als die Unschärfe beobachtbarer Teilchen und Phänomene.

Lieg ich damit richtig?

Frage: können eigentlich nur neue Knoten hinzukommen oder können auch welche verschwinden? Können sich Knoten auch dynamisch anders verbinden oder ist eine Verbindung statisch, wenn sie erstmal da ist? Anders gefragt: definiert die Dynamik des Spinnetzwerkes einen Zeitpfeil ähnlich dem thermodynamischen Zeitpfeil? Gibt es da vielleicht sogar einen Zusammenhang?

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 5. Mai 2009, 07:33

Zu den nichtlokalen Links: schau doch mal unter Nichtlokaler Quantenkosmos . Dort wird argumentiert (spekuliert), dass derartige nichtlokale Links auf kosmologischen Längenskalen (!) für die kosmologische Konstante verantwortlich sein könnten.

Zu deinen Fragen bzgl. der Vertizes: die Regeln sind absolut "zeitsymmetrisch", das habe ich leider falsch dargestellt. D.h. es können Vertizes enstehen und verschwinden. Die exakte Form dieser Regeln folgt übrigens nicht aus der Quantisierung der Theorie; es gibt eine gewisse Freiheit bei der Entstehung eines neuen Knotens (wie er entsteht und welche Spin-Darstellung er trägt). Dies ist eines der wesentlichen Probleme der LQG - die noch nicht eindeutige Struktur des Hamiltonoperators. Die Regeln haben auch Einfluss auf die makroskopische Physik, z.B. auf die Struktur des o.g. Graviton-Propagators, also auch auf die Frage, ob die LQG den korrekten klassischen Grenzfall, nämlich die ART, reproduziert. Wesentliche Eigenschaften wie die Quantisierung von Fläche und Volumen sind jedoch unabhäniug von der genauen Form dieser Regeln, d.h. auch wenn die LQG hier noch einige offene Baustellen hat, sind doch viele ihrer Vorhersagen bereits etabliert.
Gruß
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Maclane » 5. Mai 2009, 11:02

Tja, dann stellt sich mir die Frage, wie es von den mikroskopischen "Ticks" zu der makroskopischen Zeit kommt. (?)

Wenn in den Spinnetzwerken Zeit symmetrisch ist, warum haben wir dann eine ausgezeichnete Zeitrichtung in unserer makroskopischen Welt? Ist das Spinnetzwerk nicht das Fundament von "allem anderen"? Was ist denn dann die fundamentale Natur der Zeit wenn nicht die Raumzeit?

Gruß
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 5. Mai 2009, 11:37

Dazu verweise ich auf den Thread Physikprofessor behauptet: "Zeit existiert nicht"!

In Kürze: m.E. entsteht "Zeit" auf Basis von makroskopischen Prozessen, die überhaupt erst eine Zeitskala definieren können.
1) Wenn das Universum völlig gleichförmig im thermodynamischen Gleichgewicht wäre, dann gäbe es überhaupt keine "Zeit" im Sinne eines Prozesses
2) Wenn das Universum auf jeder Längen-und Zeitskala selbstähnlich wäre (wie ein Fraktal oder wie Topf kochenden Wassers, in dem auch Fluktuationen jeder beliebigen Skala vorhanden sind), dann gäbe es ebenfalls keine derartige Zeit.
3) Ein einzelnes Elektron in einem ansonsten völlig leeren Universum hat zwar eine Eigenzeit (entlang seiner Weltlinie), es erfährt jedoch wiederum keine Zeit im eigentlichen Sinne.

D.h. ich erwarte mir von den fundamentalen Ticks im Spinnetzwerk überhaupt keine eigentliche Zeit; diese entsteht erst auf einer makroskopischen Ebene.
Gruß
Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 22. Sep 2009, 00:12

Hallo zusammen,

ich wollte diesen Thread einfach mal wiederbeleben, und zwar
- zum einen, weil er sonst (auch bei mir) in Vergessenheit gerät, ich aber noch einige Themen versprochen habe
- zum anderen, weil sich einige Entwicklungen im Rahmen der LQG bzw. bei den Spin-Foams ergeben haben, auf die ich demnächst eingehen möchte

Ein kurzer Vorgriff:
- es zeichnet sich ab, dass Formulierungen für Spin-Foams gefunden wurden, die äquivalent zur kanonischen Quantisierung der LQG sind
- diese Formulierungen helfen der LQG aus dem Dilemma, dass sie sich immer noch mit Mehrdeutigkeiten herumplagen muss
- diese Formulierungen helfen den Spin-Foams aus dem Dilemma, dass die LQG allgemeinere Spinnetzwerke zulässt
- diese Formulierungen deuten darauf hin, dass die LQG tatsächlich für große Entfernungen (kleine Energien) die ART reproduziert (Stichwort: Gravitonpropagator)
- offensichtlich erscheint sowohl im Rahmen der LQG als auch der CDT die Raumzeit bei kleinen Abständen nur noch zweidimensional

Zusammenfassung: nix Genaues weiß man noch nicht, aber es deutet vieles darauf hin, dass LQG, Spin-Foams und auch CDT einen gemeinsamen wahren Kern haben ...
Gruß
Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von gravi » 22. Sep 2009, 19:17

Ja, das Thema ist es wirklich wert, weiter betrachtet zu werden.
Hier schon die erste Frage, die mir "aufstößt":
tomS hat geschrieben: - offensichtlich erscheint sowohl im Rahmen der LQG als auch der CDT die Raumzeit bei kleinen Abständen nur noch zweidimensional
Wie kann sich denn hier die RZ auf 2 Dimensionen beschränken? Ist eine "aufgewickelt" wie bei den Strings?
Vor allem würde mich interessieren, bei welcher Länge soll der "Übergang" erfolgen und nach welchem Mechanismus funktioniert er?

Gruß

gravi
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 22. Sep 2009, 20:01

Gegenfrage: hast du verstanden, wie das bei der CDT funktioniert?
Gruß
Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 23. Sep 2009, 23:44

Zu dem Thema der dimensionalen Reduktion habe ich folgenden Übersichtsartikel gefunden:

http://arxiv1.library.cornell.edu/abs/0909.3329
Spontaneous Dimensional Reduction in Short-Distance Quantum Gravity?
Steven Carlip
(Submitted on 17 Sep 2009)
Abstract: Several lines of evidence suggest that quantum gravity at very short distances may behave effectively as a two-dimensional theory. I summarize these hints, and offer an additional argument based on the strong-coupling limit of the Wheeler-DeWitt equation. The resulting scenario suggests a novel approach to quantum gravity at the Planck scale.

Darin wird zunächst das Bild der CDT-Raumzeit und die Idee der spektralen Dimension eines Diffusionsprozesses erläutert; die CDT-Raumzeit entwickelt nach diesem Bild eine spektrale Dimension von 2 bei kleinen und 4 bei makroskopischen Abständen. Wir haben das unter Fraktaler Quantenkosmos diskutiert.

Dann wird eine Idee von Weinberg aufgegriffen, derzufolge die ART doch eine gewöhnliche störungstheoretische Fomrulierung wie andere Quantenfeldtheorien zulassen könnte. Zwar enthält sie grundsätzlich unendlich viele Terme der Form R, R², ... und C², ..., jedoch könnte es sein, dass nur endlich viele dieser Terme von Null verschiedene Koeffizienten haben. Es gibt diverse Hinweise auf dieses Verhalten. Nun ist es so, dass bestimmte Objekte in einer Quantenfeldtheorie eine bestimmte "Massendimension" haben, d.h. sie verhalten sich wie [m], [m²] o.ä. Man erhält diese Dimension über eine Betrachtung der klassischen Feldtheorie. (Setzt man h=c=1, so gilt übrigens [Länge] = [1/Masse], daher kommt die in der Hochenergiephysik oft verwendete En tsprechung von Längen- und Massenskalen) Die zugehörigen Operatoren können aber eine "anomale Dimension" entwickeln, d.h. ihre "Massendimension" weicht von der der klassischen Feldtheorie ab; man kennt dieses Verhalten u.a. aus der QCD (siehe dazu meine Beiträge unter "Elementarteilchenphysik"). Interessant ist nun, dass die Ergebnisse für die ART auf eine große Abweichung der anomalen Dimensionen hinweisen, und zwar so, dass sie den Dimensionsbetrachtungen einer Feldtheorie in zwei Raumzeitdimensionen entsprechen.

Zur LQG schreibe ich separat noch einen Beitrag.

Ein weiterer Punkt kommt von der Stringtheorie. Es wurde gezeigt, dass für eine Feldtheorie üblicherweise gilt F/VT ~ T³ in drei Raumdimensionen; für die Stringtheorie gilt (jenseits der Hagedorn-Temperatur) jedoch F/VT ~ T, was effektiv einer Raumdimension also einer zweidimensionalen Raumzeit entspricht. F ist dabei die freie Energie, V das Volumen und T die Temperatur (thermodynamische Größen).

Zusammenfassung: Es sieht also so aus, als ob verschiedene Modelle, die teilweise auf mathematischen Objekten beruhen, die überhaupt keine eigentliche Dimension haben (Fraktale in der CDT, Spinnetzwerke, Operatoren, ...) in bestimmten Grenzfällen sich so verhalten wie klassische Objekte in einer vierdimensionalen Raumzeit, in anderen Grenzfällen dagegen wie in einer zweidimensionalen Raumzeit.

Erläuterung: ich will mal kurz versuchen, eine derartige Schlussfolgerung an zwei Beispielen zu skizzieren.
Erstes Beispiel aus der CDT und aus Fraktaler Quantenkosmos. Man betrachtet die zufällige Diffusion eines Teilchens bzw. seine Rückkehrwahrscheinlichkeit nach der Diffusion entlang einer Kurve bestimmter Länge. Es zeigt sich, dass diese Rückkehrwahrscheinlichkeit von der Dimension des Raumes abhängt (klar: zufälliges Hin-und Herlaufen in einer engen Gasse führt meist bereits nach wenigen Schritten zum Ausgangspunkt zurück; zufälliges Hin- und Herlaufen in einem Kaufhaus mit vielen Rolltreppen führt dagegen selten zum Ausgangspunkt zurück)
Zweites Beispiel aus der Feldtheorie: Ein masseloses Teilchen hat immer einen Propagator ~1/p²; dieser beschreibt im wesentlichen die Ausbreitung (im Impulsraum). Fouriertransformation führt auf eine Funktion

V(x) ~ 1/x[up]d-3[/up]

Dabei ist V(x) das Potential; und für eine vierdimensionale Raumzeit d=4 erhält man mit d-3 = 1 das bekannte Coulombpotential. Achtung: die Formel gilt nur ab d=4, 5, ...; für d=2 ist das Potential eine Gerade V(x) = kx, für d=3 hängt v(x) logarithmisch von x ab! Findet man nun also in einer Theorie ein Objekt ähnlich einem Propagator und untersucht die Fouriertransformierte V(x), so kann man daraus eine Dimensionsbegriff ableiten.
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Tom

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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 25. Sep 2009, 16:21

Man kommt immer wieder auf den Propagator. Der enthält zwar praktisch alle wesentlichen Informationen (Masse des propagierenden Teilchens, Dimension der Raumzeit, ...), ist aber ein eher unanschauliches Objekt. Besser ist es, statt des Propagatiors im Impulsraum direkt das Potential im Ortsraum zu betrachten - sofern man diese Berechnung durchführen kann.

Eigentlich sollte dies hier ja ein Thread für Einsteiger sein - ist es aber leider nicht mehr.

Ich diskutiere deshalb die Dimensionalität der Raumzeit lieber an andere Stelle: Fraktaler Quantenkosmos; siehe auch der Link in meinem Beitrag vom 25. Mai 2009.
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Re: Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 6. Feb 2012, 12:26

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