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QFT-Frage-Antwort

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 8. Aug 2012, 23:47

tomS hat geschrieben:Aber das solltest du statt für die QED schon vorher im Rahmen der klassischen Elektrodynamik verstehen. Oder lass' es mich anders sagen; was ist dir bereits klar und kann als Ausgangspunkt dienen?
OK. Ich versuche das gerade nachzuholen. Bis zum Viererpotential ist es mir jetzt klar. Was bis zu dem Punkt bei der QCD steht, weiss ich aber nicht, nach Wikipedia "Gluonfelder" (Das geht ja aber über die klassische Physik hinaus.).
Was geschieht mit dem Vierervektor und dem QCD-Äquivalent bei der kovarianten Ableitung? Also, die Formeln sehe ich, und gelesen habe ich, dass das mit dem zugrundeliegenden Raum zu tun hat... ist der kovariante Teil eine Koordinatentransformation? Aber: von wo nach wo?
Warum hat der Feldstärketensor die Form D[down]my[/down]D[down]ny[/down]-D[down]ny[/down]D[down]my[/down]? Srednicki schreibt bei der Elektrodynamik nur "We also define the field strength". Ist das nur eine (praktische) Definition?
In den Lagrangedichten wird die Feldstärke mit -1/4 F_myny F^myny berücksichtigt. Ist das einfach so erlaubt, weil ja die erste Komponente des Vierervektors eine ganz andere Grösse ist als die übrigen drei - gut, es werden nur die Ableitungen verwendet, aber trotzdem.
Warum wird nur mit 1/4 multipliziert, wo doch 4^2 Werte addiert werden?
Beim zweiten Teil der Lagrangedichten, also zwischen Teilchenfeld und dem jeweils adjungierten, sehe ich auch wieder nur, was da steht, aber die Bedeutung...

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 9. Aug 2012, 02:05

OK, lass uns mal die QED klären.

Die kovariante Ableitung (die dann auf die Elektronen-Spinoren wirkt) lautet

D[down]m[/down] = ∂[down]m[/down] - ieA[down]m[/down]

Es ist F[down]mn[/down] = ∂[down]m[/down] A[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] A[down]m[/down]

Nun berechnen wir

[D[down]m[/down], D[down]n[/down]] = [∂[down]m[/down] - ieA[down]m[/down], ∂[down]n[/down] - ieA[down]n[/down]] = [∂[down]m[/down], ∂[down]n[/down]] - e² [A[down]m[/down], A[down]n[/down]] + ∂[down]m[/down] A[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] A[down]m[/down]

Die ersten beiden Kommutatoiren fallen weg, es bleibt der Feldstärketensor übrig.

Die Frage zu -1/4 F_myny F^myny ist mir nicht klar

das 1/4 selbst kommt einfach daher, dass sich damit ersten die korrekten Euler-Lagrange-Gleichungen, nämlich die Maxwellgleichungn ergeben und dass damit die korrekte Energie-Impuls-Dichte des el.-mag. Feldes ~ E²+B² mit dem richtigen Vorfaktor folgt
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 9. Aug 2012, 11:43

tomS hat geschrieben:Die kovariante Ableitung (die dann auf die Elektronen-Spinoren wirkt) lautet

D[down]m[/down] = ∂[down]m[/down] - ieA[down]m[/down]
Aber was bedeutet das? (Auf Wikipedia steht übrigens statt Minus ein Plus... was ist richtig?)
∂[down]m[/down] ist die normale Ableitung.
Aber was macht der zweite Teil?
tomS hat geschrieben:Nun berechnen wir

[D[down]m[/down], D[down]n[/down]] = [∂[down]m[/down] - ieA[down]m[/down], ∂[down]n[/down] - ieA[down]n[/down]] = [∂[down]m[/down], ∂[down]n[/down]] - e² [A[down]m[/down], A[down]n[/down]] + ∂[down]m[/down] A[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] A[down]m[/down]

Die ersten beiden Kommutatoiren fallen weg, es bleibt der Feldstärketensor übrig.
Das habe ich gerade nachgerechnet. Die beiden Kommutatoren bekomme ich auch, aber zu meinem Erstaunen fällt bei mir der Rest weg.
Kommutatoren haben wir schon behandelt, aber den kriege ich nicht hin. Was ist falsch?















ergibt die beiden Kommutatoren, und der Rest wird seltsamerweise null.




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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 9. Aug 2012, 12:18

positronium hat geschrieben: ...







ergibt die beiden Kommutatoren, und der Rest wird seltsamerweise null.



Positronium, deinen allerletzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen; wo sind denn die



Terme geblieben? Hast du dabei



angenommen?
Oder übersehe ich da etwas?

Gruss,
Hawkwind

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 9. Aug 2012, 13:00

Hawkwind hat geschrieben:Hast du dabei



angenommen?
Ja. Die vertauschen doch...
...nein, Moment, die vertauschen glaube ich doch nicht, weil sie auf ein Spinorfeld angewendet werden.
Aber trotzdem kann ich nicht zu dem Ergebnis von oben kommen.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 9. Aug 2012, 13:16

Nur das geht noch:







Oder gibt es darin eine Symmetrie, welche eine Vereinfachung zulässt?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 9. Aug 2012, 15:51

positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Hast du dabei



angenommen?
Ja. Die vertauschen doch...
Das kommutiert m.E. sicher nicht.
Was ist das Vektorpotential in der QED?
IIRC, eine Fourier-Reihenentwicklung mit Erzeugungss und Vernichtungsoperatoren für Photonen mal exp(i k.x); so was wie G. (5) hier

http://webusers.physics.illinois.edu/~e ... utions.pdf

es gibt also eine Abhängigkeit von A von den Koordinaten, die schon verhindert, dass du die partiellen Ableitungen einfach durchschiebst. Was Tom geschrieben hat, bekomme ich aber auf die Schnelle auch nicht. Bevor ich uns mehr verwirre, lassen wir ihn das lieber klären. :)

Gruss,
Hawkwind

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 9. Aug 2012, 19:46

Man startet mit

[D[down]m[/down], D[down]n[/down]] u = [∂[down]m[/down] - ieA[down]m[/down], ∂[down]n[/down] - ieA[down]n[/down]] u

d.h. der Kommutator soll auf einen Spinor u wirken; damit wird die Behandlung der der Ableitungen klar. Dann wird ausmultipliziert. Man erhält drei Terme

[∂[down]m[/down], ∂[down]n[/down]] u

-e² [A[down]m[/down], A[down]n[/down]] u

-ie [∂[down]m[/down], A[down]n[/down]] u - ie [∂[down]n[/down], A[down]m[/down]] u

Der erste Term ergibt Null

[∂[down]m[/down], ∂[down]n[/down]] u = (∂[down]m[/down] ∂[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] ∂[down]m[/down]) u

da die Ableitungen untereinander vertauschen.

Der zweite Term ergibt Null

-e² [A[down]m[/down], A[down]n[/down]] u = -e² (A[down]m[/down] A[down]n[/down] - A[down]n[/down] A[down]m[/down]) u

da die Felder (Funktionen) ebenfalls vertauschen.

Der einzige nicht-verschwindende Term ist dann

-ie [∂[down]m[/down], A[down]n[/down]] u - ie [∂[down]n[/down], A[down]m[/down]] u

Dabei muss man wiederum ausmultiplizieren und die Produktregel beachten

-ie [∂[down]m[/down], A[down]n[/down]] u - ie [∂[down]n[/down], A[down]m[/down]] u = -ie ∂[down]m[/down] A[down]n[/down] u + ie A[down]n[/down] ∂[down]m[/down] u - ie ∂[down]n[/down] A[down]m[/down] u + ie A[down]m[/down] ∂[down]n[/down] u

Z.B. ist

∂[down]m[/down] A[down]n[/down] u = (∂[down]m[/down] A[down]n[/down]) u + A[down]n[/down] ∂[down]m[/down] u

sämtliche Ableitungsterme auf u heben sich gegenseitig weg, die Ableitungen der Eichfelder dagegen bleiben stehen

-ie (∂[down]m[/down] A[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] A[down]m[/down]) u = -ie F[down]mn[/down]
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 9. Aug 2012, 22:12

Vielen Dank für die Erklärung!

Ein paar Dinge fehlen mir aber noch zum Verständnis.

Wie fällt das -i e weg? Dann fehlt doch die Multiplikation mit der Ladung; bei der QCD ist das, wie ich gerade sehe, offenbar auch so, nur dass sogar je Gluonfeld eine Matrix weg fällt.

Wegen der kovarianten Ableitung muss ich auch noch einmal fragen, weil ich das auf Wikipedia nicht verstehe. Was ist der Grund für so eine Ableitung?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 9. Aug 2012, 23:02

positronium hat geschrieben:Wie fällt das -i e weg?
Wo fällt das weg?
positronium hat geschrieben:Dann fehlt doch die Multiplikation mit der Ladung; bei der QCD ist das, wie ich gerade sehe, offenbar auch so, nur dass sogar je Gluonfeld eine Matrix weg fällt.
Die Ladung ist doch gerade das 'e' (oder 'g' in der QCD). Aber darüber mach dir mal keine Gedanken, man kann das 'g' auch in die Felder mit hineindefinieren, da gibt's verschiedene Konventionen.
positronium hat geschrieben:Wegen der kovarianten Ableitung ... was ist der Grund für so eine Ableitung?
Na ja, weil sonst keine Eichinvarianz vorliegt ;-)
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 08:55

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Wie fällt das -i e weg?
Wo fällt das weg?
positronium hat geschrieben:Dann fehlt doch die Multiplikation mit der Ladung; bei der QCD ist das, wie ich gerade sehe, offenbar auch so, nur dass sogar je Gluonfeld eine Matrix weg fällt.
Die Ladung ist doch gerade das 'e' (oder 'g' in der QCD). Aber darüber mach dir mal keine Gedanken, man kann das 'g' auch in die Felder mit hineindefinieren, da gibt's verschiedene Konventionen.
Mit der Produktregel kann ich Deine Rechnung nachvollziehen. Dann steht da -ie (∂[down]m[/down] A[down]n[/down] - ∂[down]n[/down] A[down]m[/down]) u
Jetzt setzst Du das aber gleich -ie F[down]mn[/down] und nicht gleich F[down]mn[/down].
Wenn ich jetzt die Lagrangedichte auf Wikipedia nehme
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenelektrodynamik
steht darin nur noch F[down]mn[/down].
Damit fällt die elektrische Ladung e weg.
Gleiches ist beim Fledstärketensor der QCD der Fall: -i t[up]a[/up] steht hier noch dabei
http://de.wikipedia.org/wiki/Feldst%C3%A4rketensor
aber hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchr ... te_der_QCD
nicht mehr.
tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Wegen der kovarianten Ableitung ... was ist der Grund für so eine Ableitung?
Na ja, weil sonst keine Eichinvarianz vorliegt ;-)
Ah, ich glaube, jetzt habe ich eine ungefähre Vorstellung. Danke.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 10. Aug 2012, 09:10

tomS hat geschrieben: Dabei muss man wiederum ausmultiplizieren und die Produktregel beachten
@Tom: Hmm ... , wenn ich recht sehe, behandelst du A wie eine reine Funktion der Koordinaten (wegen "Produktregel"); tatsächlich sind es hier jedoch Feldoperatoren (Fourierentwicklung nach Moden mit entsprechenden Erzerugern und Vernichtern, "2. Quantisierung"). Für mich war hier nicht offensichtlich, dass die partiellen Ableitungen mit den Erzeugern und Vernichtern kommutieren und man gleich die Produktregel anwenden kann.
Die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten sind ja so etwas wie Impulsoperatoren; ist denn klar, dass Impuls und Erzeuger für 1-Photonzustäne kommutieren?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 09:28

A ist das Viererpotential. Das ist klassisch, womit A[down]n[/down] bzw. A[down]m[/down] ein Skalar ist. Die Quantisierung wird doch erst auf die Lagrangedichte angewandt, denke ich.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 10. Aug 2012, 09:59

positronium hat geschrieben:A ist das Viererpotential. Das ist klassisch, womit A[down]n[/down] bzw. A[down]m[/down] ein Skalar ist. Die Quantisierung wird doch erst auf die Lagrangedichte angewandt, denke ich.
Wir reden doch über die Quantenelektrodynamik, oder?
Dort sind die Felder Operatoren, die auf Zustände wirken ... nach meinem Verständnis auch in der Lagrangedichte.
Man fordert ja zusätzlich, dass die kanonischen Vertauschungsregeln zwischen den Feldoperatoren gelten.
Was Tom oben diskutiert, ist (imho) nicht die Quantisierung des Lagrangian, sondern (bereits) die Einführung einer Wechselwirkung zwischen Fermion- und Photon-Feldern mittels "minimaler Substitution" (Ersetzung der partiellen durch die kovarianten Ableitungen).
Zuletzt geändert von Hawkwind am 10. Aug 2012, 10:13, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 10:07

Hawkwind hat geschrieben:Wir reden doch über die Quantenelektrodynamik, oder?
Ja.
Hawkwind hat geschrieben:Dort sind die Felder Operatoren, die auf Zustände wirken ... nach meinem Verständnis auch in der Lagrangedichte.
Genau habe ich das noch nicht verstanden, aber so kann man das wohl nicht sagen. Die Felder der QFT sind Felder von Teilchen (Operatorfelder für Elektron, Quarks...) und damit etwas anderes als WW-Felder (EM-Feld, Gluon-Feld etc.). Tom hat irgendwo geschrieben, dass sich die WWen als Integrale über Greensfunktionen darstellen (Was auch immer das heissen mag. :wink: ).

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 10. Aug 2012, 10:21

Hi positronium,
positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Wir reden doch über die Quantenelektrodynamik, oder?
Ja.
Hawkwind hat geschrieben:Dort sind die Felder Operatoren, die auf Zustände wirken ... nach meinem Verständnis auch in der Lagrangedichte.
Genau habe ich das noch nicht verstanden, aber so kann man das wohl nicht sagen. Die Felder der QFT sind Felder von Teilchen (Operatorfelder für Elektron, Quarks...) und damit etwas anderes als WW-Felder (EM-Feld, Gluon-Feld etc.). Tom hat irgendwo geschrieben, dass sich die WWen als Integrale über Greensfunktionen darstellen (Was auch immer das heissen mag. :wink: ).
Aus Sicht der "mathematischen Physik" macht das keinen grossen Unterschied. Was du "Teilchen" und "Felder" nennst, unterscheidet sich lediglich durch den Spin (Fermionen und Bosonen). Im einen Fall wird gefordert, dass die entsprechenden Feld-Operatoren die kanonischen Anti-Vertauschungsregeln erfüllen (Fermionen), andernfalls die Kommutatoren (Bosonen). Jedenfalls sind beides Operatoren.

Andererseits nutzt Tom hier nicht die kanonische Quantisierung (die mir in einem "früheren Leben" mal untergekommen ist), sondern Quantisierung via Pfadintegral - für mich leider ein Buch mit 7 Siegeln. :)
Also auch gut möglich, dass ich auf dem Holzweg bin.

Mein Physikstudium liegt leider schon fast 40 Jahre zurück, und danach ging es ab in die EDV. :(

Gruss, Hawkwind
Zuletzt geändert von Hawkwind am 10. Aug 2012, 16:17, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 10:34

Hawkwind hat geschrieben:Aus Sicht der "mathematischen Physik" macht das keinen grossen Unterschied. Was du "Teilchen" und "Felder" nennst, unterscheidet sich lediglich durch den Spin (Fermionen und Bosonen). Im einen Fall wird gefordert, das die entsprechenden Feld-Operatoren die kanonischen Anti-Vertauschungsregeln erfüllen (Fermionen), andernfalls die Kommutatoren (Bosonen). Jedenfalls sind beides Operatoren.
Da haben wir uns missverstanden. Oben meinte ich mit Teilchenfelder Fermionen und Bosonen gleichermassen. Die Wirkung der Felder (Kräfte) sollen aber anders behandelt werden. Aber wie gesagt: Ich blicke noch nicht so recht durch.
Hawkwind hat geschrieben:Mein Physikstudium liegt leider schon fast 40 Jahre zurück. :(
Dann hast Du ja trotz der Jahre beste Voraussetzungen... Ich hatte Dich übrigens für einen Studenten gehalten.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 10. Aug 2012, 10:38

positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Aus Sicht der "mathematischen Physik" macht das keinen grossen Unterschied. Was du "Teilchen" und "Felder" nennst, unterscheidet sich lediglich durch den Spin (Fermionen und Bosonen). Im einen Fall wird gefordert, das die entsprechenden Feld-Operatoren die kanonischen Anti-Vertauschungsregeln erfüllen (Fermionen), andernfalls die Kommutatoren (Bosonen). Jedenfalls sind beides Operatoren.
Da haben wir uns missverstanden. Oben meinte ich mit Teilchenfelder Fermionen und Bosonen gleichermassen. Die Wirkung der Felder (Kräfte) sollen aber anders behandelt werden. Aber wie gesagt: Ich blicke noch nicht so recht durch.
"Felder" und "Teilchen" sind eigentlich Synonyme; das lässt sich in der QFT nicht (mehr) streng voneinander unterscheiden.

positronium hat geschrieben:
Hawkwind hat geschrieben:Mein Physikstudium liegt leider schon fast 40 Jahre zurück. :(
Ich hatte Dich übrigens für einen Studenten gehalten.
Lust drauf hätte ich schon, aber dafür wäre auch die Verkalkung schon zu weit. Du bist Physik-Student?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 11:00

Hawkwind hat geschrieben:"Felder" und "Teilchen" sind eigentlich Synonyme; das lässt sich in der QFT nicht (mehr) streng voneinander unterscheiden.
Ich weiss; es geht um die Wirkung, aber ich kann's wahrscheinlich noch nicht gut genug erklären. Verstanden habe ich es so, dass Felder in der QFT Operatorfelder sind, und es gibt für jedes Teilchen, egal ob Boson oder Fermion eines davon. Teilchen sind Anregungen dieser Felder. Die Kräfte sollen jetzt aber nicht durch diese Anregungen der Felder übertragen werden (das war ja auch mein Grund für diesen Thread; ich hatte eine falsche Vorstellung), sondern wie Tom es schrieb durch Integrale über Greensfunktionen, die als virtuelle Teilchen bezeichnet werden.
Hawkwind hat geschrieben:Du bist Physik-Student?
Nein. Das ist nur Hobby. Ich möchte gerne wissen, was das alles um mich herum ist, und was da abläuft. Das sollte eigentlich Grundwissen sein, aber kompliziert ist es eben und kostet einiges an Zeit, zu verstehen... Aber das weisst Du ja viel besser als ich.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 10. Aug 2012, 16:08

Hallo zusammen,

Ich wollte ein paar Dinge klarstellen. In der Wikipedia wird D leider einmal mit und einmal ohne e bzw. g definiert; in der QCD-Definition ist -iT[up]a[/up] in A enthaltem d.h. A ist hier eine 3*3 Matrix. Letztlich sind das alles nur unterschiedliche Konventionen. Die meinige lautet eben D[down]m[/down] = d[down]m[/down]- igA[down]m[/down][up]a[/up]T[up]a[/up]. Die Mathematiker verwenden dagegen kein e oder g, weil es eben Mathematiker sind ...

Über die Quantisierung habe ich noch nichts gesagt. Bisher waren die meisten Rechnungen im Rahmen der klassischen Feldtheorie zu verstehen. Auch der diskutierte Hamiltonoperator kann als klassisches Hamiltonfunktional verstanden werden. Wenn man dann eine Quantisierung betrachtet, ist es wichtig, den Anwendungsfall festzulegen. Grob gesprochen eignet sich die kanonische Quantisierung weniger gut für Hochenergie-Streuexperimente, da zum einen die Lorentzkovarianz nicht mehr sichtbar ist (sie ist nicht verletzt, aber extrem schwierig nachzuprüfen) und weil die Buchhaltung mittels Feynmandiagrammen (abgeleitet aus Pfadintegralen) übersichtlicher ist. Aber so weit sind wir ja nocht nicht.

Zur lokalen Eichsymmetrie:

Man betrachtet einen Spinor u(x); die Eichtransformation lautet dann

ψ → ψ' = U[θ] ψ

wobei θ(x) für die 3²=8 Eichfunktionen der SU(3) steht, U also eine SU(3) Matrix bezeichnet.

Die kovariante Ableitung stellt nun sicher, dass mit einer geeignete Eichtransformation der Eichfelder A[down]m[/down] auch D[down]m[/down]ψ kovariant transformiert, d.h.

D[down]m[/down] ψ → D'[down]m[/down] ψ' → U[θ] D[down]m[/down]ψ

Das funktioniert nur mit der kovarianten Ableitung, nicht mit der normalen, denn die bleibt an der x-abhängigen Matrix U hängen und produziert einen Zusatzterm, der durch die kovariante Ableitung genau wieder kompensiert wird.
Gruß
Tom

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von Hawkwind » 10. Aug 2012, 16:25

Hi Tom,
tomS hat geschrieben:
Über die Quantisierung habe ich noch nichts gesagt. Bisher waren die meisten Rechnungen im Rahmen der klassischen Feldtheorie zu verstehen.
Okay, dann kann ich den Einsatz der Produktregel oben gut nachvollziehen.

tomS hat geschrieben: Zur lokalen Eichsymmetrie:

Man betrachtet einen Spinor u(x); die Eichtransformation lautet dann

ψ → ψ' = U[θ] ψ

wobei θ(x) für die 3²=8 Eichfunktionen der SU(3) steht, U also eine SU(3) Matrix bezeichnet.

Die kovariante Ableitung stellt nun sicher, dass mit einer geeignete Eichtransformation der Eichfelder A[down]m[/down] auch D[down]m[/down]ψ kovariant transformiert, d.h.

D[down]m[/down] ψ → D'[down]m[/down] ψ' → U[θ] D[down]m[/down]ψ

Das funktioniert nur mit der kovarianten Ableitung, nicht mit der normalen, denn die bleibt an der x-abhängigen Matrix U hängen und produziert einen Zusatzterm, der durch die kovariante Ableitung genau wieder kompensiert wird.
Und als "Nebeneffekt" führt die kovariante Ableitung überhaupt erst die Wechselwirkung zwischen den Eichbosonen und den Fermionen ein: d.h., in der QED die gemischten Photon-Elektron -Terme.
Und in der QCD hätte man ansonsten nur die Selbstwechselwirkungen, also Gluonen untereinander etc.. Stimmt doch, oder?

Gruss, Hawkwind

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 10. Aug 2012, 17:59

Danke, Tom! Dann haben sich die Unklarheiten auf einfache Weise aufgelöst.

Inzwischen habe ich auch http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/gauge.pdf gelesen. Natürlich habe ich längst nicht alles verstanden, aber es hat mir ein gutes Stück weiter geholfen.

Jetzt müsste die Lagrangedichte quantisiert werden, indem Orte und Impulse durch ihre Operatoren ersetzt werden, und auf letztere bei der QED ein aus den Maxwell-Gleichungen ermittelter Eichoperator angewandt werden. In dem sich ergebenden Hamilton-Operator sollten dann elektromagnetische WW-Terme mit den von Dir genannten Integralen auftauchen. Ist das vom Prinzip her richtig?

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 10. Aug 2012, 23:20

positronium hat geschrieben:Jetzt müsste die Lagrangedichte quantisiert werden, indem Orte und Impulse durch ihre Operatoren ersetzt werden, und auf letztere bei der QED ein aus den Maxwell-Gleichungen ermittelter Eichoperator angewandt werden. In dem sich ergebenden Hamilton-Operator sollten dann elektromagnetische WW-Terme mit den von Dir genannten Integralen auftauchen. Ist das vom Prinzip her richtig?
Ja, das ist richtig. Die Quantisierung verläuft dabei im wesentlichen wie folgt:
- aus der Lagrangedichte die kanonisch konjugierte Impulse berechnen
- Legendretransformation durchführen ergibt die Hamiltondichte
- verallgemeinerte Geschwindigkeiten durch Impulse ersetzen
- jetzt eins zu eins die Feldere durch Feldoperatoiren ersetzen
- Gaussches Gesetz durch eine unitäre Tranformation implementieren
- dabei Eichfelder in transversale = physikalische und unphysikalische Anteile zerlegen
- paralle dazu die Hamiltondichte in physikalische und unphysikalische Anteile zerlegen
- der unphysikalische Anteil verschwindet mit dem Gausschen Gesetz gerade im physikalischen Raum
- ggf. den Hamiltonoperator in den Impulsraum transformieren, d.h. Feldoperatoren durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darstellen
- den Hamiltonoperator regularisieren, d.h. unphysikalische Unendlichkeiten eliminieren
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
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positronium
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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von positronium » 11. Aug 2012, 13:09

Ui, das ist mehr als ich dachte. Wird das in diesen Büchern im Detail erklärt und vorgerechnet? http://www.ebay.de/itm/Weinberg-Steven- ... 2ec0ea8ffa
Ich würde nur gerne einmal darüber lesen.

Würdest Du bitte noch etwas zum Unterschied zwischen den Lagrangedichten zwischen QED und QCD schreiben? Speziell meine ich die Form bzw. Darstellung und Herleitung (Man hat ja in der QCD nicht solche Grundlagen wie die Elektrodynamik, oder doch?) der Gluonfelder, der "Erzeugender der Eichgruppe SU(3)" T[down]a[/down] und die Quarkfelder.

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Re: QFT-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 11. Aug 2012, 13:55

positronium hat geschrieben:Wird das in diesen Büchern im Detail erklärt und vorgerechnet? http://www.ebay.de/itm/Weinberg-Steven- ... 2ec0ea8ffa
Ich bin ehrlich, der Weinberg ist nach meiner Studienzeit erschienen und ich hab ihn nicht gelesen (eine Schande). In vielen Büchern wird die Pfadintegralquantisierung verwendet, da man daraus recht leicht die Feynmanregeln gewinnt. Vieles hat dabei seine Entsprechung, auch wenn die Zusammenhänge sehr indirekt sind. Zu einer einfachen Quantisierung der QED (die auch ohne den aufwändigen Apparat oben auskommt, jedoch nur mit diesem wirklich gerechtfertigt werden kann) müsste ich mal schauen, welche Bücher das hergeben.
positronium hat geschrieben:Würdest Du bitte noch etwas zum Unterschied zwischen den Lagrangedichten zwischen QED und QCD schreiben? Speziell meine ich die Form bzw. Darstellung und Herleitung (Man hat ja in der QCD nicht solche Grundlagen wie die Elektrodynamik, oder doch?) der Gluonfelder, der "Erzeugender der Eichgruppe SU(3)" T[down]a[/down] und die Quarkfelder.
Der QCD gehen zwei Beobachtungen voraus: zum einen kann man Regeln der abelschen Eichtheorien mittels der sog. Yang-Mills-Gleichungen direkt auf nicht-abelsche Gruppen übertragen. Der wesentliche Schritt ist dabei die Einführung eines SU(N) Eichfeldes A, d.h. einer raumzeitabhängigen SU(N)-Matrix.

A[down]ik[/down] = A[up]a[/up] T[up]a[/up][down]ik[/down]

wobei die Generatoren T[up]a[/up] einfach Verallgemeinerungen der Pauli-Matrizen darstellen.

Damit erhält man sofort nicht-triviale Kommutatoren für zwei Felder A und B

[A,B][down]ik[/down] = A[down]il[/down]B[down]lk[/down] - B[down]il[/down]A[down]lk[/down]

Setzt man nun die Definition ein, so muss man die Kommutatoren der T's berechnen:

[A,B][down]ik[/down] => [A[up]a[/up]T[up]a[/up],B[up]b[/up]T[up]b[/up]][down]ik[/down] = A[up]a[/up] B[up]b[/up] [T[up]a[/up], T[up]b[/up]][down]ik[/down] = A[up]a[/up] B[up]b[/up] if[up]abc[/up] T[up]c[/up][down]ik[/down] = if[up]abc[/up] A[up]a[/up] B[up]b[/up] T[up]c[/up][down]ik[/down]

Die Kommutatoren gelten dabei für klassische Felder bzw. Matrizen, sind also keine kanonischen Vertauschungerelationen. Die letzte Gleichung ist wieder nur eine SU(N) Verallgemeinerung der Beziehung für Pauli-Matrizen.

Die zweite Beobachtung ist konkret, dass es sich eben gerade um die SU(3) handeln muss.
Gruß
Tom

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