virtuelle Teilchen

Beitrag von **Maclane** » 4. Feb 2008, 14:57

Hiho

Ich hab mal noch ne Frage...

Wir diskutierten ja letztens mal über schwarze Löche und Hawking-Strahlung und dabei kam mir folgendes in den Sinn:
Aus dem Vakuum heraus können ja spontan und ohne sich vorher anzumelden virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare entstehen, die sich kurz darauf wieder vernichten. An der Grenze des EHs eines SLs kann es dabei (laut Hawking) passieren, dass ein Teilchen ins SL fällt und das andere Teilchen kann entkommen. Soweit richtig?

Da kam ich jetzt auf den Gedanken, wenn sowas geht, dann könnten dem Entstehungs- und Vernichtungsschauspiel auch vielleicht andere Sachen "dazwischen kommen".

:
Also stell ich mir z.B. vor: da entsteht (für eine wahnsinnig kurze Zeit) ein Elektron-Positron-Paar. Aber just genau in diesem Augenblick kommt ein (reelles) Elektron geflogen - genau "dazwischen" sozusagen. Und wenn der räumliche und zeitliche Abstand hinreichend klein ist, dann vernichtet sich das Positron nicht mit seinem Partner sondern mit dem Elektron, was grad dazu gekommen ist. Dann wäre immer noch ein Elektron übrig, aber mit einer anderen Geschwindigkeit und einer anderen Bewegungsrichtung als das ursprünglich hereingeflogene Elektron.
Möglich oder unmöglich?

Gruss Mac

Beitrag von **tomS** » 4. Feb 2008, 23:00

Hallo Mac,

Soweit richtig?

Ja!

Möglich oder unmöglich?

Ja! Und vergleichsweise einfach.

In der QED betrachtet man die Streumatrix S. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der ein einlaufender Zustand |in) aus einigen Teilchen (Elektronen, Positronen, Photonen) durch die QED-Wechselwirkung in einen auslaufenden Zustand |out) überführt wird. Die Wahrscheinlichkeit erhält dann man aus dem Quadrat der (komplexen) Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Man sortiert die dabei auftretenden Terme nach Potenzen in der Kopplungskosntanten alpha^n . Dabei ist die Streumatrix formal (die berühmte Störungsreihe)
(out|S|in) = Summe über alle Terme n [ alpha^n * Summe über einzelnen Terme [ Integral über alle internen Impulse ] ]

Jeder einzelne Term wird dabei durch ein Feynmandiagramm beschrieben. Dieses hat "externe Beine" für die ein- und auslaufenden Teilchen, 2*n interne Vertizes, jeder mit einem Beitrag proportional zu alpha^1/2 (insgs also alpha^n) sowie interne Linien.
Jede interne Linie beschreibt dabei ein sogenanntes virtuelles Teilchen mit einem virtuellen Impuls, über den integriert wird (für die virtuellen Teilchen gilt dabei E^2 = p^2 + m^2 nicht!). Die Regeln für die Feynmandiagramme garantieren aber, dass die Energie-Impuls-Beziehung für die ein- und auslaufenden Teilchen (also für das gesmate Diagram) wieder gilt.
Die einlaufenden Teilchen haben vorgegeben Impulse (z.B. experimentell vorgegeben).
Für die auslaufenden Teilchen werden die Impulse (bzw. ihre Wahrscheinlichkeiten) gemessen.

In jedem Diagramm gibt es eine Zeitrichtung; man kann nun äußere Linien drehen / kippen und ähnliches und erhält verwandte Prozesse. Spiegelt man z.B. eine externe Elektronlinie, so dass das Elektron entgegen der einmal definierten Zeitrichtung läuft, so erhält man ein Positron. Daraus ergeben sich einige Symmetrien, die es erlauben, verschiedene Prozesse aus der selben Rechnung abzuleiten. Betrachtet man z.B. die niedrigste Ordnung alpha^1 zur Elektron-Photon-Streuung (Compton-Streuung), so erhält man durch einfache graphische Manipulationen (und daraus resultierenden Umstellungen in ein- und auslaufenden Impulsen) auch die Elektron-Positron-Annihilation. Formal ergeben sich diese Prozesse wie folgt aus |in) und (out|
(Elektron, Photon|S|Elektron, Photon) => Compton-Streuung
(Elektron, Positron|S|Photon, Photon) => Elektron-Positron-Annihilation

Nun zu dem o.g. Prozessen:

Ein Photon zerfällt virtuell in ein Elektron-Positron-Paar, das wieder rekombiniert; dieser Prozess liefert einen Beitrag zu dem Prozess Photon => Photon:
(Photon|S|Photon)
Man entwickelt dazu S nach Potenzen von alpha (das ist die o.g. Störungsreihe) und findet einen Term der Form(out|S|in) = ... + [ alpha * Integral über Impuls (Photon|W|Elektron, Positron)(Elektron, Positron|W|Photon) ] + ...
|Elektron, Positron) ist dabei der Zwischenzustand, in dem das virtuelle Elektron-Positron-Paar existiert. W ist ein Term (Operator), der die Wechselwirkung beschreibt und aus dem S aufgebaut werden kann.

Kommt nun statt dessen ein reelles Elektron "dazwischen" und annihiliert mit dem virtuellen Positron unter Aussendung eines Photons, so erhält man als einlaufenden Zustand
|ursprüngliches Photon, Elektron das dazwischen kommt)
und für den auslaufenden Zustand
(Photon das wir eigentlich nicht haben wollten, Elektron|
Da das Elektron nun im auslaufenden Zustand ist, ist es nicht mehr virtuell sondern reell und muss deswegen den Regeln für Energie-Impuls-Erhaltung genügen.

Was du beschrieben hast ist also ein Term in der Störungsreihe für
(Photon, Elektron|S|Photon, Elektron)
und das ist die o.g. Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron!

Die niedrigste Ordnung der Compton-Streuung kann man auch ohne QED berechnen; man muss dazu nur die Energie-Impuls-Erhaltung für Elektron und Photon berücksichtigen. Daraus ergibt sich der Streuwinkel, um den ein Photon aus seiner ursprüngliche Flugbahn abgelenkt wird, sowie die Impuls- bzw. Wellenlängenänderung des Photons. Dieser Effekt (1922) war einer der Effekte, aus denen klar die Teilchennatur des Photons abgeleitet werden konnte und die die Entwicklung der Quantenmechanik beeinflusst hat.

Beitrag von **Maclane** » 5. Feb 2008, 19:23

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Aber ich will nochmal nachhaken, damit ich hier nichts falsch verstehe.

Wenn ich also ein Elektron in eine wohldefinierte Richtung schicke, dann kann es passieren, dass dieses Elektron den Detektor gar nicht erreicht - weil dummerweise das Vakuum im Weg war und es quasi "abgelenkt" wurde (sähe zumindest so aus). Und dabei wird ein Photon abgegeben - nehm ich mal an, weil ja die "geborgte" Energie für das Teilchen-Antiteilchen-Paar an das Vakuum wieder zurückgegeben werden muss und die kinetische Energie des hereingeflogenen Elektrons auch irgendwo hin muss.
Oder bekommt das übriggebliebene Elektron die kinetische Energie aufgebrummt? (Wüsste zwar nicht wie, aber könnt ja sein)

Und noch ne Frage: Könnte man so ein virtuelles Elektron-Positron-Paar auch mit einem Magnetfeld voneinander trennen, also rein theoretisch?

Gruss Mac

Beitrag von **Ray Light** » 5. Feb 2008, 20:19

Das war exzellent erklärt, Tom.

Gruß,
Ray

Beitrag von **tomS** » 5. Feb 2008, 20:54

Danke, Ray!

Nochmal zu Mac:
Ich hatte dich so verstanden, dass du zwei Teilchen auf die Reise schickst, ein Photon (das zwischendurch in ein virtuelles Teilchenpaar zerfällt) und ein Elektron:
|in) = |Elektron, Photon)
Dein Elektron streut nicht an dem Vakuum, sondern an dem Photon (bzw. an dem virtuellen Teilchenpaar, aus dem das Photon kurzfristig zu bestehen scheint).

Wenn du nur ein Elektron auf die Reise schickst
|in) = |Elektron)
dann wird es zwar auch mit dem Vakuum wechselwirken, aber dadurch nicht von seiner geraden Bahn abgelenkt werden, da ja immer noch die Impulserhaltung gilt (das Vakuum hat Impuls Null).

Die Wechselwirkung von Teilchen mit dem Vakuum führt dazu, dass die Teilchen sich so zu verhalten scheinen, als ob sie eine energieabhängige Masse bzw. Ladung hätten. Ein Elektron, das sich durch das Gewimmel an virtuellen Photonenpaaren bewegt, muss gewissermaßen einen Widerstand überwinden. Das ist aber eigentlich nur ein Rechentrick.
Man kann das mit einem Popstar vergleichen, der sich seinen Weg durch eine Menschenmenge bahnen muss. Er kommt schwer voran, man könnte meinen (wenn man das Geschehen z.B. aus einiger Entfernung beobachtet), dass er eine andere Masse bekommen hat. Tatsächlich hat sich aber nichts geändert; wir sehen das, wenn wir ihn aus der Masse herausholen und auf eine Waage stellen. Letzteres können wir aber mit dem Elektron nicht tun, d.h. wir können die „nackte“ Masse des Elektrons (so sagen die Physiker) bzw. die Masse des nackten Popstars nicht messen, sondern immer nur Effekte des „angezogenen“ Elektrons bzw. des angezogenen Popstars mit Menschenmenge.

Zur letzten Frage: Ja, man kann das virtuelle Teilchenpaar theoretisch durch starke Felder trennen. Zunächst: Man kann diesen Effekt in der rel. Q.M. auch berechnen und erhält quasi ein sprudelndes Vakuum – es zerfällt in reelle Elektron-Positron-Paare – allerdings ist dies ein Hinweis darauf, dass die Theorie zusammenbricht! Wenn man nämlich wirklich alle Felder quantisiert, d.h. eben auch das von dir als extern angenommene Feld, dann verschwindet der Effekt (woher sollte denn das starke Feld kommen, wenn nicht von anderen quantisierten Teilchen?)

Es gibt jedoch vergleichbare Effekte, nämlich den, dass ein Photon ein Proton „streift“; wenn die Schwerpunktenergie hoch genug ist, dann entsteht aus dem Photon ein relles Pion-Paar. Diesen Effekt (Photo-Pion-Production) kennt man seit vielen Jahren (dass ein Pion-Paar entsteht liegt einfach daran, dass die starke Wechselwirkung hier dominiert).

Beitrag von **derNeugierige** » 15. Jun 2008, 00:09

Ich habe mal eine Frage zur Lebensdauer von virtuellen Teilchen.

Diese ist:

$\Delta t \geq \frac{1}{8 \Pi f}$

Sie lässt sich aus der Energie-Zeit-Unschärfe herleiten.
Doch ich sehe überall andere Ungleichungen zu dieser Unschärfe. Mal ist sie

$\Delta E \Delta t < \frac{\hbar}{2} \\ oder\ \Delta E \Delta t \geq \frac{h}{2}$

Das ist ja schon ein Unterschied.

$\hbar = \frac{h}{2 \Pi}$

Damit gäbe es auch ganz verschiedene Gleichungen für die Lebenszeit von virtuellen Teilchen. Stimmt das, oder wo steckt die Ungereimtheit?
Oder muss man sich einfach mit dieser "Unschärfe" zufrieden geben?

Beitrag von **gradient** » 15. Jun 2008, 13:46

Also ich kenne wirklich nur
$\Delta E \Delta t \geq \frac{h}{4 \pi}$
bzw. dasselbe mit hquer/2.
Woher hast du denn die anderen Gleichungen?

Jedenfalls, mit $E=2hf$ (Teilchen-Antiteilchen) folgt die Bedingung für die Lebensdauer.

Beitrag von **derNeugierige** » 15. Jun 2008, 16:29

Ich kenne eigentlich auch nur diese Ungleichung. Hat sich jetzt aber schon erledigt

Beitrag von **tomS** » 15. Jun 2008, 23:27

Die Unschärfenrelation für Ort x und Impuls p kann man aus der Vertauschungsrelation von x und p exakt ableiten - für die Unschärfenrelation für Energie E und Zeit t gilt dies nicht, da man hier keine äquivalente Vertauschungsrelation hat.

Statt dessen gilt diese Unschärfenrelation nur näherungsweise für bestimmte Lösungen von q.m. Gleichungen; ein Faktor 2 o. ä. ist dabei Haarspalterei.

Die Interpretation der Lebensdauer für viruelle Teilchen ist ebenfalls problematisch, da man diese ja eben nicht direkt messen kann.

Betrachtet man die Feynmanschen Pfadintegrale, in denen die virtuellen Teilchen als mathematische Konstrukte auftreten, so stellt man zunächst fest, dass für sie die Energie-Impulserhaltung exakt gilt!
Es gibt auch keine Zeit t, über die man direkt reden könnte. Man stellt fest, dass alle Energien und Impulse zu den Pfadintegralen beitragen, dass es also kein bestimmtes E gibt, das eine besondere Rolle spielen würde.

Wesentlich ist, dass die Gleichung
$m_0^2 = E^2 - p^2$
nicht mehr gilt, d.h. dass sich z.B. ein virtuelles Elektron so verhalten kann, als ob es eine andere Ruhemasse hätte!

Letztendlich sind dies jedoch nur mathematische Konstrukte, die nie direkt messbar sind.