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Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 24. Jan 2012, 22:28

positronium hat geschrieben:Naja, dass im Ergebnis ein pi steht, finde ich immer noch etwas befremdlich.
Na ja, aber du hast es doch berechnet ;-)

Man versteht das wie folgt.

Betrachte das Gaussche Integral



Das kann man elemenar nicht berechen, wohl aber



Und daraus erhälst du deine Integrale in Polarkoordinaten sowie durch n-faches Ableiten nach a.

Und da man über eine rotationsinvariante Funktion exp(-ar²) integriert, bzw. wie du gezeigt hast über phi entlang einer Kreislinie, ist das Auftreten von pi nicht gar so überraschend.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 24. Jan 2012, 22:38

tomS hat geschrieben:Na ja, aber du hast es doch berechnet ;-)
Ich kann mir doch nicht alles glauben! :wink:
tomS hat geschrieben:Betrachte das Gaussche Integral...
...über phi entlang einer Kreislinie, ist das Auftreten von pi nicht gar so überraschend.
Ja, schon.
Danke!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 24. Jan 2012, 23:22

Und, magst du dir noch die Heisenbergsche Unschärfenrelation für|n> und |z> anschauen?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 25. Jan 2012, 11:16

tomS hat geschrieben:Und, magst du dir noch die Heisenbergsche Unschärfenrelation für|n> und |z> anschauen?
Ja, habe ich mir für heute, nachher, aufgehoben - war mir gestern schon zu spät.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 25. Jan 2012, 14:43

tomS hat geschrieben:Ein letztes noch: die kohärenten Zustände spielen eine Rolle in der Quantenoptik sowie in der semiklassischen Analyse verschiedener Systeme. Sie haben die Eigenschaft, Zustände minimaler Unschärfe zu sein, d.h. sie minimieren Δx*Δp. Letzteres müsstest du explizit ausrechnen können, in dem du die Definition von Δ²x aus Gl. (2.66) sowie Δ²p aus (2.67) verwendest. Dann müsstest du Δx sowie Δp durch die Erzeuger und Vernichter ausdrücken und zwischen den Zuständen sandwichen. Das kannst du einmal für <n|Δ²x|n> * <n|Δ²p|n> und einmal für <z|Δ²x|z> * <z|Δ²p|z> tun. Danach würde ich die Übingen zum Formalismus beenden, ggf. noch Fragen zur Bedeutung diskutieren und wieder im Skript fortfahren.


Dann sollte


gelten.
Dann müsste ich das, was ich in wikipedia gefunden habe :wink:


mit x=Q und p=P einsetzen können:


Das müsste ich jetzt mit Integralen schreiben:


Jetzt müsste ich eigentlich vereinfachen, aber ich habe keine Ahnung, wo ansetzen. Was kann ich machen? Oder bin ich sowieso auf dem Holzweg?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 25. Jan 2012, 15:52

Du bist auf dem richtigen Weg, machst das aber zu komplizert.

Benutze die 'normierten' Operatoren (dann fällt m, omega, usw. weg)







und berechnen daraus (genauso wie du es gemacht hast) x, p, sowie Δ²x und Δ²p.

Dann berechnest du die Erwartungswerte nicht zwischen allgemeinen Zuständen sondern genau für <n| ... |n> sowie <z| ... |z>; dann kannst du nämlich die Wirkung der Operatoren Δ²x und Δ²p ausgedrückt durch Erzeuger und Vernichter direkt ablesen.

D.h. du brauchst die Integrale nicht!
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 25. Jan 2012, 17:26

Dann ist

und

Ab hier bin ich schon wieder unsicher...


...sollte aber so vereinfachbar sein:


Wie kann ich hier etwas ablesen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 25. Jan 2012, 23:09

Du darfst die Operatoren nicht aus dem Bra-Ket rausziehen! Das ist wie die Multiplikation Vektor * Matrix * Vektor

Ein Beispiel:



Die erste beiden Terme fallen weg, da



Es bleibt



Nach der Methode berechnest du alle Erwartungswerte
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 26. Jan 2012, 13:24

tomS hat geschrieben:Du darfst die Operatoren nicht aus dem Bra-Ket rausziehen! Das ist wie die Multiplikation Vektor * Matrix * Vektor
Ja. :roll:
Das Ersetzen ist mir nicht in den Sinn gekommen...

Aber hier kann ich nicht folgen
tomS hat geschrieben:Es bleibt

Also es fehlt wohl ein =, aber dann würde aus

das

obwohl für ... das ... eingesetzt wird. Also, wird dadurch zu , aber zwischen den Vektoren sollte man dann doch haben. Genau so müsste es doch auch nach dem Plus-Zeichen, also im zweiten Teil sein: Oder?


Dann muss ich ab hier weiter machen.



Ausmultiplizieren



Wie in Deinem Beispiel fallen auch hier die Glieder mit quadriertem Operator heraus, weil dadurch die Bra- und Ket-Zustände unterschiedlich werden, also das Kronecker-Delta immer 0 ergibt - das ist ja der Grund.
Es bleibt:



Durch Ersetzen der Operatoren sollte folgen:



Das sollte dann


ergeben.

Wenn ich jetzt aber

für den Grundzustand n=0 berechne, erhalte ich

was wegen dem auf 1 gesetzten h-quer

ergäbe.
Aber eigentlich müsste ja heraus kommen.
Was ist falsch?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 26. Jan 2012, 14:06

Zunächst mal fehlt tatsächloch das '='.

Zu der Fragestellung mit den Wurzeln: es gilt





Damit ist aber

Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 26. Jan 2012, 15:36

Ach so. Ich hatte das vorhandene n nur im Ket berücksichtigt, und ausserhalb nicht. Danke!

Dann muss ich hier nochmal beginnen:



Operatoren ersetzen, und dabei den Fehler mit den Kets im quadrierten Teil nicht nochmal machen:



Vereinfachen (jetzt fällt der quadrierte Teil wegen <n| und |n-1> bzw. |n+1> weg):



Das ergibt:



Hier war auch etwas falsch. Es ist ja ... d.h. .

Für die Heisenbergsche Unschärferelation gilt dann

Dann muss ich wohl n=1 setzen und h-quer einfügen, woraus sich

ergibt.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 26. Jan 2012, 18:47

Du hast irgendwo noch einen Fehler drin, denn für n=0 muss 1/2 rauskommen; aber das ist Kleinkram, deine Rechnung sieht prinzipiell vernünftig aus.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 26. Jan 2012, 19:47

tomS hat geschrieben:Du hast irgendwo noch einen Fehler drin, denn für n=0 muss 1/2 rauskommen; aber das ist Kleinkram, deine Rechnung sieht prinzipiell vernünftig aus.
Vielen Dank für Deine Bemühungen!

Der Fehler ist hier:


Es muss jeweils heissen, also + statt *.

Ergibt wiederum

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 26. Jan 2012, 20:22

Perfekt!

So, jetzt das ganze noch für |z>. Beachte





Noch etwas; es gilt natürlich |z=0> = |n=0> wie man anhand der Taylorreihe explizit sieht, aber für k = 1,2,... ist |z=k> ist etwas anderes als |n=k>, d.h. für die natürlichen Zahlen stimmen die Eigenzustände des harmonsichen Oszillators nicht mit den kohärenten Zuständen überein.

Außerdem noch interessant ist die Zeitentwicklung





mit

Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 27. Jan 2012, 14:08

tomS hat geschrieben:So, jetzt das ganze noch für |z>. Beachte



Für x und p gilt natürlich das gleiche

und

Eingesetzt wird in <z| |z>, weshalb folgt


Dann ist durch das zu ersetzen, was Du oben geschrieben hast, aber erst ausschreiben, damit ich den Überblick nicht verliere.


ersetzen...


vereinfachen...



Aber hier hänge ich schon wieder.
Zum einen bin ich mir nicht sicher, ob das Ersetzen von auf diese Art erlaubt ist. Sozusagen habe ich ja hier über Kreuz ersetzt, also das mit <z| links von durch <z|...z*und umgekehrt. Ist dadurch die Reihenfolge verletzt? - Muss ich bzw. gar durch einen (Anti-)Kommutator ersetzen?
Zum anderen bin ich bei dem Quadrieren unsicher. Wenn <z| und |z> normiert sind, könnte ich bzw. aus dem Skalarprodukt heraus ziehen und quadrieren, aber dann wird sowohl als auch gleich 0. Oder muss ich sowieso erst durch


ersetzen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 27. Jan 2012, 15:58

Du hast einen kleinen aber wesentlichen Fehler drin
positronium hat geschrieben:

ersetzen...

Es geht um



Dies ist der einzige Term, wo du die Reihenfolge vertauschen musst, da |z> der Eigenzsutand zu a und nicht zu a-dagger ist.

Also



Jetzt darfst du natürlich die Operatoren durch die jeweiligen Rechts- bzw. Links-Eigenwerte ersetzen, die Eigenwerte (Zahken) aus dem Bra-Ket herausziehen und <z|z> = 1 benutzen. Durch den Kommutator bzw, die daraus entstehende Eins ist das Gesamtergebnis auch nicht mehr Null.

Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 27. Jan 2012, 16:56

tomS hat geschrieben:Du hast einen kleinen aber wesentlichen Fehler drin

Es geht um



Dies ist der einzige Term, wo du die Reihenfolge vertauschen musst, da |z> der Eigenzsutand zu a und nicht zu a-dagger ist.
Den Kommutator hatte ich in Verdacht, nur nicht in der Form...
Ist für jeden Operator mit dem adjungierten Operator immer 1?

nochmal das Ersetzen in:


ergibt (bei unter Vorbehalt wegen der umgekehrten Reihenfolge im Kommutator)...


vereinfachen...


Daraus folgt:


Dann ergäbe

Komplex sollte das wohl nicht sein. - Allerdings habe ich oben in den Kommutator , also die umgekehrte Reihenfolge der Operatoren zu dem wie Du es geschrieben hast. Also, wenn für diesen Kommutator -1 heraus kommt, dann ergäbe auch

und es wäre

Ist wahrscheinlich eher richtig.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 27. Jan 2012, 17:47

So sieht das sehr vernünfitg aus - d.h. kohärente Zustände |z> minimieren für beliebiges z die Heisenbergsche Unschärfenrelation
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von rick » 27. Jan 2012, 20:25

positronium hat geschrieben: Ist für jeden Operator mit dem adjungierten Operator immer 1?
Du meinst wahrscheinlich 0?
Sollte doch nur der Fall sein, wenn der Operator hermitesch () oder Unitär() ist?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 27. Jan 2012, 21:43

Schaue 3 Posts weiter oben. Dort rechnet Tom das vor:

Der Kommutator ergibt 1.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 27. Jan 2012, 22:31

Und dass der Kommutator 1 ergbt, folgt speziell aus [x,p] = i.

So, zum Schluss noch die Zeitentwicklung eines kohärenten Zustandes, dann geht's weiter mit dem Skript.

Wir setzen



und betrachten nur die Zeitentwicklung unter N, da der konstante Term einfach eine triviale Phase ergibt (und nur einem konstanten Term im Potential entspricht).



Dabei haben wir N|n> = n|n> verwendet. Nun schreiben wir die e-Funktion um



Dabei gilt





D.h. die Zeitentwicklung eines kohärenten Zustandes entspricht einer Rotation in der komplexen Ebene; insbs. bleibt die Eigenschaft des kohärenten Zustandes erhalten



Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 27. Jan 2012, 22:36

hat hier jemand Erfahung mit Mathematica o.ä.?
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 27. Jan 2012, 23:00

tomS hat geschrieben:hat hier jemand Erfahung mit Mathematica o.ä.?
Ja, mit Mathematica. Es ist aber nicht so, dass ich mich in jedem Eckchen dieses gigantischen Werkzeugs auskenne.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von tomS » 27. Jan 2012, 23:13

Frage: kannst du mal die Ortsdarstellung der kohärenten Zustände in Mathematica berechnen bzw. darstellen?

Ansatz wie folgt:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_ha ... oscillator
http://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_states



wobei H[down]n[/down](x) den Hermitefunktionen entspricht.

Dann berechnet man

Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen

Beitrag von positronium » 27. Jan 2012, 23:50

Kannst Du mir noch etwas über die Variablen sagen - ich brauche noch etwas, damit die Vereinfachung klappt, also Wertebereiche, zugrunde liegende Zahlenmengen etc..
Jetzt hat Mathematica ein Problem mit sqrt[n!] und kann deshalb die Summe nicht heraus rechnen. Wenn ich die Wurzel weg lasse, klappts. Oder wie kann ich das umschreiben?

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