QM-Frage-Antwort

[tomS]

zu 1) der Ortsoperator wirkt auf ψ(x) einfach als xψ(x); auch das Potential V(x) ist demnach aus dem Ortsoperator aufgebaut und wirkt als V(x)ψ(x); du meinst den Erwartungswert des Ortsoperators <ψ|x|ψ>; der Impulsoperator ist -h d/dx (h.quer wird dabei - wie so oft - gleich 1 gesetzt)
zu 2) stimmt
zu 3) stimmt, es gilt i d/dt ψ(x) = H ψ(x)

[Alexander]

Die anderen beiden Antworten mache ich dann morgen.

Übrigens, die Schrödingergleichung kannte ich nur zufällig schon, sollen wir diese, wenn wir das akutelle Thema fertig behandelt haben, auch mal diskutieren? Daneben würde ich irgendwann mal auch gerne die Dirac-Gleichung diskutieren, denn es wäre in diversen Zusammenhängen von Vorteil gewesen, wenn ich gewusst hätte, was es mit dieser auf sich hat. Versuche, sie zu verstehen, scheiterten bisher mehr als dass sie gelangen...

Ich sage das deshalb, da du in diesen Thematiken viel versierter bist und eine geeignete Reihenfolge der Diskussion bestimmt kennst, sodass das möglichst aufeinander aufbaut. Du kannst auch, wenn zu diesen Thematiken Kenntnisse nötig sind, die noch nicht besprochen wurden, diese zuvor einführen.

[tomS]

Lass' uns als näöchstes zur Schrödingergleichung übergehen; die Dirac-Gleichung ist letztlich "nur" eine relativistiche Verallgemeinerung, aber mathematisch recht aufwändig zu diskutieren; da würde ich dann schon eher vorschlagen, anhand eines QM-Skriptes vorzugehen

[Alexander]

Zu 3) Wenn der Ortsoperator auf ψ(x) nur als x wirkt, sollte seine Eigenfunktion lauten, oder? Das k habe ich aus einem deiner oben stehenden Beiträge entnommen, wo es den Eigenwert des Operators bezeichnete. Beim Impulsoperator dann und wenn h quer = 1, dann .

Zu 4) Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Impulsoperator selbstadjungiert, denn wenn man deine Rechnung, als du den Operator auf den Ket-Teil der Klammer wirken ließest und anschließend durch partielle Integration zeigtest, dass der Operator nun genau auf den anderen Operator im Bra-Teil wirkt, für den Impulsoperator macht, sollte dasselbe bei herauskommen.

Kannst du noch konkreter auf den Sachverhalt eingehen, dass eben ein selbstadjungierter Operator nicht immer gleich einem symmetrischen Operator ist, denn bisher hast du gezeigt, dass im endlichdimensionalen Fall beides dasselbe ist?

Übrigens wolltest du noch sagen, was es genau mit dem L²-Hilbertraum auf sich hat, das hast du in einem der Beiträge angerissen und die Details auf später verlegt.

[tomS]

Zu 3) Wenn der Ortsoperator auf ψ(x) nur als x wirkt, sollte seine Eigenfunktion lauten, oder? Das k habe ich aus einem deiner oben stehenden Beiträge entnommen, wo es den Eigenwert des Operators bezeichnete. Beim Impulsoperator dann und wenn h quer = 1, dann .

Beim Impulsoperator hast du recht, denn



mit Eigenwert k.

Aber beim Ortsoperator stimmt das nicht, denn



funktioniert eben nicht für einen konstanten Eigenwert. Statt dessen gilt hier



d.h. man benötigt die Delta-Funktion für eine Lokalisierung bei x=x₀

Zu 4) Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Impulsoperator selbstadjungiert, denn wenn man deine Rechnung, als du den Operator auf den Ket-Teil der Klammer wirken ließest und anschließend durch partielle Integration zeigtest, dass der Operator nun genau auf den anderen Operator im Bra-Teil wirkt, für den Impulsoperator macht, sollte dasselbe bei herauskommen.

Damit zeigst du höchstens die Symmetrie, nicht die Selbstadjungiertheit. Letzteres setzt voraus, dass die beiden Wellenfunktionen bzw. die Bra's und Ket's im selben Hilbertraum leben, das tun sie hier explizit nicht, wegen der Randbedingung ψ(0) = 0





Der Randterm im Unendlichen verschwindet, das muss so sein, da sonst die Integrale nicht existieren würden. Der Randterm bei 0 bereitet aber Probleme, da nämlich



für den Ket |g> bzw. g(0) = 0 unabhängig von f(0). D.h. der Bra <f| lebt in einem größeren Hilbertraum als der Ket |g>; wegen des Verschwindens beider Randterme ist der Operator tatsächlich symmetrisch, allerdings nicht selbstadjungiert, da der Raum der Ket's kleiner ist als der Raum der Bra's; letztere - bzw. ihre Darstellung durch Funktionen f(x) müssen die Randbedingung nicht erfüllen.

Übrigens wolltest du noch sagen, was es genau mit dem L²-Hilbertraum auf sich hat, das hast du in einem der Beiträge angerissen und die Details auf später verlegt.

Man definiert einen Funktionenraum analog zu einem Vektorraum:
- man kann Funktionen addieren
- man kann Funktionen mit einer (komplexen) Konstanten multiplizieren
Diese Operationen führen nicht aus dem Raum der Funktionen hinaus. Damit hat man bereits einen Funktionenraum bzw. allgemein einen 'linearen Raum'.

Speziell in der QM benötigt man den Raum L²[a,b] der quadratintegrierbaren Funktionen (andere Räume wie Sobolevräume betrachte ich hier nicht). Man benötigt zum einen einen Normbegriff, d.h. eine Länge. Im Falle des L² gilt



Damit kann man eine Norm des Vektors f definieren, die die üblichen Eigenschaften aufweist: die Norm ist Null genau dann wenn f selbst Null ist; die Norm ist positiv; es gilt die Dreiecksungleichung



wie für Vektoren usw.

Mit der Norm existiert also ein Längenbegriff für einen Vektor f und damit auch ein Abstandsbegriff d(f,g) für zwei Vektoren, denn der Abstand ist einfach



Ein derart normierter Raum heißt Banachraum. Diese Funktionenräume sind Gegenstand der sogenannten Funktionalanalysis.

http://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Raum

In der Quantenmechanik benötigen wir noch eine Erweiterung, nämlich den sogenannten Hilbertraum, in dem es zusätzlich noch ein Skalarprodukt gibt, d.h.



Dieses Skalarprodukt induziert eine Norm; das sieht man sofort, wenn man f=g setzt, also



Auch bzgl. des Skalarproduktes gelten die bekannten Eigenschaften.

Damit haben wir zunächst einen sogenannten Prä-Hilbertraum.

http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum

Zu einem Hilbertraum fehlt uns noch die Eigenschaft der Vollständigkeit, die über sogenannte Cauchy-Folgen definiert ist. Betrachten wir eine Funktionenfolge f_n(x) für die gilt, dass



D.h. für wachsendes m und n geht der Abstand der Folgenelemente gegen Null. In den reellen Zahlen wäre so eine Cauchy-Folge z.B. einfach x_n = 1+1/n. Üblicherweise konvergiert eine Cauchyfolge gegen einen Grenzwert, d.h.



Im Falle der Folge x_n = 1+1/n ist dieser Grenzwert einfach x=1.

Und genau das muss i.A. nicht mehr gelten! Der einfachste Fall ist die Folge




Probier's aus, diese Folge konvergiert gegen

Schränkt man nun die Folgenelemente q_n auf die rationalen Zahlen ein, so hat man ein Problem, da zwar alle Folgenelemente rationale Zahlen sind, das Grenzelemente jedoch explizit nicht. D.h. die Folge ist zwar eine Cauchy-Folge und die Abstände zwischen Folgengliedern gehen gegen Null, aber die Folge konvergiert nicht innerhalb der rationalen Zahlen. D.h. die rationalen Zahlen sind nicht vollständig,da es in ihnen Cauchy-Folgen gibt, deren Grenzelement außerhalb der rationalen Zahlen liegt.

Sowas gibt es auch für Prä-Hilberträume.

Ein einfaches Beispiel ist der Raum der stetigen Funktionen C⁰ auf [0,1]. Man kann eine Basis (dazu später mehr) finden, so dass jede derartige Funktion geschrieben werden kann als



Jede der komplexen e-Funktionen ist sicher stetig, aber es gibt Funktionen, die man als derartige Fourierreihen darstellen kann und die explizit nicht stetig sind!

http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe

Damit ist der so definierte Funktionenraum C⁰[a,b] nicht vollständig, da es Cauchy-Folgen stetiger Funktionen gibt, deren Grenzelemente unstetig sind und die deshalb nicht mehr in C⁰[a,b] liegen. Eine Vervollständigung unter Hinzunahme der unstetigen Funktionen wäre z.B. der L²[a,b]. Diese Vervollständigung macht dann aus einem Prä-Hilbertraum einen Hilbertraum.

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum

Eine letzte Spezialität ist die sogenannte Separabilität. Diese garantiert, dass es ein abzählbares, vollständiges Orthonormalsystem gibt, also einen Satz von Basisvektoren, mittels dessen jeder Vektor im Hilbertraum geschrieben werden kann. Ein Beispiel hatten wir schon: im Falle von L²[a,b]



ist die abzählbare Basis durch die e-Funktionen gegeben; jede Funktion f(x) in L²[a,b] ist so darstellbar. Insbs. kann man die Fourier-Koeffizienten bzgl. dieser Basis auch eindeutig berechnen:



Man schreibt in derartigen Fällen in der Quantenmechanik oft abstrakt



wobei aus dieser Notation noch nicht hervorgeht, welchen konkreten Raum und welche konkrete Basis man meint; das muss explizit dazugesagt werden.

Zum Abschluss noch eine zentrale Aussage, der sogenannte Spektralsatz: Die Eigenfunktionen eines selbstadjungierter Operator bilden vollständiges Orthonormalsystem. D.h. die Lösungen der Schrödingergleichung beschreiben den jeweiligen Raum vollständig! Und man kann bzgl. derartiger Orthonormalsysteme ähnlich wie mit endlichdimensionalen Vektoren bzw. einer gewöhnlichen Basis rechnen (es gibt Subtilitäten, die wir aber an dieser Stelle nicht betrachten müssen)

Man kann damit zwei grundlegende mathematische Konstrukte für die Quantenmechanik postulieren:
- ein separabler Hilbertraum
- ein selbstadjungierter Hamiltonoperator
Diese beiden Objekte definieren ein Quantensystem eindeutig!

[Alexander]

Vielleicht hilft es meinem Verständnis etwas auf die Sprünge, wenn du eine Rechnung machst, bei der am Ende eine Eigenfunktion herauskommt, denn ich habe jetzt ja nur die von dir angegebenen Eigenfunktionen genommen und den Operatoren angepasst, aber nicht wirklich selber gerechnet.

d.h. man benötigt die Delta-Funktion für eine Lokalisierung bei x=x₀

Kannst du diese Funktion noch erklären?


Und bezüglich selbstadjungierter Operatoren: Der unterschied zu symmetrischen Operatoren ist der, dass beide Teile der Bra-Ket-Klammer im selben Vektrorraum existieren?

Eine letzte Spezialität ist die sogenannte Separabilität. Diese garantiert, dass es ein abzählbares, vollständiges Orthonormalsystem gibt, also einen Satz von Basisvektoren, mittels dessen jeder Vektor im Hilbertraum geschrieben werden kann.

Wann ist ein Raum oder Hilbertraum separabel? In Wikipedia steht, dass ein Raum dann separabel ist, wenn er dicht definiert ist. Muss man das per definitionem festlegen oder gibt es einen Zusammengang, dass das so ist oder ist das eine a priori mitgegebene Eigenschaft?

[tomS]

Bra und Ket liegen nicht im selben Vektorraum (vergleiche Spalten- und Zeilenvektoren); man spricht von Raum und Dualraum; aber diese beiden sind strukturell identisch, es gibt eine eins-zu-eins Abbildung zwischen diesen Räumen. Im Falle von nicht-selbstadjungierten Operatoren enthält der Dualraum (der Bra-Raum) mehr Vektoren als der ursprüngliche Raum. Beide Räume sind unendlich-dimensional, aber in einem davon gibt es mehr Vektoren ...

Ein Raum V ist dicht in einem Raum V', wenn jeder Vektor in V' beliebig exakt durch V approximiert werden kann; vgl.: Q dicht in R: jede reelle Zahl kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden, z.B. kann man p und q in Q so finden, dass p²/q² beliebig nahe an 2 liegt, obwohl wir wissen, dass die Quadratwurtel von 2 selbst irrational ist, also nie exakt durch p/q dargestellt werden kann;übertragen auf Hilberträume landen wir wieder bei den Cauchy-Folgen in V, die Elemente in V' approximieren.

Im Gegensatz zu den reellen und rationalen Zahlen darf man aber im Falle von Vektorräumen nicht daran denken, dass die irgendetwas "zwischen" den Vektoren liegt; wenn ein Vektor in V' nicht durch eine Folge in V approxmiert liegen kann, dann liegt dies daran, dass V' Vektoren enthält, die senkrecht auf V stehen! Bsp.: die Ebene R² ist nicht dicht in R³ da der R³ Vektoren enthält, die senkrecht auf der Ebene R² stehen und für die es keine Folge in R² gibt, die gegen den Vektor konvergieren.

Bsp.: Betrachte harmonische Schwingungen einer Gitarrensaite; sie bilden die Basis eines unendlich-dimensionalen Hilbertraumes, der nicht dicht im L²[0,L] mit L = Länge der Saite. Die Schwingungen sind bei x=0 und x=L auf Null fixiert, da die Saite eingespannt ist. I.A. dürfen aber im L²[0,L] auch Funktionen existieren, die bei x=0 und x=L nicht Null sind. Es gibt also im L²[0,L] 'mehr' Funktionen als die unendlich vielen harmonischen Schwingungen der Gitarrensaite. Man kann durch unendliche Fourier-Summen über diese Schwingugen aber sogar Funktionen konstruieren, die im Grenzfall tatsächlich bei x=0 und x=L ungleich Null sind! Hier ist sozusagen 'Null * Unendlich = Endlich' (kann man exakt beweisen). Dieses Grenzelement gehärt zwar zudem L², aber eben nicht zu unserem nicht-dichten Unterraum, denn man hat es mit einer Cauchy-Folge zu tun, die gegen ein Grenzelementn außerhalb des Unterraumes zu tun. In diesem Sinne ist dieser Unterraum der harmonische Schwingungen mit den Randbedingungen bei x=0und x=L nicht nicht in L² und gleichzeitig nicht vollständig.

[Alexander]

Aber wie kommt es nun zu der Lösung als Eigenwert in Form der e-Funktion? Ergibt sich das oder ist das eine Festlegung?

[tomS]

Die Gleichung



hat die eindeutige Lösung



Probier's aus

[Alexander]

Gibt es noch etwas zu diesem Themenbereich, dass wichtig für die weitere Diskussion ist oder das du erwähnen möchtest, oder können wir mit der Schrödingergleichung weitermachen?

[tomS]

... oder können wir mit der Schrödingergleichung weitermachen?

Ja

[Alexander]

OK, hast du ein bestimmtes Vorgehen im Kopf oder soll ich eine Frage stellen?

[tomS]

Ich bestimme das Vorgehen, weil ich nämlich erstmal de nächste Woche weg bin :-)

Ich schlage dir vor, dass wir jetzt auf ein Skript umschwenken, da es für mich weniger Zeit kostet, die ganzen Formeln hier in LaTeX zu schreiben und ich mich mehr auf's Erklären konzentrieren kann. Und du kannst auch unabhängig von Forum etwas lesen und dir Fragen notieren.

Ein Vorschlag wäre der "Maxer-Kuckuk" zur Atomphysik, den habe ich so ab ca. 11 Klasse versucht zu verstehen.

http://www.amazon.de/Atomphysik-Einf%C3 ... 3519430428

Aber ich denke nicht, dass du dir gleich ein Buch kaufen musst - es sei denn, du willst. Schau statt dessen mal hier (QM ab Seite 55 - auch das davor ist natürlich interessant)

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk ... 4-2005.pdf

Ich hätte einen Wunsch: du solltest diese Woche hier im Forum ein bisschen Werbung machen (ich sagen den Mods auch nochmal Bescheid), dann könnten wir nämlich einen neuen Thread 'Einführung in die Quantenmechanik' starten - und an dem können sich durchaus mehr Leute beteiligen. Ziel wäre, dass man die Iden, Konzepte und Begrifflichkeiten und experimentelle Anwendungen (!) kennenlernt und vielleicht selbst ein paar einfache Rechnungen durchführen kann. Mehr werden wir wohl nicht hinkriegen. Wir sollten dann in diesem Thread nicht die philosophischen Interpretationen diskutieren, dazu haben wir schon andere Threads, sonst verzetten wir uns.

Einverstanden?

[rick]

Also ich wäre durchaus dabei. Wollt mich sowieso dieses Semester in die QM rein arbeiten und wenn man dann jemanden hat zum fragen oder das sogar in einen bestimmten Rahmen geschieht , wäre das super. Ich könnt zwar auch eine VL besuchen, jedoch bin ich gerade an Masterthesis schreiben und hab deswegen Tags über keine Zeit leider, daher kommt mir das hier wie gerufen .

Welche mathematischen und physikalischen Voraussetzungen braucht man denn für das Skript?
Hatte halt Analysis(1-D u. mehr-D),LinA,Funktionentheorie,Integral Transformationen, Partielle DGL's, Informationstheorie - aber alles nur für Ing. Ich hab aber Ana 1 und LinA 1 für Mathematiker nachgeholt und Ana 2 und LinA 2 für Mathematiker höre ich gerade. (In LinA2 wurde gerade der Dualraum eingeführt, sehr spannend, da wir hier ja auch davon geredet haben ).

Gruß
Rick

[tomS]

du weißt da sicher mehr als Alexander (er ist Schüler); das passt - nur müssen wir den Mittelweg finden