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Was bedeutet "Quantisierung?"

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 6. Aug 2013, 13:38

Wie versprochen hab ich mal einen Thread aufgemacht, in dem ich zu erklaeren versuche, was ein theoretischer Physiker meint, wenn er von Quantisierung redet.
Ich will den Prozess der Quantisierung anhand eines Beispiels aus der gewoehnlichen Quantenmechanik erklaeren.

Stellen wir uns zunaechst ein Teilchen vor, das sich nur in einer Raumdimension bewegen kann. Den Ort des Teilchens koennen wir dann durch eine reelle Zahl x beschreiben. Das Teilchen soll so eingeschraenkt sein, dass es sich nur zwischen x=0 und x=1 befinden kann (d.h. das Teilchen befindet sich in einer eindimensionalen Box und kann nicht raus). Wir beschreiben das Problem zunaechst im Rahmen der Newton'schen Mechanik.

Die Tatsache, dass das Teilchen nur zwischen x=0 und x=1 bewegen kann, erzwingt der Physiker durch Einfuehrung eines Potentials V, das die Form

hat.
Was ergibt sich nun nach der Newton'schen Mechanik? Naja, schauen wir uns die Newton'sche Bewegungsgleichung an. Diese sagt aus, dass die Beschleunigung des Teilchens proportional zur wirkenden Kraft ist:

.

Betrachten wir zunaechst den Fall, dass x zwischen 0 und 1 liegt. Hier ist V=0 und daher auch F=0 und die Bewegungsgleichung lautet einfach nur



bzw.

.

Diese Gleichung kann man sofort loesen; die Loesung lautet fuer irgendwelche reellen Zahlen a,b. Was das fuer Zahlen sind, haengt von den Randbedingungen des physikalischen Problems ab, d.h. zum Beispiel davon, wieviel kinetische Energie ich dem Teilchen am Anfang mitgebe.
_______________________________________
Eine kleine Rechnung hierzu: Sagen wir, wir praeparieren das Teilchen so, dass es am Anfang die kinetische Energie E=1J hat. Aus erhaelt man . Damit hat man a ausgerechnet. b ergibt sich aus der Anfangsposition des Teilchens.
_______________________________________
Fuer jede Anfangs-kinetische Energie erhalte ich ein anderes a. Und noch wichtiger: Egal, wie ich die Anfangsenergie E waehle, es gibt IMMER ein a, das zu dieser Anfangsenergie fuehrt (solange E positiv ist).

Mit anderen Worten:
Die moeglichen Energien des Teilchens sind kontinuierlich. Jedes E ist erlaubt.




An dieser stelle wuerde ich erstmal pausieren und fragen, ob die Erklaerung oben klar war, ob es Fragen gibt und ob ich mehr/weniger Mathe benutzen sollte.
Zuletzt geändert von tomS am 6. Aug 2013, 14:06, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Typos

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 6. Aug 2013, 14:07

(der "Forums-Laie" konnte folgen) :D
Wobei du a benutzt hast bevor Du es deklariert hast. Da musste man etwas vor und zurück springen. (sorry für meine Pingelichkeit)
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 6. Aug 2013, 14:10

Man sollte noch kurz erwähnen, dass bei x=0 oder x=1 eine Reflexion stattfindet, und dass dabei ein Impuls p nach -p übergeht, die Energie jedoch erhalten ist. Die Geradengleichung für die freie Bewegung des Teilchens gilt für die Strecke bzw. die Zeit zwischen den Reflexionen
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 6. Aug 2013, 14:27

Danke breaker! Soweit klar und passt für mich von der 'Mathe-Menge' her.
Nicht jedem gleich klar könnte evtl. sein, was ein Potential ist und dass die Schreibweise die zweite zeitliche Ableitung von x (dem Ort) meint.

Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 6. Aug 2013, 17:13

breaker hat geschrieben:Die Tatsache, dass das Teilchen nur zwischen x=0 und x=1 bewegen kann, erzwingt der Physiker durch Einfuehrung eines Potentials V, das die Form

hat.
Wir sind uns sicher einig, dass das rein theoretische Überlegungen sind und sich ein solches Potential mit Unstetigkeiten (bei x=0 und x=1) in der Natur nicht realisiert oder?
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 6. Aug 2013, 17:15

Ok, dann last uns ein bisschen weiter machen. Wir bleiben zunaechst bei der klassischen Mechanik.

Wir Fassen alle Orte und Impulse in Paaren zusammen und nennen die entstehende Menge den Phasenraum:

.

Eine klassische Observable (d.h. eine Messgroesse) in der klassischen Mechanik ist eine Funktion .
Beispiele fuer klassische Observablen sind x und p selbst (d.h. oder ) oder die kinetische Energie .

Fuer zwei klassische Observablen f,g fuehren wir nun die Poisson-Klammer ein. Sie ist definitionsgemaess gegeben durch

.

Man hat dann zum Beispiel

.



Der interessierte Leser schaue sich auch http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Klammer an.

Fragen?
Zuletzt geändert von breaker am 7. Aug 2013, 17:31, insgesamt 3-mal geändert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 6. Aug 2013, 17:16

Fuzzlix hat geschrieben:
breaker hat geschrieben:Die Tatsache, dass das Teilchen nur zwischen x=0 und x=1 bewegen kann, erzwingt der Physiker durch Einfuehrung eines Potentials V, das die Form

hat.
Wir sind uns sicher einig, dass das rein theoretische Überlegungen sind und sich ein solches Potential mit Unstetigkeiten (bei x=0 und x=1) in der Natur nicht realisiert oder?
Natuerlich sind wir das. Man koennte das Ganze auch mit realistischeren Potentialen (z.B. V(x)=x[up]2[/up]) machen, aber dann werden die Rechnungen komplizierter.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 6. Aug 2013, 22:23

breaker hat geschrieben:Fragen?
Warum führst du diese Poissonklammer {.,.} ein? Was bedeutet sie bzw. wozu wird sie benötigt?
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 7. Aug 2013, 11:31

Ich habe befürchtet, dass das Thema sehr sehr lange wird, wenn man das alles noch erklärt. Wir können uns überlegen, wie wir es machen wollen:

1. Wir reden noch über die Hamilton'sche Bewegungsgleichung und darüber, dass p Translationen generiert und H Zeittranslationen usw. und dann machen wir in der QM analoge Schritte und gelangen bei den Kommutatorrelationen für x und p sowie der Schrödingergleichung an.
2. Wir lassen die Details erstmal weg, machen schnell einen Einschub darüber, was Operatoren und Hilberträume eigentlich sind und postulieren dann die Kommutatorrelationen.

Der erste Weg dauert sicherlich sehr viel länger. Ich dachte deshalb, ich wähle den zweiten Weg, dann weiß man relativ schnell, was mit Quantisierung gemeint ist. Der Nachteil ist natürlich, dass die Motivation fehlt. Aber darüber könnte man ggf. auch später noch reden. Dann hat man schonmal einen Überblick bevor es ins Detail geht.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 7. Aug 2013, 11:38

Ich bin eher für 2.
Grüße
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 7. Aug 2013, 12:20

Also ich weiß das ja, deswegen mah ich nicht entscheiden.

Gefühlsmäßig hätte ich ganz kurz erklärt,
warum {p,H} und {x,H} eine Zeitenetwicklung generiert (das sieht man in jeweils einer Zeile)
warum {p,L} und {x,L} eine Rotation generiert und warum {H,L} = 0 eine Symmetrie impliziert

Andernfalls bleiben die Poissonklammern formale Objekte ohne jegliche Bedeutung. Die Idee ist doch zu verstehen, was die Quantisierung einer klassischen Theorie bedeutet. Dazu muss aber die Struktur der klassische Theorie klar sein, sonst hängt die QM in der Luft.
Gruß
Tom

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 7. Aug 2013, 12:30

Das mir der Poissonklammer ist mir noch sehr böhmisch. deshalb gefällt mir TomS Idee gut.
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 7. Aug 2013, 18:09

Ok, ich werde schnell ein paar Zeilen zur Bedeutung der Poissonklammer schreiben.
(Anmerkung: Ich habe oben in meinem Beitrag den Namen Observable in klassische Observable geaendert. Diese Terminologie erscheint mir didaktisch sinnvoller.)

Nehmen wir eine klassische Observable . Angenommen, wir kennen den Funktionswert von f an einem bestimmten Punkt (x,p) in P. Man kann sich die Frage stellen, wie sich der Funktionswert aendert wenn man vom Punkt (x,p) zu einem anderen Punkt uebergeht, wobei klein im Vergleich zu x sein soll. Wir berechnen:




Aha! Das bedeutet, falls klein genug ist, damit obige Naeherung gilt, sagt einem die Poisson-Klammer von f mit p, wie der Funktionswert an einem benachbarten Punkt aussieht!
Man kann sich vorstellen, dass man durch viele solche kleine Verschiebungen eine grosse Verschiebung erreichen kann Da man all diese kleinen Verschiebungen mit der Poissonklammer {f,p} beschreiben kann, sagt der Physiker

p generiert (ueber die Poissonklammer) Ortstranslationen.

Mit einer komplett analogen Argumentation kann man sich ueberlegen, dass x (in obigem Sinne) Impulstranslationen generiert.


Nun betrachten wir wieder unser Teilchen in der eindimensionalen Box. Wir haben schon gesagt, dass wir diesem praktisch jede beliebige Energie mitgeben koennen. Eben haben wir gesehen, dass die Poissonklammern mir x und p eine physikalische Bedeutung haben. Es stellt sich die Frage, ob es fuer die Energie etwas aehnliches gibt.
Wir setzen und beobachten:

und


Die beiden Gleichungen und heissen Hamilton'sche Bewegungsgleichungen. Das tolle an ihnen ist, dass sie aequivalent zur Newton'schen Bewegungsgleichung sind, aber im Gegensatz zur Newton'schen Gleichung enthalten sie nur erste Ableitungen, was sie einfcher zu loesen macht.
Nun nehmen wir uns wieder irgendeine klassische Observable und berechnen :





Aha! Wir haben gerade ausgerechnet, dass H ueber die Poissonklammer Zeittranslationen generiert:





Also, was man sich merken sollte:
1) p generiert Translationen
2) H generiert Zeittranslationen
3) Die Poissonklammer spielt bei beidem eine wesentliche Rolle.



Fragen?
Zuletzt geändert von breaker am 7. Aug 2013, 19:02, insgesamt 3-mal geändert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 7. Aug 2013, 18:35

Ja fangen wir mit den kleinen Fragen an:
Das ist mir klar - das weiss ich nicht zu lesen. Was für eine Operation steckt dahinter?
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 7. Aug 2013, 18:57

das weiss ich nicht zu lesen. Was für eine Operation steckt dahinter?
Das bedeutet einfach nur Ableitung. Wenn man eine Funktion hat, die nur von einer Variable abhängt, schreibt man ; wenn man eine Funktion hat, die von mehreren Variablen abhängt, schreibt man .

Also für eine Funktion f(x,p) auf dem Phasenraum:
ist die Ableitung nach x bei festgehaltenem p
ist die Ableitung nach p bei festgehaltenem x.

Später habe ich noch die Kettenregel benutzt. Um das gleich zu klären verweise ich mal auf hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Verallgeme ... 3D_m_.3D_1

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von seeker » 8. Aug 2013, 00:36

Ich möchte nur kurz mitteilen, dass ich bei dem Thread dabeibleiben möchte, aber die nächsten Tage (bis ca. So) u.U. wenig Zeit haben werde.
(Nur dass nicht der Eindruck entsteht, dass mich das nun doch nicht interessieren würde...)

Grüße
seeker
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 8. Aug 2013, 07:21

Vielleicht eine kurze Zusammenfassung.

Wir betrachten den Phasenraum (x,p).
Erste Ableitungen beschreiben die lokale Änderung einer Funktion als lineare Änderungen.
Auf dem Phasenraum (x,p) beschreiben Poissonklammern {.,.} bestimmte Änderungen für eine spezielle "Phasenraumgeometrie".
Insbs. erzeugt die Hamiltonfunktion H die Änderung in der Zeit, d.h. aus H folgt die Dynamik des Systems (Bewegungsgleichungen)
Wenn eine Größe Q eine verschwindende Poissonklammer mit H hat, d.h. {Q,H} = 0, dann liegt eine Erhaltungsgröße vor.
Betrachtet man Phasenraumtrajektorien (x(t), p(t)), so ist Q entlang einer derartigen Trajektorie konstant.

@breaker: danke für die bisherigen Posts
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 8. Aug 2013, 09:48

seeker hat geschrieben:Ich möchte nur kurz mitteilen, dass ich bei dem Thread dabeibleiben möchte, aber die nächsten Tage (bis ca. So) u.U. wenig Zeit haben werde.
(Nur dass nicht der Eindruck entsteht, dass mich das nun doch nicht interessieren würde...)

Grüße
seeker
Das trifft sich eigentlich ganz gut. Ich werde bis Montag weg sein. Danach gehts hier aber auf jeden Fall weiter!

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2013, 10:44

Ich finde mit so Zeugs wie Poissonklammern steigt man zwar anspruchsvoll, aber m.E. ziemlich unmotiviert, in die Diskussion von Quantisierung ein.
Als zentrales Thema bei Quantisierung sehe ich eher, dass es um die Quantelung einer etwas "merkwürdigen" physikalischen Größe - der Wirkung - geht.
Dass dann beim Übergang
klassische, nichtrel. Mechanik -> nichtrel. Quantenmechanik
die Kommutatoren von Observablen die Poissonklammern ersetzen, ergibt sich nach meinem Verständnis als Konsequenz der Quantisierung der Wirkung.

Die Wirkung sehe ich als "merkwürdige" physikalische Größe an, da sie intuitiv nicht so klar ist. Sie wird nicht unmittelbar gemessen, aber mit ihrer Hilfe lässt sich theoretische Physik sehr elegant formulieren (Prinzip der kleinsten Wirkung, Pfadintegral-Quantisierung der Wirkung etc.).

Wäre nicht die Diskussion der Wirkung ein besserer Einstieg in einen "Quantisierungs-Thread"?

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Fuzzlix » 8. Aug 2013, 11:08

Hawkwind hat geschrieben:Wäre nicht die Diskussion der Wirkung ein besserer Einstieg in einen "Quantisierungs-Thread"?
Du scheinst wie ich auch erst einmal wisen zu wollen, worüber wir Formeln aufstellen. Das ist im allgemeinen auch meine Herangehensweise.
Allerdings finde ich es auch sehr interessant, einmal die "Denkweise" der "Mathematischen" kennen zu lernen. Wenn man miteinander diskutieren will, muss man erst einmal diese Denkweise der anderen (wenigstens etwas) verstehen. Ich habe zu diesem Thema etwas weitergegoogelt, insbesondere mir Phasenraum,
Zustandsraum, Konfigurationsraum und Ereignisraum angeschaut.
Soweit so gut. Nur mit der Beschreibung des Phasenraumes kann ich mich nicht so recht anfreuden.
Der Phasenraum ist die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum.
Der Name erklärt sich daraus, dass bis Anfang des 20. Jahrhunderts Zustände auch Phasen genannt wurden. Er hat nichts mit den verschiedenen Phasen einer periodischen Bewegung oder den Phasen thermodynamischer Phasenübergänge zu tun
Ich störe mich an dem Begriff Punkt. In der Informatik gibt es den Begriff der Eigenwerte. Ich habe ein Objekt x und ordne diesem mögliche Eigenwerte/Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Masse, Ladung usw zu. Diese Eigenwerte sind dann aber Vektoren bzw Skalare und keine Punkte.
Zuletzt geändert von Fuzzlix am 8. Aug 2013, 15:21, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 8. Aug 2013, 14:19

der Zugang über Wirkungsintegral und Phasenraumquantisierung ist natürlich ein vollständig äquivalenter, alternativer Zugang.

Die Frage ist aber doch, was man in der QM minimal diskutieren will. Ich denke, Schrödingergleichung und Kommutatoren (weil die irgendwie jeder kennt oder schon mal gesehen hat). Und mit dieser Stoßrichtung ist die kanonische Quantisierung der aufwandsärmste Weg, da man 'nur' noch Poissonklammern kurz einführen muss.
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von Hawkwind » 8. Aug 2013, 15:00

tomS hat geschrieben:der Zugang über Wirkungsintegral und Phasenraumquantisierung ist natürlich ein vollständig äquivalenter, alternativer Zugang.

Die Frage ist aber doch, was man in der QM minimal diskutieren will. Ich denke, Schrödingergleichung und Kommutatoren (weil die irgendwie jeder kennt oder schon mal gesehen hat). Und mit dieser Stoßrichtung ist die kanonische Quantisierung der aufwandsärmste Weg, da man 'nur' noch Poissonklammern kurz einführen muss.

Bei Quantisierung geht es nach meinem Verständnis immer um Quantelung der Wirkung - auch beim kanonischen Ansatz:
die postulierten Vertauschungsrelationen zwischen konjugierten Observablen, z.B.
Bild
tun nach meinem Verständnis genau das. Es ist ja kein Zufall, dass das Produkt konjugierter Variabler immer die Dimension einer Wirkung hat und in den Relationen selbst das Wirkungsquantum auftaucht.
Ich vermute, historisch hat der Erfolg von Sommerfelds Quantisierungsbedingung diesen Weg erst nahegelegt, z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Bohr-somme ... ntisierung.
Ich finde, das ist eine Erwähnung wert statt gleich Vertauschungsrelationen zwischen gewissen Operatoren zu postulieren, die irgendwie vom "Himmel fallen".

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von tomS » 8. Aug 2013, 15:24

Hawkwind hat geschrieben:Ich finde, das ist eine Erwähnung wert statt gleich Vertauschungsrelationen zwischen gewissen Operatoren zu postulieren, die irgendwie vom "Himmel fallen".
Nun, am einfachsten bemerkt man eben, dass wenn man deBrogliesche Materiewellen mit exp(-ikx) ansetzt, der Differentialoperator -i d/dx dem Impulsoperator entspricht, und die entsprechende Vertauschungsrelation erfüllt.

Generell kann man die Quantisierungsvorschrift sowieso nur postulieren und gff. motivieren, nicht jedoch herleiten
Gruß
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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 13. Aug 2013, 14:19

Hallo allerseits!

Zu den letzten paar Beitraegen:
Ich denke, man sollte einfach nicht zu hoch stapeln. Ich glaube nicht, dass die Pfadintegralformulierung einem Laien irgendeinen Vorteil bringt, z.B. deshalb weil man dafuer ein gutes Gefuehl dafuer haben muss, was ein Integral ist und was es einem sagt usw.
Ziel dieses Threads war auch nicht, ein besonders tiefes Verstaendnis der QM zu vermitteln (was in so kurzer Zeit einfach nicht geht), sondern Begrifflichkeiten zu klaeren, die oft benutzt werden (was schon umfangreich genug werden sollte).
Wenn das getan ist, kann man schauen, ob Interesse besteht, das Gelernte zu vertiefen.
Zuletzt geändert von breaker am 13. Aug 2013, 14:24, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Was bedeutet "Quantisierung?"

Beitrag von breaker » 13. Aug 2013, 14:24

Fuzzlix hat geschrieben: Ich störe mich an dem Begriff Punkt. In der Informatik gibt es den Begriff der Eigenwerte. Ich habe ein Objekt x und ordne diesem mögliche Eigenwerte/Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Masse, Ladung usw zu. Diese Eigenwerte sind dann aber Vektoren bzw Skalare und keine Punkte.
Die Begriffe Punkt und Vektor sind fuer einen Mathematiker (im richtigen Kontext) das selbe. Ein Punkt in einem Vektorraum heisst Vektor.
Dass ein Punkt im Phasenraum den Zustand eines Systems festlegt, ist relativ klar, denn wenn man den Punkt kennt, kennt man automatisch Ort und Impuls aller beteiligten Teilchen.



Gibt es weitere Fragen zum Post von 7. Aug 2013, 18:09 ?
Zuletzt geändert von breaker am 13. Aug 2013, 14:35, insgesamt 1-mal geändert.

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